广东东莞市第一中学2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

**基本信息** 以AI芯片性能测试、学生心理与成绩调查等真实情境为载体，融合导数、概率统计等核心知识，考查数学眼光、思维与语言，体现高二期末综合测评价值。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|8|方差、导数几何意义、条件概率|基础概念与运算结合，如全概率公式应用| |多选|3|幂函数性质、函数极值|多角度辨析，如函数对称性与极值条件| |填空|3|排列组合分配、不等式恒成立|实际问题转化，如社团人员分配方案| |解答题|5|正态分布、独立性检验、不动点定理|分层设计，如AI芯片测试（正态分布）与拓扑不动点（创新探究）结合|

东莞市第一中学高二期末数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A B B B D A AD ACD 题号 11 答案 BCD 1．D 【分析】根据方差的性质即可求解. 【详解】因为离散型随机变量的方差为1，所以. 故选：D. 2．D 【分析】结合分段函数解析式，判断各自变量所在的区间及所对应的解析式运算即可. 【详解】解：由分段函数解析式可得， 又，即， 故选D. 【点睛】本题考查了分段函数求值问题，重点考查了运算能力，属基础题. 3．A 【分析】写出通项公式，然后代值计算即可. 【详解】由题意可得，的通项 ， ， 令，得， 所以的系数为， 故选：A. 4．B 【分析】利用条件概率公式即可解出答案. 【详解】设事件为“从箱子中任取两球均为红色”， 事件为“从箱子中任取两球至少有一球为红色”． 则由题意知， ,， 所求概率为. 故选：B． 5．B 【详解】设输入的问题表达清晰为事件，回答被采纳为事件, 则， 根据全概率公式. 6．B 【分析】根据函数的周期性和奇偶性即可求解. 【详解】已知是定义在上且周期为的奇函数，所以有， 令，得， 由于是奇函数，有，所以，即，解得， 当时，，由于，所以， 因此，故B正确. 7．D 【分析】对于A，由回归方程可判断变量y与x的负相关；对于B，利用回归方程过可判断选项正误；对于C，由回归方程及残差定义可判断选项正误；对于D，由回归方程可得预测值. 【详解】对于A，因回归方程斜率为负值，则变量y与x负相关，故A正确； 对于B，，， 因回归方程过，则，故B正确； 对于C，当时，由B分析，，则残差为： 故C正确； 对于D，当，由B分析，，故D错误. 故选：D 8．A 9．AD 【分析】由题意，结合幂函数的概念，可求得，代入函数解析式，根据幂函数的图像性质，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由幂函数定义可知，系数，解得或， 又因为，所以，故A正确； 对于B选项，当时，，其定义域为， 且满足，所以函数是偶函数，故B错误； 对于C选项，由可知，，， 所以，故C错误； 对于D选项，函数的值域为，故D正确. 10．ACD 【分析】利用二项式通项公式判断A，利用赋值法来判断BC，利用求导法，结合赋值来判断D. 【详解】由，所以，故A正确； 令得：， 令得：， 所以，故B错误； 再令得：， 与相加得：，故C正确； 由，两边同乘可得; , 两边求导得：， 再令得：，故D正确； 故选：ACD. 11．BCD 【分析】根据函数有极值点可知导函数存在两个不同零点，根据可构造不等式求得A错误；将问题转化为与有交点，利用导数可求得单调性，并得到的值域，由此可确定B正确；由可确定C正确；利用交点式可表示出，根据对应项系数相等，并利用所得等量关系化简可得D正确. 【详解】对于A，有极值点，有两个不等的零点， ，解得：，A错误； 对于B，当时，若成立，则在上有根； 在上有根， 令，则与有交点， ，在上单调递减， 当时，；当时，；， 无论取何值，与均有交点，即至少存在一个正根，B正确； 对于C， ， 的对称点为，的对称点在直线上，C正确； 对于D，，必有极值点，知； ， ，，， ， ，，，D正确. 故选：BCD. 12．20 【分析】将五名同学分为两组，再将分好的两组同学分配到两个不同的社团中即可. 【详解】将五名同学分为两组，一组2人，一组3人，有种， 再将这两组同学分配到两个不同的社团中，有种分配方式， 则总的分配方案有种. 13． 【解析】运用换元法,分离参量法来求解不等式恒成立问题. 【详解】令,又,则, 则不等式转化为, 即恒成立,所以恒成立,解不等式得. 故答案为: 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,在求解过程中运用了分离参量的方法,注意题目中变量的取值范围,属于中档题. 14． 【分析】首先根据条件构造函数，并判断函数的单调性和奇偶性，以及零点，根据函数的性质，解不等式. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以.当时， 不等式可化为， 则函数在区间上单调递增，又， 所以函数为偶函数，且， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 即时，；时，. 当时，； 当时，由，得，即； 当时，由，得，即， 故不等式的解集为. 故答案为：. 15．(1) (2)在区间上单调递减，在区间上单调递增；有极小值，无极大值． 【详解】（1）函数的定义域为，， 在点处的切线斜率， 所以在点处的切线方程为，即． （2）令，解得． 当x变化时，，的变化情况如下表所示， 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，有极小值，无极大值． 16．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合对数函数性质运算求解即可，注意对数型函数的定义域； （2）分析可知在上单调递增，且对恒成立，分和两种情况运算求解即可. 【详解】（1）若，则， 对于不等式，即， 则，解得或， 所以不等式的解集为. （2）若在上单调递增， 则在上单调递增，且对恒成立， 若，则在上单调递减，不合题意； 若，则，解得， 所以实数的取值范围为. 17．(1)认为学生的学习成绩与心理情况有关 (2) ． 【分析】（1）根据独立性检验的判断方法判断； （2）根据超几何分布求出分布列，再根据期望公式求解. 【详解】（1）零假设：学生的学习成绩与心理情况无关， ，     所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为学生的学习成绩与心理情况有关，此推断犯错误的概率不大于． （2）抽取心理情况较好的人数为，心理情况较差的人数为，     则的可能取值为, 则，， ，，     所以 的分布列为： 则． 18．(1)22716 (2) Y 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 【分析】（1）根据正态分布的性质求解即可； （2）首先求出，再根据二项分布可得分布列及数学期望. 【详解】（1）因为，所以，，   所以 ，   则， 所以估计该批次芯片中测试成绩为80分及以上的芯片的数量为22716； （2）因为，， 所以，   由题意得，   Y的可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ，   所以Y的分布列为： Y 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 ． 19．(1)， (2) 设为函数的不动点，则， 则，即为函数的稳定点，即. 设为函数的稳定点，即， 假设，而在定义域内单调递增， 若，则，与矛盾； 若，则，与矛盾； 故必有，即， 即，故为函数的不动点即. 综上，，得证. (3) 当或时，有唯一稳定点； 当时，无稳定点； 当，有两个稳定点. 【分析】（1）由“不动点”和“稳定点”的定义列出方程，解出答案； （2）根据“不动点”与“稳定点”的定义证明即可. （3）构造，讨论的单调性，得到的零点个数即为的稳定点的个数. 【详解】（1）由，得，解得； 由，得，解得， ∴集合，. （2）略 （3）当时，函数在上单调递增， 由（2）知的稳定点与的不动点等价，故只需研究的不动点即可； 令，， ∴，， ∴在上单调递减， ①当时，恒成立， ∴在上单调递增， 当无限接近0时，趋向于负无穷大，且， 故存在唯一的，使得，即有唯一解， ∴此时有唯一不动点； ②当时，即时，， 当趋向于无穷大时，趋近于0，此时， 存在唯一的，使得，即， 此时在上单调递增，在上单调递减， ∴， 当无限接近0时，趋向于负无穷大，当无限接近正无穷大时，趋向于负无穷大， 设， 则在上单调递增，且， 又∵在上单调递增， ∴（ⅰ）当，即时， 此时，方程有一个解，即有唯一不动点； （ⅱ）当，即时， 此时，方程无解，即无不动点； （ⅲ）当，即时， 此时，方程有两个解，即有两个不动点； 综上，当或时，有唯一稳定点； 当时，无稳定点； 当，有两个稳定点. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞市第一中学高二期末数学试题 一、单选题 1．已知离散型随机变量的方差为1，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若函数，则为 A． B． C．2 D．3 3．在的展开式中，的系数是（ ） A． B． C． D． 4．一个箱子中有10个质地、大小相同的球，共5种颜色，每种颜色有2个球，现从中任取2球，若在其中一个球为红色的条件下，另一个球也为红色的概率为（ ） A． B． C． D． 5．小明常用人工智能大模型DeepSeek解决学习疑问．当小明输入的问题表达清晰时，DeepSeek的回复被采纳的概率为0.8；当小明输入的问题表达不清晰时，DeepSeek的回复被采纳的概率为0.3．若小明输入的问题表达清晰的概率为0.7，则DeepSeek的回复被采纳的概率为（    ） A．0.56 B．0.65 C．0.77 D．0.8 6．已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，则（    ） A．-2 B． C． D．2 7．某厂进行技术改造后，生产产品过程中记录的时间x（单位：天）与相应的生产能耗y（单位：吨）的几组数据，如下表所示.若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） 时间x 1 2 3 4 5 生产能耗y/吨 5 4.5 4 3.5 2.5 A．由题中数据可知，变量y与x负相关 B．线性回归方程中 C．当时，残差为- D．可以预测当时能耗约为2.2吨 8．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是奇函数 C． D．函数的值域为 10．若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．函数，则下列结论正确的是（   ） A．若有极值点，则 B．无论取何值，都存在，使得成立 C．的对称点在直线上 D．若，则 三、填空题 12．某校准备组建2个社团，现将5名同学分配到这2个社团，每名同学只能去其中1个，每个社团至少分配2名同学，则不同的分配方案的种数为___________． 13．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 14．已知函数是定义在上的奇函数，若，不等式恒成立，且，则不等式的解集为________. 四、解答题 15．已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)判断函数的单调性，并求出的极值． 16．已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. 17．某校对200名学生的心理情况与学习成绩进行问卷调查，通过对照表得到学生的心理测评分数，经过统计得到下表． 学习成绩较好 学习成绩较差 心理情况较好 80 45 心理情况较差 15 60 (1)依据小概率值的独立性检验，分析学生的学习成绩是否与心理情况有关； (2)从上述学习成绩较差的学生中采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中心理情况较差的人数为 ，求 的分布列与数学期望． 附：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18．随着人工智能技术的快速发展，AI芯片的性能评估成为关键环节．某科技公司对一款新型AI芯片进行性能测试，测试得分X（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩为114分及以上的被认定为“卓越”等级． (1)若该芯片共生产了27000片，试估计其中测试成绩为80分及以上的芯片的数量；（结果四舍五入保留到整数） (2)从该批次芯片中随机抽取3片，记其中等级为“卓越”的芯片的数量为Y，求Y的分布列和期望． 附：若随机变量，则，，． 19．拓扑学里有一个非常重要的不动点定理：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”，若，则称为的“稳定点”.将函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，. (1)对于函数，分别求出集合和； (2)若函数在定义域内单调递增，求证：； (3)已知，求的稳定点的个数. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $