广东广州市部分校2025-2026学年高二下学期7月期末教学质量监测数学试题

2025学年第二学期期末质量检测 高二数学试题评分参考 说明： 1.参考答案及评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根 据比照评分标准给以相应的分数。 2.对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分 数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.B 2.A 3.C 4.C 5.D 6.D 7.C 8.A 1.解：若是整数，则不一定是奇数；若堤奇数，则t一定是整数”，所以“是整数”是 “是奇数”的必要不充分条件，故选：B. 2.解：抛物线的标准方程为x2=8y,则其焦点在y轴上，且p=4,所以焦点坐标 为(0,2).故选：A. 3.解：fI)=V1-1=0,即f(0)=2,则f①)+f(0)=2.故选：C. 4解：复数：满足2-=2+31，即复数：对应的点到点(0,1)的距离与到点(0，-3)的 距离相等，记点A(0,1),点B(0,-3),即复数：对应的点一定在线段AB的垂直平分线上 ,即在直线y=-1上，所以复数的虚部一定是-1，所以复数：可以是2-i.故选：C. 第1页（共11页） 5解由医可如：了一2日+)}，破可得0是2因为最大值为2且 2 A>0,故A=2,此时函数解析式为y=2sin(2x+p)(0<网≤元)，因为图中最高点的坐 标52，所以合2+p-2派+号解得p=2流 又因为0<网s元，所以k=0,p=27所以函数解析式为y=2sim2x+ 2π 2 3 故答案为：y=2sin2x+ 3故选：D 2π 6.解：因为在(1-x)4+1-x)5+1-x)+(1-x),所以含x3的项为： (C+C+C+C)(-x),所以含x的项的系数是的系数是-(C+C+C+C) =-(4+10+20+35)=-69.故选D 7.解：因为元=5，∑=186，所以∑(x-)=∑x-62=186-6×52=36, 2书-0-列2-%列5 由r 经到2列 V36×V256 16 解特空x列0，所以6空x- 90_5 - 362故选：C 8.解：法-：点P(飞)在曲线y-2血上，且点P()到直线y=2x,即 2x-y=0的距离126丛，因此可先求点P叫)到y=2x距离的最小值当函数 5 y-21在P(飞出，)处的切线与y=2x平行，即斜率为2时，点P(气)到y=2x的距离 小由yey2令-2，解得1,0点0)直线 2x的距离d2所以2%-的最小值为V5x2=2 法二：点PK)是南线-2血上的动点，得-2，所以p一上 设g严xa,则 2 4x-2） x-2x2+2lnx 2x2-2+2nx, x 设h(x)=x2-1+血x,x>0,则h(x)=2x+1>0恒成立. 第2页（共11页） 故h(x)=x2-1+x在区间(0，+o)单调递增. 又h(1)=0,所以当x∈(0,1)时，h(x)<0,所以g(x)<0; 当x∈(1，+o)时，h(x)>0,所以g'(x)>0. gx)=2Y-2血在区间(0,1)单调递减，在区间1，+)单调递增。 又g(1)=2,所以g(x)≥2，即2x-yl≥2，则2x-%的最小值为2故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.AC 10.ABD 11.ABC 9.解：对于A,由余弦定理c2=a2+b2-2abc0sC,得c2=16+25-40cos60°=21， 因此c=V21,故A正确；对于B,根据正弦定理，b Bsin,可得 sin B=bsinc 5x x2_5V7,故B不正确：对于C,根据三角形面积公式S=bnC, c√2114 可侵S45及5故C对于D正弦定理2欢=会2场 2 2 ,所以半径为R=√7，故D错误.故选：AC 10.解：由题意B(-1,2),在圆M中，M(a,0),半径R=PM=1, BM4=V(-1-a'+(2-0)2=V(-1-a'+4 A项，过B作圆M的切线，切点为P, 所以BP⊥PM,在Rt△BPM中，由勾股定理得 IB=VBM-AM=1-a+4-1=V@+1+3 所以当a=-1时，BP取最小值，BPlm=5,故A正确； B项，由BC中点为D(0,1),得直线AD的方程为y=x+1, 第3页（共11页） 又直线AD被圆M截得的弦长为2，恰好为圆的直径，所以直线AD过圆心， 所以M(-1,0),即a=-1,B正确 C项，结合几何知识得，圆上不可能有三个点到直线AD的距离均为半径1，故C错误 D项，因为圆M上有且只有两个点到直线AD的距离都为2， 所以圆心M(a,0)到直线AD:y=x+1即x-y+1=0的距离大于1小于3. 即1< a-0<3,解得：1-35<11-5或-1+万<1-1+35.故D正确 V1+(-10)月 ;故选：ABD 11.解：Q-之au=0-nR-0nR,as成R= k 1R2R1 1 a=0-2-w=0--安=名交 2 又因为半球体积为V球=三R, 球冠”的体积与半球体积的比值为2332+1 2k3 当=2时，比值为G当太=3时，比值为号 当k=4时，比值为 8 28 令23-32+14 ,化简得46-81k2+27=0,又因为k≥2，所以得 2k3 27 k(46k-81)+27≥4×(92-81)+27>0，所以k无解.故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.f(x)=x/f(x)=(答案不唯一)； 13. 0 14.150 3 43 12.解：f(x)=x/f(x)=x(答案不唯一). 第4页（共11页） 图解依题意，0,0.4，.而C(cos6,sm0,由0C=04+0B,得 元+u=cos0 2 sin+cos0=23 λ=sin0 、2 由0≤6≤2π 得骨<0骨，因此0≤m0+孕s1. 3 3 所以“的取值范围是0,25 3 14.解：因此满足“每人至少1本"的方案数： W=37-C.27+C317=2187-384+3=1806 将7本不同的书分为3组（每组至少1本），有4种分组的可能：{1,1,5}，{1,3,3}， {1,2,4,{2,2,3} (1)当X=3时 ①先分组1,3,3}，再分配给3个孩子的方案： CCC×4=7×20x1x6=420种 21 ②先分组{2,2,3}，再分配给3个孩子的方案： C5cC×4=21x10x1x6=630种 2！ X=3合计方案数：420+630=1050种，P(X=3)850: (2)当X=4时，先分组{1,2,4，再分配3个孩子的方案： cCC×4=7×15xIx6=630种，PX=4)=1806 630 (3)当X=5时，先分组{1,1,5}，再分配给3个小朋友的分法： cicc-21x2Lx6=126种，Px=5)=16 2! 2 1806 +4x630 因此，E(X)=3x1050 5×126_150 1806 1806 180643 四、解答题：本题共77分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤。 15.（13分) 解：(1)令{b}公比为9且9>0，则bq+bq=q+q°=6， 第5页（共11页） 整理q+q-6=0, 1分 所以q=2, 2分 故bn=bg1=2-1, 3分 又a+a6=2b,令{a}的公差为d,则(q十d)+(a+5d)）=8,…4分 所以2+6d=8, 可得d=1, 5分 故an=4+(n-1)d=n. …6分 d站 (2)由 …8分 所以S=A+1+4+1++6+ 1 …⑨分 4412 =22+4始司 …10分 =2+2+…+2四+2++5 224461012 …11分 司 …12分 1023,58189 …13分 32424 16.（15分) 解：(1)连接OE,OF,因为直线OO为圆台O,O的轴，EF为圆台的母线， 则EFO,O,为直角梯形，其中O,E11OF,O,E⊥OO, …2分 又因为∠DAE=45°， 所以△4ED为等腰直角三角形，所以OE⊥AD, 3分 又因为四边形ABCD为圆台的轴截面，则AD/1BC,又OE/1O,F, 所以O,F⊥BC, …4分 法-：又因为OO⊥BC,O,O∩OF=O,O,O,OFC平面EFO,O, 所以BC⊥平面EFO,O1, …6分 又EFC平面EFO,O, 所以EF⊥BC; …7分 第6页（共11页） 法二：所以直线OF,O,C,OO两两垂直， 以O,为坐标原点，直线OF,OC,O,O分别 为x,y,=轴，建立空间直角坐标系， 设OO2=t,则A(0,-1,),B(0,-2,0),F(2,0,0),C(0,2,0),D(0,1t),E(1,0,t), O(0,0,t),所以FE=(-1,0,t),BC=(0,4,0), 5分 则FE·BC=(-1)×0+0×4+t×0=0,所以FE⊥BC, 6分 所以EF⊥BC; …7分 (2)由(1)得BF=(2,2,0),CF=(2,-2,0),FE=(-1,0,), …8分 设平面BEF与平面CEF的法向量分别为i=(a,b,c),i=(x,y,), mBF=0 2a+2b=0 则 即 iFE=0 -a+ic=0取c=l,得a=1,b=-t, 故平面BEF的一个法向量为i=(t,-t,1),…I0分 nCF=0 2x-2y=0 又 即 (FE=0' -x+z=0 ,取z=1,得x=y=t, 0 B C 故平面CEF的一个法向量为i=(t,t,1), …12分 由=面角B-BR-C的余弦值为日 得cos(m,= m我 1 1 m同V2r2+1V2r+19 …14分 解得t=2, 所以圆台的高O,O,的长为2. …15分 17.(15分) 解： (1)由题知e=c=1 a2' …1分 2a=4, …2分 又有a2=b2+c2, 解得a=2,c=1,b=√5， 3分 第7页（共11页） 所以椭圆C的标准方程为女+y =1 …4分 43 (2)当m=4时，联立1：x=4y+4与椭圆+父-1可得13y2+24x+9=0,…5分 43 则+为普%品 24 …6分 所以刘y-=Vg+广-4y少= 24 963 4× …8分 1313 所以S4-小125 9分 13 (3)由已知得点A(-2,0),B(2,0),T(4,0), 又△7OB与四边形PQBA的面积比值为号， 所以△I0B与△IPA的面积比值为后 …10分 1.2yl 1 又 ,且为与乃同号， SATPA .6y 则片=2， 11分 x=1y+4 联立直线1与椭圆C的方程 消去，得+4+上1 4 3 整理得(3m2+4)y2+24y+36=0, …12分 则△=(24m)°-144(3m2+4)0,即m2-4>0, 24m 为+y= 3m2+4 36 解得m>2或m<-2,且%53+4 …14分 4=2y 联立得m-6,所以m=±65 …15分 5 第8页（共11页） 18.(17分) 解：(1)购买A,B产品的家庭个数分别为4个和2个， 所以X的可能取值为：0,1,2， …1分 P(X=0) C4_1 C=2051 …2分 P(X=1) C4C_12_3 C2051 3分 P(K=2=CC-4-1 205 …4分 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 1 P 5 5 5 .5分 数￥好塑以U0-02兮1： 1 6分 (2)设A=“第次购买A产品”，(=1,2)，则B=“第次购买B产品”， 则A,与B为对立事件， 由题意P4)子P8)P(AA)-子P叫，4) P41)-5P8a)广 …7分 P(B2=P(A B2)+P(B B2) …8分 =P(4)P(B:4)+P(B)P(B.B) 1,111 34323 9分 1 P(4|B,) P(4B)- P(4)P(BA)_ 4-1 …10分 P(B2) P(B.) 1 该家庭第一次购买的是A产品的概率 …11分 ③设有了家远择A产品。每家购买A产品概率均为号，故I-6,了。 …12分 第9页（共11页） Y的可能取值为0,1,2，…，6，设有k家选择B产品的概率最大，则 -)-G U- …13分 「P(Y=k-1)≤P(Y=k) 故P(Y=)≥P(Y=k+1) mc周3sc5)3 g …15分 整理得号 …16分 又k∈N,故k=4 此时P(Y=4)=C 故有2家选择B产品的概率最大，最大概率为s0 …17分 243 19.(17分) 解：(1)当k=1时，函数f(x)=nx+x, 求导得f)=+1, …1分 则f(e)=e+ …2分 而f(e)=e+l, …3分 所以函数f9的图象在x=e处的切线方程为y-e+)=e+(x-e, 即y=e+l x. …4分 e (2)对任意的x>1,不等式f(9-k+>x-马台k<血x+1恒成立， …5分 x-1 令函数()=x血x+1、 x-1,x>1, 求导得()=mx+r-D-(xlnx+)-x-nr-2 (x-1)2’ …6分 (x-1)2 第10页（共11页） 令函数u(x)=x-1nx-2,x>1, 求导得u(9=1-上>0，函数()在1，+o)上单调递增， …7分 而u(3)=1-n3<0,u(4)=2-1n4>0, 则存在x∈(3,4)，使得u()=0,即1nx=x-2, 8分 当1<x<时，u(x)<0,H(x)<0；当x>x时，(x)>0,h(x)>0, 函数h()在(L,)上单调递减，在(，+o)上单调递增， …9分 则0的=）=。-2+1_生-少=，-1e2,》,<x-1, …10分 x-1x-1 所以整数k的最大值是2. …11分 (3)函数P(9=nx-2+x2的定义域为(0，+o),求导得 Fx)=1-2K+x=-2+1 由函数F(x)有两个极值点，x,(化<x),得方程x2-2+1=0有两个不等的正根 x,x3(x<x3), …12分 △=4k2-4>0 则x+x=2k>0, …13分 x3=1>0 即11，且2a61 …14分 0)-n-2海+5-l%方-16>1， 15分 令函数0-l1-1>1, 求号得o0-1-1f<0. 函数(t)在(L,+o)上单调递减， …16分 圆00-} 所以rc)的取值范周是(-，孕 …17分 第11页（共11页）2025学年第二学期高中教学质量监测试题 高二数学 本试卷共6页，19小题，全卷满分150分，考试时间为120分钟。 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名 和座位号、准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在答题卡相应 位置上。 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时， 将答案写在答题卡上对应的区域内，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。具品灭祺必一翻常个音联马 1.“1是整数”是“t是奇数”的 买其呆5子，溶个C出邮中斑京个ò从改，： (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 :附学满明 品8 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 架贸完张，品育8 2.抛物线y=。x的焦点坐标为 P ,苹瑞 (A)(O,2) (B)(2,0) (c) (D 3. 已知函数f(x)= ，x21,则f0+f0)的值为 2,x< (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 =)八通题5 4.若复数z满足2-=z+3列，则复数z可以是 ()I (A)2+i (B)-1+i (c)2-i (D)1+3i (球>点中清1+花几A货 数学，第1页（共6页） a^“”1%oa 5.函数y=Asin(ox+p)(A≥0，o≤x)在一个周期内的 A 图象如图所示，此函数的解析式为 Wy=2a2x-周 ()y-2n+ 12 c)y=2a4+月) (D)y=2sin 6.在0-x)+(1-x)°+(1-x)°+(1-x)的展开式中，含x的项的系数是 (A)21 (B)69 (C)-21 (D)-69 7、将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6 个区域，统计这些区域内的某种水源指标x和某植物分布的数量y,得到样本 (化小.其中i=26,此样本的相关系数，-名。记y关干的线性回归方 程为少=à+bx.经计算可知：x=5,】 =186,20-列=256，则6的 值为 限8，二高(0<6<) ○圆腾联 4-6-列， 2(x-0-列 参考公式： 6=1 24-到25-旷2-列 天日，动河 8. 已知点P,)是曲线y=2血上的动点，则px,-的最小值为 (A)2 (B)22 (c)4 (D)4W2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 数学，第2页（共6页） 只▣ a^“"1.%。a 回法宾 9.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a=4,b=5, ∠C=60°，则下列结论正确的是 (A)c=√2i (B sina=sv2 42 (C)△ABC的面积为5 (D)△ABC的外接圆的半径为2√万 10.已知△ABC的顶点坐标分别为A(3,4),B(-1,2),C(1,0),D为BC的中点， 且圆M的方程为：(x-)2+y2=1,则 (A)过B作圆M的切线，切点为P,则BP的最小值为√万 (B)若直线AD被圆M截得的弦长为2，则t=-1 (C)存在t,使圆M上有三个点到直线AD的距离都为1 (D)若圆M上有且只有两个点到直线AD的距离都为2，则 -1-32<t<-1-√2或-1+√2<t<-1+32 11。我国古代数学家提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.如图，用祖暅原理 推导半球体积公式的一种方法是：将底面半径和高都为R的圆柱与半径为R 的半球放置在同一水平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R,高为R的圆 锥，得到一个新的几何体.用平行于水平面的平面α去截半球与得到的新几 何体，此时所截得的两个截面面积（如图阴影部分）总是相等、由此可知半球 的体积与新几何体的体积相等。若用平行于水平面的平面α去截半径为R的 半球，且球心到平面a的距离d=二R(k≥2，且keN),此时平面a所截 得的上半部分（称之为“球冠”）的体积与半球体积的比值可能为 数学，第3页（共6页） a“"1%。a 回 R (B) 14 81 27 (c) 合已(D) 27 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。科州联59 12. 已知函数f(x)同时具有下列两个性质：①f(x)是偶函数；②f(x)在(0，+∞) 上单调递增，则f(x)的解析式可以为式一·（写出一个即可） (A 13.已知点C是单位圆劣弧B上点，40B=2π，以0 为原点，OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系， 设∠0C=6050≤)，则C(cos8,sin0),知图所示， 竖若OC=OA+OB(1,μ∈R),则实数μ的取值范围是密坐.)古好1！ 14.将7本不同故事书分配给3个孩子，每个孩子至少分得一本，记三个孩子分 得书本的数量分别为a,b,c,若从所有可能的分配方案中随机选择二种，记随 机变量X为a,b,c三个数中最大的数，则X的数学期望E(X)为睁琴， 小陪阳〉障庙 两物4地，神词 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 15.(13分) ”3A月≤A外一小圆聘的)丽平晚知且银 已知数列{a}为等差数列，数列{凸}为公比大于0的等比数列，且 a1=b=1,b2+b=6,a2+a6=2b· 数学，第4页（共6页) a^“”1%oa (1)求数列{a}和{b.}的通项公式；（≥0o+t3 b n为奇数 (2)设cn= 1 n为偶数' 求数列{cn}的前10项和So· aan2 16.(15分) 如图，已知圆台O,O2,其中AB,CD,EF均为母线，四边形ABCD为圆台的 4. 轴截面，且BC=2AD=4,∠DAE=45°. A Pa (a (I)求证：EF⊥BC; :识单简用，个途限 (2)已知二面角B-EF-C的余弦值为-) 求圆台的高0O,的长。 =1强杀关前本州：0，【=中其，(1 17.(15分) 已知椭圆C: +芳=1(a>b>0)的离心率为？，A,B分别为椭圆C的 x2,y2 左、右顶点，且A8=4,直线1：x-my-4=0与椭圆C交于P(x,y),(x2,y2) 两点，且x<x·)了 :次公 (1)求椭圆C的标准方程： (2)当m=4时，求△0P2的面积： (8 （A a (3)若直线1与x轴的交点为T,且△7B与四边形PQBA的面积此值为；，求 实数m的值。 C,5(& 建中出出小培士农！共，代ò圆小0，醒处共出本：数，二 个身阳证有.培的核数你蓝司随以流全，本更百温合 数学，第5页（共6页） a^“"1.%。a 18.(17分)诚烈量面装中高 某景点提供A、B两种家庭套餐服务产品，人们购买时每次只买其中一种服 务，经过统计分析发理：第-次剩买产品的人则买A的概半为子， 购买B的概率 为号：第一次购买A产品的人第二次购买A产品的概率为子，购买D产品的概率 为行：第一次购买B产品的人第二次购买A产品的概率为之，购买B产品的概串 天土本 也是 2 ,中2个四的出强儿动亦：公泸共心之卧，小头水：实武 (1)已知有6个家庭第一次购买产品，且购买A、B产品的家庭个数比例为 2:1,现从该6个家庭中抽出3个家庭，记录其购买A、B产品的情况，记X为购 买B产品的家庭个数，求X的分布列和数学期望： (2)已知某家庭第二次购买的是B产品，求该家庭第一次购买的是A产品的 概率： 长阳 (3)现有6个家庭第二次购买产品，则有多少个家庭购买A产品的概率最 大？并求最大的概率值。 治(01+01腿.11-， 八民□ 19.(17分) 已知函数f)=lnx+x.藏面丽9③1 +=一c稀8然 (1)若k=1,求函数f(x)在x=e处的切线方程： E+1 (2)若f四)-k+>kx-马)对任意的x>1恒成立，求整数k的最大值： (3设F=)-3+有两个极值点x<,求F)的取值范围。 数学，第6页（共6页) 一 a^“"1.%。a