1.4.3 相似三角形的判定（3）课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形判定定理2，通过知识回顾（如“两边对应成比例的两个三角形是否相似”“类比全等判定SAS猜想条件”）衔接新知探究，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解定理推导过程。 其亮点在于以严谨证明培养推理能力，通过典例（如利用高的隐含条件证直角）和多样练习（涉及对顶角等情境）发展几何直观与应用意识，课堂小结系统梳理知识，助力学生提升逻辑推理和问题解决能力，为教师提供清晰教学流程与丰富实例。

湘教版版·九年级上册 1.4 相似三角形的判定 第3课时 相似三角形的判定定理2 第一章 图形的相似 学 习 目 标 1 2 掌握相似三角形的判定定理 2；（重点） 能熟练运用相似三角形的判定定理 2．（难点） 知识回顾 问题1 有两边对应成比例的两个三角形相似吗? 3 3 5 5 不相似 问题2 类比三角形全等的判定方法（SAS，SSS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？ 3 3 5 5 相似 新知探究 知识要点 探究一：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 C A A' B B' C' D E 如图，已知△ABC，然后作一个△A'B'C'，使∠A' = ∠A， △A'B'C 与△ABC 相似吗？为什么? (常数). 由此猜测：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 新知探究 知识要点 如图，在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，已知∠A = ∠A′， 证明：在△A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点 D， 使 A′D = AB. 过点 D 作 DE∥B′C′， 交 A′C′ 于点 E. 因为 DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′. 求证：△ABC∽△A′B′C′. B A C D E B' A' C' 从而 新知探究 知识要点 于是 A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A. 所以 △A′DE≌△ABC. 因此 △ABC∽△A′B′C′. B A C D E B' A' C' 又 A′D = AB， 因此 新知探究 知识要点 方法总结： 相似三角形的判定定理2. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言： ∵ ∠A=∠A′， B A C B' A' C' ∴ △ABC∽△A′B′C′ . 利用该判定定理时，相等的角必须是已知成比例的两 边的夹角，否则这两个三角形不一定相似. 知识要点 典例分析 例1 在 △ABC 与 △DEF 中，已知∠C =∠F=70°，AC = 3.5cm，BC = 2.5cm，DF = 2.1cm，EF = 1.5cm. 如图1.4-11所示. 求证：△ABC∽△DEF. B D E F 证明 因为AC = 3.5cm，BC = 2.5cm， DF=2.1cm，EF=1.5cm， 所以 从而 又∠C =∠F=70°， 因此 △ABC∽△DEF(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). A C 典例分析 其他性质 证明： 因为 CD 是边 AB 上的高， 所以 ∠ADC =∠CDB = 90°. 所以∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠CBD +∠BCD = 90°. 例2 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 . 求证 ∠ACB = 90°． A B C D 又 方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等. 因此△ACD∽△CBD. 从而∠ACD = ∠CBD. 知识要点 练一练 1. 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由： ∠A = 120°，AB = 7 cm，AC = 14 cm， ∠A′ = 120°，A′B′ = 3 cm ，A′C′ = 6 cm． 解：∵ ∴ 又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC∽△A′B′C′. 典例分析 知识要点 2.如图，BC 与 DE 相交于点 O. 问 （1）当∠B 满足什么条件时，△ABC∽△ADE？ （2）当AC∶AE 满足什么条件时，△ABC∽△ADE ？ 解：（1）因为∠A=∠A ， 所以 当∠B=∠D时， △ABC∽△ADE. （2）因为∠A=∠A ， 所以 当AC∶AE=AB∶AD时， △ABC∽△ADE. 典例分析 其他性质 3. 如图，已知△ABC、△DEB均为等腰直角三角形， ∠ACB=∠EDB=90°，点E在边AC上，CB、ED交于点F. 证明：△ABE∽△CBD. 所以△ABE∽△CBD. 证明：因为△ABC、△DEB均为等腰直角三角形， 所以∠DBE=∠CBA=45°， 所以∠DBE－∠CBE=∠CBA－∠CBE. 即∠ABE=∠CBD， 又 典例分析 典例分析 其他性质 解：∵ AE = 1.5，AC = 2， 例3 如图，D、E 分别是 △ABC 的边 AC、AB 上的点，AE = 1.5，AC = 2，BC = 3，且 ，求 DE 的长. A C B E D ∴ 又∵∠EAD =∠CAB， ∴ △ADE ∽△ABC， ∴ ∴ 提示：解题时要找准对应边. 典例分析 其他性质 4. 如图，每组图形中的两个三角形是否相似？为什么？( (2)中AB，CD相较于点O ). A B C D O 4 3 8 6 (2) A B C D 2 3 E 1 4 (1) 解：(1) 图中的两个三角形相似. 因为 AB=AD+DB=2+4=6， 因为 AC=AE+EC=3+1=4， 所以 所以△ADE∽△ACB 又因为 ∠A = ∠A 所以 练一练 其他性质 典例分析 A B C D O 4 3 8 6 (2) A B C D 2 3 E 1 4 (1) 解：(2) 图中的两个三角形相似. 因为 AO=4， DO=3，CO=8，BO=6， 所以 所以△AOC∽△DOB 又因为 ∠AOC = ∠DOB 所以 4. 如图，每组图形中的两个三角形是否相似？为什么？( (2)中AB，CD相较于点O ). 课堂练习 1. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=7.5，求 AD 的长. 证明：因为 AB=6，BC=4，AC=5，CD=7.5， 因为 ∠B=∠ACD， 所以 △ABC∽△DCA. 因为 AC = 5， 所以 AD = 6.25. B A C D 所以 所以 课堂练习 2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使 △ABC ∽ △DBA 的条件是 ( ) A. AC : BC = AD : BD B. AC : BC = AB : AD C. AB2 = CD · BC D. AB2 = BD · BC D A B C D 课堂练习 3. 如图，点 B，C 分别在△ADE的边AD，AE上，且 AC=6，AB=5，EC=4，DB=7.求证：△ABC∽△AED. 证明：因为 AC=6，AB=5，EC=4，DB=7， 又因为 ∠A=∠A， 所以 △ABC∽△AED. 所以 AE=AC+EC=10，AD=AB+DB=12， B A C D E 所以 课堂练习 A B C D P P 4. 如图，已知 △ABC 中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB 上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度 为 时，△ADP 和 △ABC 相似. 4 或 9 解析：当 △ADP ∽△ACB 时，AP : AB = AD : AC ，∴ AP : 12 = 6 : 8 ，解得 AP = 9； 当 △ADP ∽△ABC 时，AD : AB = AP : AC ， ∴ 6 : 12 = AP : 8 ，解得 AP = 4. ∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时， △ADP 和 △ABC 相似． 课堂练习 4. 如图，已知△ABD∽△ACE，求证：△ABC∽△ADE. 证明：因为△ABD∽△ACE， 所以∠BAD=∠CAE． 又因为∠BAC=∠BAD+∠DAC， ∠DAE=∠DAC+∠CAE， 所以∠BAC=∠DAE． 因为△ABD∽△ACE， 在△ABC和△ADE中， 所以 所以 △ABC∽△ADE. 因为∠BAC=∠DAE， 课堂小结 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 利用两边及夹角判定三角形相似 相似三角形的判定定理 2 的运用 拓展提升 1. 在平行四边形ABCD中，M，N为对角线BD上两点，连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F．试说明△AMD∽△EMB. 证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 AD∥BC，∠ADB=∠CBD， ∠MAD=∠MEB， 所以 △AMD∽△EMB． 拓展提升 2. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = ，求 AD 的长． A B C D 解：∵AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = ， ∴ 又∵∠B =∠ACD， ∴ △ABC ∽ △DCA. ∴ . ∴ 拓展提升 3. 如图，∠DAB =∠CAE，且 AB·AD = AE·AC， 求证：△ABC ∽△AED. A B C D E 证明：∵ AB·AD = AE·AC， ∴ ∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ， 即∠DAE =∠BAC， ∴ △ABC ∽△AED. 又∵∠DAB =∠CAE， 感谢聆听! $