1.5相似三角形得性质（第2课时相似三角形的周长与面积）（教学课件）数学新教材湘教版九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形周长与面积的性质，核心知识点为相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方。课堂导入通过回顾已学的对应角相等、对应边成比例及对应高、角平分线、中线的比等于相似比，搭建新旧知识联系的学习支架，自然过渡到新内容。 其亮点在于以等边三角形实例引导探究，培养学生几何直观与抽象能力，严谨的证明过程发展推理意识，典例与应用结合A型图、平行四边形等情境强化模型意识。课堂小结清晰梳理性质，帮助学生系统掌握知识，教师可借此提升教学效率，促进学生数学思维与应用能力的发展。

第1章 图形的相似 第2课时 相似三角形的周长与面积 1.5 相似三角形的性质 导入新课 前面，我们学了哪些相似三角形的性质？ 相似三角形的对应角相等、对应边成比例。 相似三角形对应高的比等于相似比. 相似三角形对应的角平分线的比等于相似比. 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. 除了这些性质，还有没有其它性质呢？ ----今天，我们来学习相似三角形周长与面积的性质 学 习 目 标 1 2 理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比的性质，并运用其解决问题（重点） 理解并掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质，并运用其解决问题（难点） (1)与(2)的相似比= ______, (1)与(2)的面积比=______ (1)与(3)的相似比=______, (1)与(3)的面积比=______ 1 2 3 1∶2 （1） （2） （3） 1∶4 1∶3 1∶9 图(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形，它们都相似吗？ 结论：相似三角形的面积比等于____________． 相似比的平方 你能得到什么结论？ 新知探究 你能证明它吗？ 探 究 都相似 新知探究 已知：如图，△ABC ∽△A'B'C'，相似比为k， 求证：S△ABC ：S△A'B'C'=？ A B C A′ B′ C′ D D′ 求S△ABC 找底找高，底和高分别有关联 求S△A'B'C' 找高，添加辅助线 分别作BC，B′C′边上的高AD，A′D′ S△ABC= S△A'B'C'= 新知探究 A B C A′ B′ C′ D D′ 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′，相似比为k， ∴ ===k. 分别作BC，B′C′边上的高AD，A′D′， 则=k. 因此， S△ABC:S△A′B′C′==·=k·k=k2. 新知探究 总结归纳 相似三角形的性质定理2 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 易错提醒：面积比=相似比的平方（不是相似比）。 例3 如图，在△ABC中，EF∥BC， = ，S四边形BCFE=8，求S△ABC． 典例分析 解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC． 又= ，∴=. ∴=()2= ，即= . ∵S四边形BCFE=8， ∴ =1. ∴ S△ABC=9. 平行得相似,A型图 求相似三角形中三角形的面积 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 例4 已知△ABC与△A′B′C′的相似比为，且S△ABC+S△A′B′C′=91， 求△A′B′C′的面积. 典例分析 解：∵ △ABC与△A′B′C′的相似比为， ∴=()2=，即S△ABC= S△A′B′C′. 又 S△ABC+S△A′B′C′=91， ∴ S△A′B′C′+S△A′B′C′= 91， ∴ S△A′B′C′=63. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. (1) (2) (3) 1 2 3 (1)与(2)的相似比=______, (1)与(2)的周长比=______， (1)与(3)的相似比=______, (1)与(3)的周长比=______. 1∶2 结论： 相似三角形的周长比等于______． 相似比 1∶3 1∶2 1∶3 你发现了什么？ 图(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形，回答下列问题： 新知探究 那相似三角形周长的比之间有什么关系？是等于相似比还是相似比的平方？ 探 究 你能证明它吗？ 这些三角形都相似 新知探究 A B C A1 B1 C1 已知：如图，△ABC ∽，相似比为k， 求证：=k 证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k， 还有什么方法证明它呢？ 比例的等比性质. 新知探究 总结归纳 相似三角形的性质定理3 相似三角形周长的比等于相似比. 相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 基础巩固题 新知应用 2、已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积比为（　　） A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：16 1、若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长比为（　　） A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1： D B 结论：相似三角形的周长比等于______． 相似比 结论：相似三角形面积的比等于相似比的______. 平方 基础巩固题 新知应用 3. 如果两个等边三角形的面积的比等于49∶4，那么这两个等边三角形的周长的比是（ ） A. 49∶4 B. 4∶49 C. 7∶ 2 D. 2∶7 C 4. 如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7，较大三角形一边上的高为 7，则较小三角形对应边上的高为______. 相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 基础巩固题 新知应用 6.已知两个相似三角形的周长比为2:3，它们的面积之差为40，那么它们的面积之和为　 　． 104 5. 两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm， 若较大三角形的周长是 42 cm，面积是 12 cm2，则 较小三角形的周长____cm，面积为 cm2. 14 ____ 相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 基础巩固题 新知应用 7.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且BD=2AD，CE=2AE，则下列结论：①△ABC∽△ADE；②DE∥BC；③DE：BC=1：2；④S△ABC=9S△ADE中成立的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C A型图 基础巩固题 新知应用 8.已知△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60cm和72cm，且AB=15cm，B′C′=24cm，求BC，AC，A′B′，A′C′的长. 解：∵ △ABC∽△A′B′C′ ， ∴k = = , ∴ = = = k = ， ∴ BC=20,AC=60-20-15=25, A′B′=18, A′C′=30. 相似三角形周长的比等于相似比. 基础巩固题 新知应用 9.有一个直角三角形的边长分别为 3， 4， 5， 另一个与它相似的直角三角形的最小边长为7， 则另一个直角三角形的周长和面积分别是多少？ 解：另一个直角三角形的边长与已知三角形的相似比是，故其周长的比是，面积的比是. 则另一个直角三角形的周长是 另一个直角三角形的面积是 相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 能力提升题 新知应用 10.如图，DF∥EG∥BC,AD=DE=EB,则△ABC被分成的三部分的面积比S1:S2:S3为_______. S3 B E D F G C S2 A S1 5 3 : 1 : 通常设参数 设AD=DE=EB=1 则=,= DF∥EG∥BC,则∆ADF∽∆AEG,∆ADF∽∆ABC 5 3 : 1 : 能力提升题 新知应用 11．如图所示，D、E分别是AC、AB上的点，已知△ABC的面积为100cm2 ， 且 求四边形BCDE的面积.　　　　 解：∵∠BAD=∠DAE，且， ∴△ABC∽△ADE ∴它们的相似比为5：3，面积比为25：9. 又∵△ABC的面积为100 cm² ， ∴△ADE的面积为36 cm² . ∴四边形BCDE的面积为100-36=64（cm²） . 能力提升题 新知应用 12.如图，在□ABCD中，点E是CD延长线上的一点，BE与AD相交于点F， DE＝CD． (1)求证：△ABF∽△CEB； 证明∶∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB∥CD． ∴∠ABF＝∠CEB． ∴△ABF∽△CEB． (2)若△DEF的面积为1，求□ABCD的面积. 能力提升题 新知应用 (2)若△DEF的面积为1，求□ABCD的面积. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD． ∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF. ∵DE＝CD，∴＝()2＝，＝()2＝. ∵S△DEF＝1，∴S△CEB＝16，S△ABF＝9. ∴S四边形BCDF＝S△CEB－S△DEF＝16－1＝15. ∴S□ABCD＝S四边形BCDF＋S△ABF＝15＋9＝24. 课堂小结 定理2 相似三角形的面积比等于相似比的平方. 定理3 相似三角形的性质 相似三角形的周长比等于相似比。 感谢聆听! $