暑假收心卷02（暑假测试）新九年级数学新教材苏科版

**基本信息** 苏科版九年级上册暑假收心卷，聚焦前5章核心知识，通过基础题巩固概念，综合题融合生活与科技情境，培养数学抽象、推理及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|统计（离差平方和）、反比例函数性质、概率等|基础概念辨析，注重几何直观| |填空题|8/16|扇形面积、倍根方程、统计加权等|设置开放题（如13题点坐标），考察灵活应用| |解答题|10/68|方程求解、函数综合、几何证明、创新实践（如“美好点”定义）|梯度设计，基础题（17-18题）夯实运算能力，综合题（22题校园花圃设计、25题三正方形覆盖）发展模型观念与创新意识，贴合中考命题趋势|

暑假收心卷02 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 训练范围：新教材，苏科版九年级上册第1~5章。 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．小李进行射击训练，5次的得分为：7，8，8，9，8．这组数据的离差平方和为（     ） A．0 B．1 C．2 D．8 【答案】C 【详解】解：∵平均数 ∴离差平方和 ． 2．一元二次方程，配方的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法步骤，先移常数项到等号右侧，再在等号两边加上一次项系数一半的平方，即可得到配方结果． 【详解】解：原方程为， 移项得， 一次项系数为，一半的平方为，等式两边同时加得， ， 整理得． 3．关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．y的值随x值的增大而增大 C．图象位于一、三象限 D．图象关于原点中心对称 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质，结合逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴． 对于选项A，当时，，∴图象经过点，不经过点，故A错误． 对于选项B，时，仅在每个象限内的值随值的增大而增大，选项未限定象限，故B错误． 对于选项C，∵，∴反比例函数图象位于第二、四象限，故C错误． 对于选项D，所有反比例函数的图象都关于原点中心对称，故D正确． 4．如图，转盘中6个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，事件“指针指向扇形中的数不小于4”的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：指针指向的可能情况有6种，而其中“指针指向扇形中的数不小于4”的情况有3种， 所以事件“指针指向扇形中的数不小于4”发生的概率为． 5．如图，以点为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在量角器上对应的刻度为，可知，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，所以点是外接圆的圆心，可得，所以可知点、、、四点共圆，根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接、， 点在量角器上对应的刻度为， ， 由图可知点是的中点， 点是外接圆的圆心， ， 点、、、四点共圆， ． 6．已知八年级1班和2班的人数相等，在一次单元检测中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法中，正确的是（     ） A．1班成绩比2班成绩集中 B．1班成绩的上四分位数是80分 C．1班同学的成绩有超过140分的 D．1班和2班成绩的中位数相同 【答案】D 【分析】通过观察图形获取中位数、四分位数、最大值及数据的离散程度，进而即可判断． 【详解】解：由图可得，1班成绩的下四分位数是80分，中位数是100分，最大值没有超过140分；2班成绩的中位数为100分，且数据的离散程度比1班小， 2班成绩比1班成绩集中，故选项A错误； 1班成绩的下四分位数是80分， 选项B错误； 1班成绩的最大值没有超过140分， 选项C错误； ∵1班和2班成绩的中位数都为100分， 选项D正确． 7．如图，A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，轴于点M，轴于点N，连接，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设，则，，作轴交的延长线于点，作轴交的延长线于点，易得四边形为矩形，分割法求出阴影部分的面积即可. 【详解】解：∵A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，设， ∴，， 作轴交的延长线于点，作轴交的延长线于点， ∵轴于点M，轴于点N， ∴四边形为矩形， ∴， ∴阴影部分的面积为. 8．如图，E为的直角边上一点，以为半径的半圆与斜边相切于点D．已知，，则的半径的长为（　　） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 【答案】B 【分析】连接，，设的半径的长为r，证明得到，由勾股定理求出长，由勾股定理列出关于r的方程，即可求解． 【详解】解：连接，，设的半径的长为r， ∵与半圆相切于D， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴的半径的长为3． 二、填空题（本题共8小题，每题2分，共16分） 9．已知，则的值为________． 【答案】或 【分析】根据因式乘积为的性质，若两个因式的乘积为，则至少有一个因式为，先求出的所有可能值，再代入计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或， ∴当时，，当时，， ∴的值为或． 10．已知扇形的半径长为9，扇形的圆心角的度数为，则该扇形的面积是________． 【答案】 【分析】直接代入扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵扇形的圆心角为，其半径为， ∴． 11．某校八年级数学科将“开学考、期中考、期末考”三次成绩分别按，，计算学生学期数学考评成绩．小明开学考分，期中考分期末考分，则小明学期数学考评成绩是_____________分． 【答案】 【分析】本题考查加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键，根据学期数学考评成绩为三次成绩与对应百分比乘积的和即可计算出结果． 【详解】解：根据题意可知，学期数学考评成绩为“开学考、期中考、期末考”三次成绩分别按，，计算， ∴小明学期数学考评成绩为:（分）． 12．在一个不透明的盒子中装有4个白球，m个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率为，则m＝_____． 【答案】1 【分析】本题考查概率的计算与分式方程的求解，根据摸出白球的概率，结合概率公式列分式方程求解即可，掌握概率公式与分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：从中随机摸出一个球是白球的概率为， ， 解得 ， 检验，当时，，原分式方程有意义 是原分式方程的解． 13．已知点，在反比例函数的图象上．若，则点A的坐标可以是________（写出一种可能的情况即可）． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据反比例函数性质，结合已知条件判断的取值范围，在范围内取值计算即可得到符合条件的点坐标． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二，四象限，且在每个象限内随的增大而增大． ∵点，， ∴． 若，在同一象限，则可得，与已知矛盾， 因此，分别在两个不同象限． 因此可得， 解得． 在中任取一个值，如取， 将代入，得， 所以点的坐标可以是． 14．如图，是的直径，，是的切线，切点分别为，．若，，则的长是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查圆的切线性质，圆周角定理，全等三角形的判定及勾股定理的应用．通过连接，利用切线性质得到垂直关系，证明，得到，再圆周角定理求出，最后在中应用勾股定理求得的长． 【详解】连接，, ，是的切线， ， 又， （定理）， ， 而（圆心角是圆周角的两倍）， ， 在中，， 是的直径，， ， 故答案为：． 15．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）若是倍根方程，则m的值为______； （2）若方程是倍根方程，且，则该方程较大的根为______． 【答案】 或 【分析】（1）由因式分解法解方程可得，，再根据倍根方程的定义求解即可； （2）设方程的两个根为、，根据一元二次方程根和系数的关系，得到，即可得解． 【详解】解：（1）， 或， 解得：，， 是倍根方程， 或， 或， 解得：或； （2）方程是倍根方程， 设方程的两个根为、， ， ， ， ， ，， 即该方程较大的根为． 16．如图，已知点，，是轴上位于点上方的一点，平分，平分，直线交于点．若反比例函数的图象经过点，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，角平分线的性质，正方形的判定和性质等，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，作交的延长线于点，由角平分线的性质可得，即可得四边形是正方形，由勾股定理得，由对称可得，，设，则，，可得，，即得，可得，进而得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，作交的延长线于点， ，，， ∴四边形是矩形， 平分，，， ， 又平分，，， ， ∴， ∴四边形是正方形， ∵点，， ∴，， ∴在中，， 由对称可得，，， 设，则，， ∴，， ， ， ， ， ， 故答案为： 三．解答题（本题共10小题，共68分） 17．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， 解得，； （2）解：， ，，， ， ∴， 解得，． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根 (2)已知方程的一个根为，求m值及方程的另一根． 【答案】(1) 证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴该方程总有两个不相等的实数根； (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解的定义： （1）根据题意只需要证明即可； （2）一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出m的值，进而根据根与系数的关系求出另一个根即可． 【详解】（1）略 （2）解：把代入得：， 解得， ∴原方程为， 设另一个根为， ∴， ，即另一个根为． 19．为了解学生物理实验操作情况，随机抽取小青和小海两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下： 操作规范性和书写准确性的得分统计表：             项目 统计量学生 操作规范性 书写准确性 平均数 方差 平均数 中位数 小青 4 1.8 小海 4 2 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的 ，比较和的大小： ； (2)计算表格中的值； (3)综合上表的统计量，请你对两名同学的得分进行评价并说明理由． 【答案】(1)2，> (2)2 (3)见解析 【分析】本题考查了方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，也考查了平均数、中位数．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析． （1）根据中位数的求法求解即可，根据折线图，观察波动大小，即可判断方差的大小； （2）利用加权平均数的求法即可求解； （3）从平均分和方差进行判断即可． 【详解】（1）解：小青书写准确性从小到大重新排列为1，1，1，1，2，2，2，2，3，3， 中位数为， 观察折线图，知小青得分的比小海的波动大，则， 故答案为：2，； （2）解：小海书写准确性的平均数为（分）； （3）从操作规范性来分析，小青和小海的平均分相同，但小海的方差小于小青的方差， 所以小海在物理实验操作中发挥稳定． 20．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． (1)随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______； (2)从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：共有4张卡片， 从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为； （2）解：根据题意画图如下： 共有16种等可能的结果数，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为4， 所以抽取到的两张卡片内容一致的概率为． 21．已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点，    (1)求这两个函数的表达式； (2)求的面积； (3)观察图象，直接写出时自变量x的取值范围； 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据待定系数法即可解决问题； （2）直线与y轴交于点，根据即可解决问题； （3）根据时，反比例函数图象在一次函数图象上方，写出自变量取值范围即可． 【详解】（1）解：把点代入，得到， ∴， 把点代入得到，， 把和点代入得到 ，解得， ∴； （2）解：令则 ∴直线与y轴交于点，    ∴； （3）解：由图象可知得成立的自变量x的取值范围：或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图象的交点，待定系数法，解题的关键是利用待定系数法求解析式． 22．综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长32m），其余部分用总长为60m的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边长为，则与墙平行的边长为， 由题意得：， 解得， ∵， ∴， 答：与墙垂直的边长为． （2）解：设与墙平行的边长为，则与墙垂直的边长为，设围成的面积为． 由题意得：， ∵，，在对称轴直线的左边随的增大而增大， ∴当时，有最大值． 答：与墙平行的边的长度为32米时，花圃的面积最大． 23．如图，一次函数的图象与反比例（k为常数，且）的图象交于，B两点． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，点B的坐标为； (2)点P的坐标为． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题． （1）由点A在一次函数图象上，结合一次函数解析式可求出点A的坐标，再由点A的坐标利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点B坐标； （2）作点B关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接，交x轴于点P，连接．由点B、D的对称性结合点B的坐标找出点D的坐标，设直线的解析式为，结合点A、D的坐标利用待定系数法求出直线的解析式，令直线的解析式中求出点P的坐标即可得出结论． 【详解】（1）解：把点代入一次函数， 得：，解得：， ∴点A的坐标为． 把点代入反比例函数， 得：， ∴反比例函数的表达式为， 联立两个函数关系式成方程组得：， 解得：或， ∴点B的坐标为； （2）解：作点B关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接，交x轴于点P，连接，此时的值最小，最小值为的长，如图所示． ∵点B、D关于x轴对称，点B的坐标为， ∴点D的坐标为． 设直线的解析式为， 把A，D两点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 令，则， 解得：， ∴点P的坐标为． 24．如图，是的直径，，是上两点，，过作交的延长线于． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)证明：如图，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； (2)5 【分析】（1）如图，连接，则，易证，从而得到，进而求得，再根据切线定义即可证明结论； （2）如图，连接，过点作于，易证四边形是矩形，则，利用垂径定理可得，在中，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：如图，连接，过点作于， ，， ∴四边形是矩形， ∴， ， 在中，， 的半径长为5． 25．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径，老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如图所示： (1)通过计算（结果保留根号与）． （Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为______； （Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______； （Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______． (2)其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形与圆、勾股定理，解题的关键是理解三个正方形摆放． （1）（Ⅰ）连接正方形的对角线，利用勾股定理求出的长即可； （Ⅱ）利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可； （Ⅲ）找出过三点的圆的圆心及半径，利用勾股定理求解即可； （2）连接，延长交于点P，则，P为中点，设，则，再根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：（Ⅰ）如下图，连接， ， （）， 图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为； （Ⅱ）如下图， 三个正方形的边长均为4， 三点在以O为圆心，以为半径的圆上， （）， 图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为； （Ⅲ）如下图所示， ， 是过三点的圆的直径， ， 为圆心， 的半径为， （）， 图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为； （2）如下图，为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，连接，延长交于点P，则，P为中点，       设，则， 则有：， 解得：， 则， 圆形硬纸板的直径是． 26．定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点_______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则_______； 【深入探究】 （2）若“美好点” 在双曲线（，且为常数）上，则_______； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象： 列表：下表是x与y的几组对应值，请将下表填写完整． 描点：根据表中各组对应值，在图2的平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图像； ③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是_______；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分） A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图象经过点； ④对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． ⑤结合上述问题，观察图象可知该图象可由哪个函数的图象怎样平移得到？ 【答案】（1）不是，；（2）；（3）①（）；②图见解析，；③AB；④是为定值，定值为；⑤ 【分析】（1）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到，进行计算即可得到的值； （2）根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； （3）①根据“美好点”的定义可得，化简整理即可得到答案； ②先列表然后描点连线即可得到图象， ③根据图象逐一判断即可得到答案； ④将代入进行计算即可得到答案， ⑤由图象观察可知，该图像可由平移得到． 【详解】解：（1）， 点不是“美好点”， 点是第一象限内的一个“美好点”， ， 解得：， 故答案为：不是，4； （2）是“美好点”， ， 解得：， ， 将代入双曲线， 得， 故答案为：18； （3）①点是第一象限内的“美好点”， ， 化简得：， 第一象限内的点的横坐标为正， ， 解得：， 关于的函数表达式为：（）； ②列表如下， 如图如图所示：    ③由图象可得： A，图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，故A正确，符合题意； B，由图象可知随着的增大而减小，故B正确，符合题意； C，随着的增大而增大，该选项说法错误，不符合题意； D，当时，，所以图象经过点，故该选项说法错误，不符合题意 故选：AB； ④， ， 对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为． ⑤该图象可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假收心卷02 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 训练范围：新教材，苏科版九年级上册第1~5章。 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．小李进行射击训练，5次的得分为：7，8，8，9，8．这组数据的离差平方和为（     ） A．0 B．1 C．2 D．8 2．一元二次方程，配方的结果是（     ） A． B． C． D． 3．关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．y的值随x值的增大而增大 C．图象位于一、三象限 D．图象关于原点中心对称 4．如图，转盘中6个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，事件“指针指向扇形中的数不小于4”的概率为（     ） A． B． C． D． 5．如图，以点为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么的度数为（   ） A． B． C． D． 6．已知八年级1班和2班的人数相等，在一次单元检测中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法中，正确的是（     ） A．1班成绩比2班成绩集中 B．1班成绩的上四分位数是80分 C．1班同学的成绩有超过140分的 D．1班和2班成绩的中位数相同 7．如图，A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，轴于点M，轴于点N，连接，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，E为的直角边上一点，以为半径的半圆与斜边相切于点D．已知，，则的半径的长为（　　） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 二、填空题（本题共8小题，每题2分，共16分） 9．已知，则的值为________． 10．已知扇形的半径长为9，扇形的圆心角的度数为，则该扇形的面积是________． 11．某校八年级数学科将“开学考、期中考、期末考”三次成绩分别按，，计算学生学期数学考评成绩．小明开学考分，期中考分期末考分，则小明学期数学考评成绩是_____________分． 12．在一个不透明的盒子中装有4个白球，m个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率为，则m＝_____． 13．已知点，在反比例函数的图象上．若，则点A的坐标可以是________（写出一种可能的情况即可）． 14．如图，是的直径，，是的切线，切点分别为，．若，，则的长是__________． 15．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）若是倍根方程，则m的值为______； （2）若方程是倍根方程，且，则该方程较大的根为______． 16．如图，已知点，，是轴上位于点上方的一点，平分，平分，直线交于点．若反比例函数的图象经过点，则的值为______． 三．解答题（本题共10小题，共68分） 17．解方程： (1)； (2)． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根 (2)已知方程的一个根为，求m值及方程的另一根． 19．为了解学生物理实验操作情况，随机抽取小青和小海两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下： 操作规范性和书写准确性的得分统计表：             项目 统计量学生 操作规范性 书写准确性 平均数 方差 平均数 中位数 小青 4 1.8 小海 4 2 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的 ，比较和的大小： ； (2)计算表格中的值； (3)综合上表的统计量，请你对两名同学的得分进行评价并说明理由． 20．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． (1)随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______； (2)从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 21．已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点，    (1)求这两个函数的表达式； (2)求的面积； (3)观察图象，直接写出时自变量x的取值范围； 22．综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长32m），其余部分用总长为60m的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 23．如图，一次函数的图象与反比例（k为常数，且）的图象交于，B两点． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标． 24．如图，是的直径，，是上两点，，过作交的延长线于． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 25．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径，老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如图所示： (1)通过计算（结果保留根号与）． （Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为______； （Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______； （Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______． (2)其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径． 26．定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点_______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则_______； 【深入探究】 （2）若“美好点” 在双曲线（，且为常数）上，则_______； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象： 列表：下表是x与y的几组对应值，请将下表填写完整． 描点：根据表中各组对应值，在图2的平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图像； ③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是_______；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分） A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图象经过点； ④对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． ⑤结合上述问题，观察图象可知该图象可由哪个函数的图象怎样平移得到？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $