第04讲一元二次方程的解法：因式分解法（3大知识点+2大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假新九年级数学衔接讲义（人教版）

第04讲一元二次方程的解法：因式分解法（3大知识点+2大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 因式分解法解一元二次方程 典型例题二 换元法解一元二次方程 知识点一：因式分解法 （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0； 　　 ②将方程左边分解为两个一次式的积； 　　 ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　 ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 方法提醒： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·广东江门·期中）方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25八年级下·北京通州·期末）方程的解是 ． 知识点二：灵活运用合适的方法解一元二次方程 (1)在一元二次方程的四种解法中,优先选取顺序依次为直接开平方法→因式分解→公式法→配方法,若没有特别说明,一般不采用配方法. (2)对于复杂的一元二次方程,一般不急于化为一般形式,应先观察其特点,看能否用直接开平方法或因式分解法,若不能,再化为一般形式用公式法求解。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·吉林四平·期中）方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东深圳·期中）一元二次方程的解是 ． 知识点三：换元法解一元二次方程 一、适用特征 当方程中出现可整体代换的重复结构时，可用换元法简化： 多项式重复：如 或 多次出现。 分式对称型：如 、。 根式嵌套型：如 或 。 对称组合型：如 可转化为关于 的表达式。 二、操作步骤 设元：令重复部分为新变量 y（如 ）。 转化：将原方程化为关于 y 的标准形式（如一元二次方程）。 求解：解关于 y 的方程，得到 。 回代：将 y 的解代入设元表达式，解出原变量 x。 检验：验证解是否满足原方程的定义域（如分母非零、根号内非负）。 【即时训练】 1．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）若，则代数式的值为（    ） A．或 B．1或 C． D．3 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）若关于x的一元二次方程有一根为2025，则一元二次方程必有一根为 ． 【典型例题一 因式分解法解一元二次方程】 1．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）的解为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江衢州·期末）解方程：． 1．（24-25九年级下·云南楚雄·开学考试）关于的方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．有一个实数根 C．有两个相同的实数根 D．有两个不相同的实数根 2．（24-25九年级上·山东滨州·期末）一元二次方程的解为 ． 3．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）解方程：． 【典型例题二 换元法解一元二次方程】 1．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）已知实数满足，那么的值为（    ）． A．-5或1 B．-5 C．5或-1 D．1 2．（23-24九年级上·湖北荆州·阶段练习）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为， 解得，， ∴或， ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)； (2)． 1．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）若实数、满足，则a2+b2的值为（    ） A．-5 B．-2或5 C．2 D．-5或-2 2．（24-25九年级上·河南商丘·期中）已知，那么式子的值为： ． 3．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）解方程：． 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）一元二次方程的两个实数根分别为（   ） A．1，2 B．， C．，2 D．， 2．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）解这个方程最简单的方法是（　　） A．公式法 B．因式分解法 C．配方法 D．直接开平方法 3．（24-25九年级上·广东茂名·期中）一元二次方程的解为（    ） A．， B． C．， D．， 4．（24-25九年级上·河北唐山·期中）一元二次方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 5．（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）一元二次方程的两个根为（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）若关于x的一元二次方程的两根分别为，则关于x的一元二次方程的两根分别为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·山东淄博·期末）已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4（x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣2x+1的值为（    ） A．﹣5或1 B．﹣1或5 C．1 D．5 8．（23-24八年级下·上海金山·期中）用换元法解分式方程时，如果设，则原方程可化为关于的整式方程是（    ）． A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·湖北随州·期中）已知（x2+y2）（x2+y2﹣4）＝5，则x2+y2的值为（　　） A．1 B．﹣1或5 C．5 D．1或﹣5 10．（23-24九年级上·湖南邵阳·阶段练习）若实数x、y满足，则x+y的值为（   ） A．-1或-2； B．-1或2； C．1或-2； D．1或2； 11．（24-25八年级下·上海静安·期末）方程的根是 ． 12．（25-26九年级上·全国·课后作业）根据因式分解法解一元二次方程的方法，写出一个以x为未知数，和4为根的一元二次方程： （化为一般形式）． 13．（24-25九年级上·山东滨州·期末）一元二次方程的解为 ． 14．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知方程的解是，，则方程的解是 ． 15．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）若，则代数式的值为 16．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）解方程： (1)； (2)． 17．（24-25八年级下·重庆渝中·期末）解方程： (1)； (2)． 18． （2025·广东广州·三模）解方程： 19．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）解方程 （1）x2+8x﹣20=0（用配方法） （2）3x2﹣6x=1（用公式法） （3）（x﹣1）（x+2）=4 （4）（2y﹣3）2﹣4（2y﹣3）+3=0 20．（2025·安徽池州·一模）解方程：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲一元二次方程的解法：因式分解法（3大知识点+2大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 因式分解法解一元二次方程 典型例题二 换元法解一元二次方程 知识点一：因式分解法 （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0； 　　 ②将方程左边分解为两个一次式的积； 　　 ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　 ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 方法提醒： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·广东江门·期中）方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法解方程，当两个因式的乘积为0时，至少有一个因式为0，分别解出对应的根即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得，， 故选：A． 2．（24-25八年级下·北京通州·期末）方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， 因式分解得， 或， 解得，． 故答案为：，． 知识点二：灵活运用合适的方法解一元二次方程 (1)在一元二次方程的四种解法中,优先选取顺序依次为直接开平方法→因式分解→公式法→配方法,若没有特别说明,一般不采用配方法. (2)对于复杂的一元二次方程,一般不急于化为一般形式,应先观察其特点,看能否用直接开平方法或因式分解法,若不能,再化为一般形式用公式法求解。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·吉林四平·期中）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解二元二次方程，根据因式分解法求解即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， 故选：D． 2．（24-25九年级上·广东深圳·期中）一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程．移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 移项，得， 因式分解得， ∴或， 解得，． 故答案为：，． 知识点三：换元法解一元二次方程 一、适用特征 当方程中出现可整体代换的重复结构时，可用换元法简化： 多项式重复：如 或 多次出现。 分式对称型：如 、。 根式嵌套型：如 或 。 对称组合型：如 可转化为关于 的表达式。 二、操作步骤 设元：令重复部分为新变量 y（如 ）。 转化：将原方程化为关于 y 的标准形式（如一元二次方程）。 求解：解关于 y 的方程，得到 。 回代：将 y 的解代入设元表达式，解出原变量 x。 检验：验证解是否满足原方程的定义域（如分母非零、根号内非负）。 【即时训练】 1．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）若，则代数式的值为（    ） A．或 B．1或 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；令，再解一元二次方程即可； 【详解】解：设，可知， 原方程可化为：， 解得：或， ∵， ∴ ∴， 故选： D． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）若关于x的一元二次方程有一根为2025，则一元二次方程必有一根为 ． 【答案】2024 【分析】利用换元法，进行计算即可 【详解】由，得． 设，则． 关于x的一元二次方程有一根为2025，即有一个根为2025， ，解得， 一元二次方程必有一根为2024． 【典型例题一 因式分解法解一元二次方程】 1．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．利用因式分解法解方程即可得出答案． 【详解】解：， ， 或， ，． 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江衢州·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，灵活选用因式分解法、公式法、配方法解方程是解题关键，本题用因式分解法解时，先整理得，再令每个因式为0，进行计算，即可作答. 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得． 或解：，，， ，． 1．（24-25九年级下·云南楚雄·开学考试）关于的方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．有一个实数根 C．有两个相同的实数根 D．有两个不相同的实数根 【答案】D 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程．根据题意先移项再提公因式解出即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：，， ∴方程有两个不相同的实数根， 故选：D． 2．（24-25九年级上·山东滨州·期末）一元二次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解求一元二次方程的方法是解题的关键． 运用因式分解法求一元二次方程即可． 【详解】解：， 提取公因式得，， ∴或， 解得，， 故答案为： ． 3．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 本题利用因式分解法，解方程即可． 【详解】解： 或， ，． 【典型例题二 换元法解一元二次方程】 1．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）已知实数满足，那么的值为（    ）． A．-5或1 B．-5 C．5或-1 D．1 【答案】D 【分析】把看做一个整体，设，从而把原方程转化成一个关于y的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∵ ∵， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了换元法解方程和因式分解法解一元二次方程，正确利用换元的思想解方程是解题的关键． 2．（23-24九年级上·湖北荆州·阶段练习）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为， 解得，， ∴或， ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用． （1）设，把原方程化为，然后求解； （2）设，把原方程化为，然后求解． 【详解】（1）设，则原方程可化为， 解得，， ∴或， ∴，； （2）设，则原方程可化为， 解得，（舍）， ∴， ∴，． 1．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）若实数、满足，则a2+b2的值为（    ） A．-5 B．-2或5 C．2 D．-5或-2 【答案】C 【分析】根据换元法，令a2+b2=m，将原式整理成含有m的一元二次方程，解出m的值，根据题意对m的值进行取舍即可. 【详解】解：令a2+b2=m， 原式可化为：， 即， 解得：m=-5或m=2， 因为a2+b2≥0 所以m=2 a²+b²=2 故答案为C. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，利用换元法求一元二次方程根，进而求出相应代数式的值，解决本题的关键是正确理解题意，能够用m将所求式子替换下来. 2．（24-25九年级上·河南商丘·期中）已知，那么式子的值为： ． 【答案】或 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握用换元法解一元二次方程是解题的关键． 设，得到，解方程得或，即可得到答案． 【详解】解：设， 则原方程可化为， ， 或， 或， 或 故答案为：或 ． 3．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）解方程：． 【答案】x1=x2=2 【分析】利用换元法解方程的方法可以解答本题． 【详解】解：， ， 设 于是原方程可变形为， 解得：； ∴， ∴． 【点睛】本题考查换元法解一元二次方程，解题的关键是明确题意，会用换元法解方程． 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）一元二次方程的两个实数根分别为（   ） A．1，2 B．， C．，2 D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，因式分解法进行解方程，每个因式为0进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴或， 解得或， 故选：B 2．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）解这个方程最简单的方法是（　　） A．公式法 B．因式分解法 C．配方法 D．直接开平方法 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有4种，即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 方程的前后两项都含有因式，故可用因式分解法分解因式． 【详解】解：解这个方程最简单的方法是因式分解法． A、正确，但不符合题意； B、正确，也符合题意； C、正确，但不符合题意； D、正确，但不符合题意． 故选：B． 3．（24-25九年级上·广东茂名·期中）一元二次方程的解为（    ） A．， B． C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）是解题关键．此题用因式分解法求解即可． 【详解】解： 解得：，． 故选： A． 4．（24-25九年级上·河北唐山·期中）一元二次方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． 用因式分解法解出方程即可选出正确答案． 【详解】解： ， ， 或， 解得， 故答案为：C． 5．（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）一元二次方程的两个根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程． 运用因式分解可得，计算出答案． 【详解】解： ∴ ∴ 故选：D． 6．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）若关于x的一元二次方程的两根分别为，则关于x的一元二次方程的两根分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则变为，得到一元二次方程的两根分别为，或者，即可求得答案． 【详解】解：设，则变为： ， ∵一元二次方程的两根分别为， ∴一元二次方程的两根分别为， ∴或者， 解得． 故选：B 【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 7．（23-24八年级下·山东淄博·期末）已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4（x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣2x+1的值为（    ） A．﹣5或1 B．﹣1或5 C．1 D．5 【答案】C 【分析】设y＝x2﹣2x+1，将已知方程转化为关于y的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：设y＝x2﹣2x+1，则y2+4y﹣5＝0， 整理，得（y+5）（y﹣1）＝0， 解得y＝﹣5（舍去）或y＝1， 即x2﹣2x+1的值为1， 故选C． 【点睛】本题考查了用换元法解和因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握换元法解和因式分解法． 8．（23-24八年级下·上海金山·期中）用换元法解分式方程时，如果设，则原方程可化为关于的整式方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据换元法，可得答案． 【详解】解：设x2﹣x＝y，原方程等价于y﹣1＋＝0， 两边都乘以y，得 y2﹣y＋2＝0， 故选：C． 【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是利用换元法． 9．（23-24九年级上·湖北随州·期中）已知（x2+y2）（x2+y2﹣4）＝5，则x2+y2的值为（　　） A．1 B．﹣1或5 C．5 D．1或﹣5 【答案】C 【分析】设x2+y2＝m，则由题意得关于m的一元二次方程，用因式分解法求解即可． 【详解】解：设x2+y2＝m，则由题意得： m（m﹣4）＝5 ∴m2﹣4m﹣5＝0 ∴（m﹣5）（m+1）＝0 ∴m＝5或m＝﹣1（舍） ∴x2+y2＝5 故选C． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的解法，解题的关键根据题意令x2+y2＝m. 10．（23-24九年级上·湖南邵阳·阶段练习）若实数x、y满足，则x+y的值为（   ） A．-1或-2； B．-1或2； C．1或-2； D．1或2； 【答案】D 【详解】t=x+y，则由原方程，得 t（t-3）+2=0， 整理，得 （t-1）（t-2）=0． 解得t=1或t=2， 所以x+y的值为1或2． 故选D． 11．（24-25八年级下·上海静安·期末）方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握分式方程的解法． 先去分母，再利用因式分解法解一元二次方程，再验根，然后写出结果． 【详解】解：去分母，得， 解得：，， 经检验：是分式方程的根，是增根， 所以分式方程的根为． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·全国·课后作业）根据因式分解法解一元二次方程的方法，写出一个以x为未知数，和4为根的一元二次方程： （化为一般形式）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】首先根据两根列出方程，然后化为一般形式即可. 【详解】由已知条件可列方程,（答案不唯一） 化为一般形式可得（答案不唯一） 【点睛】此题主要考查根据两根求一元二次方程的一般形式，熟练掌握后，即可解题. 13．（24-25九年级上·山东滨州·期末）一元二次方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， 或， 解得，， 故答案为：，． 14．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知方程的解是，，则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，深刻理解换元法的思想是解题的关键． 依据题意可知，方程的解为或，进一步求解即可得出答案． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得：，， 故答案为：，． 15．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）若，则代数式的值为 【答案】4 【分析】本题考查了解一元二次方程，设，则原方程换元为，可得，，即可求解． 【详解】解：设，则原方程换元为， ， 解得，（不合题意，舍去）， 的值为4． 故答案为：4． 16．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）先移项，可得，可以通过配方法求出即可； （2）先整体移项，然后分解因式，即方程左边可得出两个一元一次方程相乘，求出方程的解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 或 17．（24-25八年级下·重庆渝中·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用提公因式法因式分解，解方程即可； （2）利用公式法，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ，； （2）解：， ，，， ， ，． 18．（2025·广东广州·三模）解方程： 【答案】， 【分析】利用因式分解法计算即可．本题考查了因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ 解得，． 19．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）解方程 （1）x2+8x﹣20=0（用配方法） （2）3x2﹣6x=1（用公式法） （3）（x﹣1）（x+2）=4 （4）（2y﹣3）2﹣4（2y﹣3）+3=0 【答案】（1）x=2或x=﹣10；（2）x=；（3）x=﹣3或x=2；（4）y=2或y=3. 【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案 【详解】（1）x2+8x+16=20+16， （x+4）2=36， x+4=6或x+4=﹣6， ∴x=2或x=﹣10； （2）由题意可知：a=3，b=﹣6，c=﹣1， ∴△=36+12=48， ∴x==； （3）x2+x﹣6=0， （x+3）（x﹣2）=0， x=﹣3或x=2； （4）令2y﹣3=t， ∴t2﹣4t+3=0， ∴（t﹣1）（t﹣3）=0， ∴t=1或t=3， ∴2y﹣3=1或2y﹣3=3， ∴y=2或y=3. 【点睛】（1）解一元二次方程﹣配方法；（2）解一元二次方程﹣公式法；（3）解一元二次方程﹣因式分解法；（4）换元法解一元二次方程． 20．（2025·安徽池州·一模）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 整理，得：， 分解因式，得：， 或， 解得：，． 学科网（北京）股份有限公司 $$