25.3.2 第2课时 传播与平均变化率问题 课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的传播与平均变化率实际应用，通过“一传十”谚语、成绩增长等情境导入，关联列方程解应用题步骤旧知，以操作尝试和探究活动构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于用传染病传播、成本下降等真实情境培养数学眼光，通过推导传播公式和变化率方程发展数学思维，以规范解题步骤强化数学语言。如三轮传染公式推导、成本下降率对比案例，小结清晰公式，助力学生提升建模能力，教师教学更高效。

第二十五章　一元二次方程 25.3　实际问题与一元二次方程 第2课时　传播与平均变化率问题 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 知识关联 ①审题;②设未知数;③根据等量关系列方程;④解方程;⑤检验并写出答案. 在列方程解应用题时，一般步骤有哪些? 知识关联 【情境问题】 1. 谚语 “ 一传十、十传百、百传千千万 ” 的意思是什么? 2. 小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是50分，第二次月考数学成绩增长了20%，第三次月考数学成绩又增长了20%，你能列式表示出小明第三次月考数学成绩是多少吗? 思考： 【探究1】 传播问题 【操作尝试】 探究与应用 某种传染病的传染速度很快。如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了几个人? 分析 : 设每轮传染中平均1个人传染了x个人. 1+x 开始有1个人被传染，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有　　　　个人被传染；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有　　　　 个人被传染.  1+x+x（1+x） 列出方程，得1+x+x(1+x)=121. 解得x1=10，x2=－12（不合题意，舍去）. 因此，每轮传染中平均1个人传染了10个人. 【尝试交流】 探究与应用 思考1 : 如果按照这样的传染速度，经过三轮感染后共有多少个人患流感？ 【探究1】 传播问题 （1+x）2+x（1+x）2=（1+x）3 第n轮的传播后的量=传播前的量×(1+传播速度)n 思考2 : 经过n轮感染后呢？ 助力教学 (authorId_373264932) - 1.问题的设置让学生直观感性地认识到传播是递增的,速度非常快. 2.由特殊到一般的延伸和设计,提高学生的数学思维能力,为后面学习列方程解实际问题做好铺垫. 3.教师做好归纳和规律总结,为学生解答问题提供方法. 【理解应用】 探究与应用 例1 某植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支。如果主干、支干和小分支的总数是91，那么每个支干长出多少个小分支? 解 : 设支干的数量为x个，则 答 : 每个支干会长出9个小分支. 小分支的数量为x·x=x2个. 根据题意，得1+x+x2=91, 解得x1=9，x2=-10(不合题意，舍去). 【探究2】平均变化率问题 【尝试交流】 探究与应用 两年前生产1 t甲种食品的成本是10000元，生产1 t乙种食品的成12000元。随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种食品的成本是6000元，生产1 t乙种食品的成本是7200元。哪种食品成本的年平均下降率较大? 分析: 1.容易求出，甲种食品成本的年平均下降额为(10000-6000)÷2=2000(元)， 乙种食品成本的年平均下降额为(12000-7200)÷2=2400(元). 显然，乙种食品成本的年平均下降额较大，但年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数). 2.若设甲种食品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种食品成本应怎样表示？两年后呢? 则一年后甲种食品成本为5000（1-x）元，两年后甲种食品成本为5000（1-x）2元． 【探究2】 平均变化率问题 探究与应用 解：设甲种食品的年平均下降率为x.根据题意，可列方程 5000 ( 1－x )2 = 3000， x1≈0.225，x2≈1.775. 答：根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为22.5％. 为什么选择22.5%作为答案？ 请计算乙种食品成本的年平均下降率，并比较两种食品成本的年平均下降; 经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的食品，它的成本下率一定大吗?应怎样全面比较几个对象的变化情况? 助力教学 (authorId_373264932) - 思考:1.为什么选择22.5%作为答案? 2.请计算乙种食品成本的年平均下降率,并比较两种食品成本的年平均下降; 3.经过计算,你能得出什么结论?成本下降额大的食品,它的成本下率一定大吗?应怎样全面比较几个对象的变化情况? 师生活动:教师给予学生充足的时间考虑问题并解答问题,使学生能够真正理解问题的解答方法,教师做好个别指导. 师生共同归纳:平均增长率(或下降率)问题:若基数为a,增长(或下降)率为x,n为增长(或下降)次数,b为变化后的结果,其基本关系式是a(1±x)n=b. 【探究2】 平均变化率问题 探究与应用 【概括新知】 若基数为a，增长(或下降)率为x，n为增长(或下降)次数，b为变化后的结果， 其基本关系式是a(1±x)n=b. 平均增长率(或下降率)问题: 平均变化率问题的注意事项： 增长时，变化率没有限制， 降低时，变化率要小于1 【理解应用】 探究与应用 例2 　劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克。若平均每年的增产率相同，求平均每年的增产率. 解 : 设平均每年的增产率为x. 答 : 平均每年的增产率为10%. 根据题意，得300(1+x)2=363, 解得x1=0.1=10%，x2=-2.1(不合题意,舍去). 【小结】 课堂小结与检测 列一元二次方程解应题 传播问题 平均变化率问题 数量关系：第n轮传播后的量= 传播前的量×(1+传播速度)n 常列方程：a(1±x)n=b 1.教材练习变式 [2026常州溧阳期中]某种植物的主干长出若干数目的支干, 每个支干又长出与这些支干同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总 数是73,若设每个支干长出 个小分支,则可列方程为( ) B A. B. C. D. 课堂练习 12 2.新情境 [2025武汉武昌区三校联考]俗语有云：“一天不练手脚慢，两天 不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在 学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘” 的百分比为 ，根据“两天不练丢一半”，可列方程( ) A A. B. C. D. 【解析】 利用学习过的东西两天后未被遗忘的部分即 学习过的 东西即每天“遗忘”的百分比，即可列出方程 . 13 3．秋冬季节为流感的高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，问每轮传染中平均一人传染了几人？ 解：设每轮传染中平均一人传染了x人，则经过1轮传染后共有 人患了流感，经过2轮传染后共有 人患了流感．根据题意列出方程为 , 解得 ． 答：每轮传染中平均一人传染了 人． (1＋x) [1＋x＋(1＋x)x] 1＋x＋(1＋x)x＝64 x1＝7，x2＝－9(不合题意，舍去) 7 4. 某种植物的根系特别发达，它的主根长出若干数目的支根，其中， 全部支根中的 ，每根又长出与全部支根同样数目的小支根，而其余支根 长出全部支根一半数目的小支根.主根、支根、小支根的总数量是109根， 则这种植物的主根长出____根支根. 12 【解析】 设这种植物的主根长出 根支根．由题意，得 ，整理，得 ,解得 ,（不合题意，舍去）， 这种植物的主根长出12根支根． 15 5．某市2023年8月山区森林覆盖率为58.8%，在响应“清洁地球从我做起”号召，鼓励市民积极参与植树造林活动之后，在2025年8月山区森林覆盖率达到67%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则可列方程为 11 . 6．某商品每件300元，经过两次降价后，售价为243元．若每次降价的百分比相同，则第一次降价后的售价为每件 元． 58.8% (1＋x)2＝67% 270 7．在国家积极研发和生产调配下，某种型号的医疗器械连续两年降价，第一年下降20%，第二年下降80%，那么该医疗器械这两年的平均降价率是 . 8．小明向一些好友发送了一条新年问候的短信，获得信息的人也按小明发送的人数再加1人向外转发，经过两轮短信的发送，共有35人次手机上收到该短信，则小明发送短信给了 个好友． 60% 5 9．某校“研学”活动小组在一次野外实践时发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少小分支？ 解：设这种植物每个支干长出x个小分支， 根据题意，得1＋x＋x2＝43， 整理，得x2＋x－42＝0， 解得x1＝6，x2＝－7(不合题意，舍去)． 答：这种植物每个支干长出6个小分支． 10．某电影讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天的票房约为2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房收入达2.88亿元，求每天票房的增长率． 解：设每天票房的增长率为x，根据题意，得 2(1＋x)2＝2.88， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)． 答：每天票房的增长率为20%. 11．某种病毒传播速度非常快，如果最初有两个人感染这种病毒，经两轮传播后，就有五十个人被感染，则每轮传播中平均一个人会传染给几个人？若病毒得不到有效控制，三轮传播后将有多少人被感染？ 解：设每轮传播中平均一个人会传染给x个人，则第一轮会传染给2x人，第二轮会传染给x(2＋2x)人， 依题意得2＋2x＋x(2＋2x)＝50， 整理得x2＋2x－24＝0， 解得x1＝4，x2＝－6(不合题意，舍去)， ∴50(1＋4)＝50×5＝250(人)． 答：每轮传播中平均一个人会传染给4个人，若病毒得不到有效控制，三轮传播后将有250人被感染． 12.某中学要新建一块篮球场地(如图25-3-8所示),要求:①篮球场(阴影部分)的长和宽分别为28 m,15 m;②在篮球场四周修建宽度相等的安全区域;③篮球场及安全区域的总面积为510 m2. (1)求安全区域的宽度; 解:(1)设安全区域的宽度为x m. 由题意,得(28+2x)(15+2x)=510. 整理并化简,得2x2+43x-45=0,解得x1=1,x2=-(不合题意,舍去). 答:安全区域的宽度为1 m. 图25-3-8 (2)某公司希望用45万元承包这项工程,该中学认为金额太高需要降价,经过两次协商,最终以36.45万元达成一致.若两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率. 解: (2)设每次降价的百分率为a. 由题意,得45(1-a)2=36.45, 解得a1=1.9(不合题意,舍去),a2=0.1=10%. 答:每次降价的百分率为10%. 图25-3-8 13.[2026海南华侨中学期中]某公司今年6月份的生产成本是600万元，由于 改进技术，生产成本逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相同，到 8月份的生产成本是486万元. （1）求每个月生产成本下降的百分率. 解：设每个月生产成本下降的百分率为 . 由题意，得 ， 解得， （不符合题意，舍去）. 答：每个月生产成本下降的百分率为 . 23 （2）该公司9月份的生产成本是否会跌破440万元？请说明理由. 解：该公司9月份的生产成本会跌破440万元.理由如下： 由题意，得该公司9月份的生产成本为 （万元）， ， 该公司9月份的生产成本会跌破440万元． 24 14．某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍． (1)A社区居民人口至少有多少万人？ 解：(1)设A社区居民人口有x万人，则B社区有(7.5－x)万人，依题意得 7．5－x≤2x，解得x≥2.5. 即A社区居民人口至少有2.5万人． (2)街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值． (2)依题意得1.2(1＋m%)2＋1×(1＋m%)×(1＋2m%)＝7.5×76%， 设m%＝a，方程可化为 1．2(1＋a)2＋(1＋a)(1＋2a)＝5.7， 化简得32a2＋54a－35＝0， 解得a＝0.5或a＝－(舍)，∴m＝50. 答：m的值为50. $