25.3.1数字问题与几何问题（课件）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦九年级上册一元二次方程，涵盖韦达定理核心公式、代数式变形及根的符号判断，衔接一元二次方程应用的数字问题与几何问题，通过复习方程解法导入，构建从理论到实践的学习支架。 其亮点在于提炼“秒杀结论”“必考题型模板”及解题口诀，结合“审设列解验答”六步法与几何模型分析，培养学生运算能力、模型意识与应用意识。如几何问题中矩形面积计算实例，帮助学生掌握解题套路，教师可借助结构化资源提升教学效率。

新人教版9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月30日 25.3.1数字问题与几何问题 第25章　一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 知识点总结（九年级） 整体知识框架：本节内容又称韦达定理，是一元二次方程章节的拔高核心考点。不需要解方程，可直接通过系数判断两根之和、两根之积，广泛用于代数式求值、参数求解、根的符号判断，是期中、期末、中考高频必考题型。 一、韦达定理核心公式（必背） 对于一元二次方程 $$ax^2+bx+c=0\ (a eq0)$$，当 $$\Delta\ge0$$ 时，设方程的两根为 $$x_1、x_2$$，则： $$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$$ $$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$$ 关键前提：① $$a eq0$$（必须是一元二次方程）；② $$\Delta\ge0$$（方程必须有实数根）。 二、两种特殊方程的韦达结论（秒杀结论） 1. 方程 $$x^2+px+q=0$$ $$x_1+x_2=-p,\ \ x_1x_2=q$$ 2. 缺常数项方程 $$ax^2+bx=0$$ 两根之积 $$x_1x_2=0$$，必有一根为 0。 三、高频代数式变形公式（考试直接用） 已知 $$x_1、x_2$$ 为方程两根，常用变形： 1. $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$ 2. $$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}$$ 3. $$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$$ 4. $$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$$ 四、利用韦达定理判断根的符号（重难点） 在 $$\Delta\ge0$$ 的前提下： 1. 两根同正：$$x_1+x_2>0,\ x_1x_2>0$$ 2. 两根同负：$$x_1+x_2<0,\ x_1x_2>0$$ 3. 两根一正一负：$$x_1x_2<0$$（无需看和） 五、三大必考题型模板 题型1：整体代换求值 不解方程，求出两根和、两根积，代入变形公式求代数式的值。 题型2：已知一根，求另一根与参数 将已知根代入方程求参数，再用韦达定理求另一根；或直接用两根关系快速求解。 题型3：已知两根构造方程 以 $$x_1、x_2$$ 为根的一元二次方程：$$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$$ 六、本节致命易错点（高频扣分） 1. 两根之和有负号：$$-\dfrac{b}{a}$$，最容易漏写负号！ 2. 使用韦达定理前，必须保证 \(\Delta\ge0\)，无实根不能用； 3. 题目指明“一元二次方程”，千万不能漏 $$a eq0$$； 4. 代数式变形不能记混，平方和、差的平方公式区分清楚。 七、韦达定理解题口诀 和为负b积为c，前提判别不能虚； 平方和差会变形，符号判断要清晰； 不解方程求数值，韦达秒杀最省心。 25.3.1 一元二次方程的应用——数字问题与几何问题 整体知识框架：本节是一元二次方程重点应用题题型，为期末、中考必考解答题。核心解题逻辑为“找等量关系列方程，结合实际取舍根”，主要包含数字问题和几何面积问题两大类，题型固定、模板性强，掌握套路即可轻松得分。 一、应用题通用解题六步（考试标准满分步骤） 1. 审：读懂题意，找准等量关系； 2. 设：合理设未知数（一般问什么设什么，数字问题常设中间数）； 3. 列：根据等量关系列出一元二次方程； 4. 解：解方程求出两个根； 5. 验：关键一步！舍去不符合实际意义的根（负数、超范围、不合题意）； 6. 答：规范书写最终答案。 二、第一类：数字问题（必考模板） 1. 连续数字设数规律 连续整数：设中间数为 $$x$$，相邻两数为 $$x-1、x+1$$； 连续偶数/奇数：设中间数为 $$x$$，相邻两数为 $$x-2、x+2$$。 2. 两位数问题公式 设十位数字为 $$x$$，个位数字为 $$y$$，则两位数表示为：$$10x+y$$。 3. 核心等量关系 数字平方和、数字乘积、数字和差、数位对调前后的大小关系列方程。 常见考法：求解连续数数值、两位数数位变换、数字平方和、乘积相关问题。 三、第二类：几何面积问题（中考高频） 1. 核心思想 依托矩形、正方形面积公式建立等量关系，通过平移、割补法将不规则图形转化为规则图形，简化计算。 2. 三大必考几何模型 模型一：四周等宽小路/边框问题 在矩形、正方形四周修建等宽边框或小路，设路宽为\(x\)，内部有效图形的长和宽需分别减去\(2x\)，再根据面积列方程。 模型二：十字道路平移问题 将横竖交叉的道路向图形边缘平移，消除空白交叉重叠部分，把剩余种植、空白区域拼接为完整矩形，避免重复计算面积。 模型三：裁剪折叠问题 在矩形四角剪去边长为\(x\)的相同小正方形，折叠成无盖长方体，底面长宽分别减去\(2x\)，根据底面面积列方程求解边长。 四、几何常用公式 矩形面积：$$S=长\times宽$$ 正方形面积：$$S=边长^2$$ 五、本节超级易错点（大题扣分重灾区） 1. 必做验根：应用题两根不一定符合实际，负数边长、不符合取值范围的数字必须舍去； 2. 道路宽度、边长必须为正数，解题后务必检验实际意义； 3. 四边环绕小路长宽需减\(\boldsymbol{2x}\)，仅单边小路才减\(x\)，极易混淆出错； 4. 两位数问题注意数位规则，不可直接将十位、个位数字当作实际数值，需用\(10x+y\)表示两位数。 六、解题万能口诀 数字设位抓十倍，连续奇偶差不变； 几何平移化规则，面积等式列方程； 两根算出必检验，实际负数直接删。 掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤. 掌握数字、图形面积等问题的常见应用题解法. 正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型． 探索新知 例1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为 x，x+1，x+2，其中x为正整数. 由勾股定理，得 x2 +(x+1)2 = (x+2)2. 解方程，得 x1=3，x2= – 1（不符合题意，舍去）. 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为 3，4，5. 解决数字问题的关键是用代数式表示出其他数，设未知数时通常采用间接设元法，即设这个数为x，然后将其他数用含x的代数式表示出来，最后根据题中的数量关系列方程. 知识要点 牛刀小试 1.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数. 分析：设原来的两位数个位数字为 x，则十位数字为 5–x. 十位数字 个位数字 这个两位数 原两位数 5–x x 10(5–x)+x 新两位数 x 5–x 10x+(5–x) 等量关系：所得的新数与原来的两位数乘积为736. 解：设原来的两位数的十位上的数字为x，则个位上的数字为 5–x. 依题意，得 [10x+(5–x)][10(5–x)+x]=736. 解得 x1=2，x2=3. 当 x=2 时， 5–x=3；当 x=3 时， 5–x=2. 所以原来的两位数是23或32. 牛刀小试 1.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数. 分析：假设细绳能围成面积为96 m2的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度.设矩形一边长为x m，由周长为40 m，可用含 x 的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解. 例2 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 例2 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 解：设矩形的一边长为 x m，由矩形的周长为 40 m，可得此边的邻边长为 (20–x) m；再由矩形的面积为 96 m2，得 x(20–x) = 96. 解方程，得 x1= 12，x2=8. 方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？ 因此，用一根长为 40 m 的细绳可以围成面积为 96 m2 的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为 8 m，12 m. 思考：对于例2中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种. 例如： （1）可设一边长为 x m，那么其邻边长为 m； （2）可设一边长为 (10+x)m，那么其邻边长为 (10–x)m. 能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2吗？ 解：设一边长为 x m，那么其邻边长为 m. 解：设一边长为 (10+x) m，那么其邻边长为 (10–x) m. 由矩形的周长为 40 m，得 2(x+)=40. 解方程，得 x1= 12，x2=8. 由矩形的面积为 96 m2，得 (10+x)(10–x) =40. 解方程，得 x1=2，x2= – 2. 当 x=2 时，边长为 10+2=12m，10–2=8m； 当 x= –2 时，边长为10–2=8m，10+2=12m. 比较这些设法，说说它们各自的特点. 解：设一边长为 x m，那么其邻边长为 m. 由矩形的周长为 40 m，得 2(x+)=40. 解方程，得 x1= 12，x2=8. 解：设一边长为 (10+x) m，那么其邻边长为 (10–x) m. 由矩形的面积为 96 m2，得 (10+x)(10–x) =40. 解方程，得 x1=2，x2= – 2. 当 x=2 时，边长为 10+2=12m，10–2=8m； 当 x= –2 时，边长为10–2=8m，10+2=12m. 直接利用面积关系表示邻边，方程会出现分式，需要去分母化为整式方程，步骤稍多. 利用 “和为定值” 设未知数，直接用平方差公式，方程非常简洁，计算量小，能快速得到结果. 知识要点 1.利用一元二次方程解决规则图形问题时，常利用规则图形的面积、体积或周长公式等建立方程进行计算； 2.根据条件灵活选择设元方式，优先用能简化运算的技巧，同时保证解的合理性验证. 牛刀小试 2.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用 25 m），现在已备足可以砌 50 m 长的墙的材料，当矩形花园的面积为300 m2 时，求AB的长． 解：设AB长为 x m，则BC长为 (50–2x) m. 根据题意，得 x(50–2x)=300. 解方程，得 x1= 10，x2=15. 当 x=10 时，AD=BC=50–2x=30>25，不合题意，所以 x=10 应该舍去． 当 x=15 时，AD=BC=50–2x=20<25，所以 x=15 满足条件． 答：AB的长为15 m. 知识点1 数字问题 1.［教材习题 变式］两个连续奇数的积是99，设较小的一个奇数 为 ，则可列方程为( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 15 2.有一个正两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并且十位上的 数的平方比个位上的数大1，那么这个正两位数是____. 23 返回 中考考法 16 知识点2 几何问题 类型1 一般图形问题 3.［教材习题变式］一个直角三角形的两条直角边长相差 ， 面积是.设这个直角三角形较长的直角边长为 ，依题意，可 列出方程为( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 17 4.如图是一个矩形木门 ，有一根木竿与门的对角线恰好相等，将 木竿横放，木竿比门宽多；将木竿竖放，木竿比门高 多 .则木竿的长为____ . 10 （第4题） 返回 中考考法 18 类型2 边框与甬道问题 （第5题） 5.在一幅长，宽 的风景画的 四周镶一条金色纸边（风景画四周的金色 纸边宽度相同），制成一幅矩形挂图，如 图，若要使整个挂图的面积是 ， 设金色纸边的宽度为 ，则所列方程为 ___________________________. 返回 中考考法 19 6.[天津期中] 如图，在一块长、宽 的矩形空地上，修建同样宽 的两条相互垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分 栽种花草，要使剩余部分的面积为 ，求修建的道路的宽为多少. 中考考法 20 解：设修建的道路的宽为 ， 由题意得 ， 整理得 ， 解得， （不合题意，舍去）. 答：修建的道路的宽为 . 返回 中考考法 21 类型3 围墙问题 （第7题） 7.[福建中考] 为加强劳动教育，增加学生实践机会， 某校拟用总长为 的篱笆，在两边都足够长的直角 围墙的一角，围出一块 的矩形菜地作为实践基地， 如图所示.设矩形的一边长为 ，根据题意可列方程 为( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 22 （第8题） 8.如图，某学校用一段 长的围栏围成一个一 边靠墙（墙长）的矩形小花园 ，其面 积为，则 的长为( ) B A.或 B. C. D. 返回 中考考法 23 9. 《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立.甲行 率六，乙行率四.乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会.问：甲、乙行各 几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6， 乙的速度为4.乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走 了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲走了( ) D A.26步 B.30步 C.32步 D.36步 返回 中考考法 24 $