第11讲 一元二次方程的应用（知识详解+9典例精讲+课后作业）2026年新八年级数学暑假预习讲义（沪教版五四制）

第11讲 一元二次方程的应用（知识详解+9典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：二次三项式的因式分解 知识点02：通用解题五步流程（必考核心） 知识点03：六大高频必考题型 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：实数范围内分解因式 题型02：传播问题（一元二次方程的应用） 题型03：增长率问题（一元二次方程的应用） 题型04：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 题型05：数字问题（一元二次方程的应用） 题型06：营销问题（一元二次方程的应用） 题型07：动态几何问题（一元二次方程的应用） 题型08：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 题型09：其他问题（一元二次方程的应用） 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（11） 三、解答题（8） 【知识点01】二次三项式的因式分解 （1）形如的多项式称为二次三项式； （2）如果一元二次方程的两个根是和,那么二次三项式的分解公式为：． 【知识点02】通用解题五步流程（必考核心） 遵循“审、设、列、解、验、答”六步规范解题，是所有应用题的通用准则： 1. 审（审题）：读懂题意，梳理已知量、未知量，找准题目中的核心等量关系，区分有效条件与干扰条件。 2. 设（设元）：一般直接设所求未知量为x，特殊题型可间接设元，注意标注单位，简洁规范。 3. 列（列方程）：根据等量关系，结合对应题型公式，列出标准一元二次方程 。 4. 解（解方程）：灵活选用直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法求解方程，准确算出两个根。 5. 验（双重检验，关键步骤）：一验数值是否为方程的解；二验解是否符合实际意义（长度、人数、增长率等不能为负数、小数不符合场景需舍去）。 6. 答（作答）：完整回应题目问题，语句通顺、带准单位。 【知识点03】六大高频必考题型（沪教版重点） 1.增长率问题 增长率：增加量占起始量的百分比，若起始量为q，终极量为p，增长率为x，则增长一次后p=q(1+x)。 连续增长率公式：连续增长两次，公式为p=q(1+x)² 若x>0，表示增长；若x<0，表示降低，此时公式变为p=q(1−x)²，常用于计算降低率问题。 2.数字问题 多位数的表示：任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成。数位从右至左依次是个位、十位、百位等，数位上的单位从右至左依次为 1、10、100 等。数位上的数字只能是 0-9 之中的数，且最高位上的数不能为 0。例如，一个三位数，个位上数为 a，十位上数为 b，百位上数为 c，则这个三位数可表示为 100c + 10b + a。 连续整数、偶数或奇数问题：几个连续整数中，相邻两个整数相差 1。如三个连续整数，设中间一个数为 x，则另两个数分别为 x - 1，x + 1。几个连续偶数（或奇数）中，相邻两个偶数（或奇数）相差 2。如三个连续偶数（奇数），设中间一个数为 x，则另两个数分别为 x - 2，x + 2。 解决数字问题时，通常先根据题目条件设出合适的未知数，再依据数字之间的关系找出等量关系，进而列出一元二次方程求解，最后要检验所得的解是否符合实际情况，如数字是否在合理范围内等。 3.利润问题 总利润单件利润总件数； 总利润总售价总成本价． 根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可． 4.几何面积问题 对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用表示出来．例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来． 5.动态几何问题 三角形中的动态问题：例如在直角三角形中，动点从顶点出发沿直角边运动，根据三角形面积公式，利用动点运动速度和时间表示出相关线段长度，进而根据面积条件列出一元二次方程求解，如已知直角边长度和动点速度，求何时三角形面积为特定值。 矩形中的动态问题：通常以矩形的长和宽为基础，动点在矩形的边或内部运动，可根据矩形的性质，如四个角为直角、对边相等，结合三角形面积公式等建立方程，如求何时三角形面积为定值 6.握手、循环赛问题 单循环赛：若有n支球队进行单循环比赛，即每两队之间都赛一场。1 支球队要和剩下的(n −1)支球队比赛，所以n支球队比赛的总场次为n(n −1)场，但A与B比赛和B与A比赛是同一场，存在重复计算，因此实际比赛场次m = 双循环赛：若每两队之间都赛两场，比如有主客场之分，那么比赛场次就是单循环赛的2倍，即m =n(n −1)。 握手问题：与单循环赛原理相同，若有x人参加聚会，每两人都握一次手，所有人共握手10次，可列方程。 互赠礼品问题：与比赛问题中的双循环原理相同，若x人相互之间各赠送一件礼品，因为甲给乙送和乙给甲送是不同的两件礼品，所以总共赠送的礼品数为x(x −1)件。如全组共互赠了182件礼品，可列方程x(x −1)=182。 【题型01】实数范围内分解因式 【典例1-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）对二次三项式因式分解：___________． 【变式1-1】．（24-25八年级上·上海·期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内分解因式：． 【变式1-3】．二次三项式，当a取何值时， (1)在实数范围内能分解； (2)能分解成两个相同的因式； (3)不能因式分解． 【题型02】传播问题（一元二次方程的应用） 【典例2-1】．（25-26八年级上·上海·期中）流感是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为________________． 【变式2-1】．（24-25八年级上·上海普陀·阶段检测）若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？ 【变式2-2】．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)问每轮传染中平均个人传染了几个人？ (2)如果有两个人患了流感，若不及时控制，第三轮传染后共有多少人患流感？ 【题型03】增长率问题（一元二次方程的应用） 【典例3-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）曹杨影院七月份的票房10亿元，第三季度的票房共33.1亿元，若每个月的增长率相同，则这个增长率为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）一件商品原价300元，连续两次降价后，现售价是243元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，可列方程为______． 【典例3-3】．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）某工厂为了提高生产效率，正对生产线进行技术改革，在第一试验阶段实现了日产量1500件的目标，第三试验阶段实现了日产量2160件的目标． (1)如果第二阶段、第三阶段日产量的增长率相同，求该生产线日产量的增长率； (2)按照（1）中的日产量增长率，该工厂期望第四试验阶段日产量能达到2500件，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【变式3-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，均为x，则由题意列方程应为（） A． B． C． D． 【变式3-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）元旦期间某商场为了吸引顾客，对某种商品连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知该商品原来每件售价为元，降价两次后每件售价为元，则每次降价的百分率是______． 【变式3-3】．（25-26八年级上·上海·课后作业）电影《万里归途》影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【题型04】与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 【典例4-1】．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）如图，某养鸡户用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙的矩形鸡舍，其面积为在鸡舍的边中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），设的长为米，则可列出方程（　　） A． B． C． D． 【典例4-2】．（25-26八年级上·上海·期末）学校要建设一个面积为375平方米的长方形游泳池，它的长比宽多10米，那么该长方形游泳池的周长等于________米． 【典例4-3】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）某人利用米长的墙为一边，用长米的竹篱笆作为另三边，围成一个面积为平方米的长方形菜园，长方形菜园的长和宽各是多少？ 【变式4-1】．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为22米．停车场内车道的宽度相等，若停车位的总占地面积为544平方米．求车道的宽度（单位：米）．设停车场内车道的宽度为米，根据题意所列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）小明家打算利用一面长15米的院墙，用铝合金靠墙搭建一个矩形遮阳棚辅助区域．如果用40米长的铝合金框架搭建遮阳棚（靠墙一侧无需框架），且要求遮阳棚的面积为150平方米，则遮阳棚垂直于院墙的边长为________米． 【变式4-3】．（24-25八年级上·上海·阶段检测）如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形．如果要使四周彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？ (1)依题意可知正中央的长方形的长宽之比为 ；正中央的长方形面积是封面面积的 ． 请依据问题1的数量关系解决问题： 解：设正中央的长方形长宽分别为 、 ．（依题意列方程求解） (2)你还有其他的方法吗？（提示：可利用上、下边衬与左、右边衬的宽度比．） 解：设上、下边衬的宽度是 ，则左、右边衬的宽度是 ．（依题意列方程求解．） 【题型05】数字问题（一元二次方程的应用） 【典例5-1】．（25-26八年级上·上海普陀·期末）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位上的数字为x，则根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】．如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（   ） A．40 B．48 C．52 D．56 【变式5-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）2024年11月22日是二十四节气之一的“小雪”，“小雪”标志着降雪的开始和气温的进一步降低．如图是2024年11月的月历表，在月历表中用方框圈出9个数字，若圈出的9个数字中，最大数与最小数的乘积为297，则最小的数为______． 【变式5-3】．下图是某一个月的日历表，在表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．请用方程知识解答下列问题： (1)若在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为84，求最小数． (2)在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能为33吗？请说明理由． 【题型06】营销问题（一元二次方程的应用） 【典例6-1】．“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】．（2024·上海·模拟预测）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价__________元． 【变式6-1】．（25-26八年级上·上海崇明·期末）为弘扬崇明土布传统文化，展现匠人技艺魅力，瀛洲土布馆推出崇明土布刺绣“小马”挂件．该挂件每件成本25元，当售价定为35元时，每日可售出48件．市场调研显示，售价每降低1元，每日销量就会增加6件． (1)当该挂件降价元，每日售出的数量是_____件(用的代数式表示)； (2)当该挂件降价多少元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元． 【变式6-2】．（25-26八年级上·上海黄浦·期末）市百一店童装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接新年，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出3件．为保持节后销售价格的稳定性，降价不能超过15元．要想平均每天销售这种童装盈利1800元，那么每件童装应降价多少元？ 【变式6-3】．（25-26八年级上·上海松江·期末）新能源汽车采用电能作为动力来源，能减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．一汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元辆的某品牌新能源汽车，销售一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元辆时，平均每周售出8辆；如果售价每降低1万元，平均每周多售出2辆．若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且尽量让利于顾客，求该公司每辆车的下调价格． 【题型07】动态几何问题（一元二次方程的应用） 【典例7-1】．（24-25八年级上·上海·阶段检测）如图所示，中，，厘米，厘米，占从点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过__________秒钟的面积等于5平方厘米． 【变式7-1】．（2025八年级上·上海·专题练习）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动（到达终点后停止），点Q从点B开始沿边B﹣C﹣D向终点D以的速度移动．如果点P，Q分别从A，B同时出发，当点P和点Q都运动到终点时，运动过程停止，设运动时间为．在这个运动过程中，四边形的面积等于时，此时t的值是 ______________________． 【变式7-2】．（24-25八年级上·上海·阶段检测）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别是从、同时出发，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． (1)求经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)的面积能否等于10平方厘米，如果能求出运动的时间，如果不能，请说明理由． 【变式7-3】．（22-23八年级·上海静安·期中）在中，，动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为/秒，点N的速度为/秒，点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止．问经过几秒钟，的面积为？    【题型08】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【典例8-1】．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，参加聚会的人数是（   ） A．5人 B．4人 C．3人 D．6人 【典例8-2】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）某小组同学毕业前，每位同学都向小组内其他所有同学各送一件礼物，礼物数共计72件，那么该小组有_____人． 【典例8-3】．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）一个小组有若干人，中秋节互送贺卡，若全组共送90张贺卡，则这个小组共有多少人？ 【变式8-1】．（25-26八年级上·上海·期末）某省举办的城市业余足球联赛采用主客场双循环赛制，每支球队与其他球队需进行两场比赛（主场和客场各一次）．本赛季该联赛共完成比赛156场．设参加联赛的球队有x支，根据题意，为求解x，以下列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】．（25-26八年级上·上海·期中）某小组每人给其他人送一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共有________人． 【变式8-3】．（25-26八年级上·上海·期末）学校运动会期间，选拔了若干支球队进行篮球比赛，共比赛了场，每两队之间都比赛一场，设一共有支球队，那么可列出方程__________． 【变式8-4】．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）某校八年级举行篮球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，且两个班级之间只比赛一次，结果一共进行了21场比赛，设八年级共有x个班级，那么列出方程是________． 【变式8-5】．组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛． (1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？ (2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式； (3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？ 一、核心数学思想 1.模型思想：将复杂实际问题抽象为一元二次方程数学模型，实现实际问题数学化。 2.转化思想：把生活场景、几何问题、经济问题转化为熟悉的方程求解问题。 3.取舍思想：一元二次方程必有两个根，但实际问题中大多只有一个合理答案，必须结合现实条件取舍。 二、常见易错点总结 1.忽略实际意义检验，直接保留两个根，导致答案错误； 2.增长率公式混淆次数，未看清“连续两次变化”的条件； 3.几何面积问题漏算、多算边长，忽略靠墙、镂空等特殊条件； 4.设元、作答遗漏单位，解题步骤不规范、不完整。 一、单选题 1．某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 2．若关于x的二次三项式在实数范围内不能分解因式，则关于的一元二次方程的根的情况为（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 3．如果二次三项式在实数范围内不能分解因式，那么的取值范围是（   ） A．且； B．且； C．； D．． 4．为增强学生体质，丰富学生的课外生活，某市各学校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环（参赛的每两队间比赛一场），根据场地和时间等条件，各学校计划安排45场比赛．设该市各学校共邀请个队参赛，根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 5．我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方田注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记数的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一根的一半，则称这样的方程为“半根方程”．以下关于半根方程的说法，正确的是（    ） A．方程是半根方程 B．方程是半根方程 C．若，则方程是半根方程 D．若点在函数的图象上，则关于的方程是半根方程 二、填空题 7．某校6月份每天需要两名志愿者参与校园卫生巡查，八6班学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有78种组队可能．如果设八6班参加的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式：______． 8．初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共1892张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为 _____． 9．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）容器内盛满60升纯酒精，倒出一部分后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，则第一次倒出了酒精__ 升． 10．在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了________秒． 11．在实数范围内因式分解：______． 12．某超市经销的洗衣液中，甲、乙两个品牌比较畅销，其中甲品牌洗衣液的进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液的进价每瓶比甲品牌高10元．在销售中，该超市发现，若将甲品牌的洗衣液以每瓶45元出售，则每天固定售出100瓶，而乙品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，且当乙品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，每天就会少售出2瓶．当乙品牌洗衣液每瓶的售价为________元时，两种品牌的洗衣液每天的销售利润之和为4700元． 13．四川省优秀非遗工坊——妙善观音绣工坊以针为笔、以线为墨将遂宁民俗文化不断创新和传承．如图要在一幅长，宽的绣品四周镶嵌宽度相同的边框，制成一幅面积是的矩形挂图．那么边框的宽度为______cm． 14．某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设这种植物每个支干长出的小分支个数为，则可列方程为___________． 15．《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌．“大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”若设这位风流人物去世的年龄十位数字为x，则可列方程为__________________________（方程不用化成一般式）． 16．近年来某市加大了对教育经费的投入，2018年投入2500万元，2020年将投入3600万元，设该市投入教育经费的年平均增长率为，根据题意则可以列出的方程是______． 17．如图，在边长为正方形中，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿和边向D点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了__________秒钟后，的面积等于． 三、解答题 18．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）在“理财小课堂”中，小明了解到某理财产品按年计息，有单利和复利两种不同的计息方式： 单利法是指每年依据最初本金计算利息，不考虑前期利息所产生的利息； 复利法是指每年依据本金和前期利息之和计算利息． 小明准备将10000元购买该理财产品，银行提供如下两种方案（年利率相同）： 方案一：按单利法存2年； 方案二：按复利法存2年． 两年后，方案二得到的本利和比方案一多100元，请计算年利率． 19．巩固脱贫攻坚成果，全面推进乡村振兴．某鸡农申请了微型养鸡项目，打算搭建一个如图所示的矩形鸡舍，该鸡舍的长边靠墙，另外三边用钢丝网搭建．该鸡舍的面积为150平方米，且长比宽多5米． (1)求该鸡舍的长和宽分别是多少米？ (2)该鸡农打算在鸡舍中饲养跑山鸡，根据养殖经验，需购买高度为2.4米的钢丝网，鸡舍内的鸡才不会飞出．若该鸡农购买的这种钢丝网价格为每平方米12.5元，求该鸡农购买钢丝网需要多少元？ 20．交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若月增长率不变，求7月份销售头盔多少个？ 21．为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”． (1)求出m的值； (2)经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．请分别求出他们三人号召的成功率． 22．长鑫存储是合肥市政府重大招商引资项目，也是国内专注于存储芯片研发、生产与销售的龙头企业，坐落于合肥经开区，实现了存储芯片自主化突破，旗下内存产品广泛应用于电脑、服务器等设备．随着技术不断成熟与市场需求增长，企业经营业绩稳步攀升．请结合以下信息解答问题． (1)长鑫存储2023年全年营收为90亿元，2025年全年营收达到608.4亿元，求2023年至2025年这两年营收的年平均增长率． (2)某经销商主营长鑫内存条，该内存条进价为240元/条．经市场调研：当售价定为300元/条时，每月可售出200条；若售价每降低5元，每月销量可增加25条．为减少库存，若该经销商每月想要获得12375元的销售利润，求此时内存条的实际售价． 23．在一块长，宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． (1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由． (2)你还有其他的设计方案吗？请在如图所示中画出你所设计的草图，并写出你的设计方案． 24．请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 　 　　　　 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）． 25．综合与实践 背景 2026年，随着AI服务器、消费电子市场持续回暖，合肥长鑫存储的国产内存芯片订单爆发式增长，产能持续爬坡，相关出货数据不断刷新纪录，带动了本地模组厂商的销售热潮． 素材1 已知长鑫存储某款DDR5-16G内存芯片，周一的出货收入为500万元，随着下游客户备货需求激增，周三的出货收入达到720万元． 素材2 为承接国产芯片的消费热潮，合肥本地模组厂商推出“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组套装，已知该套装的物料及加工成本为200元/套；当定价为500元/套时，平均每天可售出40套．调研发现，售价每降低20元，平均每天就能多售出8套，现该厂商计划下调售价，使平均每天的销售利润达到12000元． 问题解决 (1)任务1，求从周一到周三，长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率； (2)任务2，根据素材2，为尽可能多的售空“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组库存，求下调后每套模组的售价； (3)任务3，根据素材2，该厂商平均每天能否获利16000元？若能，请求出每套模组应降价多少元；若不能，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 一元二次方程的应用（知识详解+9典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：二次三项式的因式分解 知识点02：通用解题五步流程（必考核心） 知识点03：六大高频必考题型 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：实数范围内分解因式 题型02：传播问题（一元二次方程的应用） 题型03：增长率问题（一元二次方程的应用） 题型04：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 题型05：数字问题（一元二次方程的应用） 题型06：营销问题（一元二次方程的应用） 题型07：动态几何问题（一元二次方程的应用） 题型08：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 题型09：其他问题（一元二次方程的应用） 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（11） 三、解答题（8） 【知识点01】二次三项式的因式分解 （1）形如的多项式称为二次三项式； （2）如果一元二次方程的两个根是和,那么二次三项式的分解公式为：． 【知识点02】通用解题五步流程（必考核心） 遵循“审、设、列、解、验、答”六步规范解题，是所有应用题的通用准则： 1. 审（审题）：读懂题意，梳理已知量、未知量，找准题目中的核心等量关系，区分有效条件与干扰条件。 2. 设（设元）：一般直接设所求未知量为x，特殊题型可间接设元，注意标注单位，简洁规范。 3. 列（列方程）：根据等量关系，结合对应题型公式，列出标准一元二次方程 。 4. 解（解方程）：灵活选用直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法求解方程，准确算出两个根。 5. 验（双重检验，关键步骤）：一验数值是否为方程的解；二验解是否符合实际意义（长度、人数、增长率等不能为负数、小数不符合场景需舍去）。 6. 答（作答）：完整回应题目问题，语句通顺、带准单位。 【知识点03】六大高频必考题型（沪教版重点） 1.增长率问题 增长率：增加量占起始量的百分比，若起始量为q，终极量为p，增长率为x，则增长一次后p=q(1+x)。 连续增长率公式：连续增长两次，公式为p=q(1+x)² 若x>0，表示增长；若x<0，表示降低，此时公式变为p=q(1−x)²，常用于计算降低率问题。 2.数字问题 多位数的表示：任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成。数位从右至左依次是个位、十位、百位等，数位上的单位从右至左依次为 1、10、100 等。数位上的数字只能是 0-9 之中的数，且最高位上的数不能为 0。例如，一个三位数，个位上数为 a，十位上数为 b，百位上数为 c，则这个三位数可表示为 100c + 10b + a。 连续整数、偶数或奇数问题：几个连续整数中，相邻两个整数相差 1。如三个连续整数，设中间一个数为 x，则另两个数分别为 x - 1，x + 1。几个连续偶数（或奇数）中，相邻两个偶数（或奇数）相差 2。如三个连续偶数（奇数），设中间一个数为 x，则另两个数分别为 x - 2，x + 2。 解决数字问题时，通常先根据题目条件设出合适的未知数，再依据数字之间的关系找出等量关系，进而列出一元二次方程求解，最后要检验所得的解是否符合实际情况，如数字是否在合理范围内等。 3.利润问题 总利润单件利润总件数； 总利润总售价总成本价． 根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可． 4.几何面积问题 对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用表示出来．例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来． 5.动态几何问题 三角形中的动态问题：例如在直角三角形中，动点从顶点出发沿直角边运动，根据三角形面积公式，利用动点运动速度和时间表示出相关线段长度，进而根据面积条件列出一元二次方程求解，如已知直角边长度和动点速度，求何时三角形面积为特定值。 矩形中的动态问题：通常以矩形的长和宽为基础，动点在矩形的边或内部运动，可根据矩形的性质，如四个角为直角、对边相等，结合三角形面积公式等建立方程，如求何时三角形面积为定值 6.握手、循环赛问题 单循环赛：若有n支球队进行单循环比赛，即每两队之间都赛一场。1 支球队要和剩下的(n −1)支球队比赛，所以n支球队比赛的总场次为n(n −1)场，但A与B比赛和B与A比赛是同一场，存在重复计算，因此实际比赛场次m = 双循环赛：若每两队之间都赛两场，比如有主客场之分，那么比赛场次就是单循环赛的2倍，即m =n(n −1)。 握手问题：与单循环赛原理相同，若有x人参加聚会，每两人都握一次手，所有人共握手10次，可列方程。 互赠礼品问题：与比赛问题中的双循环原理相同，若x人相互之间各赠送一件礼品，因为甲给乙送和乙给甲送是不同的两件礼品，所以总共赠送的礼品数为x(x −1)件。如全组共互赠了182件礼品，可列方程x(x −1)=182。 【题型01】实数范围内分解因式 【典例1-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数范围内分解因式 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式；通过求根公式求出二次方程的根，然后写出因式分解形式. 【详解】解：∵对于，判别式， ∴根为， ∴因式分解为， 故选：B. 【典例1-2】．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）对二次三项式因式分解：___________． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程、实数范围内分解因式 【分析】本题考查了在实数范围内因式分解． 令，用公式法解方程得，，得到，即可得到答案． 【详解】解：令， ， ， ， 解得，， ． 故答案为： ． 【变式1-1】．（24-25八年级上·上海·期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实数范围内分解因式 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式的应用．判断二次三项式能否在实数范围内分解因式的方法：把二次三项式看成方程的形式，可以在实数范围内分解，即方程有实根，即．若二次三项式可以在实数范围内分解，则二次三项式等于0时，，计算各选项中的值，根据的符号判断即可． 【详解】解：A、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； B、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； C、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； D、， ∵， ∴方程没有实数解， 在实数范围内不能因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1-2】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内分解因式：． 【答案】 【知识点】实数范围内分解因式 【分析】首先将原式等于，解关于的方程，进而分解因式得出即可． 【详解】解令， ， ， 解得，， ． 【变式1-3】．二次三项式，当a取何值时， (1)在实数范围内能分解； (2)能分解成两个相同的因式； (3)不能因式分解． 【答案】(1)且 (2) (3) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）首先得到，然后令，表示出判别式，根据题意得，即可求出a的取值范围； （2）根据题意可得，求解即可； （3）根据题意可得，求解即可． 【详解】（1）原式是二次三项是，可知二次项系数，得：， 令， 得， 原式可分解因式，则有， 得：且； （2）原式可分解为两个相同的式子，则有，得：； （3）原式不能分解因式，则有，得：． 【点睛】考查二次三项式的因式分解与方程根的情况之间的关系，注意区分开各种情形之间的区别和联系． 【题型02】传播问题（一元二次方程的应用） 【典例2-1】．（25-26八年级上·上海·期中）流感是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为________________． 【答案】 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据传染模型，每轮传染中平均每人传染人，经过两轮传染后总患病人数为初始人数的倍，列方程即可． 【详解】解：有1人患传染病，且每轮传染中平均一个人传染了个人， 第1轮传染中有x个人被传染，第一轮传染中有个人被传染， 第2轮：这人每人再传染x人，新增个患者， ∴两轮后总患病数为． ∵两轮后有121人患病， ∴列方程得：， 整理得：， 故答案为：． 【变式2-1】．（24-25八年级上·上海普陀·阶段检测）若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？ 【答案】第四轮传染后共有7056人患流感 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有144人患了流感，可求出x，进而求出第四轮过后，又被感染的人数． 本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，依题意有：， 故， ∴或， ∴，（不合题意，舍去）， （人）． 答：第四轮传染后共有7056人患流感． 【变式2-2】．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)问每轮传染中平均个人传染了几个人？ (2)如果有两个人患了流感，若不及时控制，第三轮传染后共有多少人患流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均个人传染了个人 (2)第三轮传染后共有人患流感 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解答时根据两轮传染后共有121人建立方程是解题的关键． （1）设每轮传染中平均每人传染了人，一轮后就有人传染，第二轮就应该传染人，将两轮的总人数加起来建立方程求解即可． （2）根据（1）中求出一个人传染到第三轮时，共患流感人数，再翻倍即为两个人患流感到第三轮时，共患流感人． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均每人传染了人， 根据题意可得：， 解得：或（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了个人． （2）解：有一个人传染到第三轮时，共患流感人数为：（人）， 当两个人传染到第三轮时，共患流感人数为：（人）， 答：第三轮传染后共有人患流感． 【题型03】增长率问题（一元二次方程的应用） 【典例3-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）曹杨影院七月份的票房10亿元，第三季度的票房共33.1亿元，若每个月的增长率相同，则这个增长率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题；设每月增长率为，则七月票房为10亿元，八月为亿元，九月为亿元，第三季度总票房为三者之和，列出方程求解. 【详解】解：设每月增长率为， ∵第三季度总票房为33.1亿元， ∴， 化简得： 解得：，（舍去）， ∴增长率为. 故选：A. 【典例3-2】．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）一件商品原价300元，连续两次降价后，现售价是243元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，可列方程为______． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，写出连续两次降价后的方程是解题的关键． 首先根据现售价与原价的关系为原价降价率现售价，列出方程即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 则第一次降价后价格为元，第二次降价后价格为元， 根据题意，得， 故答案为：． 【典例3-3】．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）某工厂为了提高生产效率，正对生产线进行技术改革，在第一试验阶段实现了日产量1500件的目标，第三试验阶段实现了日产量2160件的目标． (1)如果第二阶段、第三阶段日产量的增长率相同，求该生产线日产量的增长率； (2)按照（1）中的日产量增长率，该工厂期望第四试验阶段日产量能达到2500件，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）该生产线日产量的增长率，根据题意得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据题意求出第四试验阶段日产量，将其与2500件比较后即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，有理数的运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：该生产线日产量的增长率， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该生产线日产量的增长率为； （2）解：能，理由如下： 依题意，（件）． 他们的目标能实现． 【变式3-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，均为x，则由题意列方程应为（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．第一季度包括一月、二月和三月，每月增长率相同为x，分别表示各月营业额后求和得到总营业额方程． 【详解】解：一月份营业额为万元，每月增长率为， 二月份营业额为万元， 三月份营业额为万元， 第一季度总营业额为， 方程为． 故选：D． 【变式3-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）元旦期间某商场为了吸引顾客，对某种商品连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知该商品原来每件售价为元，降价两次后每件售价为元，则每次降价的百分率是______． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每次降价的百分率为，根据连续两次降价后价格的关系列出方程，解方程得到的值，并验证合理性． 【详解】解：设每次降价的百分率为，则第一次降价后价格为元，第二次降价后价格为元． 根据题意，有 解得：或（舍去） 故答案为：． 【变式3-3】．（25-26八年级上·上海·课后作业）电影《万里归途》影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【答案】(1) (2)2500000张 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设平均每次累计票房增长的百分率是x，利用第3次累计票房第1次累计票房x平均每次累计票房增长的百分率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用数量总价单价，即可求出结论； 【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是x， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每次累计票房增长的百分率是． （2）解： （张）． 答：10月11日卖出2500000张电影票． 【题型04】与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 【典例4-1】．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）如图，某养鸡户用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙的矩形鸡舍，其面积为在鸡舍的边中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），设的长为米，则可列出方程（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设的长为米，则的长为，根据矩形的面积列出方程即可． 【详解】解：设的长为米，则的长为， 由题意得：， 故选：． 【典例4-2】．（25-26八年级上·上海·期末）学校要建设一个面积为375平方米的长方形游泳池，它的长比宽多10米，那么该长方形游泳池的周长等于________米． 【答案】80 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设游泳池的宽为x米，则长为米，根据面积公式列出方程，解方程得到宽和长，再计算周长，即可作答． 【详解】解：设游泳池的宽为x米，则长为米， 根据题意，得， 整理得． 得或（舍去）． ∴宽为15米，长为25米． ∴周长为（米）． 故答案为：80 【典例4-3】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）某人利用米长的墙为一边，用长米的竹篱笆作为另三边，围成一个面积为平方米的长方形菜园，长方形菜园的长和宽各是多少？ 【答案】长方形菜园的长和宽分别是米和米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，由墙长为米，可得，根据长方形菜园的面积为20平方米，列方程解方程即可求解． 【详解】解：设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米， ∵墙长为米， ∴， 解得， ∵长方形菜园的面积为20平方米， ∴， 整理得， ∴， ∴（舍去，∵），， 当时，， ∴长方形菜园的长和宽分别是米和米， 答：长方形菜园的长和宽分别是米和米． 【变式4-1】．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为22米．停车场内车道的宽度相等，若停车位的总占地面积为544平方米．求车道的宽度（单位：米）．设停车场内车道的宽度为米，根据题意所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位可合并为一个长为米，宽为米的矩形，结合停车位的占地面积为544平方米，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为米，则停车位可合并为一个长为米，宽为米的矩形， 根据题意：． 【变式4-2】．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）小明家打算利用一面长15米的院墙，用铝合金靠墙搭建一个矩形遮阳棚辅助区域．如果用40米长的铝合金框架搭建遮阳棚（靠墙一侧无需框架），且要求遮阳棚的面积为150平方米，则遮阳棚垂直于院墙的边长为________米． 【答案】15 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】设未知数，根据面积公式建立等量关系求解即可． 本题主要考查一元二次方程的应用，找出等量关系是解题关键． 【详解】解：设米，则米， 则 解得或 ∵院墙长15米， 则（舍去） 则遮阳棚垂直于院墙的边长为米． 故答案为：15． 【变式4-3】．（24-25八年级上·上海·阶段检测）如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形．如果要使四周彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？ (1)依题意可知正中央的长方形的长宽之比为 ；正中央的长方形面积是封面面积的 ． 请依据问题1的数量关系解决问题： 解：设正中央的长方形长宽分别为 、 ．（依题意列方程求解） (2)你还有其他的方法吗？（提示：可利用上、下边衬与左、右边衬的宽度比．） 解：设上、下边衬的宽度是 ，则左、右边衬的宽度是 ．（依题意列方程求解．） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）由封面长，宽，得正中央的长方形的长宽之比为，故设正中央的长方形长宽分别为、．列方程为，再计算即可； （2）由正中央的长方形的长宽之比为，得上、下边衬与左、右边衬的宽度比；设上、下边衬的宽度是，则左、右边衬的宽度是，列方程为，再计算即可． 【详解】（1）解：依题意可知正中央的长方形的长宽之比为， 正中央的长方形面积是封面面积的； 设正中央的长方形长宽分别为、， 列方程为：， 解得， ∴正中央的长方形长宽分别为、， ∴上、下边衬， 左、右边衬； （2）解：依题意可知正中央的长方形的长宽之比为， 故上、下边衬与左、右边衬的宽度比， 设上、下边衬的宽度是，则左、右边衬的宽度是， 列方程为：， ∴(舍去)， ∴上、下边衬的宽度是，左、右边衬的宽度是． 【题型05】数字问题（一元二次方程的应用） 【典例5-1】．（25-26八年级上·上海普陀·期末）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位上的数字为x，则根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】由十位及个位数字间的关系，可得出十位上的数字为，结合个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字为， 十位上的数字为． 根据题意得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式5-1】．如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（   ） A．40 B．48 C．52 D．56 【答案】C 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．找出题中等量关系，并用方程表示出来是解题的关键． 根据题意，设最小数为x，则另外三个数为，根据题意可列方程，结合月历表的数据情况选出合适的数． 【详解】解：设最小数为x，则另外三个数为， 根据题意可列方程，得， 解得 (不符合题意，舍去)， ∴，，，， ∴四个数分别为9，10，16，17， ∵， 故选：C． 【变式5-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）2024年11月22日是二十四节气之一的“小雪”，“小雪”标志着降雪的开始和气温的进一步降低．如图是2024年11月的月历表，在月历表中用方框圈出9个数字，若圈出的9个数字中，最大数与最小数的乘积为297，则最小的数为______． 【答案】11 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 设最小数为x，可知最大数为，根据题意得出，再求出解即可． 【详解】解：最小数为x，可知最大数为，根据题意，得 ， 解得． ∴最小的数为11． 故答案为：11． 【变式5-3】．下图是某一个月的日历表，在表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．请用方程知识解答下列问题： (1)若在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为84，求最小数． (2)在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能为33吗？请说明理由． 【答案】(1)6 (2)不能，理由见解析 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设左上角的数为x，则右下角的数为，列出方程求解即可； （2）设左上角的数为x，则右下角的数为，列出方程解，结合图形进行分析即可． 【详解】（1）解：设左上角的数为x，则右下角的数为， ， 解得：（舍去）， ∴最小的数为6． （2）解：设左上角的数为x，则右下角的数为， ， 解得：（舍去）， 由图可知，当最小的数为3时，不能圈出4个数， ∴最小数与最大数的乘积不能为33． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出方程求解． 【题型06】营销问题（一元二次方程的应用） 【典例6-1】．“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】设每件电子产品售价为元，主播每天的利润为元，根据每件利润=实际售价－成本价，销售量=原销售量+变化量，总利润=每件利润×数量，即可得出答案． 【详解】解：设每件电子产品售价为元，主播每天的利润为元， 则每件盈利元，每天可销售件， 根据题意得：． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的应用（降价促销问题），理清题意找准数量与价格变化关系是解题的关键． 【典例6-2】．（2024·上海·模拟预测）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价__________元． 【答案】4 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据销售每箱饮料的利润销售总箱数=销售总利润，由此列方程解答即可． 【详解】解：设每箱降价x元，则每天多售出箱， ∴ ， 整理得： ， 解得： 或 ， ∵要扩大销售， ∴ 答：每箱降价4元． 【变式6-1】．（25-26八年级上·上海崇明·期末）为弘扬崇明土布传统文化，展现匠人技艺魅力，瀛洲土布馆推出崇明土布刺绣“小马”挂件．该挂件每件成本25元，当售价定为35元时，每日可售出48件．市场调研显示，售价每降低1元，每日销量就会增加6件． (1)当该挂件降价元，每日售出的数量是_____件(用的代数式表示)； (2)当该挂件降价多少元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元． 【答案】(1) (2)当该挂件降价4元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）根据“售价每降低1元，每日销量就会增加6件”，列代数式即可； （2）根据单件利润乘以销售量等于总利润列出方程，并求解即可． 【详解】（1）解：∵售价每降低1元，每日销量就会增加6件， ∴当该挂件降价元，每日售出的数量是件， 故答案为：； （2）解： 整理得 解得或（不符合题意，舍去） 答：当该挂件降价4元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元． 【变式6-2】．（25-26八年级上·上海黄浦·期末）市百一店童装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接新年，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出3件．为保持节后销售价格的稳定性，降价不能超过15元．要想平均每天销售这种童装盈利1800元，那么每件童装应降价多少元？ 【答案】10元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件童装应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售童装获得的总利润每件童装的销售利润每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合降价不能超过15元即可得出每件童装应降价10元． 【详解】解：设每件童装应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵降价不能超过15元， ∴， 答：每件童装应降价10元． 【变式6-3】．（25-26八年级上·上海松江·期末）新能源汽车采用电能作为动力来源，能减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．一汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元辆的某品牌新能源汽车，销售一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元辆时，平均每周售出8辆；如果售价每降低1万元，平均每周多售出2辆．若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且尽量让利于顾客，求该公司每辆车的下调价格． 【答案】该店每辆车的下调价格为5万元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．设该店每辆车的下调价格x万元，则降价后每辆车的利润为万元，销量为辆，即可列方程求解． 【详解】解：设该店每辆车的下调价格x万元， 根据题意可得， 整理得， 解得，， 因为销售为了尽量让利于顾客，即下调价格应尽可能大， 所以（舍去）， ， 答：该店每辆车的下调价格为5万元． 【题型07】动态几何问题（一元二次方程的应用） 【典例7-1】．（24-25八年级上·上海·阶段检测）如图所示，中，，厘米，厘米，占从点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过__________秒钟的面积等于5平方厘米． 【答案】1 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程：动态几何问题，根据运动速度以及运动方向得，，，根据面积列式，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：经过秒钟的面积等于5平方厘米， 由题意得：，，， 则， ∵的面积等于5平方厘米 ∴ 解得 ∵ ∴舍去 ∴ 故答案为：1 【变式7-1】．（2025八年级上·上海·专题练习）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动（到达终点后停止），点Q从点B开始沿边B﹣C﹣D向终点D以的速度移动．如果点P，Q分别从A，B同时出发，当点P和点Q都运动到终点时，运动过程停止，设运动时间为．在这个运动过程中，四边形的面积等于时，此时t的值是 ______________________． 【答案】3或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程（一元二次方程）是解题的关键．分，及三种情况考虑：当时，连接AQ，DQ，连接，，此时，，当当时，，，当时，，，由四边形的面积等于 列出关于t的方程，解之即可得出t值． 【详解】解：（秒），（秒），（秒）． 当时，连接，，此时，，如图1所示． 依题意得：， 即 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，，，如图2所示． 依题意得： ， 即， 解得：t（不合题意，舍去）； 当时，，，如图3所示． 依题意得：， 即， 解得：t． 综上，t的值为3或． 故答案为：3或． 【变式7-2】．（24-25八年级上·上海·阶段检测）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别是从、同时出发，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． (1)求经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)的面积能否等于10平方厘米，如果能求出运动的时间，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)2秒或4秒 (2)不能，理由见解析 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】一元二次方程的实际应用，根据题意，正确表示出线段长度及，利用三角形面积公式列出方程求解，是解答本题的关键． （1）设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； （2）设运动时间为x秒，的面积等于10平方厘米，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断． 【详解】（1）解：设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于8平方厘米； （2）解：设运动时间为x秒，的面积等于10平方厘米， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于10平方厘米． 【变式7-3】．（22-23八年级·上海静安·期中）在中，，动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为/秒，点N的速度为/秒，点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止．问经过几秒钟，的面积为？    【答案】2秒或5秒 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】设经过x秒钟后，的面积为，则，然后分和两种情况，利用三角形面积公式建立方程求解即可. 【详解】解： 设经过x秒钟后，的面积为， 当时， 由题意得，， ∴， ∴． ∵，即， ∴舍去，即； 当时，此时点与点重合，点停止运动 由题意得，， 解得， 综上：经过2秒或5秒，的面积为． 【题型08】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【典例8-1】．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，参加聚会的人数是（   ） A．5人 B．4人 C．3人 D．6人 【答案】A 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是掌握组合数的公式．通过组合数公式建立方程求解人数． 【详解】解：设有人，根据题意，得， 整理，得， 解得（不符合题意，舍去）， ∴参加聚会的有5人， 故选：． 【典例8-2】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）某小组同学毕业前，每位同学都向小组内其他所有同学各送一件礼物，礼物数共计72件，那么该小组有_____人． 【答案】 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】设该小组共有人，每人向其余同学赠送一件礼物，可得每人赠送件礼物，根据总礼物数为件建立一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果． 【详解】解：设该小组有人，根据题意，得： ， 整理得， 因式分解得， 解得，， 因为人数为正整数，所以舍去， 即该小组有9人． 【典例8-3】．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）一个小组有若干人，中秋节互送贺卡，若全组共送90张贺卡，则这个小组共有多少人？ 【答案】这个小组共有个人 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】设这个小组共有个人，则可得每个人要送张贺卡，根据全组共送90张贺卡，列方程即可解答． 【详解】解：设这个小组共有个人，则可得每个人要送张贺卡， 由题意得， 解得（舍去）， 这个小组共有个人． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得到每个人要送人数减1张贺卡，是解题的关键． 【变式8-1】．（25-26八年级上·上海·期末）某省举办的城市业余足球联赛采用主客场双循环赛制，每支球队与其他球队需进行两场比赛（主场和客场各一次）．本赛季该联赛共完成比赛156场．设参加联赛的球队有x支，根据题意，为求解x，以下列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查根据实际问题列方程，根据双循环赛制中，每两支球队之间进行两场比赛，总比赛场数为球队数x与的乘积列方程即可． 【详解】解：设有x支球队，则每支球队与其他支球队各进行两场比赛，总比赛场数为， 由题意得：， 故选B． 【变式8-2】．（25-26八年级上·上海·期中）某小组每人给其他人送一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共有________人． 【答案】10 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并列出方程是解决本题的关键． 设小组人数为n，则每人送出张照片，总照片数为，求解即可． 【详解】解：设小组共有n人， 根据题意得，总照片数为 解得或（不符合题意，舍去）， ∴小组共有10人． 故答案为：10． 【变式8-3】．（25-26八年级上·上海·期末）学校运动会期间，选拔了若干支球队进行篮球比赛，共比赛了场，每两队之间都比赛一场，设一共有支球队，那么可列出方程__________． 【答案】 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握相关量之间的等量关系是解题的关键． 每两支球队之间比赛一场，总比赛场数为从x支球队中选取2支的组合数，即，根据题意总场数为，即可列出方程． 【详解】解：设有x支球队，每两队之间比赛一场，则总比赛场数为， 根据题意，总场数为场，所以方程为． 故答案为：． 【变式8-4】．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）某校八年级举行篮球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，且两个班级之间只比赛一次，结果一共进行了21场比赛，设八年级共有x个班级，那么列出方程是________． 【答案】 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查一元二次方程的应用，每个班级需与其他个班级比赛，但每场比赛被计算了两次，因此总比赛场数为 ，根据总场数为21，列出方程即可． 【详解】解：设八年级共有x个班级， 根据题意，每两个班级之间进行一场比赛，总比赛场数为； 因此，方程为 ， 故答案为： ． 【变式8-5】．组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛． (1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？ (2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式； (3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？ 【答案】(1)6； (2) (3)8 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】（1）采取单循环的形式，如果有四个队参赛，则需要打：场； （2）直接根据题意列出函数关系式即可； （3）根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】（1）如果有四个队参赛，则需要打： 场； （2）总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式：； （3）设比赛组织者应邀请x个队参赛， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 这次比赛共有8个队参加． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 一、核心数学思想 1.模型思想：将复杂实际问题抽象为一元二次方程数学模型，实现实际问题数学化。 2.转化思想：把生活场景、几何问题、经济问题转化为熟悉的方程求解问题。 3.取舍思想：一元二次方程必有两个根，但实际问题中大多只有一个合理答案，必须结合现实条件取舍。 二、常见易错点总结 1.忽略实际意义检验，直接保留两个根，导致答案错误； 2.增长率公式混淆次数，未看清“连续两次变化”的条件； 3.几何面积问题漏算、多算边长，忽略靠墙、镂空等特殊条件； 4.设元、作答遗漏单位，解题步骤不规范、不完整。 一、单选题 1．某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用——传播问题，个好友转发给个互不相同的人时，转发了次，加上小方转给自己的1次和转给好友的次，共133次，由此可列方程． 【详解】解：由题意得，， 故选B． 2．若关于x的二次三项式在实数范围内不能分解因式，则关于的一元二次方程的根的情况为（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】根据题意可知方程无解，然后根据判别式小于0，求得m的取值范围，进而确定关于y的一元二次方程的判别式的值． 【详解】解：∵关于x的二次三项式在实数范围内不能分解因式， ∴方程无解， ∴， 解得， 在关于的一元二次方程中， ， ∵， ∴， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 3．如果二次三项式在实数范围内不能分解因式，那么的取值范围是（   ） A．且； B．且； C．； D．． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程．二次三项式在实数范围内不能分解因式等价于对应的一元二次方程无实数根，根据判别式小于零列不等式，即可求解． 【详解】解：∵ 二次三项式在实数范围内不能分解因式， ∴ 方程无实数根， ∴ 判别式， ∴ ， 故选：C． 4．为增强学生体质，丰富学生的课外生活，某市各学校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环（参赛的每两队间比赛一场），根据场地和时间等条件，各学校计划安排45场比赛．设该市各学校共邀请个队参赛，根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据单循环赛制的比赛场数计算公式，结合已知总比赛场数，列出对应的一元二次方程即可． 【详解】解∶∵赛制为单循环，个队参赛时，每个队需与个队比赛，且每场比赛被重复计算了2次 ∴总比赛场数为 又∵计划安排45场比赛 ∴可列方程为 故选D． 5．我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方田注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记数的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的几何解法，将方程变形为两数乘积等于常数的形式，构造大正方形，使其面积等于四个矩形面积与中间小正方形的面积之和，据此分析各选项即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：方程，即的拼图如图所示： ， 中间小正方形的边长为，其面积为，四个矩形的面积为，大正方形的面积为：， 结合大正方形的面积等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，可得，因此， 故选：C． 6．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一根的一半，则称这样的方程为“半根方程”．以下关于半根方程的说法，正确的是（    ） A．方程是半根方程 B．方程是半根方程 C．若，则方程是半根方程 D．若点在函数的图象上，则关于的方程是半根方程 【答案】C 【详解】解：A．方程的解为，此方程不是半根方程，此结论错误； B．方程的解为，此方程不是半根方程，此结论错误； C． ∵， ∴或， ∵方程的解为 ∴或， 则方程是半根方程，此结论正确． D．∵点在函数的图象上， ∴， 关于的方程解得： ， ， ∴此方程不是半根方程，此结论错误． 故选：C 二、填空题 7．某校6月份每天需要两名志愿者参与校园卫生巡查，八6班学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有78种组队可能．如果设八6班参加的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式：______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的建立，根据题目中“共有78种组队可能”建立方程，再转化为一般形式的一元二次方程． 【详解】解：设八6班参加的学生有人 可列方程：， 化为一般形式：． 故答案为： 8．初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共1892张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为 _____． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 设全班有人．根据互赠卡片一张，则人共赠卡片张，列方程即可． 【详解】解：根据题意得， ， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）容器内盛满60升纯酒精，倒出一部分后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，则第一次倒出了酒精__ 升． 【答案】10 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系． 设第一次倒出酒精x升，根据两次倒出操作后容器内纯酒精剩余30升，建立一元二次方程求解． 【详解】解：设第一次倒出了酒精x升，则第二次倒出溶液升，根据题意得， 第一次倒出后，剩余纯酒精升，用水加满后浓度为； 第二次倒出的纯酒精为升， 倒出第二次后剩余纯酒精量为． 整理得， 解得， ∵， ∴，不符合题意，舍去， 故答案为：10． 10．在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了________秒． 【答案】/ 【分析】本题考查一元一次方程及一元二次方程的应用，是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度时间路程，列方程并解方程即可解决，注意速度单位的转化和题目的问题相符． 【详解】解：时速为108千米米/秒， 设紧急刹车后又滑行30米需要时间为x秒， 则， 解得：． 平均每秒减速（米/秒）； 设刹车后汽车滑行10米时用了t秒， 依题意列方程：， 解方程得，（不合题意，舍去）， 即， 故答案为：． 11．在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数范围内分解因式，解一元二次方程，令，利用求根公式求出方程的两个根即可得到答案． 【详解】解：解方程， 使用求根公式，其中，，， 判别式， 所以， 根为，， 因此． 故答案为：． 12．某超市经销的洗衣液中，甲、乙两个品牌比较畅销，其中甲品牌洗衣液的进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液的进价每瓶比甲品牌高10元．在销售中，该超市发现，若将甲品牌的洗衣液以每瓶45元出售，则每天固定售出100瓶，而乙品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，且当乙品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，每天就会少售出2瓶．当乙品牌洗衣液每瓶的售价为________元时，两种品牌的洗衣液每天的销售利润之和为4700元． 【答案】80 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，设设乙品牌洗衣液每瓶的售价为y元，则该洗衣液每瓶的销售利润为元，再列式，即可作答． 【详解】解：依题意，设乙品牌洗衣液每瓶的售价为y元，则该洗衣液每瓶的销售利润为元， 每天的销售量为瓶， 由题意，得， 整理，得， 解得， ∴当乙品牌洗衣液每瓶的售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的销售利润之和为4700元． 故答案为：80． 13．四川省优秀非遗工坊——妙善观音绣工坊以针为笔、以线为墨将遂宁民俗文化不断创新和传承．如图要在一幅长，宽的绣品四周镶嵌宽度相同的边框，制成一幅面积是的矩形挂图．那么边框的宽度为______cm． 【答案】5 【分析】本题考查了用一元二次方程解决实际问题，设边框的宽为，由题意列出方程，然后解方程并检验即可，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设边框的宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴的值是， 故答案为：． 14．某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设这种植物每个支干长出的小分支个数为，则可列方程为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，根据“主干、支干和小分支的总数是45”，列出方程即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：． 故答案为：． 15．《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌．“大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”若设这位风流人物去世的年龄十位数字为x，则可列方程为__________________________（方程不用化成一般式）． 【答案】 【分析】设周瑜去世时年龄的十位数字是x，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿同”知十位数字+个位数字=个位数字的平方，据此列出方程可得答案． 【详解】解：假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16．近年来某市加大了对教育经费的投入，2018年投入2500万元，2020年将投入3600万元，设该市投入教育经费的年平均增长率为，根据题意则可以列出的方程是______． 【答案】 【分析】已知2018年教育经费投入为2500万，根据增长率计算可得2019年教育经费的投入，然后再用同样的方法计算2020年教育经费的投入等于3600万即可． 【详解】解：根据题意可得：该县投入教育经费的年平均增长率率为x，根据题意得： 2019年投入的教育经费为：， 2020年投入的教育经费为：， ∴可列方程为：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是掌握平均增长率问题的计算公式． 17．如图，在边长为正方形中，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿和边向D点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了__________秒钟后，的面积等于． 【答案】2或 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用的知识点，解答本题的关键是Q点的运动位置，此题很容易漏掉一种情况，此题难度一般．设经过x秒，的面积等于，分类讨论当秒时，Q点在上运动，P在上运动，求出面积的表达式，求出一个值，当秒时，Q点在上运动，P在上运动，根据条件列出一个一元一次方程，求出一个值． 【详解】解：设经过x秒，的面积等于， 当秒时，Q点在上运动，P在上运动， ，， ∴， 解得或4， 又知， 故符合题意， 当秒时，Q点在上运动，P在上运动， ， 解得． 故答案为：2或． 三、解答题 18．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）在“理财小课堂”中，小明了解到某理财产品按年计息，有单利和复利两种不同的计息方式： 单利法是指每年依据最初本金计算利息，不考虑前期利息所产生的利息； 复利法是指每年依据本金和前期利息之和计算利息． 小明准备将10000元购买该理财产品，银行提供如下两种方案（年利率相同）： 方案一：按单利法存2年； 方案二：按复利法存2年． 两年后，方案二得到的本利和比方案一多100元，请计算年利率． 【答案】 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设年利率为，根据“两年后，方案二得到的本利和比方案一多100元”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设年利率为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：年利率为． 19．巩固脱贫攻坚成果，全面推进乡村振兴．某鸡农申请了微型养鸡项目，打算搭建一个如图所示的矩形鸡舍，该鸡舍的长边靠墙，另外三边用钢丝网搭建．该鸡舍的面积为150平方米，且长比宽多5米． (1)求该鸡舍的长和宽分别是多少米？ (2)该鸡农打算在鸡舍中饲养跑山鸡，根据养殖经验，需购买高度为2.4米的钢丝网，鸡舍内的鸡才不会飞出．若该鸡农购买的这种钢丝网价格为每平方米12.5元，求该鸡农购买钢丝网需要多少元？ 【答案】(1)鸡舍的宽为10米，则长为15米； (2)该鸡农购买钢丝网需要1050元． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，有理数的加法和乘法混合运算的应用，解题的关键是正确列出一元二次方程． （1）设鸡舍的宽为x米，则长为米，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）根据题意列式求解即可． 【详解】（1）设鸡舍的宽为x米，则长为米， 根据题意得 解得，（舍去） ∴（米） ∴鸡舍的宽为10米，则长为15米； （2）根据题意得，（元）． ∴该鸡农购买钢丝网需要1050元． 20．交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若月增长率不变，求7月份销售头盔多少个？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数运算的实际应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：（个）． ∴预计7月份该品牌头盔销售量是个． 21．为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”． (1)求出m的值； (2)经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．请分别求出他们三人号召的成功率． 【答案】(1)10 (2)所以小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为 【分析】（1）根据“每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”．”列出方程，即可求解； （2）根据题意，得小颖号召了n人.小丽号召了（n+2）人，小红号召了[17-（n+2）-n]=（15-2n）人，从而得到小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为，再根据“小红的成功率比小颖的两倍少10%，”列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： m（m+1）+m+1=121，即（m+1）2=121， ∴m+1=±11， 解得：m1=10，m2=-12（舍去） 答：m的值为10； （2）解：根据题意，得小颖号召了n人，小丽号召了（n+2）人，小红号召了[17-（n+2）-n]=（15-2n）人， ∴小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为， ∵小红的成功率比小颖的两倍少10%， ∴， 解得：n=4， ∴所以小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为， 答：所以小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 22．长鑫存储是合肥市政府重大招商引资项目，也是国内专注于存储芯片研发、生产与销售的龙头企业，坐落于合肥经开区，实现了存储芯片自主化突破，旗下内存产品广泛应用于电脑、服务器等设备．随着技术不断成熟与市场需求增长，企业经营业绩稳步攀升．请结合以下信息解答问题． (1)长鑫存储2023年全年营收为90亿元，2025年全年营收达到608.4亿元，求2023年至2025年这两年营收的年平均增长率． (2)某经销商主营长鑫内存条，该内存条进价为240元/条．经市场调研：当售价定为300元/条时，每月可售出200条；若售价每降低5元，每月销量可增加25条．为减少库存，若该经销商每月想要获得12375元的销售利润，求此时内存条的实际售价． 【答案】(1)年平均增长率为 (2)内存条实际售价为元 【分析】（1）设至年平均增长率为，结合2025年全年营收达到608.4亿元，再建立方程求解即可； （2）设每条内存条降价元，可得单件利润：，月销量：，进一步列方程求解即可. 【详解】（1）解：设至年平均增长率为， ∴， ， 开平方，得， 增长率不能为负，故舍去， 所以， 即， 答：年平均增长率为． （2）解：设每条内存条降价元，则 单件利润：， 月销量：， ∴， 化简得：， ， 解得，． 越大，销售量越大，库存越少，所以舍去， 当时，售价：元， 答：内存条实际售价为元． 23．在一块长，宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． (1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由． (2)你还有其他的设计方案吗？请在如图所示中画出你所设计的草图，并写出你的设计方案． 【答案】(1)小芳的方案不符合条件，见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住等量关系花园的面积等于荒地面积的一半是解决问题的关键． （1）利用等量关系花园的长花园的宽荒地面积的一半得到路的宽度，跟小芳所给的道路比较即可； （2）利用同底等高的三角形的面积等于矩形的面积的一半，可得另一方案；保证阴影部分的面积等于荒地面积的一半即可． 【详解】（1）解：不符合． 设小路宽度均为， 根据题意得： 解这个方程得：，． 但不符合题意，应舍去， ∴小芳的方案不符合条件； （2）解：答案不唯一． 例如： 左边的图形，取上边长得中点作为三角形的顶点，下边的长的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积等于矩形面积的一半； 右图横竖两条小路，且小路在每一处的宽都相同，其小路的宽为4米时，除去小路剩下的面积为矩形面积的一半． 24．请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 　 　　　　 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）． 【答案】（1）②；（2）． 【分析】（1）仿照案例构造图形，即可判断正确构图； （2）仿照案例构造图形即可求得x的值． 【详解】解：（1）应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形的面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得．故正确构图的是②． 故答案为：②； （2）首先构造了如图2所示的图形． 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得． 【点睛】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程．体现了数形结合的思想． 25．综合与实践 背景 2026年，随着AI服务器、消费电子市场持续回暖，合肥长鑫存储的国产内存芯片订单爆发式增长，产能持续爬坡，相关出货数据不断刷新纪录，带动了本地模组厂商的销售热潮． 素材1 已知长鑫存储某款DDR5-16G内存芯片，周一的出货收入为500万元，随着下游客户备货需求激增，周三的出货收入达到720万元． 素材2 为承接国产芯片的消费热潮，合肥本地模组厂商推出“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组套装，已知该套装的物料及加工成本为200元/套；当定价为500元/套时，平均每天可售出40套．调研发现，售价每降低20元，平均每天就能多售出8套，现该厂商计划下调售价，使平均每天的销售利润达到12000元． 问题解决 (1)任务1，求从周一到周三，长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率； (2)任务2，根据素材2，为尽可能多的售空“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组库存，求下调后每套模组的售价； (3)任务3，根据素材2，该厂商平均每天能否获利16000元？若能，请求出每套模组应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】(1)长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率为 (2)为售空库存，下调后每套售价为元 (3)能获利元，每套应降价元 【分析】（1）设日平均增长率为，由平均增长率问题列一元二次方程求解即可； （2）设每套模组降价元，由题中等量关系列一元二次方程求解即可； （3）不妨假设能获利元，由题中等量关系列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设日平均增长率为， 根据题意列方程：， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率为； （2）解：设每套模组降价元， 则单套利润：（元）， 根据利润目标列方程：， 解得（舍去），（降价元，销量最大）， 下调后售价：（元）， 则为售空库存，下调后每套售价为元； （3）解：不妨假设能获利元， 则列方程：， 解得，即降价（元）， 答：能获利元，每套应降价元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $