精品解析：山东省南市长清区2025-2026学年 七年级下学期期末数学试题

七年级阶段检测 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试题共8页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共40分） 一、选择题（本题共10个小题，满分40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，中国航天事业再次迈出坚实一步．下列四个航天图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若诗中苔花的花粉直径约为，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 6. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 7. 马扎是中国传统手工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳等，可以合拢，方便携带，如图，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，为的三边长，在下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 9. 如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于C，D两点，连接； ②分别以点C，D为圆心，以适当长为半径作弧，两弧在内交于点E，连接，． 下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 垂直平分 10. 已知整式M：，其中n，，，，，…，均为自然数．则下列说法正确的个数为（ ） ①若，则； ②若，且时，则满足条件的整式M有且只有6个； ③若，，，，…，为互不相同的自然数，当时，M的值为2025，则n的最大值为64． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 第Ⅱ卷 非选择题（共110分） 二、填空题（本题共5个小题，满分20分） 11. 计算的结果是______． 12. 如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了9个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在阴影区域的概率等于___________． 13. 一个角比它的补角的少40°，这个角等于______． 14. 小美骑车从学校回家，中途在文具店买文具，然后继续骑车回家．若小美骑车的速度始终不变．从出发开始计时，小美离家的路程（单位：）与时间（单位：）的对应关系如图所示，则从文具店到小美家的路程是______． 15. 如图，在纸片中，，，且，为上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，则面积的最小值为______． 三、解答题（本题共10个小题，满分90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算． 17. 先化简，再求值： ，其中． 18. 阅读下列文字，并完成证明． 如图，直线上有两点，直线上有一点，点三点共线，点在直线和直线之间，连接、，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴________（____________________）， ∴________（____________________）， ∴（已知）， ∴________（____________________）， ∴（__________）． 19. 如图，，点在边上．判断与的数量关系，并说明理由． 20. 从一副52张（没有大王和小王）的扑克牌中，每次抽出1张，然后放回洗匀再抽，所得的部分数据如表： 试验次数 40 80 120 160 200 出现方块的次数 11 18 a 40 49 出现方块的频率 试验次数 240 280 320 360 400 出现方块的次数 63 68 80 90 100 出现方块的频率 b （1）求a，b的值； （2）由上表估计出现方块的概率； （3）将这幅扑克牌中的所有方块（即从方块1到方块13，共13张）取出，将它们背面朝上重新洗牌后，从中摸出1张．若摸出的这张牌的牌面数字为奇数，则甲方赢；若摸出的这张牌的牌面数字是偶数，则乙方赢．你认为这个游戏对甲、乙双方是公平的吗？请说明理由． 21. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出关于直线l对称的；（要求：A与，B与，C与相对应） （2）若有一格点P到点A、B的距离相等（），则网格中满足条件的点P共有 个； （3）在直线l上找一点Q，使的值最小； （4）求的面积． 22. 实验探究： 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过一个固定的轮子，一端固定在滑块上，另一端固定在物体上；（可以视作三个点）②滑块可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体的高度． 初始状态 （图1）垂直，且，设． 实验条件 绳子始终绷紧，轮子、滑块及物体的大小均可忽略． 任务： （1）求绳子的总长度； （2）（图2）若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 23. 随着科技的进步，机器人的种类日益繁多，应用场景更广泛．某机器人实验基地的科研人员对新型智能机器人进行测试．甲，乙，丙三个测试点依次分布在一条直线上，测试点乙距离甲处120m，测试点丙距离甲处320m．一款新型智能机器人某段时间内一直在甲，乙，丙三个测试点之间活动，从甲处匀速走到乙处，停留6min后，继续匀速走到丙处，停留8min后，从丙处匀速返回甲处．该款新型智能机器人在这段时间内离测试点甲的距离y（m）随离开测试点甲的时间x（min）变化关系图象如下．请根据相关信息，解答下列问题： （1）该款新型智能机器人活动过程中，自变量是 ，因变量是 ； （2）补全表格： 离开测试点甲的时间x/min 5 12 20 30 离测试点甲的距离y/m 75 120 （3）图中点A表示的意义是 ； （4）当该款新型智能机器人离测试点甲的距离为200m时，它离开测试点甲的时间为 min． 24. 已知，在中，，点D，E分别在边上(D不与B，C重合)，． （1）如图1，若，且恰好平分，则的度数为 °． （2）如图2，若，且点D是边上的任意一点，小亮发现的度数为定值， ①求的度数； ②当时，求的度数． （3）如图3，在点D的运动过程中，的形状也在改变，若，请直接写出当等于多少度时，是等腰三角形． 25. 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形，通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）观察猜想 如图1，在中，分别以为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______； （2）类比探究 如图2，在中，分别以为边作等腰直角和等腰直角，，点在同一直线上，为中边上的高，猜想，之间的数量关系并说明理由； （3）解决问题 如图3，点是等边外一点，若，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级阶段检测 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试题共8页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共40分） 一、选择题（本题共10个小题，满分40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，中国航天事业再次迈出坚实一步．下列四个航天图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形识别．根据题意逐一对选项进行识别即可得到本题答案． 【详解】解：∵轴对称图形指的是沿着一条对称轴折叠使两边能完全重合的图形， ∴C选项符合轴对称图形定义，即轴对称图形， 故选：C． 2. 袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若诗中苔花的花粉直径约为，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示小于1的正数，一般形式为，其中，为正整数．熟练掌握其形式，确定的值是解题关键．确定的值时，根据把原数变成时，小数点移动了多少位，的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解： ， 用科学记数法表示为． 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，逐项分析判断即可求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，直线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握三角形的外角等于其不相邻的两个内角之和成为解题的关键． 由平行线的性质可得，然后再根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选C． 5. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能会发生的事件是随机事件，据此判定即可求解，理解以上定义是解题的关键． 【详解】解：A. 旭日东升是必然事件； B. 画饼充饥是不可能事件； C. 守株待兔是随机事件； D. 竹篮打水是不可能事件； 故选：C． 6. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 【答案】D 【解析】 【详解】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意． 故选D． 7. 马扎是中国传统手工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳等，可以合拢，方便携带，如图，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三角形外角的性质，对顶角相等，首先得到，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴． 故选：B． 8. 已知，，为的三边长，在下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、勾股定理的逆定理．根据三角形内角和定理可得A、D选项；根据勾股定理逆定理可判断出B、C选项． 【详解】解：A. ，且，，故为直角三角形，故该选项不符合题意； B. ，故为直角三角形，故该选项不符合题意； C. ，故为直角三角形，故该选项不符合题意； D. ，，故不能判定是直角三角形，故该选项符合题意； 故选：D． 9. 如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于C，D两点，连接； ②分别以点C，D为圆心，以适当长为半径作弧，两弧在内交于点E，连接，． 下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 垂直平分 【答案】B 【解析】 【分析】由基本作图可知，为的平分线，从而得出；由，得出垂直平分；根据证明；根据直角三角形斜边大于直角边判断． 【详解】解：设交于点， 由作图步骤可得：是的角平分线，则，A正确； 根据作图可知：，， ∴点O、E在的垂直平分线上， ∴垂直平分，D正确； ∵， ∴，C正确； 在中，，且， 则，故B错误，符合题意． 10. 已知整式M：，其中n，，，，，…，均为自然数．则下列说法正确的个数为（ ） ①若，则； ②若，且时，则满足条件的整式M有且只有6个； ③若，，，，…，为互不相同的自然数，当时，M的值为2025，则n的最大值为64． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，根据可得，据此可判断①；分，，，，，，两种情况分别求出对应的M即可判断②；可求出，，那么当是一定不符合题意，再证明可符合题意即可判断③． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； 当时，则， ∵，且，，都是自然数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，若，且时，则满足条件的整式M有且只有6个，故②正确； 当时，， ∵，， ∴当时，， 当， ∵， ∴中，其中63个数取0到62的自然数，第63个数取72即可满足题意， ∴n的最大值为63，故③错误， 故选：B． 第Ⅱ卷 非选择题（共110分） 二、填空题（本题共5个小题，满分20分） 11. 计算的结果是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据单项式乘多项式法则计算求解即可． 【详解】解：． 12. 如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了9个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在阴影区域的概率等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率． 【详解】解：∵ 9个相同的扇形中，阴影部分占4个， ∴指针落在阴影部分的概率是； 故答案为： 【点睛】此题考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比． 13. 一个角比它的补角的少40°，这个角等于______． 【答案】15°##15度 【解析】 【分析】设这个角为x°，根据题意，得x=，解方程即可． 【详解】设这个角为x°，根据题意，得x=， 解方程，得x=15， 故这个角为15°， 故答案为：15°． 【点睛】本题考查了补角，一元一次方程的应用，熟练掌握补角的意义，解方程是解题的关键． 14. 小美骑车从学校回家，中途在文具店买文具，然后继续骑车回家．若小美骑车的速度始终不变．从出发开始计时，小美离家的路程（单位：）与时间（单位：）的对应关系如图所示，则从文具店到小美家的路程是______． 【答案】500 【解析】 【分析】由图可知：学校离家的距离是米，骑车用时3分钟到达文具店，买文具用时2分钟，再用了5分钟到家，总用时10分钟，骑车8分钟．先求出骑车的速度，即可计算从文具店到小美家的路程． 【详解】解：根据图示可得，小美行驶的速度为， ∴从文具店到小美家的路程是． 15. 如图，在纸片中，，，且，为上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，则面积的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的折叠问题、全等三角形的性质和三角形的最小面积，解题的关键是弄清楚什么时候三角形的面积最小． 先利用翻折的性质，得出，，，再利用两角的和结合，证得，然后根据三角形面积公式，得到面积，当取最小值时面积的最小，先求出，再求出面积的最小值． 【详解】解：∵、分别沿、向外翻折至、， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，当取最小值时的面积最小， 在中，当垂直时，最小， 此时，， ，解得：， ∴的最小值为：． 三、解答题（本题共10个小题，满分90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的性质、指数幂和负整数指数幂的运算法则、乘方的定义把算式中各部分计算出来，再根据有理数的加法法则进行计算． 【详解】解： ． 17. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】 ． 【解析】 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 18. 阅读下列文字，并完成证明． 如图，直线上有两点，直线上有一点，点三点共线，点在直线和直线之间，连接、，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴________（____________________）， ∴________（____________________）， ∴（已知）， ∴________（____________________）， ∴（__________）． 【答案】；内错角相等，两直线平行；；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质证明即可求证，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 19. 如图，，点在边上．判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】解：与的数量关系是：， 理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ∴． 【解析】 【分析】根据“”证明和全等，再结合全等三角形性质，即可推出与的数量关系． 【详解】略 20. 从一副52张（没有大王和小王）的扑克牌中，每次抽出1张，然后放回洗匀再抽，所得的部分数据如表： 试验次数 40 80 120 160 200 出现方块的次数 11 18 a 40 49 出现方块的频率 试验次数 240 280 320 360 400 出现方块的次数 63 68 80 90 100 出现方块的频率 b （1）求a，b的值； （2）由上表估计出现方块的概率； （3）将这幅扑克牌中的所有方块（即从方块1到方块13，共13张）取出，将它们背面朝上重新洗牌后，从中摸出1张．若摸出的这张牌的牌面数字为奇数，则甲方赢；若摸出的这张牌的牌面数字是偶数，则乙方赢．你认为这个游戏对甲、乙双方是公平的吗？请说明理由． 【答案】（1）30， （2） （3）不公平， 在方块1到方块13共13张牌中，奇数有7个，偶数有6个， 甲方赢的概率为、乙方赢的概率为， 由于， ∴这个游戏对双方不公平． 【解析】 【分析】【分析】（1），； （2）由出现方块的频率稳定在了可估计概率； （3）在方块1到方块13共13张牌中，奇数有7个，偶数有6个，根据概率公式求出甲乙获胜的概率，即可判断． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：从表中得出，出现方块的频率稳定在了，故可以估计出现方块的概率为； 【小问3详解】 略 21. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出关于直线l对称的；（要求：A与，B与，C与相对应） （2）若有一格点P到点A、B的距离相等（），则网格中满足条件的点P共有 个； （3）在直线l上找一点Q，使的值最小； （4）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）4 （3）见解析 （4）5 【解析】 【分析】（1）利用轴对称的性质，即可作出关于直线l对称的； （2）依据格点P到点A、B的距离相等，作出的垂直平分线，经过的格点即为所求； （3）根据两点之间，线段最短，连接，与直线l的交点Q即为所求； （4）依据割补法进行计算，即可得到的面积． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， ； 【小问2详解】 解：如图所示，网格中满足条件的点P共有4个； 【小问3详解】 解：如图所示，点Q即为所求； 【小问4详解】 解：． 22. 实验探究： 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过一个固定的轮子，一端固定在滑块上，另一端固定在物体上；（可以视作三个点）②滑块可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体的高度． 初始状态 （图1）垂直，且，设． 实验条件 绳子始终绷紧，轮子、滑块及物体的大小均可忽略． 任务： （1）求绳子的总长度； （2）（图2）若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】（1） （2）滑块向左滑动的距离为 【解析】 【分析】（1）设，则，利用勾股定理建立方程求解即可； （2）求出此时的长，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【小问1详解】 解：在图1中， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ∴， 绳子长度； 【小问2详解】 解：在图2中， 若物体升高，则此时， 在中，由勾股定理得， 答：滑块向左滑动的距离为． 23. 随着科技的进步，机器人的种类日益繁多，应用场景更广泛．某机器人实验基地的科研人员对新型智能机器人进行测试．甲，乙，丙三个测试点依次分布在一条直线上，测试点乙距离甲处120m，测试点丙距离甲处320m．一款新型智能机器人某段时间内一直在甲，乙，丙三个测试点之间活动，从甲处匀速走到乙处，停留6min后，继续匀速走到丙处，停留8min后，从丙处匀速返回甲处．该款新型智能机器人在这段时间内离测试点甲的距离y（m）随离开测试点甲的时间x（min）变化关系图象如下．请根据相关信息，解答下列问题： （1）该款新型智能机器人活动过程中，自变量是 ，因变量是 ； （2）补全表格： 离开测试点甲的时间x/min 5 12 20 30 离测试点甲的距离y/m 75 120 （3）图中点A表示的意义是 ； （4）当该款新型智能机器人离测试点甲的距离为200m时，它离开测试点甲的时间为 min． 【答案】（1）该款新型智能机器人离开测试点甲的时间；该款新型智能机器人离测试点甲的距离 （2）240，320 （3）该款新型智能机器人离开测试点甲32分钟时，离测试点甲的距离为320米 （4）18或39.5 【解析】 【分析】本题考查函数图象的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据自变量和因变量的意义求解即可； （2）先求出分钟的速度，进而即可求解； （3）根据函数图象上点的坐标的意义求解即可； （4）先求出返回时的速度，进而即可求解 【小问1详解】 解：该款新型智能机器人活动过程中，自变量是：该款新型智能机器人离开测试点甲的时间； 因变量是：该款新型智能机器人离测试点甲的距离； 故答案为：该款新型智能机器人离开测试点甲的时间；该款新型智能机器人离测试点甲的距离； 【小问2详解】 分钟的速度为：（米/分）， 故20 分钟时离测试点甲的距离为：（米）， 由图象得：30分钟离测试点甲的距离为：320米； 【小问3详解】 由题意得：A的坐标为，表示实际意义为：该款新型智能机器人离开测试点甲32分钟时，离测试点甲的距离为320米； 【小问4详解】 返回时的速度为：（米 /分）， 当该款新型智能机器人离测试点甲的距离为200m时，它离开测试点甲的时间为： （分钟） 或（分钟） 24. 已知，在中，，点D，E分别在边上(D不与B，C重合)，． （1）如图1，若，且恰好平分，则的度数为 °． （2）如图2，若，且点D是边上的任意一点，小亮发现的度数为定值， ①求的度数； ②当时，求的度数． （3）如图3，在点D的运动过程中，的形状也在改变，若，请直接写出当等于多少度时，是等腰三角形． 【答案】（1）70 （2）①② （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等知识，理解并掌握等腰三角形的性质是解题关键． （1）根据题意易知为等腰三角形，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，，结合，即可获得答案； （2）①首先结合三角形内角和定理解得，再根据三角形外角的定义和性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得，即可求得的度数；②当时，结合三角形内角和定理以及等腰三角形“等边对等角”的性质可解得的度数； （3）当时，易得，进而可得．然后分、、三种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，即为等腰三角形， ∵，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：70； 【小问2详解】 ①∵，， ∴， ∵，， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 若， 则， ∴． ①当时，， ∵， ∴此时不符合题意； ②当时，， ∵， ∴， ∴； ③当时，， ∴， ∴． 综上所述，当或时，是等腰三角形． 25. 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形，通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）观察猜想 如图1，在中，分别以为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______； （2）类比探究 如图2，在中，分别以为边作等腰直角和等腰直角，，点在同一直线上，为中边上的高，猜想，之间的数量关系并说明理由； （3）解决问题 如图3，点是等边外一点，若，求线段的长． 【答案】（1）． （2）解：． 理由如下： 和都是等腰直角三角形， ， 在和中， 由， （3）65． 【解析】 【分析】（1）通过等腰直角三角形的性质证明出，即可得出，再根据角的关系即可证明；（2）仍是通过已知条件证明，则，根据直角三角形斜边的中线是斜边的一半得，则可求出；（3）延续前两问的思路，先构造等边三角形，再构造等腰直角三角形，从而证明，则． 【小问1详解】 解：记与的交点为， 由题可知， ， 在和中， 由， ， ， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图4，以为边，构造等边三角形，连接，过点作，交的延长线于点，则，，， ， ， ， ，在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 均为等边三角形，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题的通用思路都是由“手拉手”模型构造全等三角形，在此基础上得到边和角的关系，最后一问是通过做辅助线，构造两个等边三角形“手拉手”，再利用勾股定理求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $