精品解析：山东省济南市长清区2024-2025学年下学期七年级期末考试数学试题

七年级阶段检测 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试题共8页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共40分） 一、选择题（本题共10个小题，满分40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 每天运动一小时，健康生活一辈子．下列关于体育运动的图标中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国在新能源电池技术领域取得新的突破，研发出一款高性能的固态电池，其内部的某种电解质离子的直径仅为，将数用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是某吸管杯的大致结构示意图，，吸管底部在上，将吸管沿点处折弯，使得，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，要使，可以添加的一个条件是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交于点，连接．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案： 方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接，并延长到点C，使，连接图1，并延长到点D，使；③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接，，并分别延长到点F，E，使，；③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　） A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都不可行 D. Ⅰ、Ⅱ都可行 8. 如图，是等腰底边上的中线，平分，交于点，，则的面积是（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 6 9. 如图1，四边形是长方形，动点从点出发，以的速度沿着运动至点停止，记点的运动时间为的面积为，其中与的关系如图2所示，那么下列说法错误的是(　　) A. B. 长方形的周长为 C. 当时， D. 当时， 10. 关于多项式：，其中为正整数，，，…，为互不相等且不为零的整数．比如当时，．交换任意两项的系数，得到的新多项式称为原多项式的“衍生多项式”下列说法： ①共有15个不同的“衍生多项式”； ②若多项式，无论为何值时，； ③若多项式，． 其中正确的个数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 第Ⅱ卷 非选择题（共110分） 二、填空题（本题共5个小题，满分20分） 11. ______． 12. 如图，与关于直线对称，，，则的度数为______． 13. 如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是______． 14. 张师傅非常喜欢自驾游，为了了解他新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到下表中的数据： 行驶的路程 0 120 240 360 480 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 张师傅将油箱加满后驾驶该轿车从地前往地，到达地时油箱中的剩余油量为，那么、两地之间的距离是______． 15. 如图，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D为AB中点，点P在AC上从C向A运动；同时，点Q在BC上从B向C运动，当∠PDQ＝_________时，△PDQ的周长最小． 三、解答题（本题共10个小题，满分90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 17 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在中，点D、E在边上，点F、G分别在边、上，，，试说明．请完善解答过程，并在括号内填写相应理论依据． 解：，（已知） ，（ ） ．（ ） ，（已知） ．（ ） ．（ ） ．（ ） ．（ ） 19. 如图，在边长为单位1的正方形网格中有，点，，都在格点上． （1）求的面积； （2）在图中画出关于直线对称的； （3）直线上画出点，使得最小． 20. 如图，已知：，，．求证：． 21. 某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元，获得一次转动转盘的机会． （1）他能获得购物券的概率是______，甲顾客转动转盘转到蓝色是______（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； （2）求他得到100元购物券的概率是多少？ （3）若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 22. 5月31日-6月2日，“汉酱杯”2025中国·济南明湖龙舟文化节暨第二十四届明湖龙舟邀请赛于济南天下第一泉风景区大明湖景区盛大举行，廿四载风云激荡，大明湖破浪争锋．若有甲、乙两个龙舟队分别同时从起点出发，划行的路程（米）与划行时间（分）（其中）之间满足的关系如图所示，根据图象所提供的信息，解答下列问题： （1）在这个变化过程中，自变量是______；因变量是______； （2）当时，乙队划行的速度为______米/分； （3）求甲队和乙队相遇时，甲队走了多少米． 23. 如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． （1）如图①，当时，___________； （2）如图①当___________时，的面积等于面积的一半； （3）如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 24. 【知识生成】已知通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，，求的值； 【类比应用】（2）若，求的值； 【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接，，若，，直接写出的面积． 25. 【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，，，，．依据的是判定定理_________． A． B． C． D． 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图（3），在四边形中，，，，连接，，，到直线距离为7，请求出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级阶段检测 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试题共8页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共40分） 一、选择题（本题共10个小题，满分40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 每天运动一小时，健康生活一辈子．下列关于体育运动的图标中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选A． 2. 我国在新能源电池技术领域取得新的突破，研发出一款高性能的固态电池，其内部的某种电解质离子的直径仅为，将数用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的一般形式为：，其中，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，涉及积的乘方、单项式的乘法、合并同类项和同底数幂的除法等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 根据积的乘方、单项式的乘法、合并同类项和同底数幂的除法等运算法则逐项判断即可得解. 【详解】解：A、，故本选项运算错误； B、，故本选项运算正确； C、不是同类项，不能合并，故本选项运算错误； D、，故本选项运算错误； 故选：B. 4. 如图是某吸管杯的大致结构示意图，，吸管底部在上，将吸管沿点处折弯，使得，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，先根据，得，再根据两直线平行，同旁内角互补，得，进而可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 如图，已知，要使，可以添加的一个条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等． 根据全等三角形的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．若添加，无法判定，故不符合题意； B．若添加，则，即， 在和中， ， ∴，故符合题意； C．若添加，无法判定，故不符合题意； D．若添加，无法判定，故不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交于点，连接．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，由作图可知：平分，由线段垂直平分线的性质得出，最后由三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：由作图可知：平分， ∴， ∴， ∴， 故选：B 7. 要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案： 方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接，并延长到点C，使，连接图1，并延长到点D，使；③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接，，并分别延长到点F，E，使，；③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　） A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都不可行 D. Ⅰ、Ⅱ都可行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，方案Ⅰ中利用证明即可；方案Ⅱ中利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：方案Ⅰ：在与中， ， ∴， ∴； 方案Ⅱ：在与中， ， ∴， ∴， 故选：D． 8. 如图，是等腰底边上的中线，平分，交于点，，则的面积是（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形底边上三线合一，角平分线上点到角两边距离相等，解题的关键是作出辅助线．过作交于点，根据等腰三角形底边上三线合一得到，结合，平分得到即可得到答案； 【详解】解：如图，过作交于点， ∵是等腰三角形底边上的中线， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵ ∴， 故选：C． 9. 如图1，四边形是长方形，动点从点出发，以的速度沿着运动至点停止，记点的运动时间为的面积为，其中与的关系如图2所示，那么下列说法错误的是(　　) A. B. 长方形的周长为 C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】通过图②发现：、、时，的面积为的变化趋势发生变化得到长方形的长和宽，从而判断出、选项正确；秒时点在上运动根据三角形面积公式可判断正确；时，点可能在上，也可能在上，求出此时的值即可． 【详解】解：时，的面积越来越大， 时，动点在上运动， ． 时，的面积不变， 时，动点在上运动， ． A选项正确，不符合题意． 长方形的周长， B选项正确，不符合题意． ， 当秒时，动点在上运动，， C选项正确，不符合题意． ， ∴时，点在或上， 当点在上时， ， 解得：， 当点在上时， ， 解得：， 平方厘米时，或． D选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，三角形的面积公式，进行分类讨论是解决此类问题常用的方法． 10. 关于的多项式：，其中为正整数，，，…，为互不相等且不为零的整数．比如当时，．交换任意两项的系数，得到的新多项式称为原多项式的“衍生多项式”下列说法： ①共有15个不同的“衍生多项式”； ②若多项式，无论为何值时，； ③若多项式，． 其中正确个数是（ ） A 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，根据多项式的特点选取合适的的值是解题关键．先确定共有6个互不相等且不为零的系数，再根据“衍生多项式”的定义即可判断①正确；将代入多项式即可判断②正确；将和代入计算即可判断③正确． 【详解】解：∵，共有6个互不相等且不为零的系数， ∴交换任意两项的系数共有种， 则共有15个不同的“衍生多项式”，说法①正确； 令，则，说法②正确； 当时，， 当时，， 将上面两式相减得：， 则，说法③正确； 综上，正确的个数是3个， 故选：A． 第Ⅱ卷 非选择题（共110分） 二、填空题（本题共5个小题，满分20分） 11. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式乘法运算，涉及单项式乘以多项式等知识，由单项式乘以多项式的运算法则求解即可得到答案．熟记单项式乘以多项式的运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，与关于直线对称，，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，掌握轴对称的性质是解题关键．由轴对称的性质可知，，，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：与关于直线对称，，， ，， ， 故答案为：． 13. 如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率的求法，飞镖击中阴影部分的概率等于阴影部分面积与正方形总面积之比，掌握几何概率的求法是解题的关键． 【详解】解：，， ∴飞镖击中阴影部分的概率是， 故答案为：． 14. 张师傅非常喜欢自驾游，为了了解他新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到下表中的数据： 行驶的路程 0 120 240 360 480 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 张师傅将油箱加满后驾驶该轿车从地前往地，到达地时油箱中的剩余油量为，那么、两地之间的距离是______． 【答案】660 【解析】 【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系，有理数混合运算的应用，得出变量之间的关系是解题关键．由表格可知，初始油量为，每行驶耗油，据此列式计算即可． 【详解】解：由表格可知，初始油量为，每行驶耗油， 则、两地之间的距离是， 故答案为：660． 15. 如图，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D为AB中点，点P在AC上从C向A运动；同时，点Q在BC上从B向C运动，当∠PDQ＝_________时，△PDQ的周长最小． 【答案】28°##28度 【解析】 【分析】根据两点之间线段最短，把三角形的周长转化为一条线段的长，利用三角形的内角和及平角的定义求解． 【详解】过点D作DF⊥BC于N，并截取NF＝DN，过点D作DE⊥AC于M，并截取ME＝DM，连接EF，则EF的长为△PDQ的最小值， 根据作图知：AC垂直平分DE，BC垂直平分DF， ∴DQ＝FQ，PD＝PE， ∴DQ+DP+PQ＝FQ+PE+PQ， 根据两点之间线段最短，所以EF的长是△PDQ的最小值， 此时有：∠FDQ∠DQP，∠MDP∠DPQ， 在△ABC中有∠A＝54°，∠C＝76°， ∴∠B＝180°－∠A－∠C ＝50°， ∴∠BDN＝40°，∠ADM＝36°， ∴∠PDQ＝180°﹣∠BDN﹣∠ADM﹣∠FDQ﹣∠MDP ＝180°﹣40°﹣36°（∠DQP+∠DPQ） ＝104°（180°﹣∠PDQ） ＝104°﹣90°∠PDQ， 解得：∠PDQ＝28°． 故当∠PDQ＝28°时，△PDQ的周长最小． 故答案为：28° 【点睛】本题考查了最短路径问题，通过轴对称把问题进行转化是解题的关键． 三、解答题（本题共10个小题，满分90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算、零指数幂、负整数指数幂、绝对值，再由有理数加减运算求解即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查有理数混合运算，涉及、零指数幂、负整数指数幂、绝对值运算及有理数加减运算等知识．熟记相关运算法则是解决问题的关键． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，9 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式，负整数指数幂，先运用完全平方公式、平方差公式进行展开，再合并同类项，得，然后把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 把代入， 得． 18. 如图，在中，点D、E在边上，点F、G分别在边、上，，，试说明．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：，（已知） ，（ ） ．（ ） ，（已知） ．（ ） ．（ ） ．（ ） ．（ ） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质，进行作答即可． 【详解】解：，（已知） ，（同位角相等，两直线平行） ．（两直线平行，同旁内角互补） ，（已知） ．（同角的补角相等） ．（内错角相等，两直线平行） ．（两直线平行，同位角相等） ．（垂直的定义） 19. 如图，在边长为单位1的正方形网格中有，点，，都在格点上． （1）求的面积； （2）在图中画出关于直线对称的； （3）在直线上画出点，使得最小． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）利用割补法求解三角形的面积即可； （2）根据轴对称的性质作图即可得到答案； （3）在（2）的基础上，连接，交直线于点，则点即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示： 的面积为． 【小问2详解】 解：如图所示： 即为所求； 【小问3详解】 解：连接，交直线于点，连接，如图所示： 此时，为最小值， 点即为所求． 20. 如图，已知：，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先求出，再利用“角边角”证明和全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，即． 在和中， ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 21. 某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元，获得一次转动转盘的机会． （1）他能获得购物券的概率是______，甲顾客转动转盘转到蓝色是______（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； （2）求他得到100元购物券的概率是多少？ （3）若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查简单概率问题，涉及简单概率公式、事件分类等知识，读懂题意，熟练掌握一步概率问题的求法是解决问题的关键． （1）由题意，结合简单概率公式求解即可得到他能获得购物券的概率是，再由转盘上没有蓝色区域，即可得到甲顾客转动转盘转到蓝色是不可能事件； （2）如果转盘停止后，指针正好对准红色区域，顾客就可以获得100元的购物券，转盘上红色区域有2份，由简单概率公式求解即可得到答案； （3）如果转盘停止后，指针正好对准绿色区域，顾客就可以获得50元的购物券，转盘上绿色区域有4份，他得到50元购物券的概率是；若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将4个无色扇形涂成绿色． 【小问1详解】 解：由题意可知，转盘被等分成20个扇形，如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，则转盘上红、绿或黄色区域共有11份， 他能获得购物券的概率是； 转盘上没有蓝色区域， 甲顾客转动转盘转到蓝色是不可能事件； 故答案为：，不可能事件； 【小问2详解】 解：如果转盘停止后，指针正好对准红色区域，顾客就可以获得100元的购物券，转盘上红色区域有2份，则他得到100元购物券的概率是； 【小问3详解】 解：如果转盘停止后，指针正好对准绿色区域，顾客就可以获得50元的购物券，转盘上绿色区域有4份，则他得到50元购物券的概率是； 若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将4个无色扇形涂成绿色． 22. 5月31日-6月2日，“汉酱杯”2025中国·济南明湖龙舟文化节暨第二十四届明湖龙舟邀请赛于济南天下第一泉风景区大明湖景区盛大举行，廿四载风云激荡，大明湖破浪争锋．若有甲、乙两个龙舟队分别同时从起点出发，划行的路程（米）与划行时间（分）（其中）之间满足的关系如图所示，根据图象所提供的信息，解答下列问题： （1）在这个变化过程中，自变量是______；因变量是______； （2）当时，乙队划行的速度为______米/分； （3）求甲队和乙队相遇时，甲队走了多少米． 【答案】（1）划行时间，划行的路程 （2） （3）甲队走了米 【解析】 【分析】本题考查函数，从函数图象中获取信息，由变量定义、路程速度时间、待定系数法确定函数表达式求交点求解即可得到答案，从函数图象中获取信息求解是解决问题的关键． （1）由题意，结合图象即可得到答案； （2）由图象，结合路程速度时间，将相关数据代入求解即可得到答案； （3）由待定系数法确定甲队和乙队的函数表达式，联立方程组求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意，结合图象可知，在这个变化过程中，自变量是划行时间；因变量是划行的路程； 故答案为：划行时间，划行的路程； 【小问2详解】 解：由图可知，当时，；当时，； 乙队划行的速度为米/分， 故答案为：米/分； 【小问3详解】 解：设甲的表达式为， 将代入表达式得， 则甲队的表达式为； 设甲的表达式为， 将和代入表达式得， 解得， 则乙队的表达式为； 联立，解得， 答：当甲队和乙队相遇时，甲队走了米． 23. 如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． （1）如图①，当时，___________； （2）如图①当___________时，的面积等于面积的一半； （3）如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】（1）4 （2）或 （3）点的运动速度为或时，在两点运动过程中的某时刻，． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：；当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）分两种情况讨论：①当点在上，点在上；②当点在上，点在上，根据全等三角形的性质，得到，，再分别求出点的运动时间，进而求出点的运动速度即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； 【小问2详解】 解：中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：∵，，，，，，，， ∴， ①当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； ②当点上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； 综上可知，点的运动速度为或时，在两点运动过程中的某时刻，． 24. 【知识生成】已知通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，，求的值； 【类比应用】（2）若，求的值； 【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接，，若，，直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，掌握完全平方公式的变形是正确解答的关键． （1）用完全平方公式展开，代入已知代数式即可得出答案； （2）利用完全平方公式由可得，化简再将代入即可得出答案； （3）设，，由得，据此可得，然后再由得，由此利用完全平方公式可求出，最后再利用三角形的面积公式可求出的面积． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 即：， 又∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）设，， ∵，A，O，D在一直线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴． 25. 【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，，，，．依据的是判定定理_________． A． B． C． D． 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图（3），在四边形中，，，，连接，，，到直线的距离为7，请求出的面积． 【答案】（1）B；（2），；（3） 【解析】 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）由条件可以看出是两边及夹角对应相等的两个三角形全等，据此求解即可； （2）先证明得到，，再延长与交于点O，证明即可得到； （3）过A作交延长线于M，作交于N，可证得，可得，再由求出和的长即可． 【详解】解：（1），，， ．依据的是判定定理， 故选：B； （2），，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 延长与交于点O，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）过A作交延长线于M，作交于N，如图3， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵A到直线的距离为7， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $