13.2 与三角形有关的线段 课件 2026-2027学年数学人教版八年级上册

该初中数学课件聚焦“三角形的边”及“中线、角平分线、高”核心内容，通过小狗路线、菜地分块等生活情境导入，引导学生从实际问题抽象数学关系，搭建“情境-猜想-证明-应用”的学习支架，衔接知识脉络。 其亮点在于以生活情境培养抽象能力，如三边关系从“两点之间线段最短”推导发展推理意识，典型例题结合等腰三角形分类讨论强化模型意识。课堂小结系统梳理知识，学生能提升数学思维，教师可高效落实教学目标。

13.2 与三角形有关的线段 22051 13.2.1 三角形的边 22051 掌握三角形的三边关系. 学会利用三边关系判断已知的三条线段能否组成三角形. 了解三角形的稳定性在生活中的应用. 学习目标 22051 在一个三角形小路上，在 A 点的小狗，为了吃到 B 点的骨头，它有几条路线可以选择？哪条路线最快呢？ ① ② ② ① AB ② AC + CB 怎么比较两条路线的长短呢？ 情境导入 22051 猜想 AC + CB＞AB 证明 ∵两点之间，线段最短. ∴ AC + CB＞AB. 同理： AC + AB＞BC, AB + BC＞AC. C A B 结论1 三角形两边的和大于第三边. 新知讲解 22051 AC＞AB- CB AC + AB＞BC AB + BC＞AC 思考：你还能得出其他三边之间的数量关系吗？ AC + CB＞AB AB＞BC- AC BC＞AC- BC 结论2 三角形两边的差小于第三边. 第三边取值范围：两边之差＜第三边＜两边之和 C A B 新知讲解 22051 结论1 三角形两边的和_____第三边. 结论2 三角形两边的差_____第三边. 第三边取值范围：_________＜第三边＜_________ 大于 小于 两边之差 两边之和 C A B 三角形三边的关系 知识归纳 22051 例 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ 解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm， 则x+2x+2x=18. 解得x=3.6. 所以，三角形三边的长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm. x 2x 2x 典型例题 22051 解：(2)因为长为4 cm的边可能是腰，也可能是底边， 所以需要分情况讨论. ①如果4 cm长的边为底边，设腰长为x cm, 则4+2x=18. 解得x=7. 4 x x 例 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ 典型例题 22051 ②如果4 cm长的边为腰，设底边长为y cm，则 2×4+y=18. 解得y=10. 因为4+4<10，不符合“三角形两边的和大于第三边”， 所以不能围成腰长是4 cm的等腰三角形. 由以上讨论可知，可以围成底边长是4 cm的等腰三角形. y 4 4 典型例题 22051 思考：对于三条线段，当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形？ 一般地， 如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形. 如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形. 新知讲解 22051 1.下列长度的三条线段能否组成三角形?为什么? (1)3，4，8； (2)5，6，11； (3)5，6，10. 答：(1)不能．因为3 + 4<8，不符合三角形两边的和大于第三边. (2)不能．因为5 + 6 =11，不符合三角形两边的和大于第三边. (3)能．因为5 + 6＞10，10 + 6＞5，10 + 5＞6，符合三角形两边的和大于第三边. 判断三条线段是否可以组成三角形，只需判断两条较短线段长之和是否大于第三条线段长即可.. 跟踪训练 22051 2.三角形的三边长分别为2，7，a，则a的取值范围是 . 解：因为三角形两边的和大于第三边， 所以2+7>a且2+a>7且7+a>2， 所以5<a<9. 5<a<9 三角形的第三边长 x 满足两边之差＜x＜两边之和. 若三角形的三边长分别为a，b， 则第三边长度x应该满足：|a-b|<x<a+b. 跟踪训练 22051 如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗? 可以发现，三角形木架的形状不会改变，这就是说，三角形是具有稳定性的图形. 新知讲解 22051 在日常生活中，三角形的形状随处可见，并且工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架结构，起重机的起重臂，钢架桥结构等，你能再举一些例子吗? 新知讲解 22051 3.在日常生活中，我们通常采用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一张摇晃的椅子，请用数学知识说明这样做的依据是：　 　 ． 三角形具有稳定性 跟踪训练 22051 三角形的边 三角形两边的和 第三边. 三角形两边的差 第三边. 三角形的存在性 如果三条线段中 ，那么这三条线段能组成三角形；如果三条线段中 ，那么这三条线段不能组成三角形. 三角形的稳定性 三角形是具有 的图形. 大于 小于 任意两条线段的和大于第三条线段 有两条线段的和小于或等于第三条线段 稳定性 课堂小结 22051 1.下列每组数分别是三根小木棍的长度，其中能摆成三角形的是（　A　） A. 3 cm，4 cm，5 cm B. 7 cm，8 cm，15 cm C. 3 cm，12 cm，20 cm D. 5 cm，5 cm，11 cm A 2. 三角形两边的长分别是 4 和 10，则此三角形第三边的长可能是（　C　） A. 5 B. 6 C. 11 D. 16 C 3.如图，要使五边形木架不变形，需要再钉上木条的根数至少为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 B 当堂检测 基础 22051 4.木匠师傅在做完门框后，为防止门框变形，常用如图的方式斜拉两个木条，这样做的数学道理是 . 三角形具有稳定性 5.已知 a，b，c 为三角形的三边，化简 | a－b－c| － |c－a＋b | 的结果是 . 0 当堂检测 基础 22051 6.已知三角形的边长分别为 3，8，x. (1) 若的值为偶数，则的值是多少? 解：(1) ∵ 3＋8＝11，8－3＝5， ∴ 5 < x < 11. ∵ x 为偶数， ∴ x 可以是 6 或 8 或 10. (2) 若该三角形为等腰三角形，求它的周长. (2) ∵三角形为等腰三角形， ∴ x＝3 或 8. 当 x＝3 时，3＋3 < 8，不符合三角形三边关系，舍去； 当 x＝8 时，3＋8 > 8，∴ x＝8. ∴三角形周长为 3＋8＋8＝19. 当堂检测 提升 22051 13.2.2 三角形的 中线、角平分线、高 22051 理解三角形的中线、角平分线、高线的概念和区别. 了解三角形重心的概念，会画出任意三角形的中线、角平分线、高线. 能够利用三角形三边关系、三种重要线段解决一些与线段或角度有关的计算或证明问题，逐步提高推理能力. 学习目标 22051 如图，有一块三角形的菜地，现要求分成面积比为1：1：2三块，且图中A处是三块菜地的共同水源处，应该怎么分？ A 新课导入 22051 三角形的中线 A B C 如图，连接△ABC 的顶点 A 和它所对的边 BC 的中点 D. 所得线段 AD 叫作△ABC 的边 BC 上的中线. D ∵ BD = CD = BC ， ∴ AD 是△ABC 的中线. 几何语言： F 你能画出几条中线？ E 三角形有3条边，所以一个三角形有3条中线. 新知讲解 22051 三角形的三条中线相交于一点，并且这个交点叫作三角形的重心. 画一画：如图，画出直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？ A B C D F E A B C A B C F D E F D E 新知讲解 22051 图中框架能被手指托起后保持平衡，是因为手指恰好托在了框架的重心上. 一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块木板的重心. 新知讲解 22051 D C B A 思考 被三角形的中线分成的两个小三角形的面积大小有什么关系？ 相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等. 三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形. 新知讲解 22051 例1 如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线，则 BD = ____，AE = ____， AB = 2____； A B C D F E CD AC AF 典型例题 22051 1. 如图，AD 是 △ABC 的中线，AB = 4，AC = 3. 若 △ACD 的周长为 8，则 △ABD 的周长为_____. 9 C△ABD = AB+AD+BD = 4 + 5 = 9 AD + CD = 5 C△ACD =AD+AC+CD = 8 AD 是 △ABC 的中线 CD = BD 分析： 跟踪训练 22051 三角形的角平分线 做一做 在一张纸上画出一个一个三角形并剪下来，将它的一个角对折，使其两边重合. ∠1＝∠2，AD 平分∠BAC . 问题1：如图，AD 是折痕，则∠1 和∠2 之间有什么数量关系？ A B C 1 2 D 问题2：类比三角形中线，三角形的角平分线是什么？ 新知讲解 22051 如图，画△ABC 的∠A 的平分线 AD，交∠A 所对的边 BC 于点 D. B C F 几何语言： 你能画出几条角平分线？ D E 三角形有3个内角，所以可以画3条角平分线 ∵ ∠1=∠2 = ∠BAC， ∴ AD 是△ABC 的角平分线. 所得线段 AD 叫作△ABC 的角平分线. 1 2 提示：可以折一折或用量角器 A 新知讲解 22051 角的平分线是一条______， 三角形的角平分线是一条_______. 射线 线段 1 2 A O C A B C P 1 2 注意区分 新知讲解 22051 再画出直角三角形和钝角三角形的角平分线，你发现了什么？ A B C A B C F D E F D E A B C F D E 三角形的三条角平分线相交于三角形内一点(三角形的内心) 新知讲解 22051 例2 如图2，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线. 则∠1 = ______， ∠3 = _________， ∠ ACB= 2______. ∠2 A B C E F D ∠ABC ∠4 1 2 3 4 典型例题 22051 2.如图，DC 平分∠ACB，DE∥BC，∠AED = 80°，求∠ECD 的度数. 解：∵ DC 平分∠ACB， 又 DE∥BC， ∴∠ACB =∠AED = 80°. ∴∠ECD = 40°. A B C E D ∴∠ECD =∠BCD = ∠ACB. 跟踪训练 22051 三角形的高 请在下图中过点 A 画线段 BC 所在直线 l 的垂线. 这条垂线段是什么？ A B C D 垂足 l 你还记得如何“过一点画已知直线的垂线”吗？ 新知讲解 22051 如图，从△ABC的顶点 A 向它所对的边 BC 所在直线画垂线，垂足为 D. A B C 几何语言： D ∴AD是△ABC 的高 ∵AD⊥BC (∠BDA =∠CDA = 90°) 所得线段 AD 叫作△ABC 边 BC 上的高线. 三角形的高线简称三角形的高 新知讲解 22051 A B C D E F O 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 锐角三角形的三条高交于三角形内一点. 这个点叫作三角形的垂心. 画出锐角三角形的三条高，你有什么发现？ 新知讲解 22051 画出直角三角形的三条高，你有什么发现？ A B C 直角边BC边上的高是_____； 直角边AC边上的高是_____； AC BC 斜边AB边上的高是_____； D CD 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边，三条高的交点在直角顶点处. 新知讲解 22051 画出钝角三角形的三条高，你有什么发现？ A B C D E F 三条高的交点在三角形外部. O 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上. 新知讲解 22051 A B C D E F B A C F A B C D E F 三角形的三条高所在直线交于一点(三角形的垂心). 知识归纳 22051 例3 在下图中，正确画出△ABC 中边BC 上高的是（ ） C A. B. C. D. A D C B A D C B A D C B A D C B 典型例题 22051 3 .如图，在三角形中，已知 ，,,, 则边上的高 的长为_ __. 返回 跟踪训练 22051 三角形的重要线段 高 三条高或其所在直线相交于一点 中线 等分边，等分三角形的面积 三条中线相交于三角形内部一点，这个交点是三角形的重心 角平分线 三角形的内角被分成两个相等的角 三条角平分线相交于三角形内部一点 垂线，90°角 课堂小结 22051 1.如图，在△ ABC 中， BD 是角平分线，若∠ ABC ＝72°，则∠ ABD ＝ ⁠°. 36　 2. 如图，虚线部分是小刚作的辅助线，你认为线段 CD （　C　） C 3. 在△ABC 中，AB = 18，BC = 16，BD 是 AC 边上的中线，若△ABD 的周长为 41，那么△BCD 的周长是（ ） A. 39 B. 41 C. 43 D. 无法确定 A A. 是 AC 边上的高 B. 是 BC 边上的高 C. 是 AB 边上的高 D. 不是△ ABC 的高 当堂检测 基础 22051 4. 如图，已知△ABC. (1) CD 是△ABC 的高，则∠ADC＝ ＝90°， ∠BDC S△ABC＝ ； (2) CE 是△ABC 的中线，则AE＝ ＝ ， S△BCE＝S△BCE＝ S△ABC； BE AB （3）CF 是△ABC 的角平分线，则∠ACF＝∠ ＝ ∠ . BCF ACB 当堂检测 基础 22051 5.如图，已知 AD 是△ ABC 的边 BC 上的中线. （1）作出△ ABD 的边 BD 上的高； 解：（1）如图， AE 即为所求. （2）若△ ABC 的面积为10，则△ ADC 的面积为 ⁠；1）如图， AE 即为 5　 （3）若△ ABD 的面积为6，且 BD 边上的高为3，求BC 的长. 解：（3）∵ AD 是△ ABC 的边BC 上的中线，△ ABD 的面积为6， ∴△ ABC 的面积为12. ∴ BC · AE ＝12. 由题可知 AE ＝3，∴ BC ＝8. 当堂检测 提升 22051 6. 如图，在△ABC 中，已知 D、E、F 分别为 BC、AD、CE 的中点，且 S△ABC = 12，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C A B C D E F S△ABD = S△ACD =S△ABC = 6 6 6 S△BDE = S△CDE =S△ABD = 3 3 3 S△BEF =S△BCE = 3 当堂检测 提升 22051 $