13.3 三角形的内角与外角 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形内角和定理、直角三角形内角关系及外角性质，通过“三角形对话”情境导入，衔接小学认知，以剪拼、作平行线验证内角和，结合三角板复习引出直角三角形性质，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以情境问题激发探究欲，通过动手剪拼与逻辑推理（作辅助线证明）培养推理能力，结合三岛视角等实例强化应用，体现数学思维与数学语言。小结结构化梳理知识，助力学生提升探究与应用意识，为教师提供清晰教学流程与多样化资源。

第十三章 三角形 13.3 三角形的内角与外角 第十三章 三角形 13.3 三角形的内角与外角 13.3.1 三角形的内角 第1课时 三角形的内角和 学习目标 1.学习和掌握三角形的内角和定理. 2.理解三角形的内角和定理的推导、验证过程. 3.在解决实际问题时能熟练运用三角形的内角和定理. 学习重难点 掌握三角形的内角和定理. 理解三角形的内角和定理的推导、验证过程. 难点 重点 新课导入 我的形状最小，那我的内角和最小. 我的形状最大，那我的内角和最大. 不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的. 一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形的内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧. 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的. 除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢? 剪拼 A B C 2 1 在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 平行 新课讲授 验证结论 三角形的内角和等于180°. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 已知：△ABC. 证法1：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1，∠C=∠2. (两直线平行,内错角相等) ∵∠1+∠2+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. 即∠A+∠B+∠C=180°. 1 2 证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，∴ ∠A=∠1 . (两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2. (两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. C B A E D 1 2 例题解读 1.如图，在△ABC中， ∠BAC=40°, ∠B=75°,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. A B C D 解：由∠BAC=40°, AD是△ABC的角平分线， 得∠BAD= ∠BAC=20°. 在△ABD中， ∠ADB=180°-∠B-∠BAD =180°-75°-20°=85°. 北 . A D 北 . C B 东 E 2.如图是A,B,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？ 解：∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80°-50°=30°. 由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180°. 所以∠ABE=180°- ∠BAD=180°-80°=100°, ∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100°-40°=60°. 在△ABC中， ∠ACB=180°- ∠ABC- ∠ CAB =180°-60°-30° =90°, 答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60°,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°. 北 A D 北 C B 东 E 小结 三角形的 内角和定理 证明 了解添加辅助线的方法及其目的 内容 三角形的内角和等于180° 随 堂 小 测 1.求出下列各图中的x值． x=70 x=60 x=30 x=50 随 堂 小 测 2.如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数． 解：∵∠A＝50°，∠B＝70°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°. ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°. ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD＝30°， 在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°. 15 第十三章 三角形 13.3 三角形的内角与外角 13.3.1 三角形的内角 第2课时 直角三角形的内角 学习目标 1.了解直角三角形两个锐角的关系. 2.掌握直角三角形的判定. 3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算. 学习重难点 了解直角三角形两个锐角的关系. 掌握直角三角形的判定. 会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算. 难点 重点 复习导入 三角形的内角和为多少度呢? 如图所示是我们常用的三角板,两锐角的度数之和为多少度? 30°+60°=90° 45°+45°=90° 思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？ 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？ 在Rt△ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形的内角和定理，得∠A +∠B+∠C=180°,即∠A+∠B=90°. A B C 1.直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余．　　 直角三角形的表示： 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ． 新课讲授 例题解读 1.如图， ∠C=∠D=90 °,AD,BC相交于点E. 比较∠CAE与∠DBE的大小. A B C D E 解：在Rt△ACE中， ∠CAE=90°- ∠AEC. 在Rt△BDE中, ∠DBE=90°- ∠BED. ∵ ∠AEC= ∠BED， ∴ ∠CAE= ∠DBE. 如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？ 在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形. 2.直角三角形的判定： 有两个角互余的三角形是直角三角形. 新课讲授 2.如图，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？ A C B D E ( ( 1 2 解：在Rt△ABC中， ∠2+ ∠A=90 °. ∵ ∠1= ∠2, ∴∠1 + ∠A=90 °. 即△ADE是直角三角形. 例题解读 小结 直角三角形的性质与判定 性质 直角三角形的两个锐角互余 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 随 堂 小 测 1.（1）如图，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？ （2）如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由. 解：∠A=∠D.理由如下：∵∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠AOB=90°∠D+∠COD=90°. ∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠D. 解：∠A=∠C.理由如下： ∵∠B=∠D=90°， ∴∠A+∠AOB=90°∠C+∠COD=90°. ∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠C. 随 堂 小 测 2.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：△ACD是直角三角形． 证明：∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵∠ACD=∠B， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴△ACD是直角三角形. 28 第十三章 三角形 13.3 三角形的内角与外角 13.3.2 三角形的外角 学习目标 1.了解三角形的外角的概念. 2.理解三角形的外角性质. 3.熟练掌握并运用三角形外角性质解决实际问题. 学习重难点 理解三角形的外角性质. 熟练掌握并运用三角形的外角性质解决实际问题. 难点 重点 复习导入 邻补角的概念：如图，∠1和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线（∠1和∠2互补），具有这种关系的两个角互为邻补角. 邻补角的性质：∠1+∠2=180°. C A B O 1 2 问题：如果延长△ABC的边AB至点D，那么该延长线BD与相邻的边BC形成的∠CBD具有什么样的性质呢？ B C A D 新课讲授 1.三角形的外角定义 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. A C B D 问题1：三角形的外角和相邻的内角之间的大小关系？ 问题2：三角形的外角具备什么特征？ 三角形的外角和相邻的内角之和为180°. ①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一条边； ③另外一条边是三角形某条边的延长线. A B C 画一画 画出△ABC的所有外角，共有几个呢? 每一个三角形都有6个外角． 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角. 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 ∠BCD与∠ACB互补. 如图，△ABC的外角∠BCD与其与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 ∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B=∠BCD. D 证明：过C作CE平行于AB， A B C 1 2 ∴∠1= ∠B，（两直线平行，同位角相等） ∠2= ∠A ，（两直线平行，内错角相等） ∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B. E 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B. 验证结论 2.三角形的内角和定理的推论 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 新课讲授 例题解读 1.图中∠1的大小等于(　　) A．40° B．50° C．60° D．70° D 2.如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（ ） A.40° B.45° C.50° D.55° 解析：∵∠A=60°，∠B=40°， ∴∠ACD=∠A+∠B=100°. ∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD=50°. A B C D E C 3.如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数. ∵ ∠BEC是△AEC的一个外角， ∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE， ∵∠A=42°，∠ACE=18°， ∴ ∠BEC=60°. ∵ ∠BFC是△BEF的一个外角， ∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF， ∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°， ∴ ∠BFC=88°. 解： F A C D E B 4.如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2. 所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）. 由∠1+∠2+∠3=180°，得 ∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°. 小结 三角形的外角 定义 角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线 性质 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 随 堂 小 测 1．如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是(　　) A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1 B 随 堂 小 测 2.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F等于（ ） F A B E C D A.26° B.63° C.37° D.60° A 45 解：∵∠ADC是△ABD的外角. 3.如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：（1）∠B 的度数；（2）∠C的度数. 在△ABC中， ∠B+∠BAC+∠C=180°， ∠C=180º-40º-70º=70°. ∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°. 又∵∠B=∠BAD， A B C D $