微专题拓展03 巧用抽象函数模型速解压轴题（9大题型）-2027年新高考数学一轮总复习解题妙招精讲与题型整合（新高考专用）

该高中数学高考复习讲义聚焦抽象函数模型应用这一核心考点，覆盖一次型、正弦型、指数型等九类高考高频抽象函数模型，按“方法总结-题型突破-真题精练”逻辑架构梳理知识，通过模型特征归纳、典例精讲、变式训练等环节，帮助学生建立从具体模型到抽象问题的转化框架，突破压轴题难点。 资料创新采用模型具象化教学策略，将抽象函数性质与具体函数模型关联，培养学生数学抽象与逻辑推理能力，如余弦型抽象函数结合周期性求函数值的专题训练。设置基础例题、变式提升、拓展精练三层练习，配合即时反馈设计，确保高效突破考点，助力学生提升解题速度与准确性，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

微专题拓展03 巧用抽象函数模型速解压轴题 目录 01 解题方法总结 2 方法总结一、常见的抽象函数模型 2 02 重难点题型梳理 4 题型一：一次型抽象函数 4 题型二：正弦型抽象函数 5 题型三：余弦型抽象函数 7 题型四：指数型抽象函数 9 题型五：对数型抽象函数 11 题型六：二次型抽象函数 12 题型七：幂型抽象函数 16 题型八：正切型抽象函数 17 题型九：其它型抽象函数 21 03 课后拓展精练 25 方法总结一、常见的抽象函数模型 （1）一次函数模型 （2）二次函数模型 （3）幂函数模型 或 （4）指数函数模型 或 且 ） （5）对数函数模型 或 或 且 ） （6）正切函数模型 （7）正弦函数模型 （8）余弦函数模型 或 （9）双曲函数模型 或 （10）其它模型 ， 题型一：一次型抽象函数 【例1】（2026·高三·山西吕梁·阶段检测）已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，得. 令，得，解得， 则不等式转化为， 因为是增函数，且， 所以不等式的解集为. 故选：A 【变式1-1】已知定义在上的单调函数，其值域也是，并且对于任意的，都有，则等于（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】由于在上单调，且值域为，则必存在，使得， 令得，，即， 于是，，则， 从而，有. 故选：D 【变式1-2】设函数满足，且对任意、都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对任意、都有，且， 令，得， 令，可得， 所以， 则， ， ， ...... ， 等式两边同时相加，得，即， 故选：A. 【变式1-3】已知函数的定义域为，且，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 【答案】D 【解析】令可得，所以， 再令可得， 即①， 将上式中的全部换成可得②， 联立①②可得, 所以， 故选：D 题型二：正弦型抽象函数 【例2】已知函数的定义域为R，且，，为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【解析】令，则，得； 令，则，即 ， 令，则， 若，则； 若，则，则，则为奇函数， 因为为偶函数，所以，则， 则， 因为为奇函数，所以， 可得，则是以为周期的函数． 因为，所以，则． 由得，则， 得， 故． 【变式2-1】已知函数的定义域为，且为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】函数的定义域为，且有， 令，得，解得； 令，得，则， 而，即不恒为0，因此，函数为奇函数， 由为偶函数，得，则， 于是，，8为的一个周期， 由，得，即 ，因此，所以. 故选：B 题型三：余弦型抽象函数 【例3】已知函数的定义域为R且则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】令得， ， 又 ，所以 ①， ①中将替换为 ，得 ②， 由①+②，得 ③， ③中将替换为 ，得 ， ③中将替换为 ，得 ， 所以 的周期为6， 令，得 . 由①，易得 ， 同理 ， 所以 ， . 故选：A 【变式3-1】若，且，则（    ） A．-2 B．-1 C． D．0 【答案】A 【解析】令，，得，得， 令，， 又，故，即， 故得到周期， 令，，即，故是偶函数， 又，，所以得到图象关于对称， 所以，，，， 所以. 故选：A 【变式3-2】已知函数的定义域为，，且，则（   ） A．1 B． C．2024 D． 【答案】B 【解析】令，，则，因为，所以， 令，则， 则， 则，所以以6为周期， 令，得，所以， 则． 故选：B． 【变式3-3】若的定义域为，且，，则（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【答案】A 【解析】令，则， 则，与上式相加可得， 即，所以， 则， 所以是以周期为6的函数， 所以， 因为，， 所以令，可得，解得或4， 令，可得，所以， 令，可得，所以， 令，可得，所以. 故选：A 题型四：指数型抽象函数 【例4】已知函数是定义在R上不恒为零的函数，对任意的x，均满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，得， 代入，得， 当x为正整数时，， 所以， 所以，代入，得， 所以（且），又当时，也符合题意， 所以（）． 所以， 令， 则， 所以， 所以， 所以. 故选：D 【变式4-1】已知函数，，且，则函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数，，， 得，整理得， 对于A，，，则，A不是； 对于B，，，则，B不是； 对于C，，，则，C是； 对于D，，，则，无意义，D不是. 故选：C. 【变式4-2】已知函数满足：，，则的值（　　  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由,, 令,得,所以, 令可得 所以 . 故选:C. 【变式4-3】如果函数对任意满足,且,则 A．505 B．1010 C．2020 D．4040 【答案】C 【解析】函数对任意，满足，且， ， ． 故选． 题型五：对数型抽象函数 【例5】已知定义在上的函数，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， ， 依次类推可得。 故选：C 【变式5-1】已知函数的定义域为，若对于任意的， 都有，当时，都有，．则函数在区间上的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】任取，则， 由当时，都有，得， 任意的，都有， 即， 则， 因此函数在上单调递增， 故时， . 故选：B 【变式5-2】若定义在上的函数满足：，且，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知可得函数的定义域为，满足①，且， 对于选项A，可令，代入①式，得，得，所以A选项是正确的； 对于选项B，可令，代入①式，得，得，所以B选项是正确的； 对于选项C，可令，代入①式，得，而得，可令代入①式，得，整理得，所以C选项是错误的； 对于选项D，可令，代入①式，得，而得，可令代入①式，得，整理得，所以D选项是正确的. 故选：C. 题型六：二次型抽象函数 【例6】（多选题）（2026·福建福州·模拟预测）已知定义在上的函数满足,且当x>1时，， 则（     ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由题意，，. 赋值，得； 赋值，得，即， 当时，， 当时，则，所以，即； 所以，A正确， 取，则，，显然不成立，B错， 赋值，得，解得， 即； 由，， 得， 其中由，可知， 当时，，即； 当时，，即；故C错误； ，得； 又，所以， 则， 故，且不恒为，故D正确. 故选：AD. 【变式6-1】已知函数对任意实数x，y满足，且，若对所有，恒有，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，代入，得，故. 构造函数，则，故可设，其中. 因此，. 当时，，对任意，恒成立，符合要求； 当时，为开口向上的二次函数，零点为，，要使时恒成立，需零点，解得. 当时，为开口向下的二次函数，当时，不满足恒非负要求，舍去. 综上，的取值范围是. 【变式6-2】（2026·浙江杭州·模拟预测）对于每一对实数，，函数满足函数方程，如果，那么满足的的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个 【答案】A 【解析】令，则， ①， 分别令， 可得， ， ， 并将诸式相加得 整理可得②， 从而对所有自然数，②式成立. 若，可得，，. 于是，对且时，无解. 对公式①取得. 再取得. 进而得，，. 再由①式，时，. 从而，时，有. 所以，只有时，. 故选：A 【变式6-3】已知函数满足对任意实数，都有，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，代入题设函数方程得： ， 将代入化简，得递推关系：， 当时，有， 则，，， 故 ， 故，则. 【变式6-4】若，，则（    ） A．50 B．55 C．99 D．101 【答案】D 【解析】解法一：（赋值）令得，所以； 令得，所以； 令得，所以； 令得，所以； 令，得，所以； 令，得，所以． 解法二：（赋值递推）令得，所以， 所以，累加得， 所以． 解法三：（抽象函数具体化）观察发现满足题意且， 所以． 题型七：幂型抽象函数 【例7】（多选题）（2026·湖北·模拟预测）已知定义在R上的函数不是常数函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A：令，则， 即， 又函数不是常数函数，所以， 即，故A正确； 对于B：令，则， 所以，即，故B错误； 对于C：令，，则， 再令，，则， 由可知，当时，， 则，故C正确； 对于D：令，则，所以， 则，，又， 所以， 即，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ACD. 【变式7-1】（多选题）已知函数的定义域为，若，则以下一定成立的是（   ） A． B． C．为奇函数 D．在上是增函数 【答案】AC 【解析】对于A，令，可得，所以，故A正确； 对于B，当时，显然符合题设条件，此时，不一定有， 故B错误. 对于C，令，，所以， 令，时可得，所以为奇函数， 故C正确； 对于D，当时，显然符合题设条件，此时在上不具备单调性，故D错误. 故选：AC. 题型八：正切型抽象函数 【例8】（多选题）（2026·安徽六安·模拟预测）已知函数的定义域为，值域为，若，且 ，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．设函数，则 D．设函数，则… 【答案】ABD 【解析】先推导函数基本性质： 令，代入函数方程得，整理得，结合值域得. 令，代入得，故，即为奇函数. 令，得 ①. 接下来逐一判断选项： 对于选项A：. ∵ ，∴ ，右侧不等式成立. 又 ， ∵ ，∴ ，故，即，左侧不等式成立.故A正确. 对于选项B：由①式得. ∵ ，∴ . 又 ，∵ ，∴ ，， 故 ，即. 综上，B正确. 对于选项C：，代入的表达式： 分子：， 分母：， 故 ，C错误. 对于选项D： 由①式得，令，则. 故乘积. 先证左侧不等式：∵ ，且由，结合B中结论可得与同号，故 ， ，故 . 再证右侧不等式：令 ，则， ， ，∵ ，故，数列单调递增， 故 ，即 ，故. 综上，D正确. 【变式8-1】定义在的函数，当时，若，，，则P，Q，R的大小为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取，则， 所以，，令x=0,则-f(y)=f(-y),故函数在(-1,1)上是奇函数， 当-1<x<0时，f(x)<0,则当0<x<1时，f(x)>0,所以P>R,Q>R, 由，得：= 所以 所以 所以． 故选D． 【变式8-2】（2026·江西抚州�模拟预测）定义在的函数满足：，，且时，，若，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，令，则，得， 令得，即函数是奇函数， 下面判断函数的单调性，令，则， ，所以， 所以，即， 所以在单调递增， ，， ， 构造函数，则， 当时，，当时，， 所以在递增，在递减， 则， 即， 所以，又在单调递增， 所以，也即． 【变式8-3】（）已知函数定义在区间上，，且当x，时，恒有，又数列满足，，设，对于任意的，的最小自然数m的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】令时，则由已知有， 可得再令，， 则有，即， 是上的奇函数. 令，，于是， 由已知得， ，数列是以为首项， 2为公比的等比数列. ，， ， 又任意的，，，即， 故自然数m的最小值为5. 故选：C. 题型九：其它型抽象函数 【例9】（2026·河北·模拟预测）已知定义在上的函数满足，则（    ） A．是奇函数且在上单调递减 B．是奇函数且在上单调递增 C．是偶函数且在上单调递减 D．是偶函数且在上单调递增 【答案】A 【解析】令，则，所以， 令，则，所以， 令，则， 所以， 令，则，所以， 因为，且定义域关于原点对称，所以函数是奇函数， 由反比例函数的单调性可得函数在上单调递减. 故选：A. 【变式9-1】已知偶函数满足：，且，若，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由，用代换，可得， 联立方程组，可得，即， 又由函数为偶函数，且，可得与同号， 所以，可得函数是周期为的函数， 因为，与同号，则， 令，可得，所以， 则. 故选：C. 【变式9-2】已知函数的定义域为，且，，为奇函数，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【解析】因为， 令，则，即， 且，可得， 令，则， 且不恒为0，则，即， 又因为为奇函数，则，即， 令，则，可得， 且， 令，则；令，则； 可得，可知函数的一个周期为4， 则， 所以. 【变式9-3】已知函数的定义域为，若，且，则（    ） A．0 B．1 C．10 D．20 【答案】A 【解析】令，则， 令，则． 令，则，所以函数的图象关于直线对称． 令，则， 所以，的图象关于点对称． 由和，可得， 令，则， 故，则， 是周期的函数． 又，所以． 1．给出下列三个等式：，．下列函数中不满足其中任何一个等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对各个函数分别进行验证即可对于A，， 对于B，， 对于C，， 对于D，， ， 所以函数不满足其中任何一个等式， 故选：D 2．（2026·重庆·模拟预测）若定义在上的函数，满足，且，则（    ） A．0 B．-1 C．2 D．1 【答案】D 【解析】令，则有， 又，∴.令，. 则有，∴. 令，则有. ∵，∴，∴， ∴ . 故选：D. 3．已知函数的定义域为 ，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程有解 C．函数在定义域内单调递减 D．的最小值为 2 【答案】D 【解析】对于A，因为的定义域为，且满足 且， 取，可得，则， 取，可得 ，则，所以A错误； 对于B，取，可得，则， 所以， 以上各式相加得，所以， 经检验：其中满足上式，所以 ， 令，可得，此方程无解，所以B错误； 对于C，由函数 ， 由函数的图象开口向上，且对称轴为， 所以函数在上单调递增，所以在上单调递增，所以C错误； 对于D，由C项知：函数在上单调递增， 所以，所以D正确. 4．已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，可得， 因为，所以， 则. 5．已知函数对于任意的实数都有，且，则下列选项正确的是（   ） A． B．为偶函数 C．在上单调递减 D．为奇函数 【答案】B 【解析】令，则，且，所以，是非奇非偶函数，故D错误； 设，，， 则，，故A错误； ，所以是偶函数，且在上单调递增，故B正确，C错误. 故选：B 6．已知函数的定义域为，则（　　） A．230 B．201 C．157 D．119 【答案】A 【解析】由， 得，又， 令，则， 令，即，又， 所以， 所以，所以，所以， 所以. 故选：A 7．已知函数满足，若，则（    ） A．128 B．4096 C．8192 D．16384 【答案】D 【解析】由，， 令，则， 即， 所以 . 故选：D. 8．（2026·河南·三模）已知函数满足：，且，，则的最小值是（    ） A．135 B．395 C．855 D．990 【答案】C 【解析】由，得，令，得， 令，得， 故，又， 所以， 所以，因为，当时，的最小值为855． 故选：C． 9．已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C． D． 【答案】C 【解析】对于A：令，则， 又，所以，故A错误； 对于B：因为，所以不为奇函数，故B错误； 对于C：令，则， 即，得。由的任意性可知，故C正确； 对于D：令，则， ，则， 所以，可得， 可知是周期为6的周期函数． 所以，故D错误． 故选：C． 10．已知函数的定义域为，且,，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数的定义域为，且, 令，得，即， 因为，所以得. 再，得，， 即，所以函数为偶函数. 再令，得， 因为为偶函数，所以， 因此，且，所以. 又令，得，所以， 因为函数为偶函数，所以，因此. 令，得，得. 令，得，即， 用代替得， 再用代替得， 即，所以函数的一个周期为. 因为，所以. 因此， 所以 . 因此. 11．（多选题）（2026·广东佛山·模拟预测）已知定义域为的函数对任意实数x，y，都有成立，则下列说法正确的是（    ） A． B．一定不是奇函数 C．若是偶函数，则 D．若，则 【答案】ABD 【解析】对于选项A：在中， 令，则，① 再令，，则，A正确； 对于选项B：由①得：， 故一定不是奇函数，B正确； 对于选项C：若是偶函数，则， 所以， 整理得：，故，C错误； 对于选项D：在中， 令，， 可得， 所以，又， 所以， ， ， ， 以上各式累加，得， 故 ，D正确． 故选：ABD． 12．（多选题）（2026·青海·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．的值域为 C．是偶函数 D．是增函数 【答案】ABC 【解析】由，得，令函数， 则，为常函数，令，则，， 因此，的值域为是偶函数， 函数在上单调递减，在上单调递增，ABC正确，D错误. 故选：ABC 13．（多选题）函数满足：，则（   ） A． B． C．图象不关于对称 D．的解析式可以是 【答案】AD 【解析】令，可得，解得，故A正确； 取，则满足：，此时，故B错误； 由B，当时，函数图象关于对称，故C错误； 若时，， ，且 所以满足，故D正确. 故选：AD 14．（多选题）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B． C．函数是奇函数 D．函数是增函数 【答案】ACD 【解析】令，，则，因为， 所以， 令，，得， 即，，所以，故A正确； 令，，所以，为奇函数，故C正确； 由，令，得，故B错误； 上式中令为，得，为增函数，故D正确. 故选：ACD 15．设函数，满足下列条件： （1），，； （2）对任意实数都有，则当，时，的最大值为_____． 【答案】1 【解析】由条件（2），令，得，所以或． 若，令，，得． 再令，得，矛盾，所以． 令，． 所以， 所以 当，时，． 故的最大值为1． 故答案为：1 16．已知函数对于任意的正实数，，满足，且，则______． 【答案】3 【解析】分别对x，y进行赋值，即可解得结果.由题可知，． 故答案为：3. 17．已知定义在上的函数满足：对任意都有，当时，有． (1)判定在上的奇偶性，并说明理由； (2)判定在上的单调性，并给出证明； (3)求证：； 【解析】（1）函数的定义域为，令，得． 令，得，即， 所以在上是奇函数． （2）设，则， 由，得． 因为当时，所以， 即，从而在上单调递减． （3） ， 故 ， 又且，故， 从而． 18．求所有满足和，，的函数（为有理数集）． 【解析】在原恒等式中令，得，． 即,故， 又，，，因此 另外，在原恒等式中取，，，有 ，即． ∴  ． 最后，我们取，，、，，得 ． 故． ∴只有函数满足条件． 19．求所有函数，，使得对任意，． 【解析】（1），为此函数方程的平凡解．（2）下面我们考虑非平凡解． 令，则．若，则，即为常数； 于是，．故，为解． （3）若，则．令，有，任意． 故问题转化为求一个函数方程：（对任意，）的解． 令，则，故； 若，则，因而．即． 令，得①． 若，取，代入①，得，与矛盾． ∴，故，任意②． 特别地，，．取，， 代入方程得，任意，． 因此，任意，③． 由③，．当时， ． ∴，． 又，因此．令，则，故为双射． 将换成，有，任意，．令，则． 令，则，故． 又∵，∴，． 从而，任意． 28 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题拓展03 巧用抽象函数模型速解压轴题 目录 01 解题方法总结 2 方法总结一、常见的抽象函数模型 2 02 重难点题型梳理 4 题型一：一次型抽象函数 4 题型二：正弦型抽象函数 4 题型三：余弦型抽象函数 5 题型四：指数型抽象函数 5 题型五：对数型抽象函数 6 题型六：二次型抽象函数 6 题型七：幂型抽象函数 7 题型八：正切型抽象函数 7 题型九：其它型抽象函数 8 03 课后拓展精练 10 方法总结一、常见的抽象函数模型 （1）一次函数模型 （2）二次函数模型 （3）幂函数模型 或 （4）指数函数模型 或 且 ） （5）对数函数模型 或 或 且 ） （6）正切函数模型 （7）正弦函数模型 （8）余弦函数模型 或 （9）双曲函数模型 或 （10）其它模型 ， 题型一：一次型抽象函数 【例1】（2026·高三·山西吕梁·阶段检测）已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知定义在上的单调函数，其值域也是，并且对于任意的，都有，则等于（    ） A．0 B．1 C． D． 【变式1-2】设函数满足，且对任意、都有，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知函数的定义域为，且，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 题型二：正弦型抽象函数 【例2】已知函数的定义域为R，且，，为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【变式2-1】已知函数的定义域为，且为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 题型三：余弦型抽象函数 【例3】已知函数的定义域为R且则（    ） A． B． C．1 D． 【变式3-1】若，且，则（    ） A．-2 B．-1 C． D．0 【变式3-2】已知函数的定义域为，，且，则（   ） A．1 B． C．2024 D． 【变式3-3】若的定义域为，且，，则（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 题型四：指数型抽象函数 【例4】已知函数是定义在R上不恒为零的函数，对任意的x，均满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知函数，，且，则函数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知函数满足：，，则的值（　　  ） A． B． C． D． 【变式4-3】如果函数对任意满足,且,则 A．505 B．1010 C．2020 D．4040 题型五：对数型抽象函数 【例5】已知定义在上的函数，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知函数的定义域为，若对于任意的， 都有，当时，都有，．则函数在区间上的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式5-2】若定义在上的函数满足：，且，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 题型六：二次型抽象函数 【例6】（多选题）（2026·福建福州·模拟预测）已知定义在上的函数满足,且当x>1时，， 则（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知函数对任意实数x，y满足，且，若对所有，恒有，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·浙江杭州·模拟预测）对于每一对实数，，函数满足函数方程，如果，那么满足的的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个 【变式6-3】已知函数满足对任意实数，都有，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-4】若，，则（    ） A．50 B．55 C．99 D．101 题型七：幂型抽象函数 【例7】（多选题）（2026·湖北·模拟预测）已知定义在R上的函数不是常数函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（多选题）已知函数的定义域为，若，则以下一定成立的是（   ） A． B． C．为奇函数 D．在上是增函数 题型八：正切型抽象函数 【例8】（多选题）（2026·安徽六安·模拟预测）已知函数的定义域为，值域为，若，且 ，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．设函数，则 D．设函数，则… 【变式8-1】定义在的函数，当时，若，，，则P，Q，R的大小为　　 A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·江西抚州�模拟预测）定义在的函数满足：，，且时，，若，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（）已知函数定义在区间上，，且当x，时，恒有，又数列满足，，设，对于任意的，的最小自然数m的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型九：其它型抽象函数 【例9】（2026·河北·模拟预测）已知定义在上的函数满足，则（    ） A．是奇函数且在上单调递减 B．是奇函数且在上单调递增 C．是偶函数且在上单调递减 D．是偶函数且在上单调递增 【变式9-1】已知偶函数满足：，且，若，则（   ） A．1 B． C． D． 【变式9-2】已知函数的定义域为，且，，为奇函数，则（   ） A． B．2 C． D．1 【变式9-3】已知函数的定义域为，若，且，则（    ） A．0 B．1 C．10 D．20 1．给出下列三个等式：，．下列函数中不满足其中任何一个等式（    ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆·模拟预测）若定义在上的函数，满足，且，则（    ） A．0 B．-1 C．2 D．1 3．已知函数的定义域为 ，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程有解 C．函数在定义域内单调递减 D．的最小值为 2 4．已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数对于任意的实数都有，且，则下列选项正确的是（   ） A． B．为偶函数 C．在上单调递减 D．为奇函数 6．已知函数的定义域为，则（　　） A．230 B．201 C．157 D．119 7．已知函数满足，若，则（    ） A．128 B．4096 C．8192 D．16384 8．（2026·河南·三模）已知函数满足：，且，，则的最小值是（    ） A．135 B．395 C．855 D．990 9．已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C． D． 10．已知函数的定义域为，且,，则（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2026·广东佛山·模拟预测）已知定义域为的函数对任意实数x，y，都有成立，则下列说法正确的是（    ） A． B．一定不是奇函数 C．若是偶函数，则 D．若，则 12．（多选题）（2026·青海·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．的值域为 C．是偶函数 D．是增函数 13．（多选题）函数满足：，则（   ） A． B． C．图象不关于对称 D．的解析式可以是 14．（多选题）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B． C．函数是奇函数 D．函数是增函数 15．设函数，满足下列条件： （1），，； （2）对任意实数都有，则当，时，的最大值为_____． 16．已知函数对于任意的正实数，，满足，且，则______． 17．已知定义在上的函数满足：对任意都有，当时，有． (1)判定在上的奇偶性，并说明理由； (2)判定在上的单调性，并给出证明； (3)求证：； 18．求所有满足和，，的函数（为有理数集）． 19．求所有函数，，使得对任意，． 28 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $