精品解析：山东省烟台市牟平区2025—2026学年度第二学期期末质量检测 初三数学试题

2025—2026学年度第二学期期末质量检测 初三数学试题 （时间：120分钟，总分：120分） 说明：解答全部在答题卡上完成，最后只交答题卡． 一、选择题：（共12个小题，每小题3分，满分36分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用铅笔在答题卡上涂黑．） 1. 下列函数中是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数定义，形如（为常数，，）的函数为反比例函数，逐项判断即可． 【详解】解：选项A：是正比例函数，不符合反比例函数定义，A错误.； ∵选项B：的分母是关于的一次二项式，不符合定义形式，B错误； 选项C：是二次函数，不符合反比例函数定义，C错误.； 选项D：可变形为，其中，符合反比例函数的定义，D正确． 2. 若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（ ） A. 6.5 B. 3 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先化简，再根据与最简二次根式是同类二次根式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：， ∵与最简二次根式能合并成一项， ∴与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简、最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题关键． 3. 若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先根据两根互为倒数得到两根乘积为1，求出k的可能值，再利用判别式验证方程存在实根，舍去不符合的解得到结果． 【详解】解：设方程的两根为． ∵ 方程两根互为倒数， ∴ ． 又∵由根与系数的关系得． ∴ ，解得或． ∵ 一元二次方程有两个实数根， ∴． ∴． ∵ ，不符合要求舍去， ∴ ． 4. 在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连结，在的延长线上取点F，使，以为边作正方形．则点A、点E、点H、点I四个点中分别是所在的一条线段的黄金分割点的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】设正方形边长为，利用勾股定理求出，进而得到、、、的长度，根据黄金分割的定义逐一判断点、、、是否为所在某条线段的黄金分割点； 【详解】解：在正方形中，， 设， ∵是的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，满足黄金分割定义， ∴点是线段的黄金分割点； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，满足黄金分割定义， ∴点是线段的黄金分割点； ∵、、、在同一直线上， ∴， ∵，， ∴，满足黄金分割定义， ∴点是线段的黄金分割点； ∵是的中点， ∴不是的黄金分割点， ∵，，， ∴，， ∴， ∴不是的黄金分割点， 综上所述，点、、是黄金分割点，共3个． 5. 反比例函数的图象上有两点，，且，则下列结论正确的是（） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】分情况讨论两点、的位置，结合的条件推导的取值范围，反比例函数的，在每个象限内随增大而减小． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴双曲线两个分支分别在第一、三象限，且每个象限内随的增大而减小． 分三种情况讨论∶ 1．若、都在第一象限则，解得． ∵， ∴，符合题意． 2．若、都在第三象限则，解得： ∵， ∴，符合题意． 3．若在第三象限、在第一象限则，解得：， ∴，不符合题意， 综上所述，或． 6. 如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得出，再得出，则，进而可得，然后得出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：，，， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 7. 如图，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点，在轴上，与轴交于点，连接．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形性质得出且轴，进而证得，利用相似比求出与的关系，结合三角形面积公式求出的值，最后根据的几何意义求解； 【详解】解：四边形是平行四边形，点在轴上， ， 轴， ， ， 点在轴上， 轴， 点的横坐标绝对值为，纵坐标为， ， ，  ， ∴， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， 图象在第二象限， ， ． 8. 在平面直角坐标系中，△ABC 顶点 A（2，3）．若以原点 O 为位似中心，画三角形 ABC 的位似图形△A′B′C′，使△ABC 与△A′B′C′的相似比为，则 A′的坐标为（ ） A. (3, ) B. ( ,6) C. (3, )或(-3,- ) D. ( ,6)或(- ,-6) 【答案】C 【解析】 【分析】由于△ABC与△A′B′C′的相似比为，则是把△ABC放大倍，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，于是把A（2，3）都乘以或-即可得到A′的坐标． 【详解】∵△ABC与△A′B′C′的相似比为， ∴△A′B′C′与△ABC的相似比为， ∵位似中心为原点0， ∴A′（2×，3×）或A′（-，-）， 即A′（3，）或A′（-3，-）． 故选C． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 9. 如图，在菱形中，，，为的中点，是上一点，，为上一点，连接交于点，若，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质可证明是等边三角形，结合可得，则，计算得，，由平行可判定，则，因此． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴，， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为，乙的速度为．乙一直向东走，甲先向南走步，后又向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲、乙从出发到相遇时，乙走了步，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据速度关系得到甲的总路程，确定直角三角形三边后，利用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设乙走了步， ∵甲乙同时出发，运动时间相同，速度比为甲:乙， ∴甲一共走的路程为步. 甲先向南走10步，后斜向北偏东行走，因此斜行路程为步. 乙向东行走，南北方向与东西方向垂直，可得直角三角形， 两条直角边分别为10步和步，斜边为步. 根据勾股定理可得：． 11. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O为AB的中点，点D在线段AC上，过点A作BC的平行线交直线BD于点E，点F是DE的中点，连接OF，若AD＝AE＝2，BC＝4，则OF的长为（　　）. A. 2 B. C. 2 D. 3.5 【答案】B 【解析】 【分析】连接AF，结合题目条件得到AF⊥DE，根据由点O为AB的中点，得到，又易得AC=6，再在直角三角形ABC中，根据勾股定理计算出AB，从而得到OF的值. 【详解】解：连接AF， ∵AD＝AE，点F是DE的中点， ∴AF⊥DE， 又∵点O为AB的中点， ∴， 又，∠C＝90°, ∴， ∴， ∴BC=DC=4， ∴AC=AD+CD=6， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， ， ∴, 故选择：B. 【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 12. 如图，在直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点、分别在轴、轴上，反比例函数（，）的图象与正方形的两边、分别交于点、，轴，垂足为，连接、、，与相交于点．下列结论：①；②；③四边形与面积相等；④；⑤若，，则直线的函数解析式为．其中正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】①通过证明判断；②根据值不确定判断角度不确定；③分别计算四边形和的面积进行比对；⑤利用旋转全等模型求出点、坐标，进而求直线解析式；④通过反例或特定条件判断； 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵点、在反比例函数图象上， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∴， ∵值不确定，大小不确定， ∴不一定等于，故②错误； ③设正方形的边长为，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故③正确； ⑤将绕点逆时针旋转得到， 则，， ∴， ∴点共线， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，解得（负值已舍去）， ∴正方形边长， ∴， 设直线解析式为，  则， 解得， ∴直线解析式为，故⑤正确； ④由⑤知仅当时，成立，一般情况下不成立，故④错误； 综上所述，正确结论有①③⑤，共3个． 二．填空题（每题3分，共18分） 13. 化简的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定自变量的取值范围，再利用二次根式的性质，化简，最后合并同类项得到结果． 【详解】 解：要使有意义，可得 解得 由，可得 化简原式： ． 14. 已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 【答案】，##， 【解析】 【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应关系式，即可求解． 【详解】解：将所求方程移项变形得 ， ∵一元二次方程的两根分别为，， ∴可得或， 解得，， ∴一元二次方程的两根分别为，． 15. 如图，已知，且相似比为，那么直线的图象必定经过________象限． 【答案】一、三、四 【解析】 【分析】先根据相似三角形的性质得出，然后根据一次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵，其相似比为k， ∴， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴直线的图象必定经过一、三、四象限． 16. 如图，反比例函数，和均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据等腰直角三角形的性质表示出，的长，进而表示出点的坐标，利用点在反比例函数图象上得到与的关系式，再根据三角形面积差建立方程求解即可； 【详解】解：设，（，）， 为等腰直角三角形，，  ， ， 为等腰直角三角形，，  ， ， ， ，即， 由图可知，点的坐标为，点的坐标为， 点在上，，  点的纵坐标为，横坐标为， ，，且点在第二象限，  点的横坐标为，纵坐标为， ， 点在反比例函数的图象上，  ， ，  ． 17. 小言做数学题时，发现；；；；按此规律，若（a，b为正整数），则________． 【答案】 【解析】 【分析】找出一系列等式的规律为（的正整数），再比较即可求得的值． 【详解】解：根据题中的规律得：（的正整数）， ，， ， 则． 18. 如图，在菱形中，，E，F分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为_________．  【答案】 【解析】 【分析】在的下方作，截取，使得，连接，．证明，推出，，根据求解即可． 【详解】解：如图，的下方作，截取，使得，连接，． 四边形是菱形，， ，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 三．解答题（满分66分） 19. 按要求完成作答： （1）计算：． （2）已知，，若的值比的值大1，求满足条件的x值． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）先按二次根式的混合运算法则、负整数指数幂分别化简每一项，再合并同类二次根式即可得到结果； （2）根据题意列出一元二次方程，代入A，B的表达式整理后，用因式分解法即可求解； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵的值比的值大1， ∴， 把，代入方程得：， 展开得， 整理得， 两边同除以2化简得， 因式分解得， ∴或， 解得或． 20. 先化简，再求值：，其中x是满足的偶数． 【答案】 化简结果为，值为 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得不等式组，求出解集，再根据偶数解得出，然后将二次根式化简求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得． ∵x是偶数， ∴． 原式 ， ． 21. 如图，菱形的顶点在等边的边上，点在的延长线上，连接，过点作的平行线交于点．若，，求的长度． 【答案】 【解析】 【分析】设与相交于点，根据平行线分线段成比例，先求得，的长度．再运用等边三角形的性质，求得的长．最后根据，得，求得结果． 【详解】解：如图，设与相交于点， 菱形，点在的延长线上， ，， ， ， ，， ． ， ，． 等边，， ， ， ． ， ， ， ，，， ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于两点，其中点的坐标为． （1）求的值； （2）当时，自变量的取值范围为__________； （3）将直线向上平移后，与反比例函数图象交于，两点，与两坐标轴分别相交于，两点．若，求直线的函数表达式． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了反比例函数的图象和性质，函数和不等式的关系，函数和三角形面积计算相结合等知识点． （1）把点的横坐标代入正比例函数的表达式得到的值，进而将点的坐标代入反比例函数，得到的值． （2）根据函数图象以及点的坐标，通过比较对应函数值的大小，即可得到对应的取值范围． （3）连接，，根据点关于原点对称，得到，进而得到，通过计算面积的面积得到的值，进而得到直线的表达式． 【小问1详解】 解：把代入得，， ， 点在反比例函数的图象上， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知，反比例函数表达式为， 正比例函数与反比例函数的交于点，点， 点关于原点对称， 点， 根据函数图象可知，当反比例函数在正比例函数的上方时，， 当时，的取值范围为：或； 【小问3详解】 解：如图，连接，， 由（2）可知，点，点关于原点对称， ， ， ， ，即， ， ， 直线是由直线向上平移个单位得到的， 直线的表达式为． 23. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为． （1）求车棚的长；（用含x的代数式表示） （2）若矩形车棚的面积为，求车棚的长和宽； （3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）自行车车棚的长为，宽为； （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用，根的判别式，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． （1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过； （3）根据（2）中方法列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断，即可解题． 【小问1详解】 解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， ， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得，车棚面积为：， 解得：或， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意，舍去， 自行车车棚的长为，宽为； 【小问3详解】 解：不能，理由如下： 要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得： ， 整理得：， ， 故此方程没有实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 24. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，． （1）______，______，点A的坐标为______，点C的坐标为______； （2）点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 【答案】（1），，， （2）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）点B是两函数图象的交点，利用待定系数法求出m，k的值；根据“A，B两点关于原点对称”求出点A的坐标，过点A作x轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质，结合图形，求出点C的坐标． （2）根据点P在x轴上，结合图形，排除点P在x轴负半轴上的情形，当点P在x轴正半轴上时，两个三角形中已有一对角相等，而夹角的两边的对应关系不确定，故分类讨论：①；②．分别求出两种情况下的长，从而得出点P的坐标． 【小问1详解】 解：将代入，得， ∴． 将代入，得， ∴． 如图，过点A作轴于点D，则． ∵点A，B关于原点O对称， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可知，，． 当点P在x轴的负半轴上时，， ∴． 又∵， ∴与不可能相似． 当点P在x轴的正半轴上时，． ①若，则， ∵， ∴， ∴； ②若，则， 又∵，， ∴， ∴． 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的性质．熟练掌握用待定系数法求函数表达式，并能利用数形结合思想和分类讨论思想分析是解答本题的关键． 25. 如图，四边形中，交于点，点，分别是，的中点，平分交于点，．连接，． （1）判断的形状，并证明你的结论； （2）线段与有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）是等腰直角三角形，证明如下： ∵，点M是的中点， ∴，平分， ∴ ∵平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形； （2），理由如下： ∵点F，M分别是的中点， ∴，． ∵， ∴，即． 由(1)知是等腰直角三角形， ∴，即， ∴． ∵， ∴． ∵． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∴ ∴． 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的三线合一得到，平分，再由角平分线与三角形内角和定理求解即可； （2）先由三角形中位线定理得到，，然后证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 某学校数学社团开展解题闯关活动． （1）【闯关活动一】如图1，在中，点O在线段上，，，，，求的长． 经过社团成员合作交流发现，过点B作，交的延长线于点D，通过构造就可以解决此问题（如图2）．请根据所发现的解题思路求出的度数和线段的长； （2）【闯关活动二】拓展应用：请参考（1）的解决思路，解决以下问题： 如图3，在四边形中，对角线与相交于点O，，，，，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得出，结合可得出，利用相似三角形的性质可求出的值，进而可得出的值，由三角形内角和定理可得出，由等角对等边可得出，此题得解； （2）过点作交于点，同（1）可得出，在中，利用勾股定理可求出和的长度，在中，利用勾股定理可求出的长，此题得解． 【小问1详解】 过点作，交的延长线于点， ． ， ， ． 又， ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：过点作交于点，如图所示． ，， ． ， ， ． ， ． ， ， ． ， ，， ． 在中，，即， 解得：（舍负）， ，． ∵在中，， ∴， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末质量检测 初三数学试题 （时间：120分钟，总分：120分） 说明：解答全部在答题卡上完成，最后只交答题卡． 一、选择题：（共12个小题，每小题3分，满分36分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用铅笔在答题卡上涂黑．） 1. 下列函数中是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（ ） A. 6.5 B. 3 C. 2 D. 4 3. 若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 1 4. 在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连结，在的延长线上取点F，使，以为边作正方形．则点A、点E、点H、点I四个点中分别是所在的一条线段的黄金分割点的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 5. 反比例函数的图象上有两点，，且，则下列结论正确的是（） A. B. C. 或 D. 6. 如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点，在轴上，与轴交于点，连接．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，△ABC 顶点 A（2，3）．若以原点 O 为位似中心，画三角形 ABC 的位似图形△A′B′C′，使△ABC 与△A′B′C′的相似比为，则 A′的坐标为（ ） A. (3, ) B. ( ,6) C. (3, )或(-3,- ) D. ( ,6)或(- ,-6) 9. 如图，在菱形中，，，为的中点，是上一点，，为上一点，连接交于点，若，则的值为（ ）． A. B. C. D. 10. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为，乙的速度为．乙一直向东走，甲先向南走步，后又向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲、乙从出发到相遇时，乙走了步，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O为AB的中点，点D在线段AC上，过点A作BC的平行线交直线BD于点E，点F是DE的中点，连接OF，若AD＝AE＝2，BC＝4，则OF的长为（　　）. A. 2 B. C. 2 D. 3.5 12. 如图，在直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点、分别在轴、轴上，反比例函数（，）的图象与正方形的两边、分别交于点、，轴，垂足为，连接、、，与相交于点．下列结论：①；②；③四边形与面积相等；④；⑤若，，则直线的函数解析式为．其中正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二．填空题（每题3分，共18分） 13. 化简的值为________． 14. 已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 15. 如图，已知，且相似比为，那么直线的图象必定经过________象限． 16. 如图，反比例函数，和均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若，则________． 17. 小言做数学题时，发现；；；；按此规律，若（a，b为正整数），则________． 18. 如图，在菱形中，，E，F分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为_________．  三．解答题（满分66分） 19. 按要求完成作答： （1）计算：． （2）已知，，若的值比的值大1，求满足条件的x值． 20. 先化简，再求值：，其中x是满足的偶数． 21. 如图，菱形的顶点在等边的边上，点在的延长线上，连接，过点作的平行线交于点．若，，求的长度． 22. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于两点，其中点的坐标为． （1）求的值； （2）当时，自变量的取值范围为__________； （3）将直线向上平移后，与反比例函数图象交于，两点，与两坐标轴分别相交于，两点．若，求直线的函数表达式． 23. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为． （1）求车棚的长；（用含x的代数式表示） （2）若矩形车棚的面积为，求车棚的长和宽； （3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 24. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，． （1）______，______，点A的坐标为______，点C的坐标为______； （2）点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 25. 如图，四边形中，交于点，点，分别是，的中点，平分交于点，．连接，． （1）判断的形状，并证明你的结论； （2）线段与有怎样的数量关系，并说明理由． 26. 某学校数学社团开展解题闯关活动． （1）【闯关活动一】如图1，在中，点O在线段上，，，，，求的长． 经过社团成员合作交流发现，过点B作，交的延长线于点D，通过构造就可以解决此问题（如图2）．请根据所发现的解题思路求出的度数和线段的长； （2）【闯关活动二】拓展应用：请参考（1）的解决思路，解决以下问题： 如图3，在四边形中，对角线与相交于点O，，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $