第3章 圆拓展之最值篇 专项训练2026—2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦圆中最值问题，按“基础模型-综合应用”逻辑分模块设计，覆盖13类核心题型，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |将军饮马|4题|两定点一动点距离和最小|基于轴对称转化，构建“两点之间线段最短”模型| |切线与勾股定理|4题|切线长结合勾股求最值|利用切线性质与勾股定理，转化为点到直线距离问题| |折叠圆|4题|折叠后点轨迹最值|通过折叠确定动点轨迹（圆），结合“一箭穿心”模型求最值| |费马距离|4题|三角形三顶点距离和最小|构造等边三角形旋转转化，利用两点间线段最短原理| |米勒原理|4题|最大张角问题|基于圆的切线性质，确定动点位置使视角最大|

圆拓展之最值篇思维导图 【覆盖一】将军饮马 1．如图，是的直径，，点B是的中点，点P是直径上一动点．连接，，．若，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，连接，交于点，连接，由轴对称性可得，则，故当三点共线时，最小，最小值为，由弧和圆心角的关系可求，进而求出，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，交于点，连接， ∵点与点关于对称， ， ， 则当三点共线时，最小，最小值为， ∵是的直径，，点是的中点， ， ， 又， ， ∴的最小值为2． 2．如图，在中，，点C为的中点，点D是半径上一动点．若，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，连接，连接交于点，根据轴对称的性质得出的最小值为的长度，求出相关角的度数，最后利用勾股定理进行求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，连接交于点， ∴，， 此时，的最小值为的长度， ∵点C为的中点， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， 即的最小值为． 3．如图，的弦长为2，是的直径，，，是上的动点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、轴对称最短路径，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接、，易证是等边三角形，进而得到，再证得，延长交于点E，连接交于点P，连接，此时，即的最小值为，根据圆周角定理得到，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：连接、， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 延长交于点E，连接交于点P，连接，此时，即的最小值为的长， ， ， 是的直径， ， 在中，由勾股定理得：， 的最小值为． 4．如图，是的直径，，点C在上，，D为弧的中点，P是直径上一动点，则的最小值为 ______． 【答案】 【分析】作关于的对称点，连接，，，，．则的最小值就是的长度，在中根据边角关系即可求解． 【详解】作关于的对称点，连接，，，，． 则， ∴时， 当共线时，取得最小值时， 点在上，，为弧的中点，即， ． ． ． 则是等腰直角三角形． ， ． 【点睛】最短路径问题常见的一种方法是利用轴对称将两条线段的和化折为直． 【覆盖二】两动一定 1．如图，矩形中，，，以为圆心，半径分别为和画圆，分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为轴作点的对称点以及的对称圆，连接交、于点、，则就是最小值，再利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，以为轴作点的对称点以及的对称圆，连接交、于点、，则就是最小值， ∵矩形中，，的半径为， ∴，，， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∴最小值为． 2．如图，在矩形中，，，点，分别是，边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，最短路径． 由直角三角形斜边上中线的性质可得，可知点的轨迹为：以为圆心，为半径的圆弧（一部分），作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长，根据勾股定理可得，即可得的最小值． 【详解】解：，点为的中点， ， 点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧（一部分）， 作关于的对称点，连接，交于，当为与的交点时，的值最小，最小值为的长， ，， ， 在中，， ， 的最小值为， 故选：A． 3．如图，已知正方形，边长为，点是正方形内部一点，且，点是边上一动点，连接，．则的最小值为___． 【答案】 【分析】由，根据圆周角定理，可知点在以为直径的圆上；先作点关于的对称点，则，因此．要使最小，即求的最小值，也就是定点到圆上动点的最短距离（最小值），再结合对称性性质求解． 【详解】解：，， 点在以为直径的上，圆心为中点，半径， 作点关于的对称点，连接，则， ， 当、、三点共线时，最小，即最小，最小值为的最小值， 圆外一点到圆上点的最短距离=该点到圆心距离半径， 作于点，连接， ， 又， 四边形是矩形， ，， 根据勾股定理，， ， 即的最小值为． 4．如图，矩形中，，点在边上且，点为直线上一动点，连接，将沿着折痕折叠，得到 ，动点在边上，连接，则 最小值是_______． 【答案】4 【分析】由题意可得点在以点为圆心、为半径的圆上，作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点，则，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长，再利用勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点在以点为圆心、为半径的圆上， 如图，作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点， 则， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即最小值是， 【覆盖三】切线与勾股定理 1．如图，的半径为3，点到直线的距离为5，是直线上的一个动点，与相切于点，则的最小值是（   ） A． B．3 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查切线的性质及勾股定理，熟练掌握切线的性质及勾股定理是解题的关键；连接，则有，然后根据勾股定理可得，要使有最小值，则需满足取最小值即可，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∴， ∴， 要使有最小值，则需满足取最小值即可， ∴当时，有最小值5， ∴的最小值为； 故选D． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，，的半径为1（O为坐标原点），点P在直线上，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（ ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线的性质定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握切线的性质定理和勾股定理是解题的关键． 连接，根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短． 【详解】解：如图，连接、． ∵是的切线， ∴， 根据勾股定理知， ∵当时，线段最短，即线段最短， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．如图，等边三角形的边长为2，的半径为1，点是上的动点，与相切于点，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题考查圆的切线的性质，勾股定理，等边三角形的性质，解题的关键是掌握圆的切线的性质． 连接，作于，因为与相切于，所以，可得，当与重合时，最小，此时最小，求出的长，即可得出的最小值． 【详解】解：如图，连接，作于， ∵与相切于， ， ∵的半径为1， ， 当与重合时，最小， ∵等边的边长为2， ， ， ∴的最小值为：． 故答案为：． 4．如图，的半径是1，点是直线上一动点，过点作的切线，切点为，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据题意，得，故当取得最小值时，取得最小值， 根据垂线段最短，得当垂直直线时，取得最小值，根据勾股定理，直角三角形的面积性质解答即可． 本题考查了切线的性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据切线的性质，得， 故， 又的半径是1， 故， 故当取得最小值时，取得最小值， 根据垂线段最短，得当垂直直线时，取得最小值， 又直线， 故与y轴的交点为，与x轴的交点为， 故两个交点间的距离为， 根据题意，， 故， 故，负的舍去， 故的最小值为， 故答案为：． 【覆盖四】折叠圆 1．如图，在矩形中，，点是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目主要考查矩形的性质，折叠的性质，圆周角定理，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线是解题关键． 根据题意得出点F在以为直径的半圆O上运动，确定当点在一条直线上时，CF的长度最小，即，然后利用勾股定理结合图形求解即可． 【详解】解：如图所示： 由沿折叠得到， ， ， ∴点F在以为直径的半圆O上运动， ∴当点在一条直线上时，CF的长度最小，即， ∵矩形，， ， ∴在中，， ． 故选：A． 2．如图，是矩形的边上一动点，是的中点，连接，将沿所在直线折叠，点的对应点是点，连接．已知，当线段的最小值为1时，边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质可得，，，通过折叠性质可知：，，则有点在以点为圆心，为半径的圆上运动，连接，由 ，从而可知当点三点共线时，有最小值，然后设，则，，最后通过勾股定理，解一元二次方程即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠性质可知：，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动，连接，如图， ∵， ∴当点三点共线时，有最小值，即此时，如图， ∵是的中点， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴，整理得：， 解得：（舍去），， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解一元二次方程，圆的性质的综合运用，掌握知识点的应用是解题的关键． 3．如图，在正五边形中，，点M是的中点，连接，点P在边上（不与点C重合），将沿折叠得到，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】本题考查正五边形的性质、轴对称性质、三角形相似，考查推理能力、几何直观、运算能力． 根据，可得点Q在以D为圆心，2 为半径的圆上， 连接，交圆D 于点Q，此时最短． 【详解】解：∵五边形的内角和为 ． ∵， ∴点Q在以D为圆心，2 为半径的圆上， 如图，连接，交圆D于点Q，此时最短， 此时点 B，P 重合，， ， ， 故答案为：． 4．如图，在矩形中，，，点M，N分别为，上一个动点，且，沿直线折叠，点A，B分别落在点E，F处，点P为上一点，且，则的最大值为_____，的最小值为_______． 【答案】 / / 【分析】连接与交于点O，过点作于点G，连接，确定点F在以O为圆心，以5为半径的圆上运动，当点P，O，F三点共线，且点F，P在O的两侧时，取得最大值，当点P，O，F三点共线，且点F，P在O的同侧时，取得最小值，解答即可． 【详解】解：连接与交于点O， ∵矩形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于点G， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 连接， ∴，， ∵沿直线折叠，点A，B分别落在点E，F处， ∴， ∴点F在以O为圆心，以5为半径的圆上运动， ∴当点P，O，F三点共线，且点F，P在O的两侧时，取得最大值，的最大值为， ∴当点P，O，F三点共线，且点F，P在O的同侧时，取得最小值，的最小值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，定圆的条件，圆的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【覆盖一】点运动路径 1．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，将线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是(　　)      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，，则， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查了求扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 2．如图，是的直径，，是上半圆的中点，是下半圆上一个动点，过点作的垂线，垂足为，则点从点运动到点的过程中，点运动的路径长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理，求某点的弧形运动路径长度，根据圆周角定理确定出点运动轨迹为一个半圆是解题的关键．由是上半圆的中点可得，利用勾股定理可求得的长，由可得点在以为直径的圆上运动，点的运动轨迹为一个半圆，进而求出半圆的周长即可得解． 【详解】解：如图所示，连接，， 是上半圆的中点， ，， 是的直径，， ， 在中，， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 点从点运动到点， 点的运动轨迹为一个半圆， 点运动的路径长为． 故选：B． 3．如图，在扇形中，，，动点沿弧从运动到，作于点，则内切圆圆心的运动路径长是______． 【答案】 【分析】连接、、，过、、三点作，连接、，在优弧上取点，连接、，结合内切圆性质得，，根据三角形内角和定理可得，利用“边角边”证明，由全等三角形性质可得，结合圆内接四边形性质和圆周角定理可得，再根据勾股定理求出，当点和点重合时，连接，结合等边对等角易推得是等边三角形，即点在以为弦，并且所对的圆周角是的一段劣弧上运动，则内切圆圆心的运动路径长即为劣弧的弧长，结合弧长公式即可得解． 【详解】解：如图，连接、、，过、、三点作，连接、， 在优弧上取点，连接、， 在扇形中，，动点沿弧从运动到， ， 点是内切圆圆心， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 根据圆内接四边形的性质可得，， ， ， ， ，， 又当点和点重合时，连接，如下图： 此时， ，， ， ，， ， 是等边三角形， ， 综上，点在以为弦，并且所对的圆周角是的一段劣弧上运动， 劣弧的弧长， 内切圆圆心的运动路径长是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是内切圆性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、圆内接四边形性质、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质、弧长计算公式，解题关键是通过计算的大小恒定推出内切圆圆心的运动轨迹． 4．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且的周长为，，若，将线段绕点逆时针旋转到点在上时，求点的运动路径长_______． 【答案】 【分析】先利用切线性质得到垂直关系，结合求出的度数；再根据三角形周长和切线长定理求出的长度；最后根据弧长公式计算点的运动路径长（即绕点旋转的弧长）． 【详解】解：连接、， ∵与，分别相切于点，， ∴，， ∴， ∵四边形内角和为，， ∴−−−， ∵的周长为，内切圆与，，分别相切于，，， ∴，，， ∵， ∴−， ∵，且，， ∴， ∴−， ∵， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转到点在上， ∴点的运动路径为以为圆心，为半径，圆心角为的弧， ∴弧长， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、多边形内角和、弧长公式，熟练掌握切线的性质和弧长公式是解题的关键． 【覆盖二】直角圆 1．如图，在矩形中，，，点是矩形内部的一个动点，且，则线段长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，由四边形是矩形，则有，所以，则，得，点是在以为直径的圆上运动，如图，连接，，又，从而得当三点共线时，最小，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是在以为直径的圆上运动，如图，连接，， ∵， ∴当三点共线时，最小，如图， 由勾股定理得，， ∴， 故选：． 2．在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理以及圆外一点与圆的最短距离问题，连接，由是直径得，即得，得到点在以为直径的圆上运动，设的中点为，连接，当点在与的交点处时，最短，利用勾股定理求出即可求解，找到点P的运动轨迹是圆是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 设的中点为，连接，当点在与的交点处时，最短，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 3．如图，以为圆心，4为半径的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为上一动点，于点F，则线段的长度的最小值为________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握相关性质定理，构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，连接，利用勾股定理求出和的长，当点在的延长线上时，的长度最小，最小值，即可得到答案． 【详解】解：连接，过点作于点，连接， 的半径为4， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 点在以为直径的上， ， 当点在的延长线上时，的长度最小，最小值， 故答案为：． 4．如图，点M是矩形边的中点，，，若点P是平面内的点，且是直角，则线段的最大值为___________，最小值为___________． 【答案】 4 1 【分析】本题考查了矩形的性质，与三角形中位线有关的求解问题、勾股定理、度的圆周角所对的弦是直径，解题的关键是利用数形结合的思想进行求解，根据三点共线是有最值即可求解． 【详解】解：由题意得， 点在为直径的圆上，在中， 的半径为是的中点， 三点共线时线段有最值， 如图1，有最大值， 如图2，有最小值． 故答案为：4，1． 【覆盖三】定角定弦 1．如图所示，正方形的边长为1，，是边，上的动点．若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质与判定、外接圆等，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，作于点，证明三角形全等，利用旋转的性质可得，．在正方形中，，，所以，，因此，证明，得到，是的外接圆的圆心，，所以是等腰直角三角形．，点是的中点，所以，则，，，当时，取得最小值，正方形的边长为1，，解得，的最小值为． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到，则在直线上， 作的外接圆，连接，，，过点作于点， 由旋转的性质可得，， 在正方形中，， ， ， ， ， 在 和中， ， ， 是 的外接圆， ，， 是等腰直角三角形， ， 点是的中点， ， 设， 则，， ， 当取最小时，则取最小，即取最小， ， 当 时，取得最小值， 正方形的边长为1， ， 解得 ， 的最小值为． 2．如图，在平行四边形中，，，，是四边形内部的一个动点，且，则线段长度的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，圆周角定理，在左边取一点，使，，先求出，根据定弦对定角得到点在以为圆心，为半径的圆上运动，取中点，连接，，先利用勾股定理求出，，当在上时最小． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 在左边取一点，使，，则点在以为圆心，为半径的圆上运动，取中点，连接，， ∵，，中点，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∵平行四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时最小， 故选：D． 3．如图，中，，，为外一点，满足．若，的最小值是_____． 【答案】 【分析】以为边作等边三角形，以的中心作圆，结合题意可知在上，再设，解直角三角形得到，利用进行求解即可． 【详解】解：以为边作等边三角形，以的中心作圆， ， 在上， 为中点，则，， 设，则， 半径， 则中，，， ， ， ， 又， 即，解得， ， 故的最小值是． 4．如图，在矩形中，， ，点P在矩形内运动，且始终满足，则的最小值为____． 【答案】 【分析】如图：以过A、B、P作，在上取一点F，连接，即，根据圆的内接四边形的性质、圆周角定理可得是等边三角形，如图：连接交劣弧于点，连接，则，分析得到当点P与点重合时，最小，再求解即可． 【详解】解：如图：以过A、B、P作，在上取一点F，连接，即， ∴四边形是的内接四边形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 如图：连接交劣弧于点，连接，则， ∵， ∴，即， ∴当点P与点重合时，最小， 如图：过点O分别作交的延长线于点E，则， ∴， ∴， ∴在中，， ∴，即的最小值为． 【覆盖四】中位线与瓜豆原理 1．如图，已知的半径为是外一点，是上的动点，线段的中点为，连结，，则线段的最小值是（    ） A．0 B．0.5 C．1 D．1.5 【答案】C 【分析】取的中点，连接，利用三角形中位线定理求出的长度，从而确定点的轨迹是以为圆心，长为半径的圆，最后根据点与圆的位置关系求出的最小值． 【详解】解：取的中点，连接，， 为的中点，为的中点 ， 为的中位线 ， ， 的半径为，即 ， ， 点在以为圆心，为半径的圆上 ， ，为的中点， ， 当点在线段上时，取得最小值， 的最小值为． 2．如图，在正方形中，，点在正方形内部，且满足，连接，取，的中点，连接，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正方形的性质，中位线的判定和性质，勾股定理的运用，掌握以上知识，掌握正方形的性质，共圆的判定是关键． 连接，根据中位线的判定和性质得到，点共圆，圆心为的中点，记为，当三点共线时，最小，此时最小，由勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：连接， ∵分别是，的中点， ∴， ∵， ∴点共圆，圆心为的中点，记为， 当三点共线时，最小，此时最小， 连接，交于点， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 3．如图，在矩形中，，，点为矩形内一个动点，连接，，，，点，分别为，的中点，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】由点为矩形内一个动点，且得点在以为直径的圆上（矩形内部的一段弧），要求的最小值，即求的最小值，当三点共线时，的值最小，由勾股定理求出，可得的最小值为，根据三角形中位线定理可得的最小值为． 【详解】解：∵点为矩形内一个动点，且， ∴点在以为直径的圆上（矩形内部的一段弧），如图， 设的中点为O，则O是圆心，半径，连接 ∵M、N分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 因此，要求的最小值，即求的最小值， 当三点共线时，的值最小， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即的最小值为． 4．在正方形中，边长为4，点是平面内一动点，且满足，为的中点，点运动过程中，线段长度的最小值是_____． 【答案】 【分析】连接，取的中点，连接，，先根据中位线的性质得出，再得出点在以为圆心，以为半径的圆上运动，然后利用正方形的性质和勾股定理求得，再求得的取值范围，从而可得的最小值为． 【详解】解：连接，取的中点，连接，， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 在正方形中， ， ∴的取值范围为， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中位线、圆的定义、正方形的性质、勾股定理，关键是辅助线的作法． 【覆盖一】面积最值 1．如图，线段是半圆的直径，，点为半圆上的动点，分别过点、作的切线交于点，连接、，则面积的最大值是（     ） A． B．12 C． D．16 【答案】C 【分析】令的圆心为点，连接，根据切线长定理证明，得出，得出，确定当时，的面积最大，即可求解． 【详解】解：如图，令的圆心为点，连接， ∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，的面积最大，最大值为， 即面积的最大值是． 2．如图，，两点的坐标分别为，，的圆心为，半径为，是上一个动点，则面积的最大值为(   ) ．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆的最值问题、等腰直角三角形的判定和性质、三角形的面积公式等，解本题的关键是判断出点的位置． 先过点作，延长交于E，判断此时面积的最大值，再根据平面直角坐标系求出，，并判断为等腰直角三角形，根据勾股定理得出，然后判断为等腰直角三角形，根据勾股定理得出，进一步求出，最后根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作，延长交于，此时的面积为最大值(是定值，只要圆上一点到直线的距离最大，而过圆心时，和圆相交于两个点，一个是最大的，一个是最小的)， ∵、两点的坐标分别为，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵在中，根据勾股定理得，， ∴． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵的半径为1， ∴，． ∵、两点的坐标分别为，， ∴． ∵在中，根据勾股定理得，， ∴， ， ， ， ∴． ∴．    故选：A． 3．在中，．则面积的最大值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形外接圆，垂径定理等知识，作的外接圆，当点运动到中点时，的面积最大，过点作的垂线交于点，求出的长即可解决问题． 【详解】解：作的外接圆，如图， ， ∵． ∴点在上运动， 过点作的垂线交于点，交于点，则当点运动到中点时，的面积最大， 此时，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴面积的最大值是． 故答案为：． 4．如图，在中，，，O为的斜边中点，以C为圆心，2为半径作，P为上的一个动点，连接，则面积的最大值为_______． 【答案】17 【分析】过点C作于点H，延长交圆于点G，当点P与点G重合时，面积最大，根据勾股定理，直角三角形的面积解答即可． 本题考查了勾股定理的应用，圆的性质，判断出点P处于什么位置时面积最大是解题关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵O为的斜边中点， ∴， 过点C作于点H，延长交圆于点G， 当点P与点G重合时，面积最大， ∵， ∴ ∵的半径为2， ∴， ∴面积的最大值为． 故答案为：17． 【覆盖二】其他最值 1．如图，的半径为4，圆心的坐标为，是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点．若点、关于原点对称，则长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆的性质、坐标与图形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是作出辅助线，找出取得最大值的位置．连接，延长交于，得出当点与点重合时，取得最大值，根据圆心坐标求出，的最大值为，根据点、关于原点对称得出，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长交于， ∵是上的任意一点， ∴当点与点重合时，取得最大值， ∵圆心的坐标为， ∴， ∵的半径为4， ∴的最大值为， ∵点、关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∴长的最大值为． 故选：C． 2．已知如图在菱形中，，点E、F分别是、上的动点（不与端点重合），且，连接、交于点G，则四边形的面积的最大值为（   ） A． B．6 C． D． E．9 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．由“”可证，可得，求得，由，四点共圆，连接，过G作于N，过作于，，由，当为圆的直径时，取得最大值，此时取得最大值，此时四边形的面积最大，接着证明，求得，然后利用勾股定理求得，然后利用四边形的面积等于求得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴△ABD和△BDC都是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 四点共圆， 如图，连接，过G作于N，过作于， 则，其中，的长度都是不变的， 那么当最大时，四边形的面积最大， 那么当重合时，此时点在的中点，最大， 即为圆的直径时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 故选：C． 3．在中，，，以为边作一个等边，则的最大值是_____ ． 【答案】5 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，先理解题意，在直线的上方作等边三角形，连接．结合等边三角形的性质，证明，故点D的运动轨迹是以O为圆心，以长为半径的圆，当D、O、A共线时，的值最大，最大值为，即可作答． 【详解】解：如图，在直线的上方作等边三角形，连接． ∵，都是等边三角形， ∴， ∴ ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴点D的运动轨迹是以O为圆心，以长为半径的圆， ∴当D、O、A共线时，的值最大，最大值为． 故答案为：5． 4．如图，和是共顶点等边三角形，，直线与交于点，连接，当绕点旋转的过程中，则的最大值为_________． 【答案】 【分析】由等边三角形的性质，容易证明，根据全等三角形的性质可得，结合圆周角定理可得，、、、四点共圆，因此的最大值为外接圆的直径． 【详解】解：如图，作的外接圆，圆心为， ∵和都是等边三角形 ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点也在圆上， 如图，作，垂足为， 当、、三点共线时，取得最大值， ∵， ∴，， 由等边三角形的性质可知，平分， ∴， 在直角中，，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质与勾股定理，熟练掌握相关知识是解题关键． 【覆盖三】费马距离 1．【阅读理解】①如图1，已知点P为等边外接圆的上任意一点．求证：； ②定义：在所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为的费马点，此时的值为的费马距离． 【方法探究】根据①的结论，我们有如下探寻（其中均小于）的费马点和费马距离的方法． （1）如图2，在的外部以为边长作等边及其外接圆，在上任取一点，连接、、、．根据①的结论，易知______，______；根据两点间线段最短，我们可以得到线段______的长度为的费马距离． （2）在图3中，作出的费马点P（要求尺规作图）．如果，的费马距离是______； 【问题解决】已知正方形，P是正方形内部一点，且的最小值为，求正方形的边长． 【答案】（阅读理解）见解析；（方法探究）（1），，；（2）；（问题解决）正方形的边长为2 【分析】（阅读理解）在上取一点E，使，连接，首先证明是等边三角形，进而证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论； （方法探究）（1）根据阅读理解中的结论，结合费马点和费马距离的定义，即可获得答案； （2）分别以点为圆心，以的长度的半径作弧，交于点，易知为等边三角形，再分别作的垂直平分线交于点，以点为圆心，的长度为半径作圆，连接交于点，连接，则点P为的费马点；根据题意易得，然后由勾股定理确定的值，即可确定的费马距离； （问题解决）将沿点B逆时针旋转到，过作，交的延长线于H，连接，易得是等边三角形，进而可知，结合的最小值为，可得的最小值为，即，，P，C在同一直线上，确；设正方形的边长为，在中，可知，，进而可得，，然后在中，由勾股定理得求得的值，即可获得答案． 【详解】解：（阅读理解）①证明：在上取一点E，使，连接， ∵三角形是等边三角形， ， 又， 是等边三角形， ， ， ∵， ∴， 又∵， ， ， ∴； （方法探究）（1） 在的外部以为边长作等边及其外接圆，在上任取一点，连接、、、．根据①的结论，易知，；根据两点间线段最短，我们可以得到线段的长度为的费马距离． 故答案为：，，； （2）分别以点为圆心，以的长度的半径作弧，交于点，则，易知为等边三角形，再分别作的垂直平分线交于点，以点为圆心，的长度为半径作圆，连接交于点，连接，则点P为的费马点，如下图所示： （方法不唯一） ∵，且为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即的费马距离是； 故答案为：； （问题解决）将沿点B逆时针旋转到， 过作，交的延长线于H，连接， 由旋转的性质可得，，，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵的最小值为， ∴的最小值为， ∴，，P，C在同一直线上，即， 设正方形的边长为， ∵，， ， 在中，，，得，， 在中，由勾股定理得：， 解得，（舍去）， ∴正方形的边长为2． 【点睛】本题主要考查了费马点和费马距离、三角形和圆的综合应用、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 2．阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A，B，C距离之和最小的点称为ABC的费马-托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点．问题解决： （1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将BPC绕点B顺时针旋转60°得到BDE，连接PD，可得BPD为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由 可知，PA+PB+PC的最小值与线段 的长度相等； （2）如图2，在直角三角形ABC内部有一动点P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，连接PA，PB，PC，若AB=2，求PA+PB+PC的最小值； （3）如图3，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，平面内有一动点E，在点E运动过程中，始终有∠BEC=90°，连接AE、DE，在ADE内部是否存在一点P，使得PA+PD+PE最小，若存在，请直接写出PA+PD+PE的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）两点之间，线段最短；AE；（2）2；（3）存在，2-2 【分析】（1）连接AE，由两点之间线段最短即可求解； （2）在Rt△ABC中先求出AC，将△BPC绕点C顺时针旋转60°得到△CDE，连接PD、AE，由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值与线段AE的长度相等，根据勾股定理即可求解； （3）在△ADE内部取一点P，连接PA、PD、PE，把△PAD饶点D顺时针旋转60°得到△FGD，根据旋转的性质和两点之间线段最短可知，PA+PD+PE的最小值与线段GE的长度相等，再根据圆的特点、菱形与勾股定理即可求出GE，故可求解． 【详解】（1）连接AE，如图， 由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值为线段AE的长 故答案为：两点之间线段最短；AE； （2）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，AB=2 ∴BC=2AB=4 由勾股定理可得AC= 如图2，将△BPC绕点C顺时针旋转60°得到△CDE，连接PD、AE，可得△CPD为等边三角形，∠BCE=60° ∴PD=PC 由旋转可得DE=PB，CE=BC=4 ∴PA+PB+PC=PA+DE+PD 由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值与线段AE的长度相等 ∵∠ACE=∠ACB+∠BCE=30°+60°=90° ∴在Rt△ACE中，AE= 即PA+PB+PC的最小值为2； （3）存在在ADE内部是否存在一点P，使得PA+PD+PE最小， 如图3，在△ADE内部取一点P，连接PA、PD、PE，把△PAD饶点D顺时针旋转60°得到△FGD，连接PF、GE、AG，可得△PDF、△ADG均为等边三角形 ∴PD=PF 由旋转可得PA=GF ∴PA+PD+PE=GF+PF+PE，两点之间线段最短可知，PA+PD+PE的最小值与线段GE的长度相等 ∵∠BEC=90° ∴点E在以BC为直径的O上，如图3 则OB=OC==2 如图3，连接OG交O于点H，连接CG交AD于点K，连接AC，则当点E与点H重合时，GE取最小值，即PA+PD+PE的最小值为线段GH的长 ∵菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60° ∴AB=BC=CD=AD=4 ∴△ABC、△ACD均为等边三角形 ∴AC=CD=AD=DG=AG=4，∠ACB=∠ACD=60° ∴四边形ACDG是菱形，∠ACG=∠ACD=30° ∴CG、AD互相垂直平分 ∴DK=AD=2 ∴根据勾股定理得CK= ∴CG=2CK= ∵∠OCG=∠ACB+∠ACG=60°+30°=90° ∴在Rt△OCG中，OG= ∵OH=OC=2 ∴GH=OG-OH=2-2 即PA+PD+PE的最小值为2-2． 【点睛】此题主要考查四边形与圆综合的最短距离，解题的关键是熟知旋转的性质、圆周角定理及两点之间的距离特点． 3．探究题 (1)知识储备 ①如图1，已知点P为等边△ABC外接圆的弧BC上任意一点．求证：PB+PC=PA． ②定义：在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离． (2)知识迁移 我们有如下探寻△ABC(其中∠A，∠B，∠C均小于120°)的费马点和费马距离的方法：如图2，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段____的长度即为△ABC的费马距离． (3)知识应用 ①如图3所示的△ABC（其中均小于），，现取一点P，使点P到三点的距离之和最小，求最小值； ②如图4，若三个村庄构成Rt△ABC，其中．现选取一点P打水井，使P点到三个村庄铺设的输水管总长度最小，画出点P所对应的位置，输水管总长度的最小值为________．（直接写结果） 【答案】(1)证明见解析； (2)AD (3)5，． 【分析】（1）在PA上截取PD=PC，可证明△ACD≌△BCP，则AD=PB，从而得出PA=PB+PC； （2）利用（1）中结论得出PA+PB+PC=PA+(PB+PC)=PA+PD，再根据“两点之间线段最短”可得答案； （3）①在（2）的基础上先画出图形，再利用勾股定理求解； ②仿照①的方法可画出P的位置，利用勾股定理可求出输水管总长度的最小值， 【详解】（1）解：①证明：在PA上截取PD=PC，连接CD， ∵AB=AC=BC， 所以， ∴∠APB=∠APC=60°， ∴△PCD为等边三角形， ∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD， ∴，即∠ACD=∠BCP， 在△ACD和△BCP中， ∴△ACD≌△BCP(SAS)， ∴AD=PB， ∵PA=AD+DP，DP=PC， ∴PA=PB+PC； （2）如图2，根据（1）的结论得：PA+PB+PC=PA+(PB+PC)=PA+PD， ∴当A、P、D共线时，PA+PB+PC的值最小， ∴线段AD的长度即为△ABC的费马距离， 故答案为：AD； （3）①如图，以BC为边长在△ABC的外部作等边△BCD，连接AD，则线段AD的长即为最短距离， ∵△BCD为等边三角形，BC=4， ∴∠CBD=60°，BD=BC=4， ∵∠ABC=30°， ∴∠ABD=90°， 在Rt△ABD中， ∵AB=3，BD=4， ∴； ②以BC为边，在BC下方作等边△BCK，设等边△BCK外接圆为⊙O，连接AK交⊙O于P，则由①知此时PA+PB+PC最短，且最短距离等于AK的长度，过K作KT⊥AC交AC延长线于T，如图： ∵△BCK是等边三角形， ∴∠BCK=60°，CK=BC=， ∵∠CAB=90°， ∴．∠TCK=30°， 在Rt△CTK中， ∴ 在Rt△AKT中， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的综合应用，也是阅读理解型问题，主要考查了新定义：三角形费马点和费马距离，还考查了等边三角形的性质、三角形全等、勾股定理等知识，难度很大，理解新定义是本题的关键． 4．(1) 知识储备 ①如图 1，已知点 P 为等边△ABC 外接圆的弧BC 上任意一点．求证：PB+PC= PA． ②定义：在△ABC 所在平面上存在一点 P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点 P 为△ABC 的费马点，此时 PA+PB+PC 的值为△ABC 的费马距离． (2)知识迁移 ①我们有如下探寻△ABC (其中∠A，∠B，∠C 均小于 120°)的费马点和费马距离的方法： 如图 2，在△ABC 的外部以 BC 为边长作等边△BCD 及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段____的长度即为△ABC 的费马距离. ②在图 3 中，用不同于图 2 的方法作出△ABC 的费马点 P(要求尺规作图). (3)知识应用 ①判断题（正确的打√，错误的打×）： ⅰ.任意三角形的费马点有且只有一个（          ）； ⅱ.任意三角形的费马点一定在三角形的内部（          ）. ②已知正方形 ABCD，P 是正方形内部一点，且 PA+PB+PC 的最小值为，求正方形 ABCD 的 边长．            【答案】（1）见解析；（2）①AD,②见解析；（3）①ⅰ：√，ⅱ：×；②2 【分析】（1）根据已知首先能得到△PCE为等边三角形，进而得出△ACE≌△BPC，即可得证； （2）①仔细阅读新知的概念，结合图形特点，直接有结论判断即可； ②根据尺规作图，作等边三角形即可求得费马点； （3）①ⅰ.根据作图可知费马点有且只有一个，ⅱ.由图1和图2，可知任意三角形的费马点不一定都在三角形的内部； ②将△ABP沿点B逆时针旋转60°到△A1BP1，过A1作A1H⊥BC，交CB的延长线于H，连接P1P，根据等边三角形的判定与性质，得到△P1PB是正三角形，进而得出∠A1BH=30°，然后由正方形的性质和30°角直角三角形的性质，根据勾股定理求出正方形的边长. 【详解】（1）①证明：在PA上取一点E，使PE=PC，连接CE， ∵正三角形ABC ∴∠APC=∠ABC=60° 又∵PE=PC，∴△PEC是正三角形 ∴CE=CP，∠ACB=∠ECP=60° ∴∠1=∠2 又∵∠3=∠4，BC=AC ∴△ACE≌△BCP (ASA) ∴AE=BP 即：BP+CP=AP. （2）①线段 AD 的长度即为△ABC的费马距离．     ②过AB和AC分别向外作等边三角形，连接CD，BE， 交点即为P0． （3）①ⅰ.根据作图可知费马点有且只有一个； ⅱ.由图1和图2，可知任意三角形的费马点不一定都在三角形的内部； ②解：将△ABP沿点B逆时针旋转60°到△A1BP1， 过A1作A1H⊥BC，交CB的延长线于H，连接P1P， 易得：A1B=AB，PB=P1B，PA=P1 A1，∠P1BP=∠A1BA=60° ∵PB=P1B ∠P1BP=60° ∴△P1PB是正三角形 ∴PP1=PB ∵PA+PB+PC的最小值为 ∴P1A1+PP1+PC的最小值为 ∴A1，P1，P，C在同一直线上，即A1C=   设正方形的边长为2x ∵∠A1BA=60° ∠CBA=90° ∴∠1=30° 在Rt△A1HB中，A1B=AB=2x，∠1=30° 得：A1H=x，BH= 在Rt△A1HC中，由勾股定理得：， 解得：x1=1，x2=−1（舍去） ∴正方形ABCD的边长为2． 【点睛】此题是一个阅读理解形的题目，关键是认真读题，确定题目中新概念的意义，利用新概念求解进行解题，注意方程思想在解题中的应用，有一定的难度，是新型中考题. 【覆盖四】米勒原理一最大张角 1．【发现问题】如图1，在画展厅，为保护展品，会放置围栏分隔观赏者和展品，现在数学小组想知道围栏位置是否合适，做出以下研究． 【资料查阅】1471年德国数学家米勒也提出过类似问题，如图2，观赏最佳的位置就是展品的最高点A与最低点B与观赏者的眼睛C所形成的视角最大． 【米勒定理】如图3，当经过A，B，C三点的与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想．这是为什么呢？ 请思考后完成填空： 设点是上任意一个异于C的点， 是的外角， ______（填“、或”）， 又 ______， ． 眼睛位于点C处时，最大． 【问题解决】如图4，在上述定理基础上，假如竖直墙壁上的展品的最高点A距离地面的高度为3.4米，最低点B距离地面的高度为2.4米，观赏者的眼睛C距离地面的高度为1.6米，那么围栏放在什么位置最合适呢？ 【答案】米勒定理∶，；问题解决∶ 围栏放在距离墙壁米位置最合适 【分析】米勒定理∶由得，由圆的基本性质得，即可求证； 问题解决∶过作交于，由矩形的判定方法得 四边形是矩形，由矩形的性质得，，由线段和差可求，，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】米勒定理 请思考后完成填空： 设点是上任意一个异于C的点， 是的外角， ， （填“、或”）， 又， ， ， 眼睛位于点C处时，最大， 故答案：，； 问题解决∶ 解：如图，过作交于， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， 故围栏放在距离墙壁米位置最合适． 【点睛】本题考查了矩形的判定及性质，圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，掌握性质，理解米勒定理及题意中线段的实际意义，构建直角三角形用勾股定理求解是解题的关键． 2．（1）如图1，在足球比赛场上，甲带球奔向对方球门，当他带球冲到A点时，同伴乙已冲到B点，甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？ 对上面这个问题，小明结合图1判断甲的视角小于乙的视角，根据“仅从射门角度考虑，球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进”的经验，认为甲应该将球传给乙．请结合图1给出小明得到的理由； （2）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，并得到这样的结论：如图2，点A，B是平面内两个定点，C是直线l上的一个动点，当且仅当的外接圆与l相切于点C时，最大． 如图3，，点A，B是边上两点，，点C是边上一动点． ①若最大为，请求出当时，的长； ②若最大不超过，直接写出的取值范围．    【答案】（1）见解析（2）①② 【分析】（1）利用圆周角定理和外角的性质即可得证； （2）①根据直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中线上，确定圆心的位置，连接，利用切线的性质和含30度角的直角三角形的性质进行求解即可；②求出时的长，即可得出结果． 【详解】解：（1）连接，    则：， ∵是的外角， ∴， ∴； （2）①当时，的外接圆的圆心在斜边的中点上，设圆心为，连接，则：，    ∵的外接圆与l相切于点C， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，如图：    连接， 则：，，过点作，则：，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由题意，可知越大，越短， ∴． 【点睛】本题考查三角形的外接圆，切线的性质，圆周角定理，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 3．综合与实践 【问题提出】 （1）如图，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证：． 【数学理解】 德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图，已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大，人们称这一命题为米勒定理． 【问题解决】 （2）如图，已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当的外接圆与轴相切于点时，最大，当最大时，求点的坐标． 【答案】（）证明见解析；（）． 【分析】（）利用圆周角定理可得，再利用三角形外角性质即可得； （）连接，，过点作交轴于点，连接，可得，证明四边形是矩形，进而求得的长，进一步得出结果． 【详解】（） ∴， ∵， ∴； （）如图， 连接，，过点作交轴于点，连接， ∴，， ∵与轴相切， ∴轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，垂径定理，圆的切线的性质，三角形外角性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 4．综合与实践【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图2，已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．    (1)【问题提出】如图1，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证：． (2)【问题解决】如图3，已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当的外接圆⊙与轴相切于点时，最大．当最大时，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的外角和，同弧或者等弧所对的圆周角相等，即可； （2）当的外接圆⊙与轴相切于点时，最大，连接，，过点作于点，根据垂径定理，勾股定理，即可求出． 【详解】（1）证明：由图可知：∵，是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）当的外接圆⊙与轴相切于点时，最大， ∴连接，，过点作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵点，的坐标分别是，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点．   【点睛】 本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握同弧或者等弧所对的圆周角和圆心角的关系，垂径定理，圆的切线定理． 【覆盖五】最值综合 1．问题探究 (1)如图，在中，，，点是的中点，点是上一动点，则的最小值为______； (2)如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，的最小值是多少？ (3)问题解决：如图，一家养老院的平面示意图可抽象为直角梯形，经测量可得，，，老年公寓位于点处，且m，根据养老院规划，需要在边上建立一个半径为的餐厅，即半圆，并在半圆的三等分点处设置餐厅入口，在半圆与交点处设置餐厅出口，同时以直角梯形的边建设以点为入口的老年活动中心，因活动中心场地规划需求，要使．线段、是要修的两条道路，为节约成本，希望最小，试求最小值及此时的长． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为，此时的长度为 【分析】（1）利用轴对称性质，将点关于对称，把转化为两点间线段，结合直角三角形中位线与勾股定理计算最小值； （2）先通过全等三角形证明，确定点的运动轨迹为一段圆弧，再利用圆外一点到圆上点的最短距离（即−半径）求出的最小值； （3）通过平移变换将转化为，结合轴对称将转化为，把转化为，利用圆的轨迹（，在以为直径的半圆上），结合勾股定理与中位线性质，求出的最小值及此时的长度． 【详解】（1）解：如图，作点关于的对称点，连接，此时的最小值为 取的中点，连接， ∵点是的中点， ， ， ； （2）解：如图，是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ， 点的运动轨迹是为圆心，为半径的弧上运动， 其中， 过点作于点， 由垂径定理，，， 在中，， 连接交于，当点与重合时，的值最小，最小值； （3）解：如左图，连接，，作，为垂足． 如图，平移线段至，点与点重合，以为对称轴作点的对称点，交于点． 根据线段平移的性质，四边形为平行四边形， ∴，， 设的中点为，由于点，的相对位置固定不变，动点的轨迹是以为直径的半圆，此时半径， 且点在以为圆心，为半径的圆上运动， 连接、， ，即， 当且仅当，，，四点共线时，等号成立， 的最小值为， 的最小值为，即为的最小值， 在如图中，半圆形餐厅的半径，， ， ，， 根据平移的性质，点移至点，相当于先向左平移了长度，再向上平移了长度， ， 根据轴对称的性质，， 由平移得：， 过点作的平行线交的延长线于，得四边形为矩形， ，， ， 在中，， 最小值为：， 即的最小值为， 设和的交点， ，， 为中位线，， 当取最小值时，动点位置为和的交点， 故的最小值为，此时的长度为． 【点睛】本题考查了轴对称求最短路径、等边三角形性质与全等三角形、圆的轨迹与最值、平移与轴对称变换及勾股定理等核心知识点，通过几何变换将复杂的线段和最值问题转化为可计算的几何模型，是解答本题的关键． 2．【问题情境】如图、图，点分别在外、在内，直线分别交于点、，则是点到上的点的最短距离，是点到上的点的最长距离． 【直接运用】 （1）已知点到上的点的最短距离为，最长距离为，则的半径为___________； （2）如图，在中，，，，点在边上，且，动点在半径为的上，则的最小值是___________． 【构造运用】 （3）如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连结，请求出长度的最小值． 【综合运用】 （4）如图5，正方形中，，动点M、N分别在边AB、AD上，且始终保持，，垂足为G，则的最小值为___________． 【答案】（1）2或4（2）（3）（4） 【分析】（1）分点在圆内和圆外讨论求解即可； （2）根据材料可直接得解； （3）由题易知点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，结合材料求解即可； （4）延长交延长线于点，易证（），可得，则根据直角三角形斜边中线可知，所以点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，则，当且仅当、、三点共线时取等，据此求解即可． 【详解】解：（1）当点在圆内时，由图2知，，当点在圆外时，由图1知，， 故答案为：或； （2）连接， 由题意可知当点、、依次共线时，，为最小值， 在中，， ， ， 故答案为：； （3），为中点， ， 由折叠的性质可知， 点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，如图， 当、、依次共线时，为最小值， 连接， 四边形为菱形， ， ， 为等边三角形， ∵为中点， ， ， ， 即的最小值为； （）延长交延长线于点， ， ， ， ， ， （）， ， ， 则在中，为斜边中点， ， 点在以为圆心，为半径的圆弧上运动， 则，当且仅当、、三点共线时取等， ， 最小值， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系、勾股定理、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、点的轨迹等问题，正确找出动点轨迹是解题的关键． 3．阅读材料：如图1，若点P是外的一点，线段交于点A，则长是点P与上各点之间的最短距离． 证明：延长交于点B，显然．如图2，在上任取一点C（与点A，B不重合），连接，． ，且，， ， 的长是点P与上各点之间的最短距离． 由此可得结论：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差． 请用上述结论解决下列问题． (1)如图3，在中，，，以为直径的半圆O交于D，P是弧上的一个动点，连接，求长的最小值． (2)如图4，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，点N是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接．求线段长的最小值． (3)如图5，已知正方形的边长为4，点G是以为直径的半圆O上的一动点，点P是边上另一动点，连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接与相交于点P，由题意得，此时最短，利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）由线段中点的定义可得，由折叠的性质可得，则点在为直径的圆上运动（右侧的半圆上）；连接交圆M于点Q，过点C作，交的延长线于点P，求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）作点D关于的对称点，连接，，设分别交于点N，交半圆O于点H，由轴对称的性质可得，，则可推出当点P与点N重合，点G与点H重合时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图3所示，连接与相交于点P，由题意得，此时最短， ∵的直径，且， ∴； ∵， ∴， ∴的最小值为； （2）解：∵四边形是边长为2的菱形， ∴，； ∵M是的中点， ∴， 由折叠的性质可得， ∵点N在线段上运动， ∴点在为直径的圆上运动（右侧的半圆上）； 连接交圆M于点Q，过点C作，交的延长线于点P，如图4所示， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，当点与点Q重合时，最短，最短为； （3）解：如图5所示，作点D关于的对称点，连接，， 设分别交于点N，交半圆O于点H， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∴由题意得，当点P与点N重合，点G与点H重合时，有最小值，最小值为的长； 如图5所示，过点作交的延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 4．【模型初识】“一箭穿心”是圆中最值问题的核心解题模型，其核心结论是：过圆外定点和圆心的直线与圆相交于两点，这两点到圆外定点的距离分别为该定点到圆上点的最大值和最小值． 【探究证明】（1）如图①，是外的一点，直线分别交于点、，则线段是点到上各点的距离中最短的线段． 证明：如图②，在上任意取一个不同于点的点，连接、 则有（__________）请补全_________处缺失的依据 即 由得，即 从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段． （2）小琳认为在图①中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小琳的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】 （3）如图③，在中，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是_________． （4）如图④，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的半径为3，为轴上一动点，切于点，则最小值是_________． 【灵活运用】 （5）如图⑤，的半径为6，弦，点为优弧上一动点，交直线于点，则面积的最大值是_________． 【答案】（1）两点之间，线段最短； （2）小琳的说法正确，理由如下： 在圆上任意取一个不同于点的点，连接、， ∵在中，， ∴，即． ∴线段是点到圆上各点的距离中最长的线段． ∴小琳的说法正确； （3）； （4）4； （5） 【分析】（1）根据两点之间，线段最短即可解答； （2）在圆上任意取一个不同于点的点，连接、，类比于题干分析过程进行说明即可； （3）取半圆的圆心，连接交半圆于点，结合题意得到当与点重合时，最小，利用勾股定理求出，即可解题； （4）如图，连接，由勾股定理可知要使最小，只需最小；当轴于P时，最短，可确定点P的坐标，进而确定，最后在中求出的值即可； （5）连接，作的外接圆，过圆心作于点，连接，，，，先根据等边三角形的判定与性质可得，根据圆周角定理可得，则可得，再作的外接圆，求出，然后可得当点共线时，，此时的值最大，最大值为，利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）解：如图②，在上任意取一个不同于点的点，连接、， 则有（两点之间，线段最短） 即 由得，即， 故答案为：两点之间，线段最短； （2）略 （3）解：如图，取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小， ， ∴的最小值为：， 故答案为：； （4）解：如图，连接， 根据切线的性质定理，得， ，， ∴要使最小，只需最小， 当轴于P时，最短， 此时P点的坐标是， ∵A点坐标为， ∴， 在中，，， ∴， ∴最小值是4， 故答案为：4； （5）解：如图，连接，作的外接圆，过圆心作于点，连接，，，， ∵半径为6， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 要使的面积最大，则需点到的距离最大， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴（当且仅当点共线时，等号成立）， ∴当点共线时，，此时的值最大，最大值为， ∴的最大面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理、垂线段最短、坐标与图形，等边三角形的判定与性质、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质、圆中的最值问题等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，是解此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆拓展之最值篇思维导图 【覆盖一】将军饮马 1．如图，是的直径，，点B是的中点，点P是直径上一动点．连接，，．若，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 2．如图，在中，，点C为的中点，点D是半径上一动点．若，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 3．如图，的弦长为2，是的直径，，，是上的动点，则的最小值是______． 4．如图，是的直径，，点C在上，，D为弧的中点，P是直径上一动点，则的最小值为 ______． 【覆盖二】两动一定 1．如图，矩形中，，，以为圆心，半径分别为和画圆，分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，，点，分别是，边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 3．如图，已知正方形，边长为，点是正方形内部一点，且，点是边上一动点，连接，．则的最小值为___． 4．如图，矩形中，，点在边上且，点为直线上一动点，连接，将沿着折痕折叠，得到 ，动点在边上，连接，则 最小值是_______． 【覆盖三】切线与勾股定理 1．如图，的半径为3，点到直线的距离为5，是直线上的一个动点，与相切于点，则的最小值是（   ） A． B．3 C．5 D．4 2．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，，的半径为1（O为坐标原点），点P在直线上，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（ ） A． B． C． D．3 3．如图，等边三角形的边长为2，的半径为1，点是上的动点，与相切于点，则的最小值是_____． 4．如图，的半径是1，点是直线上一动点，过点作的切线，切点为，连接，，则的最小值为______． 【覆盖四】折叠圆 1．如图，在矩形中，，点是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，是矩形的边上一动点，是的中点，连接，将沿所在直线折叠，点的对应点是点，连接．已知，当线段的最小值为1时，边的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在正五边形中，，点M是的中点，连接，点P在边上（不与点C重合），将沿折叠得到，则的最小值为________． 4．如图，在矩形中，，，点M，N分别为，上一个动点，且，沿直线折叠，点A，B分别落在点E，F处，点P为上一点，且，则的最大值为_____，的最小值为_______． 【覆盖一】点运动路径 1．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，将线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是(　　)      A． B． C． D． 2．如图，是的直径，，是上半圆的中点，是下半圆上一个动点，过点作的垂线，垂足为，则点从点运动到点的过程中，点运动的路径长是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在扇形中，，，动点沿弧从运动到，作于点，则内切圆圆心的运动路径长是______． 4．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且的周长为，，若，将线段绕点逆时针旋转到点在上时，求点的运动路径长_______． 【覆盖二】直角圆 1．如图，在矩形中，，，点是矩形内部的一个动点，且，则线段长的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，以为圆心，4为半径的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为上一动点，于点F，则线段的长度的最小值为________． 4．如图，点M是矩形边的中点，，，若点P是平面内的点，且是直角，则线段的最大值为___________，最小值为___________． 【覆盖三】定角定弦 1．如图所示，正方形的边长为1，，是边，上的动点．若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，，，，是四边形内部的一个动点，且，则线段长度的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 3．如图，中，，，为外一点，满足．若，的最小值是_____． 4．如图，在矩形中，， ，点P在矩形内运动，且始终满足，则的最小值为____． 【覆盖四】中位线与瓜豆原理 1．如图，已知的半径为是外一点，是上的动点，线段的中点为，连结，，则线段的最小值是（    ） A．0 B．0.5 C．1 D．1.5 2．如图，在正方形中，，点在正方形内部，且满足，连接，取，的中点，连接，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．如图，在矩形中，，，点为矩形内一个动点，连接，，，，点，分别为，的中点，连接，则的最小值为__________． 4．在正方形中，边长为4，点是平面内一动点，且满足，为的中点，点运动过程中，线段长度的最小值是_____． 【覆盖一】面积最值 1．如图，线段是半圆的直径，，点为半圆上的动点，分别过点、作的切线交于点，连接、，则面积的最大值是（     ） A． B．12 C． D．16 2．如图，，两点的坐标分别为，，的圆心为，半径为，是上一个动点，则面积的最大值为(   ) ．    A． B． C． D． 3．在中，．则面积的最大值是_____． 4．如图，在中，，，O为的斜边中点，以C为圆心，2为半径作，P为上的一个动点，连接，则面积的最大值为_______． 【覆盖二】其他最值 1．如图，的半径为4，圆心的坐标为，是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点．若点、关于原点对称，则长的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．已知如图在菱形中，，点E、F分别是、上的动点（不与端点重合），且，连接、交于点G，则四边形的面积的最大值为（   ） A． B．6 C． D． E．9 3．在中，，，以为边作一个等边，则的最大值是_____ ． 4．如图，和是共顶点等边三角形，，直线与交于点，连接，当绕点旋转的过程中，则的最大值为_________． 【覆盖三】费马距离 1．【阅读理解】①如图1，已知点P为等边外接圆的上任意一点．求证：； ②定义：在所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为的费马点，此时的值为的费马距离． 【方法探究】根据①的结论，我们有如下探寻（其中均小于）的费马点和费马距离的方法． （1）如图2，在的外部以为边长作等边及其外接圆，在上任取一点，连接、、、．根据①的结论，易知______，______；根据两点间线段最短，我们可以得到线段______的长度为的费马距离． （2）在图3中，作出的费马点P（要求尺规作图）．如果，的费马距离是______； 【问题解决】已知正方形，P是正方形内部一点，且的最小值为，求正方形的边长． 2．阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A，B，C距离之和最小的点称为ABC的费马-托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点．问题解决： （1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将BPC绕点B顺时针旋转60°得到BDE，连接PD，可得BPD为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由 可知，PA+PB+PC的最小值与线段 的长度相等； （2）如图2，在直角三角形ABC内部有一动点P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，连接PA，PB，PC，若AB=2，求PA+PB+PC的最小值； （3）如图3，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，平面内有一动点E，在点E运动过程中，始终有∠BEC=90°，连接AE、DE，在ADE内部是否存在一点P，使得PA+PD+PE最小，若存在，请直接写出PA+PD+PE的最小值；若不存在，请说明理由． 3．探究题 (1)知识储备 ①如图1，已知点P为等边△ABC外接圆的弧BC上任意一点．求证：PB+PC=PA． ②定义：在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离． (2)知识迁移 我们有如下探寻△ABC(其中∠A，∠B，∠C均小于120°)的费马点和费马距离的方法：如图2，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段____的长度即为△ABC的费马距离． (3)知识应用 ①如图3所示的△ABC（其中均小于），，现取一点P，使点P到三点的距离之和最小，求最小值； ②如图4，若三个村庄构成Rt△ABC，其中．现选取一点P打水井，使P点到三个村庄铺设的输水管总长度最小，画出点P所对应的位置，输水管总长度的最小值为________．（直接写结果） 4．(1) 知识储备 ①如图 1，已知点 P 为等边△ABC 外接圆的弧BC 上任意一点．求证：PB+PC= PA． ②定义：在△ABC 所在平面上存在一点 P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点 P 为△ABC 的费马点，此时 PA+PB+PC 的值为△ABC 的费马距离． (2)知识迁移 ①我们有如下探寻△ABC (其中∠A，∠B，∠C 均小于 120°)的费马点和费马距离的方法： 如图 2，在△ABC 的外部以 BC 为边长作等边△BCD 及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段____的长度即为△ABC 的费马距离. ②在图 3 中，用不同于图 2 的方法作出△ABC 的费马点 P(要求尺规作图). (3)知识应用 ①判断题（正确的打√，错误的打×）： ⅰ.任意三角形的费马点有且只有一个（          ）； ⅱ.任意三角形的费马点一定在三角形的内部（          ）. ②已知正方形 ABCD，P 是正方形内部一点，且 PA+PB+PC 的最小值为，求正方形 ABCD 的 边长．            【覆盖四】米勒原理一最大张角 1．【发现问题】如图1，在画展厅，为保护展品，会放置围栏分隔观赏者和展品，现在数学小组想知道围栏位置是否合适，做出以下研究． 【资料查阅】1471年德国数学家米勒也提出过类似问题，如图2，观赏最佳的位置就是展品的最高点A与最低点B与观赏者的眼睛C所形成的视角最大． 【米勒定理】如图3，当经过A，B，C三点的与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想．这是为什么呢？ 请思考后完成填空： 设点是上任意一个异于C的点， 是的外角， ______（填“、或”）， 又 ______， ． 眼睛位于点C处时，最大． 【问题解决】如图4，在上述定理基础上，假如竖直墙壁上的展品的最高点A距离地面的高度为3.4米，最低点B距离地面的高度为2.4米，观赏者的眼睛C距离地面的高度为1.6米，那么围栏放在什么位置最合适呢？ 2．（1）如图1，在足球比赛场上，甲带球奔向对方球门，当他带球冲到A点时，同伴乙已冲到B点，甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？ 对上面这个问题，小明结合图1判断甲的视角小于乙的视角，根据“仅从射门角度考虑，球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进”的经验，认为甲应该将球传给乙．请结合图1给出小明得到的理由； （2）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，并得到这样的结论：如图2，点A，B是平面内两个定点，C是直线l上的一个动点，当且仅当的外接圆与l相切于点C时，最大． 如图3，，点A，B是边上两点，，点C是边上一动点． ①若最大为，请求出当时，的长； ②若最大不超过，直接写出的取值范围．    3．综合与实践 【问题提出】 （1）如图，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证：． 【数学理解】 德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图，已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大，人们称这一命题为米勒定理． 【问题解决】 （2）如图，已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当的外接圆与轴相切于点时，最大，当最大时，求点的坐标． 4．综合与实践【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图2，已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．    (1)【问题提出】如图1，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证：． (2)【问题解决】如图3，已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当的外接圆⊙与轴相切于点时，最大．当最大时，求点的坐标． 【覆盖五】最值综合 1．问题探究 (1)如图，在中，，，点是的中点，点是上一动点，则的最小值为______； (2)如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，的最小值是多少？ (3)问题解决：如图，一家养老院的平面示意图可抽象为直角梯形，经测量可得，，，老年公寓位于点处，且m，根据养老院规划，需要在边上建立一个半径为的餐厅，即半圆，并在半圆的三等分点处设置餐厅入口，在半圆与交点处设置餐厅出口，同时以直角梯形的边建设以点为入口的老年活动中心，因活动中心场地规划需求，要使．线段、是要修的两条道路，为节约成本，希望最小，试求最小值及此时的长． 2．【问题情境】如图、图，点分别在外、在内，直线分别交于点、，则是点到上的点的最短距离，是点到上的点的最长距离． 【直接运用】 （1）已知点到上的点的最短距离为，最长距离为，则的半径为___________； （2）如图，在中，，，，点在边上，且，动点在半径为的上，则的最小值是___________． 【构造运用】 （3）如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连结，请求出长度的最小值． 【综合运用】 （4）如图5，正方形中，，动点M、N分别在边AB、AD上，且始终保持，，垂足为G，则的最小值为___________． 3．阅读材料：如图1，若点P是外的一点，线段交于点A，则长是点P与上各点之间的最短距离． 证明：延长交于点B，显然．如图2，在上任取一点C（与点A，B不重合），连接，． ，且，， ， 的长是点P与上各点之间的最短距离． 由此可得结论：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差． 请用上述结论解决下列问题． (1)如图3，在中，，，以为直径的半圆O交于D，P是弧上的一个动点，连接，求长的最小值． (2)如图4，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，点N是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接．求线段长的最小值． (3)如图5，已知正方形的边长为4，点G是以为直径的半圆O上的一动点，点P是边上另一动点，连接，，求的最小值． 4．【模型初识】“一箭穿心”是圆中最值问题的核心解题模型，其核心结论是：过圆外定点和圆心的直线与圆相交于两点，这两点到圆外定点的距离分别为该定点到圆上点的最大值和最小值． 【探究证明】（1）如图①，是外的一点，直线分别交于点、，则线段是点到上各点的距离中最短的线段． 证明：如图②，在上任意取一个不同于点的点，连接、 则有（__________）请补全_________处缺失的依据 即 由得，即 从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段． （2）小琳认为在图①中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小琳的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】 （3）如图③，在中，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是_________． （4）如图④，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的半径为3，为轴上一动点，切于点，则最小值是_________． 【灵活运用】 （5）如图⑤，的半径为6，弦，点为优弧上一动点，交直线于点，则面积的最大值是_________． 学科网（北京）股份有限公司 $