第1章 反比例函数——k的几何意义 专项训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦反比例函数k的几何意义，通过基础到综合的题型设计，系统提炼面积与|k|关系的核心方法，构建从概念到应用的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-5、填空10-12|过点作坐标轴垂线，利用三角形/矩形面积=1/2|k|/|k|直接计算|从单点面积到简单图形面积，强化k的几何意义概念| |图形综合|单选6-9、填空13-16|结合中点、对称、图形性质转化面积关系求k|从基本图形到复杂图形（菱形、平行四边形），深化面积与k的关联| |函数综合|解答19-24|联立方程、运用方程思想解决函数交点及面积综合问题|从单一函数到函数综合，提升综合应用与推理能力|

第1章 反比例函数——k的几何意义 专项训练 一、单选题 1．如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，的直角边与反比例函数的图象交于点，若点为的中点，的面积为4，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（   ） A．4 B．2 C．8 D．6 4．如图，点在的图象上，轴交反比例函数的图象于点，轴，垂足为点，连接，四边形的面积等于，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上的一点，连接，．若的面积为，则的值是（） A．3 B． C．6 D． 6．如图，点在轴的正半轴上，点在反比例函数 的图象上，交轴于点．若点是的中点，的面积为，则的值为(   ) A． B． C． D． 7．如图，直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数的图象上，顶点B在函数的图像上，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 9．如图，在反比例函数的图象上，有点它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，，…，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为……，则的结果为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．如图，过反比例函数的图象上一点作轴于点，连接，则________． 11．一个反比例函数在第三象限的图象如图，是图象上任意一点，轴于点，是坐标原点．如果的面积是，那么这个反比例函数的表达式是________． 12．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，点在轴上，，则实数的值为_____． 13．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在y轴正半轴上，菱形的面积为24，若反比例函数的图象经过点C，则k的值为________． 14．如图，点A、B在反比例函数的图像上，过点A、B分别向x轴、y轴作垂线段，已知阴影部分的面积等于1，则__________． 15．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数（k为常数，）的图象相交于A、C两点，过点A作轴于点B，连接，若的面积为4，则k的值为_______． 16．如图，点A，B在反比例函数的图象上，过A，B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，连接，若（分别为和中空白部分的面积），S阴影＝1，则k的值为________． 17．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，过点作轴于，连接，与相交于点，若，则的值为______．    18．如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是________． 三、解答题 19．如图，已知点是反比例函数图象上一点，是坐标原点，轴，，且图象经过；求： (1)反比例函数解析式． (2)的值． 20．如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．若轴，垂足为，面积为6． (1)求值； (2)求的面积． 21．如下图，A是反比例函数图象上一点，轴于点C，且与反比例函数的图象交于点，连接．若的面积为6，求的值． 22．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线与直线y＝－x＋（k＋1）在第四象限的交点，AB⊥x轴于B，且． (1)求这两个函数的解析式； (2)求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积． 23．如图，点为反比例函数图像上的两个动点，其横坐标分别为，过点分别作轴的垂线交轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，矩形的面积为． (1)的值为 ； (2)若，求的值； (3)若，试比较的大小，并说明理由． 24．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出的取值范围； (3)在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】设与轴交于点，根据反比例函数的几何意义可知，矩形的面积为，矩形的面积为，由矩形的面积为6建立方程求解即可． 【详解】解：如图，设与轴交于点， 四边形是矩形，点、在轴上， 轴，轴，轴， 四边形和四边形均为矩形． 点在反比例函数的图象上， ． 点在反比例函数的图象上，且图象在第一象限， ， ． ， ， ． 2．A 【分析】本题主要考查了根据反比函数k的几何意义求k值，三角形面积的计算，解题的关键是根据中线的性质求得的面积． 根据线段中点定义得，再由可得，根据反比例函数系数k的几何意义得，以此即可求解． 【详解】解：∵C为的中点， ∴， ∴， ∴，即， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴． 故选：A． 3．A 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义．根据反比例函数系数k的几何意义得到，，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵轴于点A，交于点B， ∴，， ∴． 故选：A． 4．C 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，设与轴的交点为，由点在上， 则四边形的面积为，的面积为，再通过反比例函数的几何意义即可求解，正确理解反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，设与轴的交点为， ∵点在上， ∴四边形的面积为， ∵四边形的面积为， ∴的面积为， ∴， 故选：． 5．D 【分析】连接，根据平行线间的距离相等可知，再根据反比例函数系数的几何意义即可求出的值 【详解】解：连接，如图， ∵轴，轴轴， ∴轴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴． 6．D 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及全等三角形的判定和性质，理解反比例函数系数k的几何意义是解答的关键．根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式可得，进而由系数k的几何意义可得答案． 【详解】解：如图，作轴，垂足为点， 在和中， ， ， 反比例函数图象在第二象限， 故选：D． 7．D 【分析】此题考查反比例函数的性质，30°的直角三角形的性质，设与轴的交点为，设点A的坐标为，则可得到，，根据三角形的面积得到 ，再根据和的取值范围求比值即可解题． 【详解】解：设与轴的交点为，点A的坐标为， 则， ， ， ， ∴，， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 故选：D． 8．D 【分析】先设点坐标为，用、表示出的面积，再根据四边形的面积列方程求得的值便可． 【详解】解：设点坐标为，则，，， ， ， ， 轴于， ， 四边形的面积为3， ， 解得． 9．D 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为． 根据反比例函数几何意义，等于点与坐标轴围成的矩形面积，即可解题． 【详解】解：由题可知：点坐标为，点的坐标为， ∴点与点的纵坐标之差为， ∵由图可得所构成的矩形面积宽为1，长为点与点的纵坐标之差， ∴点与点的纵坐标之差为， ∴． 故选：D． 10．2 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，根据题意得出，即可解答． 【详解】解：∵轴，， ∴， 故答案为：2． 11． 【分析】本题考查了反比例函数 中的几何意义，熟练掌握过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得三角形面积为是解题的关键；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义；过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即． 【详解】设这个反比例函数的表达式为，因为，所以，所以 因为双曲线的一支在第三象限内，所以，所以， 即这个反比例函数的表达式为； 故答案为： 12． 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，正确理解反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．根据反比例函数k值几何意义进行解答即可． 【详解】解：如图，过点A作轴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了菱形的性质，根据图形面积求比例系数（解析式），正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据菱形的面积为24，得，则，又因为反比例函数的图象在第二象限，则，即可作答． 【详解】解：如图所示： 菱形的顶点B在y轴正半轴上，菱形的面积为24， ∴， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， 故答案为： 14．4 【分析】本题主要考查反比例函数图像上的点的坐标特征，根据反比例函数图像上点的坐标特征解决此题． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， 故答案为：4． 15． 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，首先根据反比例函数中的几何意义可得：，再根据反比例函数的对称性可知：，据此即可求出的值． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数（k为常数，）的图象相交于A、C两点， ∴， 由反比例函数中的几何意义得：， ∴， ， ∵， ． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查的是反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键；利用，根据题意，即可求解 【详解】解：由题意，知和都是直角三角形， ，      ， ， ， 由图，可知， 故答案为： 17．24 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，矩形的判定和性质，过点作轴于，延长线段，交轴于，得出四边形是矩形，四边形是矩形，得出，，由，得到，即可求得矩形的面积，根据反比例函数系数的几何意义即可求得的值． 【详解】解：过点作轴于，延长线段，交轴于，    ∵轴， 轴， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，， ， 点在双曲线上， ， 同理， ∵， ∴， ∴ ， ， 故答案为：24． 18． 【分析】延长，交于点，设，则，把、、的面积用含的代数式表示出来，根据列方程求出的值． 【详解】解：如下图所示，延长，交于点， 设，则， 轴，轴， 点的纵坐标为，点的纵坐标为， ，， ，， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， 得：， ． 19．(1)反比例函数解析式是； (2)． 【分析】（）设反比例函数解析式为，由点在函数图象上，，，则，从而求解； （）把代入即可求解； 本题考查了反比例函数比例系数的意义，反比例函数的图象及性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）设反比例函数解析式为， ∵过点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式是； （2）由（）得：反比例函数解析式是， ∵在图象上， ∴， 解得：． 20．(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数的几何意义，即可求解； （2）根据（1）得出反比例函数解析式为，进而求得，，直线的解析式为，进而得出，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵轴，垂足为，面积为6 ∴ ∵反比例函数图象在第一象限 ∴ ∴； （2）解：由（1）可得反比例函数解析式为 ∵，在图像上， ∴，， 解得： ∴， 设直线的解析式为，代入，得 ，解得： ∴直线的解析式为 当时， 解得： ∴ ∴ ∴ 21． 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是正确解答的关键． 由的面积为6，可求出的面积为2，进而求出的面积为8，再根据反比例函数系数的几何意义可求出，进而得出答案． 【详解】解：， ， ． 又，且， ， ． 故的值为． 22．(1)，y=-x-2 (2)A（1，-3），C（-3，1）， 【分析】（1）设出A坐标（x，y），表示出OB与AB，进而表示出三角形ABO面积，由已知面积确定出反比例函数k的值，进而确定出一次函数； （2）联立反比例函数与一次函数解析式，求出A与C坐标即可；由一次函数解析式求出交点的坐标，然后三角形AOC面积=两个三角形面积的和，求出即可． 【详解】（1）解：设A点坐标为（x，y），且x＞0，y＜0， 则， ∴xy=-3， ∴k=xy=-3， ∴所求的两个函数的解析式分别为，y=-x-2． （2）解：联立方程得得：或， ∴交点A为（1，-3），C为（-3，1）； 由y=-x-2，令x=0，得y=-2． ∴直线y=-x+2与y轴的交点的坐标为（0，-2）， 则． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及三角形面积，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 23．(1) (2) (3)，理由见详解 【分析】本题主要反比例函数图象与结合图形的综合，理解矩形面积与反比例函数系数的关系，几何图形面积的计算，点坐标的计算方法是解题的关键． （1）根据点在反比例函数图形上，由，即可求解； （2）由（1）可得反比例函数解析式，根据点的横坐标为，点的横坐标为，可得，，则，再根据，即可求解； （3）由题意可得，根据当时，，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵点为反比例函数图像上的两个动点，矩形的面积为， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，反比例函数解析式为， ∵点的横坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∴， ∴， 解得，； （3）解：∵， ∴当时，，即， ∴． 24．(1)， (2)或 (3)点P的坐标为 【分析】（1）利用反比例函数的几何意义可以求出反比例函数解析式，再将和点的坐标代入即可求出的值； （2）利用函数图像即可求出不等式的解集； （3）作点A关于y轴的对称点，连接并延长，交轴于点P，连接，因为点关于轴的对称点，又，则直线与轴的交点即为所求的点，求出直线的关系式，再求其与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵的面积为4， ∴， 解得，或（不符合题意舍去）， ∴反比例函数的关系式为， 把点和点代入得， ，． （2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知， 不等式的解集为： 或； （3）解：作点A关于y轴的对称点，连接并延长，交轴于点P，连接，如图所示： 根据轴对称可得：， ∴， ∴此时最大， 点关于轴的对称点， 设直线的关系式为，代入和得， ， 解得， ∴直线的关系式为， 令，， ∴直线与轴的交点坐标为， 即点P的坐标为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $