·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册9《第3章圆第2节确定圆的条件》预习讲义

数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册9 《第3章圆第2节确定圆的条件》预习讲义 一．预习目标 ( 1.掌握过1个点、2个点、3个点作圆的规律，牢记核心定理：不在同一直线上的三点确定一个圆，区分三点共线/不共线两种情况。 2.理解三角形外接圆、内接三角形、外心的定义，熟记外心性质：外心是三边垂直平分线交点，到三角形三个顶点距离相等。 3.分类掌握锐角、直角、钝角三角形外心的位置特征，会计算直角三角形外接圆半径。 4.掌握破损圆形玻璃复原、网格找外心、尺规作三角形外接圆基础题型解题思路。 5.规避高频易错点：忽略 “ 三点不共线 ” 前提、混淆外心与内心、直角三角形外接圆半径计算漏除以2。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.三点确定圆定理的理解与判断； 2.三角形外心定义、性质与位置规律； 3.直角三角形外接圆半径计算。 （二）难点 1.网格坐标系中求三角形外心坐标； 2.结合垂直平分线、勾股定理的几何综合计算； 3.实际应用：利用碎片圆弧复原完整圆形。 ) 三．自主探究 （一）过点作圆的个数规律 1.过1个点：可作无数个圆，圆心为平面内任意一点，半径为圆心到该定点距离。 过一点的圆有无数个，圆心为点A以外任意一点. 2.过2个点A、B：可作无数个圆，所有圆心都在线段AB的垂直平分线上，半径为圆心到A（或B）的距离。 过两个点的圆也有无数个，圆心都在线段AB的垂直平分线上. 3.过3个点： （1）三点共线：无法作出同时经过三点的圆； 经过同一条直线上的三个点不能作圆. （2）三点不在同一直线：有且只有1个圆同时经过三点（核心定理）。 作法：①连结AB，作线段AB的垂直平分线MN； ②连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O； ③以O为圆心，OA为半径作圆． 所以⊙O就是所求作的圆． 通过刚刚的作图过程，∵直线MN和EF只有一个交点O,并且点O到A,B,C三个点的距离相等,∴经过点A,B,C三点可以作一个圆,并且只能作一个圆. （二）三角形外接圆相关概念 【尝试】用直尺和圆规作一个圆，使它经过 △ABC的三个顶点。 作法:（1）作线段AB的垂直平分线MN;（2）作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O;（3）连接OB.（4）以O为圆心，OB为半径作圆. ⊙O就是所求作的圆. 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. 【想一想】: (1)一个三角形的外接圆有几个? 一个三角形的外接圆有几个一个。 (2)一个圆的内接三角形有几个? 一个圆的内接三角形有无数个。 (3)三角形的外心有什么性质? 三角形外心是AABC三条边的垂直平分线的交点;它到三角形的三个顶点的距离相等. （三）三类三角形外心位置（必考） 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形的外心与这个三角形的位置关系。 1.锐角三角形：外心在三角形内部； 2.直角三角形：外心在斜边中点，外接圆半径R=斜边长度； 3.钝角三角形：外心在三角形外部。 （四）实际应用 破损圆形玻璃复原：保留两段完整圆弧的碎片，作出两段弦的垂直平分线，交点即为圆心，可复原完整圆形。 四．经典例题 例1.（2025·苏州昆山期末）下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 过两点有且只有一个圆 C. 一个三角形有且只有一个外接圆 D. 三角形外心到三边距离相等 【答案】：C 【解析】：A缺少“不共线”条件；B过两点可作无数圆；D外心到顶点距离相等，内心到三边距离相等；只有C正确。 例2.（2026·盐城阜宁一模）直角三角形两直角边6、8，则外接圆半径为（ ） A. 5 B. 10 C. 4 D. 3 【答案】： 【解析】：斜边2=62+82=102，斜边=10直角三角形外接圆半径R=斜边=5。 例3.（2024·无锡惠山期末）破损圆形玻璃碎片，哪一块可复原完整圆（ ） A. 仅含一段短弧碎片 B. 含两段相交弦的碎片 C. 只含圆上一个点碎片 D. 含一段直径碎片 【答案】：B 【解析】：两段弦可作垂直平分线，交点确定圆心，唯一复原圆；其余碎片无法确定圆心。 例4.（2026·泰州姜堰二模）钝角三角形的外心位置在（ ） A. 三角形内部 B. 斜边中点 C. 三角形外部 D. 三角形边上 【答案】：C 【解析】：锐角内、直角斜边中点、钝角外部，固定规律。 例5.（2025·南通通州期末）过同一直线上三点，能作____个圆。 【答案】：0 【解析】：三点共线，不存在同时经过三点的圆。 例6.（2024·镇江丹徒期末）线段AB=8，过A、B两点作圆，圆心轨迹是线段AB的____。 【答案】：垂直平分线 【解析】：到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上。 例7.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为(3,0)． （1）若△ABC的外接圆的圆心为M，则圆心M的坐标为_________，⊙M的半径为________； （2）求△ABC的外接圆与x轴的另一个交点坐标． 解：（1）如图，点M即为所求，M(5,5)；故答案为：(5,5)； 半径r=． （2）的外接圆与x轴的另一个交点E坐标是(7,0)．  例8.（1）如图，已知△ABC，用尺规作图画出△ABC的外接圆⊙O不写画法，保留作图痕迹； （2）若△ABC是直角三角形，且∠C=90o，AB=5，则△ABC的外接圆的半径为______． 解：（1）如图，⊙O为所作； （2）∠C=90o，AB为△ABC的外接圆的直径，△ABC的外接圆的半径AB=． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025·淮安淮阴期末）下列图形外心在边上的是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】：B 【解析】：直角三角形外心在斜边（边上）。 2.（2026·盐城滨海一模）平面内4个点，其中3点共线，任意三点画圆，一共可画圆个数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】：C 【解析】：直线外一点分别与直线上两点组合，共3组不共线三点，画3个圆。 3.（2024·常州新北期末）关于外心说法错误的是（ ） A. 外心是三边垂直平分线交点 B. 外心到三个顶点距离相等 C. 等边三角形外心、内心重合 D. 钝角三角形外心在三角形内部 【答案】：D 【解析】：钝角三角形外心在外部。 4.（2025·宿迁宿豫期末）过一点A作圆，可作个数（ ） A. 1 B. 2 C. 无数 D. 0 【答案】：C 【解析】：平面任意点均可作圆心，无数个圆经过A。 5.（2026·苏州吴中二模）三角形外接圆的圆心是（ ） A. 角平分线交点 B. 中线交点 C. 垂直平分线交点 D. 高交点 【答案】：C 【解析】：角平分线交点是内心，中线重心，高交点垂心，垂直平分线交点外心。　　　 6．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示．为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(　　) A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 【答案】B　 【解析】看所带的一块玻璃能不能通过作图画出原来的圆，任意作两条不平行的弦，再作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是该玻璃所在圆的圆心，圆心与弦的一个端点的连线即为半径，故带第②块碎片，故选B. 7．下列图形不一定有外接圆的是(　　) A．三角形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】C　 【解析】任意三角形都有一个外接圆；正方形有一个外接圆，圆心是两条对角线的交点；矩形有一个外接圆，圆心是两条对角线的交点；在平面内不存在到平行四边形四个顶点的距离都相等的点，所以一般的平行四边形没有外接圆．故选C. 8．如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意3个点，能画出圆的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C　 【解析】根据题意，得点D，A，B；点D，A，C；点D，B，C均可以确定一个圆，故过这四点中的任意3个点，能画3个圆． （二）填空题 9.（2025·徐州铜山期末）不在同一直线上的三点确定____个圆。 【答案】：1 【解析】：核心定理原文。 10.（2026·盐城大丰一模）直角三角形两直角边9、12，外接圆半径=____。 【答案】：7.5 【解析】：斜边15，R=15÷2=7.5。 11.（2024·泰州兴化期末）等边三角形外心在三角形____。 【答案】：内部 【解析】：等边属于特殊锐角三角形。 12.（2025·无锡滨湖期末）要复原破损圆形，碎片必须包含至少____条完整弦。 【答案】：2 【解析】：两条弦作垂直平分线找圆心。 （三）解答题 13.（2026·东台一模，3小问）平面三点A(0,0)、B(4,0)、C(2,5)。 (1)判断三点是否共线； (2)求△ABC外心横坐标； (3)说明外心在三角形内部还是外部。 解：(1) A、B在x轴，C纵坐标5，三点不共线，可确定圆； (2) AB垂直平分线为直线x=2，外心横坐标2； (3) 三角形为锐角三角形，外心在内部。 14．如图1是一块钟表残片，图2是其示意简图．弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D， 连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出残片所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求残片所在圆的半径． 解：（1）如图，点O即为所求； （2）如图，连接，设圆的半径为r，则，，∵，， ∴，在中，，∴，解得：， 即圆的半径为 15．如图，内接于，．连接并延长，交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若的半径为5，，求的长． 解：（1）证明：如图1，连接、，∵△ABC内接于，∴，∵，∴，∵到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）由（1）知，，，可得，，由勾股定理得，，∴，由勾股定理得，，∴的长为． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025·南京秦淮期末）下列条件不能确定唯一圆的是（ ） A. 圆心、半径 B. 不在同一直线三点 C. 一条直径 D. 任意两点 【答案】：D 【解析】：过两点可作无数圆，无法唯一确定。 2.（2026·盐城市直二模）△ABC外心O，OA=5，则OB=（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】：C 【解析】：外心到三顶点距离相等，OA=OB=OC=半径。 3.（2024·扬州广陵期末）△ABC三边垂直平分线交点在三角形外，则△ABC是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】：C 【解析】：钝角三角形外心外部。 4.（2025·连云港东海期末）过平面内三点画圆，最多可画（ ） A. 0个 B. 1个 C. 无数个 D. 3个 【答案】：B 【解析】：三点不共线时唯一1个，共线0个，最多1个。 5.（2026·常州溧阳二模）下列说法正确的有（ ） ①任意三角形都有外接圆；②任意圆都只有一个内接三角形；③直角三角形外心是斜边中点；④三点一定确定圆 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】：B 【解析】：①③正确；②一个圆无数内接三角形；④缺不共线条件，共2句正确。 6. 如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是( ) A. 当弦PB最长时，ΔAPC是等腰三角形 B. 当ΔAPC是等腰三角形时，PO⊥AC C. 当PO⊥AC时，∠ACP=30° D. 当∠ACP=30°时，ΔPBC是直角三角形 【答案】：C 【解析】：当弦PB最长时，PB是⊙O的直径，所以根据等边三角形的性质，BP垂直平分AC，从而根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质得PA=PC，即ΔAPC是等腰三角形，判断A 正确；当ΔAPC是等腰三角形时，根据垂径定理，得PO⊥AC，判断B正确；当PO⊥AC时，若点P劣弧AC上，则∠ACP=30°，若点P在优弧AC上，则点P与点B重合，∠ACP=60°，则∠ACP=60°，判断C错误；当∠ACP=30°时，∠ABP=∠ACP=30°，又∠ABC=60°，从而∠PBC=30°；又∠BPC=∠BAC=60°，所以，∠BCP=90°，即ΔPBC是直角三角形，判断D正确．故选C． 7. 若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则△ABC的面积为(　C　) A. 2＋ B. C. 2＋或2－ D. 4＋2或2－ 【答案】：C 【解析】：由题意可得，如图所示，存在两种情况，当△ABC为△A1BC时，连接OB、OC，∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC，∴△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1⊥BC于点D，∴CD=1，OD==，∴=BC•A1D==；当△ABC为△A2BC时，连接OB、OC，∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC，∴△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1⊥BC于点D，∴CD=1，OD==，∴=BC•A2D ==，由上可得，△ABC的面积为或，故选C． 8. 如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）. A.4 B. C. D. 2 【答案】：D 【解析】：∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小， 在Rt△BCO中，∠OBC=90°，BC=4，OB=3，∴OC==5，∴PC=OC=OP=5﹣3=2．∴PC最小值为2．故选：D． 9.如图，0为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点△ABC的外部，则下列叙述正确的是(    )． A. D是△AEB的外心，O是△AED的外心         B. O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心 C. D不是△AEB的外心，O是△AED的外心     D. O是△AEB的外心，O不是△AED的外心 【答案】：D 【解析】：连结OA、OB、OD，如图， ∵O为△ABC的外心， ∴OA=OB=OC， ∵四边形OCDE为正方形，∴OC=OE， ∴OA=OB=OE， ∴O为△ABE的外心， 又∵OA=OE≠OD， ∴O不是△ADE的外心.故答案为：D. 10．在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（　A　） A．3+4 B．12 C．6+3 D．6 【答案】：A 【解析】：如图，以AB为边向右作等边△ABD，以D为圆心，DA为半径作⊙D交x的正半轴于C，连接CA，CB，此时∠ACB＝∠ADB＝30°满足条件．过点D作DJ⊥AB于J，DK⊥OC于K，则四边形OJDK是矩形，∵A（0，1），B（0，﹣5），∴AB＝6，∵DA＝DB＝AB＝6，DJ⊥AB，∴AJ＝JB＝3，∴DJ＝OK＝＝＝3，∴OJ＝DK＝2，在Rt△DCK中，CK＝＝＝4，∴OC＝OK+KC＝3+4，∴点C的横坐标为3+4，故选：A． （二）填空题 11.（2025·苏州姑苏期末）三角形外接圆圆心叫做____。 【答案】：外心 【解析】：基础概念识记。 12.（2026·阜宁二模）钝角三角形最长边为10，外接圆半径____5（填＞、＜、＝）。 【答案】：＞ 【解析】：钝角三角形外心外部，圆心到顶点距离大于最长边一半。 13.（2024·镇江丹徒期末）过线段两端点作圆，圆心轨迹是线段的____。 【答案】：垂直平分线 【解析】：垂直平分线性质。 14.（2026·无锡锡山一模）三点(0,1)、(2,1)、(1,3)____（填能/不能）确定圆。 【答案】：能 【解析】：三点无共线，可确定唯一圆。 15.（2024·南通通州期末）等边三角形边长6，外接圆外心到顶点距离为____。 【答案】：2 【解析】：等边三角形外接圆半径公式R=a=2。 16. 如图，△ABC的外心的坐标是____. 【答案】 【解析】∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，∴作图得：∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）． 17．如图方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为___． 【答案】(－1，－2) 【解析】 如答图，连结AB，BC，分别作AB和BC的中垂线，交于G点，则圆心G的坐标为(－1，－2)． 18．如图3－1－18，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为________个． 【答案】5　 【解析】如图，根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”，画出⊙O.根据几何直观即可得到⊙O除经过A，B，C三点外还能经过的格点数是5个． 19．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知，△ABC的外心坐标应是 ． 【答案】 【解析】∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，∴作图得：∴与的交点即为所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐标是，故答案为：． 20.在等边△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，AE与BD相交于点P．若△BCD的面积是12，BE＝6，∠APB＝120°，则△ABP的外接圆的半径长为　 　． 【答案】 【解析】O作OJ⊥AB于J，过点B作BH⊥AC于H．∵△ABK是等边三角形，∴∠K＝60°，∵∠APB＝120°，∴∠K+∠APB＝180°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠C＝60°，∵∠APB＝120°，∴∠PAB+∠ABP＝∠PAB+∠CAE＝60°，∴∠CAE＝∠ABD，∴△BAD≌△ACE（ASA），∴AD＝EC，∵AC＝BC，∴BE＝CD＝6，∵S△BCD＝•CD•BH＝12，∴BH＝4，∴AB＝8，∵OA＝OB，OJ⊥AB，∴AJ＝JB＝4，∵∠OAB＝30°，∴OA＝，∴△APB的外接圆的半径为．故答案为． （三）解答题 21. 如图，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A、B、C. ①用尺规作图法找出所在圆的圆心(保留作图痕迹，不写作法)； ②设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R. 解：①作法：分别作AB和AC的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心； ②连接AO、BO，AO交BC于E，∵AB=AC，∴AE⊥BC，∴BE=BC= ×8=4， 在Rt△ABE中，AE==3，设⊙O的半径为R，在Rt△BEO中， OB2=BE2+OE2 ， 即R2=42+（R-3）2 ， ∴R= (cm)，答：圆片的半径R为 cm 22．如图小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上． (1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)若△ABC中，AB＝8 m，AC＝6 m，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积． 解：(1)如答图①，⊙O即为所求作的花坛的位置； (2)如答图②，∵∠BAC＝90°，AB＝8 m，AC＝6 m，∴BC＝＝10(m)，∴△ABC外接圆的半径为5 m，∴小明家圆形花坛的面积为S＝πr2＝25π(m2)． 24．已知A，B，C三点．根据下列条件，说明A，B，C三点能否确定一个圆．如果能，求出圆的半径；如果不能，请说明理由． (1)AB＝2＋1，BC＝4，AC＝2－1； (2)AB＝AC＝10，BC＝12. 解：(1)∵2＋1＋2－1＝4，∴AB＋AC＝BC，∴A，B，C三点共线，∴A，B，C三点不能确定一个圆； (2)∵10＋10＝20＞12，∴A，B，C三点不共线，∴A，B，C三点能确定一个圆．如图，过点A作AD⊥BC，设AD上的点O为圆心，连结BO，∵BC＝12，∴DB＝6，∵AB＝10， ∴AD＝＝8，在Rt△BOD中，设OB＝x，则DO＝8－x，由勾股定理，得x2－62＝(8－x)2，解得x＝.∴A，B，C三点能确定一个圆，该圆的半径为. 25．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． (1)圆心的坐标为______； (2)求的半径； (3)若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明理由． 解：（1）圆心D如图所示；圆心D坐标为，故答案为：． （2）由勾股定理得，的半径为． （3）点在内．理由如下：，而，点在内． 26．锐角△ABC外接圆的圆心为O，线段OA，BC的中点分别为M、N，∠ABC＝4∠OMN，∠ACB＝6∠OMN．设∠OMN＝θ． （1）请直接用θ表示∠BAC，∠MON； （2）判断△OMN的形状，并给出证明； （3）求∠OMN的大小． 解：（1）连接OC，∵∠OMN＝θ，∠ABC＝4θ，∠ACB＝6θ；∴∠BAC＝180°﹣10θ，∴∠BOC＝2∠BAC＝2（180°﹣10θ），∵N是BC的中点，∴ON垂直于BC， ∴∠NOC＝∠BON＝∠BOC＝∠BAC＝180°﹣10θ，∵∠ABC＝4θ，∴∠AOC＝8θ， ∴∠NOC＝180°﹣10θ，∠AOC＝8θ，∴∠AON＝∠NOC+∠AOC＝180°﹣10θ+8θ＝180°﹣2θ，∴∠MON＝180°﹣2θ； （2）∵∠OMN＝θ，由（1）知，∠MON＝180°﹣2θ，∴∠ONM＝180°﹣∠MON﹣∠OMN＝θ＝∠OMN，∴OM＝ON，∴△MON为等腰三角形， （3）∵OA＝OB，由 （2）知，△OMN是等腰三角形，∴ON＝OM＝OA＝OB；∵N是BC的中点，∴ON⊥BC，∴∠OBN＝30°，∴180°﹣10θ＝60°，∴θ＝12°，∴∠OMN＝12°． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册9 《第3章圆第2节确定圆的条件》预习讲义 一．预习目标 ( 1.掌握过1个点、2个点、3个点作圆的规律，牢记核心定理：不在同一直线上的三点确定一个圆，区分三点共线/不共线两种情况。 2.理解三角形外接圆、内接三角形、外心的定义，熟记外心性质：外心是三边垂直平分线交点，到三角形三个顶点距离相等。 3.分类掌握锐角、直角、钝角三角形外心的位置特征，会计算直角三角形外接圆半径。 4.掌握破损圆形玻璃复原、网格找外心、尺规作三角形外接圆基础题型解题思路。 5.规避高频易错点：忽略 “ 三点不共线 ” 前提、混淆外心与内心、直角三角形外接圆半径计算漏除以2。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.三点确定圆定理的理解与判断； 2.三角形外心定义、性质与位置规律； 3.直角三角形外接圆半径计算。 （二）难点 1.网格坐标系中求三角形外心坐标； 2.结合垂直平分线、勾股定理的几何综合计算； 3.实际应用：利用碎片圆弧复原完整圆形。 ) 三．自主探究 （一）过点作圆的个数规律 1.过1个点：可作无数个圆，圆心为平面内任意一点，半径为圆心到该定点距离。 过一点的圆有无数个，圆心为点A以外任意一点. 2.过2个点A、B：可作无数个圆，所有圆心都在线段AB的垂直平分线上，半径为圆心到A（或B）的距离。 过两个点的圆也有无数个，圆心都在线段AB的垂直平分线上. 3.过3个点： （1）三点共线：无法作出同时经过三点的圆； 经过同一条直线上的三个点不能作圆. （2）三点不在同一直线：有且只有1个圆同时经过三点（核心定理）。 作法：①连结AB，作线段AB的垂直平分线MN； ②连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O； ③以O为圆心，OA为半径作圆． 所以⊙O就是所求作的圆． 通过刚刚的作图过程，∵直线MN和EF只有一个交点O,并且点O到A,B,C三个点的距离相等,∴经过点A,B,C三点可以作一个圆,并且只能作一个圆. （二）三角形外接圆相关概念 【尝试】用直尺和圆规作一个圆，使它经过 △ABC的三个顶点。 作法:（1）作线段AB的垂直平分线MN;（2）作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O;（3）连接OB.（4）以O为圆心，OB为半径作圆. ⊙O就是所求作的圆. 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. 【想一想】: (1)一个三角形的外接圆有几个? 一个三角形的外接圆有几个一个。 (2)一个圆的内接三角形有几个? 一个圆的内接三角形有无数个。 (3)三角形的外心有什么性质? 三角形外心是AABC三条边的垂直平分线的交点;它到三角形的三个顶点的距离相等. （三）三类三角形外心位置（必考） 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形的外心与这个三角形的位置关系。 1.锐角三角形：外心在三角形内部； 2.直角三角形：外心在斜边中点，外接圆半径R=斜边长度； 3.钝角三角形：外心在三角形外部。 （四）实际应用 破损圆形玻璃复原：保留两段完整圆弧的碎片，作出两段弦的垂直平分线，交点即为圆心，可复原完整圆形。 四．经典例题 例1.（2025·苏州昆山期末）下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 过两点有且只有一个圆 C. 一个三角形有且只有一个外接圆 D. 三角形外心到三边距离相等 例2.（2026·盐城阜宁一模）直角三角形两直角边6、8，则外接圆半径为（ ） A. 5 B. 10 C. 4 D. 3 例3.（2024·无锡惠山期末）破损圆形玻璃碎片，哪一块可复原完整圆（ ） A. 仅含一段短弧碎片 B. 含两段相交弦的碎片 C. 只含圆上一个点碎片 D. 含一段直径碎片 例4.（2026·泰州姜堰二模）钝角三角形的外心位置在（ ） A. 三角形内部 B. 斜边中点 C. 三角形外部 D. 三角形边上 例5.（2025·南通通州期末）过同一直线上三点，能作____个圆。 例6.（2024·镇江丹徒期末）线段AB=8，过A、B两点作圆，圆心轨迹是线段AB的____。 例7.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为(3,0)． （1）若△ABC的外接圆的圆心为M，则圆心M的坐标为_________，⊙M的半径为________； （2）求△ABC的外接圆与x轴的另一个交点坐标． 例8.（1）如图，已知△ABC，用尺规作图画出△ABC的外接圆⊙O不写画法，保留作图痕迹； （2）若△ABC是直角三角形，且∠C=90o，AB=5，则△ABC的外接圆的半径为______． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025·淮安淮阴期末）下列图形外心在边上的是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 2.（2026·盐城滨海一模）平面内4个点，其中3点共线，任意三点画圆，一共可画圆个数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.（2024·常州新北期末）关于外心说法错误的是（ ） A. 外心是三边垂直平分线交点 B. 外心到三个顶点距离相等 C. 等边三角形外心、内心重合 D. 钝角三角形外心在三角形内部 4.（2025·宿迁宿豫期末）过一点A作圆，可作个数（ ） A. 1 B. 2 C. 无数 D. 0 5.（2026·苏州吴中二模）三角形外接圆的圆心是（ ） A. 角平分线交点 B. 中线交点 C. 垂直平分线交点 D. 高交点 6．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示．为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(　　) A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 7．下列图形不一定有外接圆的是(　　) A．三角形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 8．如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意3个点，能画出圆的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 （二）填空题 9.（2025·徐州铜山期末）不在同一直线上的三点确定____个圆。 10.（2026·盐城大丰一模）直角三角形两直角边9、12，外接圆半径=____。 11.（2024·泰州兴化期末）等边三角形外心在三角形____。 12.（2025·无锡滨湖期末）要复原破损圆形，碎片必须包含至少____条完整弦。 （三）解答题 13.（2026·东台一模，3小问）平面三点A(0,0)、B(4,0)、C(2,5)。 (1)判断三点是否共线； (2)求△ABC外心横坐标； (3)说明外心在三角形内部还是外部。 14．如图1是一块钟表残片，图2是其示意简图．弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D， 连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出残片所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求残片所在圆的半径． 15．如图，△ABC 内接于，．连接并延长，交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若的半径为5，，求的长． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025·南京秦淮期末）下列条件不能确定唯一圆的是（ ） A. 圆心、半径 B. 不在同一直线三点 C. 一条直径 D. 任意两点 2.（2026·盐城市直二模）△ABC外心O，OA=5，则OB=（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3.（2024·扬州广陵期末）△ABC三边垂直平分线交点在三角形外，则△ABC是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 4.（2025·连云港东海期末）过平面内三点画圆，最多可画（ ） A. 0个 B. 1个 C. 无数个 D. 3个 5.（2026·常州溧阳二模）下列说法正确的有（ ） ①任意三角形都有外接圆；②任意圆都只有一个内接三角形；③直角三角形外心是斜边中点；④三点一定确定圆 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是( ) A. 当弦PB最长时，ΔAPC是等腰三角形 B. 当ΔAPC是等腰三角形时，PO⊥AC C. 当PO⊥AC时，∠ACP=30° D. 当∠ACP=30°时，ΔPBC是直角三角形 7. 若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则△ABC的面积为(　C　) A. 2＋ B. C. 2＋或2－ D. 4＋2或2－ 8. 如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）. A.4 B. C. D. 2 9.如图，0为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点△ABC的外部，则下列叙述正确的是(    )． A. D是△AEB的外心，O是△AED的外心         B. O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心 C. D不是△AEB的外心，O是△AED的外心     D. O是△AEB的外心，O不是△AED的外心 10．在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（　A　） A．3+4 B．12 C．6+3 D．6 （二）填空题 11.（2025·苏州姑苏期末）三角形外接圆圆心叫做____。 12.（2026·阜宁二模）钝角三角形最长边为10，外接圆半径____5（填＞、＜、＝）。 13.（2024·镇江丹徒期末）过线段两端点作圆，圆心轨迹是线段的____。 14.（2026·无锡锡山一模）三点(0,1)、(2,1)、(1,3)____（填能/不能）确定圆。 15.（2024·南通通州期末）等边三角形边长6，外接圆外心到顶点距离为____。 16. 如图，△ABC的外心的坐标是____. 17．如图方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为___． 18．如图3－1－18，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为________个． 19．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知，△ABC的外心坐标应是 ． 20.在等边△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，AE与BD相交于点P．若△BCD的面积是12，BE＝6，∠APB＝120°，则△ABP的外接圆的半径长为　 　． （三）解答题 21. 如图，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A、B、C. ①用尺规作图法找出所在圆的圆心(保留作图痕迹，不写作法)； ②设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R. 22．如图小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上． (1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)若△ABC中，AB＝8 m，AC＝6 m，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积． 24．已知A，B，C三点．根据下列条件，说明A，B，C三点能否确定一个圆．如果能，求出圆的半径；如果不能，请说明理由． (1)AB＝2＋1，BC＝4，AC＝2－1； (2)AB＝AC＝10，BC＝12. 25．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． (1)圆心的坐标为______； (2)求的半径； (3)若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明理由． 26．锐角△ABC外接圆的圆心为O，线段OA，BC的中点分别为M、N，∠ABC＝4∠OMN，∠ACB＝6∠OMN．设∠OMN＝θ． （1）请直接用θ表示∠BAC，∠MON； （2）判断△OMN的形状，并给出证明； （3）求∠OMN的大小． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $