第3章 圆 单元测试2026—2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 本单元卷全面覆盖圆的核心知识，通过基础巩固、能力提升与创新应用的梯度设计，融入“月影通楼”拱门、纸杯制作等文化与生活情境，适配初中圆单元复习，有效发展几何直观、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/16|圆周角、圆的性质、圆锥侧面积|第2题辨析假命题，强化概念理解| |填空|10/20|弧长、内接多边形、切线性质|第16题皮带传动装置，体现实际应用| |解答题|9/64|尺规作图、圆的证明、动态问题|第26题纸杯制作综合实践，第27题新定义问题，发展创新意识|

第3章 圆 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．如图，点A，B，C在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．下列说法： ①三点确定一个圆； ②平分一条弦的直径垂直于这条弦； ③长度相等的弧是等弧； ④三角形只有一个外接圆． 其中真命题有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长，侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 4．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，的半径为，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．在中，，，且，则这个三角形的内切圆半径为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．花都岭南园，坐落于风景秀丽的花都湖国家湿地公园内，融合了广东地区独特的建筑风格与自然景观，展现了岭南文化的深厚底蕴和精湛技艺．园内亭台楼榭错落有致，有一处“月影通楼”的拱门建筑，外观可以看作圆形．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为（     ） A．2 B． C．4 D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．已知矩形，，，以点为圆心，为半径作，则点在_________（填“外”“内”或“上”）． 10．如图，内接于，点在弦所对的优弧上，连接、，若，则的度数为__________． 11．如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 12．如图，，，，，五点在上，连接，，，．若，，则的度数是______． 13．已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 14．如图，正五边形内接于中，P是劣弧上一点，则的度数为______． 15．如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 16．如图是某机器的皮带传动装置，由主动带轮和从动带轮组成，皮带紧绷且传动时无滑动．已知主动带轮半径为，从动带轮半径为，当主动带轮转动的圆心角为时，从动带轮转动的圆心角为______． 17．如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 18．如图，点是边长为的正方形的边上一动点，连接，交对角线于点，作的外接圆，交于点，连接．若，则____________． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）将图中的破轮子复原，已知弧上三点，用尺规画出该轮子的圆心． 20．（6分）如图，A，B，C，D是上的四个点，且．求证： (1)； (2)． 21．（6分）如图，在的内接四边形中，是直径，过点D的切线与直线交于点P，，连接，求的度数． 22．（6分）学完圆的切线知识后，爱好数学的小明想尝试“过圆上一点作圆的切线”，下面是他设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图1，及圆上一点． 求作：的切线为切点． 作法步骤：①连接并延长到点，如图2；②分别以点为圆心，大于长的一半为半径作弧，两弧交于点（点在直线上方）；③以点为圆心，的长为半径作；④连接并延长，交于点，作直线．直线就是所求作的切线． 使用直尺和圆规，依上述作法补全图形（保留作图痕迹）． 23．（6分）已知是的直径，，是的弦，为的中点，与交于点． (1)如图①，若，连接，求和的大小； (2)如图②，过点作的切线与的延长线交于点，若，半径为2，求，的长． 24．（8分）如图是由边长为1的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，格点A、B、C在同一个圆上．只用无刻度的直尺分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，画出圆心O； (2)在图②中，在上画点D，使． 25．（8分）如图，是的外接圆，是的直径，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 26．（8分）综合与实践——制作纸杯（结果保留）： 【素材一】纸杯是常见的生活用品，它由底部的圆形纸片和侧面的扇环纸片构成，某型号纸杯的尺寸（单位：）如图1所示，侧面的扇环纸片可视为圆心角等于的扇形纸片裁去扇形纸片后剩余的部分． 【素材二】如图2，从圆心角为的扇形中裁剪得到的最大的圆的半径是该扇形半径的． 【素材三】如图3，从扇环中裁剪得到的最大的圆的直径是扇环的宽度． 请根据以上三个素材，完成两个任务： (1)在图1中，可得_____________；_____________． (2)如图，小普同学取素材一中的扇形纸片，先裁剪出扇环，用于制作素材一中该型号纸杯的侧面；接着利用余下的扇形纸片，继续制作素材一中该型号纸杯的底面，以及一个新型号纸杯的侧面和底面，扇形纸片被裁剪成三部分：扇环、扇环和扇形，在扇环中裁剪出最大的圆、在扇形中裁剪出最大的圆（示意图中的线段长度不代表实际长度）． ①素材一中该型号纸杯的底面是圆_____________；（填“ ”或“”） ②求新型号纸杯的侧面积． 【说明：1．纸杯各接缝处不计耗材；2．裁剪出的侧面扇环纸片与底部圆形纸片恰好能组装成一个纸杯】 27．（10分）在平面直角坐标系中，对于不重合的点A和点B以及正实数m有如下定义：过B点的任意一条直线上都存在点C，D（B，C，D互不重合），满足，称点B是点A的“m－区域点”，线段的长度的最小值叫做点B关于点A的“m－区域距离”． (1)若点A坐标为，在，，这三个点中________是点A的“2－区域点”，此时这个点关于点A的“2－区域距离”是________； (2)若点A是直线上一动点，记点A的横坐标为t，则使得坐标原点O是点A的“5－区域点”的t的取值范围是________，点O关于点A的“5－区域距离”的最大值是________； (3)若点，是半径为的上的两动点，且，，，若对于线段上的任意一点M，都存在，，使得M既是的“－区域点”也是的“－区域点”，直接写出t的取值范围是________． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第3章 圆 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．如图，点A，B，C在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．下列说法： ①三点确定一个圆； ②平分一条弦的直径垂直于这条弦； ③长度相等的弧是等弧； ④三角形只有一个外接圆． 其中真命题有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长，侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 4．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，的半径为，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．在中，，，且，则这个三角形的内切圆半径为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．花都岭南园，坐落于风景秀丽的花都湖国家湿地公园内，融合了广东地区独特的建筑风格与自然景观，展现了岭南文化的深厚底蕴和精湛技艺．园内亭台楼榭错落有致，有一处“月影通楼”的拱门建筑，外观可以看作圆形．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为（     ） A．2 B． C．4 D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．已知矩形，，，以点为圆心，为半径作，则点在_________（填“外”“内”或“上”）． 10．如图，内接于，点在弦所对的优弧上，连接、，若，则的度数为__________． 11．如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 12．如图，，，，，五点在上，连接，，，．若，，则的度数是______． 13．已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 14．如图，正五边形内接于中，P是劣弧上一点，则的度数为______． 15．如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 16．如图是某机器的皮带传动装置，由主动带轮和从动带轮组成，皮带紧绷且传动时无滑动．已知主动带轮半径为，从动带轮半径为，当主动带轮转动的圆心角为时，从动带轮转动的圆心角为______． 17．如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 18．如图，点是边长为的正方形的边上一动点，连接，交对角线于点，作的外接圆，交于点，连接．若，则____________． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）将图中的破轮子复原，已知弧上三点，用尺规画出该轮子的圆心． 20．（6分）如图，A，B，C，D是上的四个点，且．求证： (1)； (2)． 21．（6分）如图，在的内接四边形中，是直径，过点D的切线与直线交于点P，，连接，求的度数． 22．（6分）学完圆的切线知识后，爱好数学的小明想尝试“过圆上一点作圆的切线”，下面是他设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图1，及圆上一点． 求作：的切线为切点． 作法步骤：①连接并延长到点，如图2；②分别以点为圆心，大于长的一半为半径作弧，两弧交于点（点在直线上方）；③以点为圆心，的长为半径作；④连接并延长，交于点，作直线．直线就是所求作的切线． 使用直尺和圆规，依上述作法补全图形（保留作图痕迹）． 23．（6分）已知是的直径，，是的弦，为的中点，与交于点． (1)如图①，若，连接，求和的大小； (2)如图②，过点作的切线与的延长线交于点，若，半径为2，求，的长． 24．（8分）如图是由边长为1的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，格点A、B、C在同一个圆上．只用无刻度的直尺分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，画出圆心O； (2)在图②中，在上画点D，使． 25．（8分）如图，是的外接圆，是的直径，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 26．（8分）综合与实践——制作纸杯（结果保留）： 【素材一】纸杯是常见的生活用品，它由底部的圆形纸片和侧面的扇环纸片构成，某型号纸杯的尺寸（单位：）如图1所示，侧面的扇环纸片可视为圆心角等于的扇形纸片裁去扇形纸片后剩余的部分． 【素材二】如图2，从圆心角为的扇形中裁剪得到的最大的圆的半径是该扇形半径的． 【素材三】如图3，从扇环中裁剪得到的最大的圆的直径是扇环的宽度． 请根据以上三个素材，完成两个任务： (1)在图1中，可得_____________；_____________． (2)如图，小普同学取素材一中的扇形纸片，先裁剪出扇环，用于制作素材一中该型号纸杯的侧面；接着利用余下的扇形纸片，继续制作素材一中该型号纸杯的底面，以及一个新型号纸杯的侧面和底面，扇形纸片被裁剪成三部分：扇环、扇环和扇形，在扇环中裁剪出最大的圆、在扇形中裁剪出最大的圆（示意图中的线段长度不代表实际长度）． ①素材一中该型号纸杯的底面是圆_____________；（填“ ”或“”） ②求新型号纸杯的侧面积． 【说明：1．纸杯各接缝处不计耗材；2．裁剪出的侧面扇环纸片与底部圆形纸片恰好能组装成一个纸杯】 27．（10分）在平面直角坐标系中，对于不重合的点A和点B以及正实数m有如下定义：过B点的任意一条直线上都存在点C，D（B，C，D互不重合），满足，称点B是点A的“m－区域点”，线段的长度的最小值叫做点B关于点A的“m－区域距离”． (1)若点A坐标为，在，，这三个点中________是点A的“2－区域点”，此时这个点关于点A的“2－区域距离”是________； (2)若点A是直线上一动点，记点A的横坐标为t，则使得坐标原点O是点A的“5－区域点”的t的取值范围是________，点O关于点A的“5－区域距离”的最大值是________； (3)若点，是半径为的上的两动点，且，，，若对于线段上的任意一点M，都存在，，使得M既是的“－区域点”也是的“－区域点”，直接写出t的取值范围是________． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．如图，点A，B，C在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍求解即可． 【详解】 解：∵与是同弧所对的圆周角与圆心角， ∵， ∴． 2．下列说法： ①三点确定一个圆； ②平分一条弦的直径垂直于这条弦； ③长度相等的弧是等弧； ④三角形只有一个外接圆． 其中真命题有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ②平分一条弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ③长度相等的弧不一定是等弧，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ④三角形只有一个外接圆，正确，是真命题，符合题意． 真命题有1个． 3．某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长，侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】圆锥侧面展开图为扇形，圆锥母线长等于展开扇形的半径，直接利用扇形面积公式即可求出圆锥侧面积. 【详解】解：∵圆锥的母线长为，侧面展开图是圆心角为的扇形， ∴展开扇形的半径，圆心角， ∵圆锥侧面积等于其侧面展开扇形的面积， ∴. 4．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆内接四边形的性质得出，求出，由圆周角定理得出． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 5．如图，的半径为，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，先由三角形内角和求出，再由圆周角定理得，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接、， ∵，， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴． 6．在中，，，且，则这个三角形的内切圆半径为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】设的三边分别与相切于点、、，连接，，，，，，然后利用等面积法进行计算即可解答． 【详解】解：∵，，且， ∴， 设的三边分别与相切于点D、E、F，连接，，，，，， ∴，，， 设的半径为， ∴， ∵的面积的面积的面积的面积， ∴， ， ∴． 7．花都岭南园，坐落于风景秀丽的花都湖国家湿地公园内，融合了广东地区独特的建筑风格与自然景观，展现了岭南文化的深厚底蕴和精湛技艺．园内亭台楼榭错落有致，有一处“月影通楼”的拱门建筑，外观可以看作圆形．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，连接，根据矩形的性质和垂径定理求得的值，通过构建直角三角形，利用勾股定理进行计算即可求解． 【详解】解：连接交于点，连接，如图： 根据题意可得：四边形是矩形，， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴，， 设的半径为，则， 在中，， 即， 解得， ∴拱门最高点到地面的距离是． 8．如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】先利用正方形的边相等、内角为直角的性质，结合证明，进而推出，从而确定点G的运动轨迹是以为直径的圆弧， 将求线段最小值问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题，当O，G，D共线时，有最小值，用点到圆心的距离减去半径即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点G的运动轨迹是以为直径的圆弧，当O，G，D共线时，有最小值， 如图，以为直径作，连接， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】“定弦定角”模型是发现隐圆、进而求解最值的关键核心． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．已知矩形，，，以点为圆心，为半径作，则点在_________（填“外”“内”或“上”）． 【答案】内 【分析】先确定点D到圆心A的距离d以及的半径r，再根据当d和r的关系判断点和圆的位置关系即可． 【详解】解：如图：矩形，，，以点为圆心，为半径作， ∴点D到圆心A的距离，的半径， ∴， ∴点在内． 10．如图，内接于，点在弦所对的优弧上，连接、，若，则的度数为__________． 【答案】35 【详解】解：∵，， ∴． 11．如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 【答案】/ 【分析】根据弧长公式，将已知半径和圆心角度数代入计算即可． 【详解】解：由题意可知，车轮半径，圆心角 ∴劣弧的长 ． 12．如图，，，，，五点在上，连接，，，．若，，则的度数是______． 【答案】/63度 【分析】首先根据求出，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 13．已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【答案】 【分析】在 中， ， ，过点 作 于点 ，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用勾股定理求出，利用三角形外接圆圆心在各边的垂直平分线上，可知圆心在底边的高所在直线上，设半径后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 垂直平分 ， ∴ ， ∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上， ∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 解得：．即外接圆的半径为． 14．如图，正五边形内接于中，P是劣弧上一点，则的度数为______． 【答案】 /36度 【分析】连接，，构造圆心角，利用正五边形的性质求得圆心角的度数，从而求得的度数． 【详解】解：如图，连接，， ∵正五边形内接于， ∴， ∴． 15．如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 【答案】24 【详解】解：和是的两条切线， ， 同理可得：，， 的周长 ． 16．如图是某机器的皮带传动装置，由主动带轮和从动带轮组成，皮带紧绷且传动时无滑动．已知主动带轮半径为，从动带轮半径为，当主动带轮转动的圆心角为时，从动带轮转动的圆心角为______． 【答案】 【分析】根据皮带传动无滑动的特点，主动轮与从动轮转过的弧长相等，先计算主动轮转过的弧长，再利用弧长公式求出从动轮转动的圆心角． 【详解】解：设从动带轮转动的圆心角为． ∵主动带轮半径，转动的圆心角为， ∴主动带轮转过的弧长． ∵从动带轮半径，转动的圆心角为， ∴从动带轮转过的弧长． ∵皮带传动无滑动，两轮转过的弧长相等， ∴，即． ∴． ∴． ∴从动带轮转动的圆心角为． 17．如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 【答案】 【分析】记与半圆O交于点C，连接，由旋转的性质，可知两个半圆的面积相等，，则，根据计算即可． 【详解】解：记与半圆O交于点C，连接，如图所示． 由旋转的性质可知两个半圆的面积相等，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 18．如图，点是边长为的正方形的边上一动点，连接，交对角线于点，作的外接圆，交于点，连接．若，则____________． 【答案】 【分析】由正方形的性质可得，再结合圆周角定理即可得出的度数；连接，由圆周角定理可得，则为等腰直角三角形，进而可得，作于点，延长交 于点，证明四边形为矩形，得出，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，，，根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴； ∵为的直径， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 作于点，延长交 于点， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，，， ∵， ∴ 解得： ∴ 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）将图中的破轮子复原，已知弧上三点，用尺规画出该轮子的圆心． 【答案】 如图所示，点即为所求的圆心． 【分析】本题考查作图−应用与设计作图，垂径定理，解题的关键是作出线段和的垂直平分线，利用垂直平分线的性质解决问题． 分别作弦和的垂直平分线，和的垂直平分线的交点即为圆心O． 【详解】略（6分） 20．（6分）如图，A，B，C，D是上的四个点，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】该题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，全等三角形的判定． （1）根据得出，再根据等弧所对的圆心角相等即可证明； （2）根据得出，根据得出，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴．（3分） （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．（6分） 21．（6分）如图，在的内接四边形中，是直径，过点D的切线与直线交于点P，，连接，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵是的切线， ∴，即． ∵， ∴． ∵， ∴． 根据圆内接四边形对角互补可得．（6分） 22．（6分）学完圆的切线知识后，爱好数学的小明想尝试“过圆上一点作圆的切线”，下面是他设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图1，及圆上一点． 求作：的切线为切点． 作法步骤：①连接并延长到点，如图2；②分别以点为圆心，大于长的一半为半径作弧，两弧交于点（点在直线上方）；③以点为圆心，的长为半径作；④连接并延长，交于点，作直线．直线就是所求作的切线． 使用直尺和圆规，依上述作法补全图形（保留作图痕迹）． 【答案】 如图，直线即为所求， ． 【分析】按照题干的步骤作图即可． 【详解】略（6分） 23．（6分）已知是的直径，，是的弦，为的中点，与交于点． (1)如图①，若，连接，求和的大小； (2)如图②，过点作的切线与的延长线交于点，若，半径为2，求，的长． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由垂径定理推论可得，求出，即可求出，再利用圆周角定理可得，进而可得； （2）先证明四边形是平行四边形，再结合证得四边形是菱形，得到，连接，推出是等边三角形，得到， 根据切线的性质可得，进而得到，，再利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵为的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵为的中点，即， ∴；（3分） （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 连接，如图②， 则， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的切线， ∴, ∴，， ∴，， ∴，． （6分） 24．（8分）如图是由边长为1的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，格点A、B、C在同一个圆上．只用无刻度的直尺分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，画出圆心O； (2)在图②中，在上画点D，使． 【答案】(1)如图①，点O即为所求 (2)如图②，点D即为所求． 【分析】（1）连接和相交于点，根据两条直径的交点即为圆心，即可得到点就是圆心； （2）取格点，连接交圆于点，根据全等三角形的判定和性质得到，再根据垂径定理即可得到． 【详解】（1）略（4分） （2）略（8分） 25．（8分）如图，是的外接圆，是的直径，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等边三角形的判定、扇形的面积公式； （1）由是的直径，得到，由得到，进而得到，再利用切线的判定定理即可证明； （2）根据圆周角定理得到，进而推出是等边三角形，则，再利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 是的半径， ∴是的切线；（4分） （2）解：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴扇形的面积．（8分） 26．（8分）综合与实践——制作纸杯（结果保留）： 【素材一】纸杯是常见的生活用品，它由底部的圆形纸片和侧面的扇环纸片构成，某型号纸杯的尺寸（单位：）如图1所示，侧面的扇环纸片可视为圆心角等于的扇形纸片裁去扇形纸片后剩余的部分． 【素材二】如图2，从圆心角为的扇形中裁剪得到的最大的圆的半径是该扇形半径的． 【素材三】如图3，从扇环中裁剪得到的最大的圆的直径是扇环的宽度． 请根据以上三个素材，完成两个任务： (1)在图1中，可得_____________；_____________． (2)如图，小普同学取素材一中的扇形纸片，先裁剪出扇环，用于制作素材一中该型号纸杯的侧面；接着利用余下的扇形纸片，继续制作素材一中该型号纸杯的底面，以及一个新型号纸杯的侧面和底面，扇形纸片被裁剪成三部分：扇环、扇环和扇形，在扇环中裁剪出最大的圆、在扇形中裁剪出最大的圆（示意图中的线段长度不代表实际长度）． ①素材一中该型号纸杯的底面是圆_____________；（填“ ”或“”） ②求新型号纸杯的侧面积． 【说明：1．纸杯各接缝处不计耗材；2．裁剪出的侧面扇环纸片与底部圆形纸片恰好能组装成一个纸杯】 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】（1）根据纸杯上下面圆的直径求出周长，纸杯展开之后即是扇形弧长，根据，即可求出． （2）根据素材二和素材三内容判断出和直径的大小，结合题意求出制作的纸杯底面圆形纸片的直径，进行对比即可发现素材一中该型号纸杯的底面是圆． 根据结论结合可以求出，再根据，即可求出新型号纸杯的侧面积． 【详解】（1）解：根据题意可知，纸杯上口图形是圆形，直径是，底部圆形纸片，直径是， ∴，， ∵扇形圆心角， ∴，， ∴，， ∵， ∴．（4分） （2）解：由（1）可知扇形中，，，， 根据题意扇环，用于制作素材一中该型号纸杯的侧面， ∴纸杯底面圆形纸片周长， ∴纸杯底面圆形纸片直径， ∵在扇形中裁剪出最大的圆， ∴根据素材二得，圆半径， ∴圆直径， ∵在扇环中裁剪出最大的圆， ∴根据素材三得，圆直径， ∵扇环为新纸杯的侧面， ∴新纸杯底面的， ∴即新纸杯底面圆形周长为， 设新纸杯底面圆形纸片直径为， ∴， ∴， ∴圆和扇环组成新的纸杯，圆和扇环组成材料一中的纸杯， ∴素材一中该型号纸杯的底面是圆．（6分） 解：由可知素材一中该型号纸杯的底面是圆，圆和扇环组成新的纸杯， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴新型号纸杯的侧面积．（8分） 27．（10分）在平面直角坐标系中，对于不重合的点A和点B以及正实数m有如下定义：过B点的任意一条直线上都存在点C，D（B，C，D互不重合），满足，称点B是点A的“m－区域点”，线段的长度的最小值叫做点B关于点A的“m－区域距离”． (1)若点A坐标为，在，，这三个点中________是点A的“2－区域点”，此时这个点关于点A的“2－区域距离”是________； (2)若点A是直线上一动点，记点A的横坐标为t，则使得坐标原点O是点A的“5－区域点”的t的取值范围是________，点O关于点A的“5－区域距离”的最大值是________； (3)若点，是半径为的上的两动点，且，，，若对于线段上的任意一点M，都存在，，使得M既是的“－区域点”也是的“－区域点”，直接写出t的取值范围是________． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】（1）根据“m－区域点”和“m－区域距离”的定义即可求解； （2）根据“m－区域点”的定义结合图象可得出，求得t的临界值并得出范围，再根据“m－区域距离”的定义可得出点O关于点A的“5－区域距离”存在最大值，则点O到点A的距离须为最小，即当时，存在最小值，利用勾股定理求得最大值即弦长最大值； （3）由题意可得，点M既在以为圆心，为半径的圆内，又在以为圆心，为半径的圆内，点M是线段上的动点，可得出线段均在如图所示的阴影部分内，结合图象并根据定义可得出与，与的交点坐标，从而得出t的临界值并得出范围． 【详解】（1）解：由题意知，点A的“m－区域点”是对过点B的任意直线与以A为圆心，m为半径的都有两个交点，点A的“m－区域距离”是与过点B的直径垂直的弦长， 如图，作以点A为圆心，半径为2的， 观察图象可知，点在内部，点在外部，点在上， ∴符合题意的点为，即点是点A的“2－区域点”， 过点作轴，交于点C，D，连接， ∴，， 在中，， 同理可得：， ∴，即点关于点A的“2－区域距离”是．（3分） （2）解：由题意知，点A是直线上一动点，且横坐标为t， ∴纵坐标为， 要使得坐标原点O是点A的“5－区域点”， 如图，分别作半径为5，且过点O的，，连接，， ∴， ∴， 解得：，， ∴t的取值范围是， 要使点O关于点A的“5－区域距离”存在最大值，则点O到点A的弦心距必为最小， ∴当时，存在最小值， 如图，作的平行线，连接，，设分别交x轴，y轴于点G，H， ∴， 易得，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 同理可得：， ∴， 即点O关于点A的“5－区域距离”的最大值是．（6分） （3）解：由题意可得，点M既在以为圆心，为半径的圆内，又在以为圆心，为半径的圆内， ∵点M是线段上的动点， ∴线段均在如图所示的阴影部分内， 如图，作半径为的，作直线交于点，，使得，交x轴于点P，分别以点，为圆心，为半径作，，两圆分别交，，连接，， ∴， 在中，， 同理可得：， ∴，， ∴，， ∵，在阴影区域内，且不与边界重合， ∴，解得：， 同理，作交于点，，使得，交x轴于点，分别以点，为圆心，为半径作，，两圆分别交，，连接，， ∴，， ∵，在阴影区域内，且不与边界重合， ∴，解得：， 综上所述，t的取值范围是或．（10分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆 单元测试 总分：100分（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1 2 3 4 5 6 7 8 D D A D B A D B 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9.内 10. 35 11./ 12. /63度 13. 14./36度 15.24 16. 17. 18. 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分） 【答案】 如图所示，点即为所求的圆心． 【分析】本题考查作图−应用与设计作图，垂径定理，解题的关键是作出线段和的垂直平分线，利用垂直平分线的性质解决问题． 分别作弦和的垂直平分线，和的垂直平分线的交点即为圆心O． 【详解】略（6分） 20．（6分） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】该题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，全等三角形的判定． （1）根据得出，再根据等弧所对的圆心角相等即可证明； （2）根据得出，根据得出，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴．（3分） （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．（6分） 21．（6分） 【答案】 【详解】解：∵是的切线， ∴，即． ∵， ∴． ∵， ∴． 根据圆内接四边形对角互补可得．（6分） 22．（6分） 【答案】 如图，直线即为所求， ． 【分析】按照题干的步骤作图即可． 【详解】略（6分） 23．（6分） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由垂径定理推论可得，求出，即可求出，再利用圆周角定理可得，进而可得； （2）先证明四边形是平行四边形，再结合证得四边形是菱形，得到，连接，推出是等边三角形，得到， 根据切线的性质可得，进而得到，，再利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵为的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵为的中点，即， ∴；（3分） （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 连接，如图②， 则， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的切线， ∴, ∴，， ∴，， ∴，． （6分） 24．（8分） 【答案】(1)如图①，点O即为所求 (2)如图②，点D即为所求． 【分析】（1）连接和相交于点，根据两条直径的交点即为圆心，即可得到点就是圆心； （2）取格点，连接交圆于点，根据全等三角形的判定和性质得到，再根据垂径定理即可得到． 【详解】（1）略（4分） （2）略（8分） 25．（8分） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等边三角形的判定、扇形的面积公式； （1）由是的直径，得到，由得到，进而得到，再利用切线的判定定理即可证明； （2）根据圆周角定理得到，进而推出是等边三角形，则，再利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 是的半径， ∴是的切线；（4分） （2）解：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴扇形的面积．（8分） 26．（8分） 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】（1）根据纸杯上下面圆的直径求出周长，纸杯展开之后即是扇形弧长，根据，即可求出． （2）根据素材二和素材三内容判断出和直径的大小，结合题意求出制作的纸杯底面圆形纸片的直径，进行对比即可发现素材一中该型号纸杯的底面是圆． 根据结论结合可以求出，再根据，即可求出新型号纸杯的侧面积． 【详解】（1）解：根据题意可知，纸杯上口图形是圆形，直径是，底部圆形纸片，直径是， ∴，， ∵扇形圆心角， ∴，， ∴，， ∵， ∴．（4分） （2）解：由（1）可知扇形中，，，， 根据题意扇环，用于制作素材一中该型号纸杯的侧面， ∴纸杯底面圆形纸片周长， ∴纸杯底面圆形纸片直径， ∵在扇形中裁剪出最大的圆， ∴根据素材二得，圆半径， ∴圆直径， ∵在扇环中裁剪出最大的圆， ∴根据素材三得，圆直径， ∵扇环为新纸杯的侧面， ∴新纸杯底面的， ∴即新纸杯底面圆形周长为， 设新纸杯底面圆形纸片直径为， ∴， ∴， ∴圆和扇环组成新的纸杯，圆和扇环组成材料一中的纸杯， ∴素材一中该型号纸杯的底面是圆．（6分） 解：由可知素材一中该型号纸杯的底面是圆，圆和扇环组成新的纸杯， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴新型号纸杯的侧面积．（8分） 27．（10分） 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】（1）根据“m－区域点”和“m－区域距离”的定义即可求解； （2）根据“m－区域点”的定义结合图象可得出，求得t的临界值并得出范围，再根据“m－区域距离”的定义可得出点O关于点A的“5－区域距离”存在最大值，则点O到点A的距离须为最小，即当时，存在最小值，利用勾股定理求得最大值即弦长最大值； （3）由题意可得，点M既在以为圆心，为半径的圆内，又在以为圆心，为半径的圆内，点M是线段上的动点，可得出线段均在如图所示的阴影部分内，结合图象并根据定义可得出与，与的交点坐标，从而得出t的临界值并得出范围． 【详解】（1）解：由题意知，点A的“m－区域点”是对过点B的任意直线与以A为圆心，m为半径的都有两个交点，点A的“m－区域距离”是与过点B的直径垂直的弦长， 如图，作以点A为圆心，半径为2的， 观察图象可知，点在内部，点在外部，点在上， ∴符合题意的点为，即点是点A的“2－区域点”， 过点作轴，交于点C，D，连接， ∴，， 在中，， 同理可得：， ∴，即点关于点A的“2－区域距离”是．（3分） （2）解：由题意知，点A是直线上一动点，且横坐标为t， ∴纵坐标为， 要使得坐标原点O是点A的“5－区域点”， 如图，分别作半径为5，且过点O的，，连接，， ∴， ∴， 解得：，， ∴t的取值范围是， 要使点O关于点A的“5－区域距离”存在最大值，则点O到点A的弦心距必为最小， ∴当时，存在最小值， 如图，作的平行线，连接，，设分别交x轴，y轴于点G，H， ∴， 易得，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 同理可得：， ∴， 即点O关于点A的“5－区域距离”的最大值是．（6分） （3）解：由题意可得，点M既在以为圆心，为半径的圆内，又在以为圆心，为半径的圆内， ∵点M是线段上的动点， ∴线段均在如图所示的阴影部分内， 如图，作半径为的，作直线交于点，，使得，交x轴于点P，分别以点，为圆心，为半径作，，两圆分别交，，连接，， ∴， 在中，， 同理可得：， ∴，， ∴，， ∵，在阴影区域内，且不与边界重合， ∴，解得：， 同理，作交于点，，使得，交x轴于点，分别以点，为圆心，为半径作，，两圆分别交，，连接，， ∴，， ∵，在阴影区域内，且不与边界重合， ∴，解得：， 综上所述，t的取值范围是或．（10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $