湖南衡阳市衡阳县部分校2025-2026学年高一下学期7月期末校内检测数学试题

**基本信息** 立足高一数学核心内容，通过函数周期、复数运算等基础题，结合蛋白质分子量迁移率（第4题）、餐厅服务评分（第15题）等真实情境，考查数学眼光、思维与语言，层次分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|函数周期、复数运算、不等式最值、概率事件关系|第4题以蛋白质分子量与迁移率关系考查对数应用，体现数学语言表达现实世界| |多选|3/18|复数性质、新定义函数、圆台动态问题|第10题“美丽函数”新定义，考查数学思维的抽象与推理| |填空|3/15|向量共线、条件概率、解三角形|第14题结合等腰三角形中线与三角函数，强化几何直观| |解答|5/77|统计（频率分布直方图）、立体几何（六面体证明与距离）、解三角形、函数零点、圆柱侧面路径|第15题通过评分数据处理考查数据意识；第19题圆柱侧面最短路径问题，发展空间观念与创新意识|

2026年上学期高一期末校内检测·数学 参考答案、提示及评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D A C C A A 题号 9 10 11 答案 BD BCD ABc 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.A【详解]因为f代x)=tan(wx+答) (w>0)的最小正周期为2π， 所以f)的最小正周期T=西=2a,解得w= 2B【详解11中-=1-i故=1十 3D【详解因为2+合-名+片a+26)=4++号≥4+2巴·号=8，当且仅当台 =分，即a=2b=号时取等号，所以名+2的最小值为8. 4.A【详解】由题意得X=一lgMr十k, 原迁移率X。=-lg(Mr)十k,现迁移率X=-lg(2Mro)十k=-lgMr。十k一lg2, 可得X-X。=-1g2 5C【详解】mLma=8caeA-sn4=2停asA-iA-2asA计）=0， :∠A是三角形内角心∠A+否=受，∠A=吾， 由cs B十osA=cinC,有c=cinC,sinC=l,∠C是三角形内角，∠C-受∴∠B=晋 6.【答案】C 【解析】对于A.“至少摸到一个红球”与“至多摸到一个黑球”可以同时发生，所以A与B 不是互斥事件，故A错误； 对于B,“至多摸到一个黑球”包含一红一黑、两红；与“摸到2个红球”可以同时发生，所以 B与C不互斥，也不是对立事件，故B错误； 对于C,C与D不可能同时发生，是互斥事件但不是对立事件，故C正确； 【高一数学参考答案第1页（共4页）】 对于D,A与D是对立事件，故D错误， 7.A【详解】由题意可得：B'O⊥AO,BO⊥PO,AO⊥P',且OA=OB=OP=2,以OA, OB,OP为邻边构造棱长为2的正方体，三棱锥P一AOB'与该正方体共外接球， 因此外接球的半径为√3，表面积S=4πR=12π. 8.A【详解】设单位向量a=(1,0),b=(0,),c=（x,y), .c-a=(x-1,y),c-b=(x,y-1),.√(x-1)2+y+√x2+(y-1)z=√2， 即(x,y)到A(1,0)和B(0,1)的距离和为√2，而|AB|=√2， 故动点P(x,y)表示线段AB上的动点， 又c+该式表示（一0与线段AB上点的距离，…·c+号 的取值范围是32,31 L4,2」1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.【答案】BD【解析】对于A,取之1=1十i,2=1一i,满足|x1|=√2=|z21,而=2i,号= 一2i,≠号，故A错误； 对于B,设1=a+bi,x2=c十di,a,b,c,d∈R,由|x1|+|z2|=0,得Wa2+b+√c2+d= 0,则a2+b=0,c2十d=0,因此a=b=c=d=0,x1=x2=0,故B正确； 对于C,取之1=之2=i,满足1·之2=一1∈R,但不满足之1=2，故C错误； 对于D,之1=1+2i是关于x的方程x2+x+q=0(p,q∈R)的一个根，则(1十2i)2十 (p十9-3=0 9=5 p(1+2i)+q=0,所以 ,解得 b=-2 ,D正确.故选BD. (2p+4=0 10.BCD【详解】由题意知，函数f(x)的定义域为D,Hx∈D,3y∈D,使得f(y)= 一f(x)成立，所以函数f(x)的值域关于原点对称，故选BCD. 11.ABC【详解】由题意可画图，结合最小角定理，斜线与射影直线，异面直线成角以及棱 锥体积公式易知， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】-2 13.【答案1号 【解析】.P(AB)=P(B)-P(AB),P(AB)=P(A)-P(AB),AB,AB互斥 .P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P(B)-P(AB)+P(A)-P(AB)=P(A)+ P(B)-2P(AB.PA)=,PCB=3,PAB=号，PAB+AD=是 【高一数学参考答案第2页（共4页）】 14.【答案】42-⑤ 9 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.【答案】由频率分布直方图估计平均数，用平均数的代表意义解决实际问题；补全频率分 布直方图，由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 (1)a=0.006;…… 3分 (2)5人；……… 4分 (3)76,2,不需要；…6分 16.【答案】点、直线、平面之间的位置关系 （1)证明见解析；……………… 4分 (2)M为DA的中点；… 5分 (3)2 ； 6分 【解析】(1)由四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD, 由平面ACE⊥平面ABCD,且平面ACE∩平面ABCD=AC,BDC平面ABCD, 则BDL平面ACE,…………………………2分 由AEC平面ACE,则BD⊥AE, 由BF⊥AD,BF∥AE,则AE⊥AD, 由AD∩BD=D,AD,BDC平面ABCD,则AE⊥平面ABCD.·4分 17.【答案】原创题三角恒等变换；解三角形 (1)2 ………7分 (2) 12: 8分 【解析】(1)设∠BAC=2a,∠MAN=B,由SAAMB=S△AMc,2sin(a-B)=sin(a+B)… …………………………………4分 化简得ane=3tanA,则tan∠BAM=tam(a-B)=2: ……7分 (2)tan/BAM=tan (a-B)- 2 1 10分 +3tanβ tan B 显然tanB为正，依据基本不等式可知，当P=否时，有tan∠BAM的最大值为 3, ∠BAM=否，∠BAN=S 【高一数学参考答案第3页（共4页）】 由S△AM= Sac,解得SaU=得 12 15分 18.【解析】(1)设t=f(x),则若满足方程，有一a=t+4t,t1∈(0,1]，t2 ∈(-∞，0]U(1,+∞)， 故由y=t十4t图象，一a∈(0,5]，则a∈[-5,0)；… 8分 (2)f(E)=f(e+d)<2,由函数f(x)图象，有E+d<-ln2或0<+d<E解 得d∈(-o∞，-ln2-√e)U(-√e,0). ……………………………………………… 17分 19.【解析】(1)当0=罗时，有AB⊥AB,在圆柱OO,中， OO1⊥平面ABB1,ABC平面ABB1,则有OO1⊥AB,…1分 又AB⊥A1B1,OO1∩A1B1=O,OO1、A1B1C平面A1B1C1D1, ……………………。……………………… 2分 所以AB⊥平面A1BC1D1,…3分 又因为ABC平面APB,所以平面APB⊥平面A1B1C1D1;……4分 (2)∠PAB1为所求线面角，AB1=√3，BP=BB1=, 3 ……………8分 tan∠PAB-B=Ex, 10分 AB 9 (3)由于二面角D-AB-B1为直二面角，故只要考查二面角P-AB-B,是否为不即 可.…12分 过B1作BQ⊥AB于Q,连接PQ. 由于B1Q⊥AB,BP⊥AB,所以AB⊥平面B1PQ,所以AB⊥PQ. 于是∠PQB即为二面角P-AB-B1的平面角.14分 在Rt△PB1Q中，B1Q=sin0,B1P=BB1=0. 若∠PQB,=不，则需B,P=B,Q,即sin0=A. 而sinx<x在0，]上恒成立.矛盾. 即不存在E(0,受]，使二面角D-AB-P为平 17分 【高一数学参考答案第4页（共4页）】 2026年上学期高一期末校内检测 数学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.函数的最小正周期为2π,则 A. B.1 C.2 D.4 2.已知是虚数单位，若复数z满足,则 A. B.1+i C. D. 3.已知a>0,b>0,且a+2b=1,则的最小值为 A.5 B.6 C.7 D.8 4.当蛋白质分子量达到一定量级时，其分子量Mr与迁移率X之间满足,其中k,b为常数.若b=1,则当分子量变为原来的2倍时，现迁移率与原迁移率的差值为 A. B. C.1g2 D.2 5.已知a,b,c为Rt△ABC的三个内角A,B,C的对边，c为斜边，向量.若⊥,则∠B= A. B. C. D. 6.某不透明盒子中共有6个大小、质地完全相同的小球，其中有4个红球2个黑球，从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件A=“至少摸到一个红球”;B=“至多摸到一个黑球”;C=“摸到2个红球”;D=“摸到2个黑球”,则下列说法正确的是 A.A与B是互斥事件 B.B与C是对立事件 C.C与D是互斥但不是对立事件 D.A与D是互斥但不是对立事件 7.如图，在△PAB中，PA=PB=,∠APB=90°,点O为AB的中点，以PO为折痕将△POB折叠，使点B到达点B′位置，且B′O⊥AO,则三棱锥P-AOB′外接球的表面积为 A.12π B.16π C.24π D.32π 8.已知单位向量满足：,且,则的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数z1,z2,下列结论正确的有 A.若,则 B.若,则z1=z2=0 C.若∈R, 则 D.若(其中i是虚数单位)是关于x的方程x²+px+q=0(p,q∈R)的一个 根，则q=5 10.设函数的定义域为D,,使得成立，则称为“美丽函数”.下列所给出的函数为“美丽函数”的是 A.y=x² B. C. D.y=sin x 11.已知圆台下底面圆心为点A,半径为2,上底面圆心为点B,半径为1.点C为圆B上一动点，点D为圆A上一动点，二面角C-AB-D的大小为,下列说法正确的是 A.∠CAD> B. C.若AB=3,则AB与CD所成角为 D.若AB=3,则四面体ABCD的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量,且//,则m的值为_______. 13.设A,B是一个试验中的两个事件，且P(A)=,P(B)=,P(AB)=,则=___. 14.在等腰三角形ABC中，AB=AC,∠A<,CD为AB边上的中线，且sin∠ACD=,则sin∠A=____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) 某公司餐厅为了完善餐厅管理，提高餐厅服务质量，随机调查了50名就餐的公司职员，根据这50名职员对餐厅服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40,50),[50,60),…,[90,100]. (1) 求频率分布直方图中a的值； (2) 若采用分层抽样的方式从评分在[40,60),[60,80),[80,100]的公司职员中抽取10人，则评分在[60,80)内的职员应抽取多少人? (3)该公司规定：如果职员对公司餐厅服务质量的评分低于75分，将对公司餐厅进行内部整顿.用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该公司职员对餐厅服务质量评分的平均分，并据此回答餐厅是否需要进行内部整顿. 16.(本小题满分15分) 如图，六面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，AE=2BF,BF//AE,BF⊥AD,且平面ACE⊥平面ABCD. (1) 求证：AE⊥平面ABCD; (2) 在AD上确定一点M,使得FM//平面ECD; (3)若AB=AC=BF=2,求点B到平面EFC的距离. 17.(本小题满分15分)已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=2,b=1,M和N是边BC上的点.AN为∠BAC的角平分线，点M满足S△AMB=S△AMC. (1)若tan∠MAN=,求tan∠BAM; (2)当∠BAM最大时，求此时△AMN的面积. 18.(本小题满分17分)已知函数 (1)若关于x的方程有3个不同的零点，求a的取值范围；(2),定义集合,求D(). 19.(本小题满分17分) 已知圆柱OO₁的底面半径为1,高为π,面ABCD是圆柱的一个轴截面.一动点从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D,其距离最短时在侧面留下的曲线如图所示.将轴截面ABCD绕着轴OO1逆时针旋转后，边B₁C₁与曲线相交于点P. (1) 当时，证明：平面APB⊥平面A₁B₁C₁D₁; (2) 当时，求AP与圆柱OO₁下底面所成角的正切值； (3)是否存在θ,使得二面角D-AB-P的大小为?若存在，求出线段BP的长度；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $