精品解析：湖南长沙市同升湖高级中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

长沙市同升湖高级中学 2026年上学期高一期末考试数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 命题人： 审题人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用交集定义求解即可． 【详解】由题意， 故选：C. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是. 故选：C 3. 若向量与垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两向量垂直的坐标关系求出，再利用向量模长的计算公式求解. 【详解】，所以，所以， 所以. 故选：A 4. 有下列一组数据：2，17，33，15，11，42，34，13，22，则这组数据的上四分位数是（ ） A. 11 B. 13 C. 22 D. 33 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由百分位数定义计算即可求解. 【详解】该组数据从小到大排列为2，11，13，15，17，22，33，34，42，共有9个数据， 由题意且， 则这组数据的上四分位数是从小到大排列的第7个数，即33．故D正确. 故选:D． 5. 设复数，则复数的虚部为 A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算化简求出即可. 【详解】解：， ∴的虚部为2. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，属基础题. 6. 已知，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. 4 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是. 故选：A 7. 把某班五名学生在一周内阅读数学竞赛书籍的时间1，2，3，4，5（单位：小时）作为一组样本数据，现增加统计两位学生，他们一周内阅读数学竞赛书籍的时间分别为正整数m、n（单位：小时），与原有样本数据一起构成一组新样本数据，与原组样本数据比较，下列说法正确的是（ ） A. 若，则方差不变 B. 若极差不变，则 C. 若，则中位数变大 D. 若平均数不变，则 【答案】D 【解析】 【分析】举例说明，ABC错误，求出原数据与新数据的平均数，可判断D是否正确. 【详解】原数据的平均数为：， 原数据的方差为：. 对A：若，则满足， 此时所得新数据的平均数为：， 方差为：，方差变小，故A错误； 对B：若极差不变，由可能是，，……，不一定要，故B错误； 对C：若，如，则新数据的中位数是3， 因为原数据的中位数也是3，没变，故C错误； 对D：新数据的平均数为：， 由，故D正确. 故选：D. 8. 在正方体中，已知，点O在棱上，且，P为正方体表面上的动点，若，则点P的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】，则点P会在4个面内有轨迹，且均是圆弧，分别计算半径和圆心角即可. 【详解】依题意，∵，，，∴，， 所以，所以，又因为，所以， 所以，即. 在平面内满足条件的点的轨迹为， 该轨迹是以5为半径的个圆周，所以长度为； 同理，在平面内满足条件的点轨迹长度为； 在平面内满足条件的点的轨迹为以为圆心， 为半径的圆弧，长度为； 同理，在平面ABCD内满足条件的点的轨迹为以A为圆心，AE为半径的圆弧，长度为. 故轨迹的总长度为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于平面向量，下列说法正确的（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，向量既有大小，又有方向，因此向量不能比较大小，A错误； 对于B，相等向量是共线向量，B正确； 对于C，当时，可以是任意向量，因此不一定共线，C错误； 对于D，由，，得，D正确. 10. 先后抛掷质地均匀的硬币两次，下列说法正确的是（ ） A. 样本空间中一共含有4个样本点 B. 事件“两次正面向上”发生的概率是 C. 事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”是互斥事件 D. 事件“至少一次正面向上”与事件“两次反面向上”是对立事件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据列举法判断选项A；根据古典概型判断计算判断选项B；根据互斥事件、对立事件的概念判断选项C、D.. 【详解】对于A：样本空间中一共含有：正正，正反，反正，反反共4个样本点，故A正确； 对于B，两次正面向上含有一个样本点，故事件“两次正面向上”发生的概率是，故B正确； 对于C：当恰好一次正面向上，一次反面向上时， 事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”同时发生， 故不是互斥事件，故C错误； 对于D：事件“至少一次正面向上”与事件“两次背面向上”是对立事件，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，函数的图象交x轴于点B和点D，交y轴于点C，已知，，点E的横坐标为，．则（ ） A. B. 的面积为 C. 若在有n个解依次为，则 D. 把函数的图象向右平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再把纵坐标伸长为原来的两倍，横坐标不变，最后向上平移一个单位得到函数的图象．若对任意的，方程在区间上至多有一个解，则正数k的取值范围为． 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析可知点为的中点，，结合周期性可得，根据最大值点可得，代入点可得，即可判断AB；以为整体，结合正弦函数性质运算求解；对于D：根据图象变换可得，作出的图象，结合图象分析求解. 【详解】因为，则点为的中点，可知， 且，则函数的最小正周期， 且，则，即，即， 可知为函数的最大值点， 则，即， 因为，则，可得， 即，则， 又因为，则， 即，所以，故A正确； 的面积为，故B错误； 若， 因为，则， 可得，解得， 可知在内的解依次为， 所以，故C正确； 把函数的图象向右平移个单位，可得， 然后纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，可得， 再把纵坐标伸长为原来的两倍，横坐标不变，可得， 最后向上平移一个单位，所以， 可得的图象，如图所示， 当图象伸长为原来的5倍以上时符合题意， 则，所以正数k的取值范围为，故D正确. 三、填空题：共3个小题，每题5分，共15分． 12. 已知各顶点都在一个球面上的正方体的棱长为2，则这个球的体积为_________. 【答案】 【解析】 【详解】根据题意可得外接球的直径为正方体的体对角线，进而求得球的半径与体积即可 【分析】由题如图正方体的各顶点都在一个球面上， 求得直径为正方体的体对角线， 故答案为： 13. 已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为__________． 【答案】 【解析】 【详解】在上的投影向量为. 14. 设函数，若方程有三个实数根，，，则的范围是___________，又，则的取值范围是___________． 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】由题意可得直线与的图象有三个交点，作出函数的图象，结合图象可得第一空答案；由题意可得，令，则，利用对勾函数的性质求解即可. 【详解】作出函数的图象，如图所示： 因为方程有三个实数根， 即直线与的图象有三个交点， 由图象可知， 所以实数的取值范围为； 令，得， 令，得或， 又因为， 所以， 由题意可得， 即 所以， 所以， 令， 则， 令， 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以, 即的取值范围是. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调查了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注的数字模糊不清. （1）试根据频率分布直方图求的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数和平均数； （2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？ 【答案】（1），众数为5，平均数5.6 （2）200人 【解析】 【分析】（1）由频率和为1得到的值，频率最高组的中间数即是众数，用每组数据的中间数乘以频率所得结果即为平均数; （2）找到满足题意的频率乘以总数即得频数. 【小问1详解】 ∵ ∴ 众数为5， 平均数 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，平均费用不少于8元的频率为： ∴ ∴试估计该公司有200名职员早餐日平均费用不少于8元. 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，，. （1）求； （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理可以得到，得到即可. （2）根据三角形的面积公式得出的面积即可. 【小问1详解】 ，，，且由余弦定理可得， 则，， 又， 【小问2详解】 根据三角形的面积公式可得， 的面积为. 17. 已知函数 （1）求的最小正周期； （2）求函数在的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换得，结合周期公式计算即可求解； （2）思路一：求解单调区间即可得解；思路二：由，得，结合三角形函数性质即可得解. 【小问1详解】 ， 所以，最小正周期， 所以函数的最小正周期为. 【小问2详解】 方法1：因为函数， 令，解得：， 所以函数的单调递增区间为， 又因为， 所以函数在单调递增，在单调递减. 函数， 所以函数的值域为. 方法2：因为，所以， 由正弦函数图象可知，当时，函数有最大值3， 当时，函数有最小值， 所以函数的值域为. 18. 如图，在直三棱柱中，，. （1）设平面与平面ABC的交线为l，判断l与AC的位置关系，并证明； （2）求证：； （3）若与平面所成的角为30°，求三棱锥内切球的表面积S. 【答案】（1），证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由平面平面ABC可得平面ABC，从而根据线面平行的性质定理即可得证； （2）连接，根据已知可得平面，从而即可证明； （3）由题意，首先求出棱锥中各条棱的长度，然后利用等体积法计算三棱锥内切球的半径，最后计算其表面积即可得答案． 【小问1详解】 解：判断. 证明如下： ∵为直三棱柱， ∴平面平面ABC， ∵平面， ∴平面ABC， 又平面平面，平面， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 证明：连接， ∵三棱柱为直三棱柱， ∴平面， ∴， 又，， ∴AB⊥平面，又平面， ∴， 又∵直三棱柱中，， ∴四边形为正方形，∴， ∵，平面，平面， ∴平面， 又∵平面，∴； 【小问3详解】 解：过作，垂足为D，连接CD，如图所示， ∵三棱柱为直三棱柱， ∴平面，又平面， ∴， ∵，， ∴平面， ∴为直线与平面所成的角，即， ∵，∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴，又，∴. 设三棱锥内切球的半径为r，球心为O，连接OA，OB，OC，， 则由得，即， ∴三棱锥内切球的表面积. 19. 教材第87页第13题有以下阅读材料：我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）已知函数的定义域为，且图象关于点中心对称，求的值. （2）已知函数的图象关于点中心对称. （i）求实数的值，并判断函数的单调性（不用证明）； （ii）若对任意的实数，都存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（i），在上是增函数（ii） 【解析】 【分析】（1）利用中心对称图形的性质赋值后计算可得； （2）（i）由列方程组可得；由函数的单调性和平移的性质可判断； （ii）利用奇函数的性质变形不等式，再构造，设，使原命题等价于，分的取值结合函数的单调性讨论可得. 【小问1详解】 因为函数的图象关于点中心对称， 所以为奇函数，所以， 令，则有，故；令，则有， 所以. 【小问2详解】 （i）由（1）可知， 因为，所以，则解得 此时， 所以， 所以，即为奇函数，符合题意， 所以. 因为函数的图象可由先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到， 故函数在上也是增函数. （ii）因为函数的图象关于点对称，且该函数的定义域为， 对任意的， 由可得， 即， 因为函数在上是增函数，则， 因为，所以， 令，得， 设，只有才能保证图象上下平移时，其绝对值不小于1. 否则当任意变化到使时，对任意的， . 故原命题等价于. ①当时，在上单调递增， 即，所以， ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，在上单调递增，； ③当时，在上单调递减，在上单调递增， ， 若，则，所以， 若，则，所以， 所以， 当时，在上单调递减，此时，得. 综上得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市同升湖高级中学 2026年上学期高一期末考试数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 命题人： 审题人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 若向量与垂直，则（ ） A. B. C. D. 4. 有下列一组数据：2，17，33，15，11，42，34，13，22，则这组数据的上四分位数是（ ） A. 11 B. 13 C. 22 D. 33 5. 设复数，则复数的虚部为 A. B. C. D. 2 6. 已知，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. 4 D. 7 7. 把某班五名学生在一周内阅读数学竞赛书籍的时间1，2，3，4，5（单位：小时）作为一组样本数据，现增加统计两位学生，他们一周内阅读数学竞赛书籍的时间分别为正整数m、n（单位：小时），与原有样本数据一起构成一组新样本数据，与原组样本数据比较，下列说法正确的是（ ） A. 若，则方差不变 B. 若极差不变，则 C. 若，则中位数变大 D. 若平均数不变，则 8. 在正方体中，已知，点O在棱上，且，P为正方体表面上的动点，若，则点P的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于平面向量，下列说法正确的（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 先后抛掷质地均匀的硬币两次，下列说法正确的是（ ） A. 样本空间中一共含有4个样本点 B. 事件“两次正面向上”发生的概率是 C. 事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”是互斥事件 D. 事件“至少一次正面向上”与事件“两次反面向上”是对立事件 11. 如图，函数的图象交x轴于点B和点D，交y轴于点C，已知，，点E的横坐标为，．则（ ） A. B. 的面积为 C. 若在有n个解依次为，则 D. 把函数的图象向右平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再把纵坐标伸长为原来的两倍，横坐标不变，最后向上平移一个单位得到函数的图象．若对任意的，方程在区间上至多有一个解，则正数k的取值范围为． 三、填空题：共3个小题，每题5分，共15分． 12. 已知各顶点都在一个球面上的正方体的棱长为2，则这个球的体积为_________. 13. 已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为__________． 14. 设函数，若方程有三个实数根，，，则的范围是___________，又，则的取值范围是___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调查了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注的数字模糊不清. （1）试根据频率分布直方图求的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数和平均数； （2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？ 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，，. （1）求； （2）求的面积. 17. 已知函数 （1）求的最小正周期； （2）求函数在的值域. 18. 如图，在直三棱柱中，，. （1）设平面与平面ABC的交线为l，判断l与AC的位置关系，并证明； （2）求证：； （3）若与平面所成的角为30°，求三棱锥内切球的表面积S. 19. 教材第87页第13题有以下阅读材料：我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）已知函数的定义域为，且图象关于点中心对称，求的值. （2）已知函数的图象关于点中心对称. （i）求实数的值，并判断函数的单调性（不用证明）； （ii）若对任意的实数，都存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $