3.3.2抛物线的简单几何性质（讲+练）-【巅峰课堂】2023年新高二数学暑假预习精讲精练(人教A版2019选择性必修第一册)

3.3.2抛物线的简单几何性质 目录 学习内容与学习目标 1 知识梳理 1 学法指导 2 自学与预习基础检测 2 考点剖析 3 考点一：抛物线开口方向 3 考点二：抛物线开口大小 4 考点三：焦点弦 4 考点四：焦点弦“梯形” 5 考点五：抛物线与直线综合 5 课堂练习 6 1.掌握抛物线的几何性质 2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题． 3.会求一些与抛物线有关的轨迹方程问题. 4.解决一些抛物线的综合问题． 概念一、抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e＝1 通径长 2p 概念二、直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数． 当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点． 当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点． 概念三、直线和抛物线 1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p. 2．抛物线的焦点弦 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①y1y2＝－p2，x1x2＝； ②＝x1＋x2＋p； ③＋＝. 确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 直线与抛物线的位置关系 (1)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论，求解交点时不要忽略二次项系数为0的情况． (2)一般弦长：|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|. 解决抛物线综合问题的基本策略 对于抛物线的综合问题，可以从直线、抛物线的方程出发，结合解一元二次方程，经过逻辑推理和数学运算，从代数法的角度推证结论． 判断对错： 1．抛物线关于顶点对称．(　 　) 2．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．(　 　) 3．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．(　 　) 4．抛物线x2＝4y，y2＝4x的x，y的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的，离心率也相同．(　 　) 5．“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件．(　 　) 1．对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 2．在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（    ） A．B．C． D． 3．已知，则方程与在同一坐标系内对应的图形编号可能是（    ） A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 4．已知，则方程表示的曲线可能是（    ） A．B．C． D． 5．对抛物线，下列描述正确的是     (　　) A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为 1．在同一平面直角坐标系中画出下列抛物线. （1）； （2）； （3）． 通过观察这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数有怎样的关系． 2．在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中x的系数的关系： （1）；    （2）；     （3）；    （4）． 1．经过抛物线的焦点，作斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B．或3 C．或2 D．3 2．已知AB是经过抛物线的焦点的弦，若点A、B的横坐标分别为1和，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 3．过抛物线的焦点F作倾斜角为的弦AB，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．过抛物线的焦点F作倾斜角是的直线，交抛物线于A，B两点，则（    ） A．8 B． C． D．16 5．过抛物线的焦点的直线与交于，两点，若，则（为原点）的面积为（    ） A． B．6 C． D． 1．长度为4的线段的两个端点在抛物线上移动，试求线段的中点M到x轴距离