1.2.3 直线与平面的夹角&1.2.4 二面角-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

1．2.3　直线与平面的夹角 1．2.4　二面角 [学习目标] 知识 层面 1.理解斜线与平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性．　2.会求直线与平面的夹角．　3.掌握二面角的概念、二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角．　4.掌握求二面角的方法、步骤． 素养 层面 通过学习空间线面角，提升数学运算、逻辑推理素养；通过学习二面角的概念及二面角的平面角，培养数学抽象素养；借助求二面角的方法和步骤的学习，提升逻辑推理、数学运算素养. 问题1. (1)直线与平面所成的角就是直线与平面内任一直线所成的角吗？ (2)直线的方向向量与平面的法向量所成的角是直线与平面所成的角吗？ 提示： (1)不是；(2)不是． 问题2.(1)两个平面的夹角与二面角的平面角有什么区别？ (2)两个平面的夹角与两平面的法向量的夹角有何关系？ 提示：(1)平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 区别：二面角的范围是[0，π]，而两个平面的夹角的范围是. (2)两平面的夹角是两平面的法向量的夹角或其补角． 知识点一　直线与平面的夹角 1．直线与平面所成的角的分类 直线与平面所成的角，应分三种情况： 2．斜线与平面所成角 平面的斜线与它在平面内的射影所成的角，称为这条斜线与平面所成的角．例如，如图所示，如果直线AB是平面α的一条斜线，B为斜足，A′B是直线AB在平面α内的射影，则∠ABA′就是直线AB与平面α所成的角． 3．线线角、线面角的关系式 如图，AO为平面α的一条斜线段，O为斜足，AA1⊥平面α，A1为垂足，则OA1为斜线段AO在平面α内的射影，设OM为平面α内通过点O的任一条直线，OA与OA1所成的角为θ1，OA1与OM所成的角为θ2，OA与OM所成的角为θ，则cos θ＝cos θ1cos θ2． 4．最小角定理 斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角． 5．用空间向量求直线与平面的夹角 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ， 学生用书↓第27页 如图①②所示，则θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－. 特别地，cos θ＝sin〈v，n〉或sin θ＝|cos〈v，n〉|. 知识点二　二面角及其度量 1．二面角的定义及表示 (1)二面角的有关定义 ①半平面：平面内的一条直线把一个平面分为两部分，其中的每一部分都称为一个半平面． ②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． (2)二面角的表示 棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作α-l-β. 如图，A∈α，B∈β，二面角也可以记作A-l-B. 2．二面角的平面角 如图所示，在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角．二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小，特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角． 注意：二面角的取值范围是[0，π]，当两个半平面重合时，理解为0；当两个半平面在同一平面内，且延伸方向相反时，理解为π. 3．用空间向量求二面角的大小 如果n1，n2分别是平面α1，α2的法向量，设α1与α2所成角的大小为θ.如图①②所示，可以看出θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉． 特别地，sin θ＝sin〈n1，n2〉． 微提醒 对直线(或斜线)与平面所成角的几点认识： 1．斜线与平面的夹角范围是；而直线与平面的夹角范围是. 2．设在平面α内的射影为，且直线AB与平面α的夹角为θ，则||＝||·cos θ. 3．平面α的法向量n与AB所成的锐角θ1的余角θ就是直线AB与平面α所成的角．　　 1．已知二面角α-l-β等于θ，异面直线a，b满足a⊂α，b⊂β，且a⊥l，b⊥l，则a，b所成的角等于(　　) A．θ B．π－θ C.－θ D．θ或π－θ 答案：D 解析：应考虑0≤θ≤与＜θ≤π两种情况． 2．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小是(　　 ) A．等于90° B．小于90° C．大于90° D．不确定 答案：A 解析：A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥MN，则·＝(＋)·＝·＋·＝0，所以MP⊥MN，即∠PMN＝90°. 3．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝ AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：以A为坐标原点，AF所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，AD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A(0，0，0)，G(a，a，0)，C(0，2a，2a)，B(0，2a，0)，所以＝(a，a，0)，＝(0，2a，2a)，＝(－a，a，0). 设平面AGC的法向量为n＝(x，y，z)，则 即 取z＝1，则x＝1，y＝－1，所以n＝(1，－1，1).设GB与平面AGC所成角为α，所以sin α＝cos 〈，n〉＝＝＝ .所以GB与平面AGC所成角的正弦值为 . 4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为　　　　． 答案： 解析：建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2，则D(2，0，0)，A1(0，0，2)，E(0，2，1)，则＝(2，0，－2)，＝(0，2，－1).设平面A1ED的法向量为n＝(x，y，z)，则所以所以令y＝1，得n＝(2，1，2).易知平面ABCD的法向量为m＝(0，0，1)，则|cos〈n·m〉|＝＝.由图可知二面角的余弦值为. 学生用书↓第28页 题型一　直线与平面所成的角 正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角． [思路点拨]　方法一：向量法：作出AC1在平面ABB1A1内的射影，利用向量直接求解． 方法二：向量法： 建系→求出相关点的坐标→及平面ABB1A1的法向量n的坐标→sin θ＝|cos〈，n〉|→θ. 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，a)，C1，B1(0，a，a). 方法一：如图，取A1B1的中点M，则M，连接AM，MC1，则＝，＝(0，a，0)，＝(0，0，a). 因为·＝0，·＝0， 所以MC1⊥AB，MC1⊥AA1， 又AB∩AA1＝A，所以MC1⊥平面ABB1A1. 所以∠C1AM即直线AC1与侧面ABB1A1所成的角． 因为＝，＝， 所以·＝0＋＋2a2＝. 又||＝ ＝a， ||＝ ＝， 所以cos〈，〉＝＝. 所以〈，〉＝30°，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°. 方法二：＝(0，a，0)，＝(0，0，a). 设侧面ABB1A1的法向量为n＝(x，y，z)， 则n·＝0且n·＝0， 所以ay＝0且az＝0，所以z＝y＝0，故n＝(1，0，0)为平面ABB1A1的一个法向量． 又＝， 所以cos〈，n〉＝＝＝－. 设AC1与侧面ABB1A1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos〈，n〉|＝，所以θ＝30°， 即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°. 方法技巧 用向量法求线面角的步骤 1．分析图形关系，建立空间直角坐标系； 2．求出直线的方向向量a和平面的法向量n； 3．求出夹角〈a，n〉； 4．判断直线和平面所成的角θ和〈a，n〉的关系，求出角θ.　　 对点练1．(1)平面α的斜线l与它在这个平面上射影l′的方向向量分别为a＝(1，0，1)，b＝(0，1，1)，则斜线l与平面α所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° (2)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝，AB＝AC＝2，AA1＝，则直线AA1与平面AB1C1所成的角为(　　) A． B． C． D． 答案：(1)C　(2)A 解析：(1)l与α所成的角为a与b所成的角或其补角．又cos〈a，b〉＝＝，所以〈a，b〉＝60°. (2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝，即AB⊥AC，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A-xyz(图略)，则A(0，0，0)，B1(0，2，)，C1(2，0，)，A1(0，0，)，＝(0，0，)，＝(0，2，)，＝(2，0，).设平面AB1C1的法向量为n＝(x，y，z)，则由得令x＝1，则y＝1，z＝－，所以n＝.设直线AA1与平面AB1C1所成角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝，所以θ＝.故选A. 题型二　二面角 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝120°，AB＝2AD. (1)求证：平面PAD⊥平面PBD； (2)求二面角A-PB-C的余弦值． [思路点拨]　(1)令AD＝1，求出BD＝，从而AD⊥BD，进而BD⊥平面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面PBD. (2)以D为坐标原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PB-C的余弦值． 解：(1)证明：在平行四边形ABCD中，令AD＝1， 则BD＝ ＝， 在△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD， 又平面PAD⊥平面ABCD， 所以BD⊥平面PAD，BD⊂平面PBD， 所以平面PAD⊥平面PBD. (2)由(1)得AD⊥BD，以D为坐标原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 令AD＝1，则A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P， ＝(－1，，0)，＝，＝(－1，0，0)， 设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)， 则，取y＝1，得n＝(，1，1)， 设平面PBC的法向量m＝(a，b，c)， 取b＝1，得m＝(0，1，2)， 所以|cos〈n，m〉|＝＝＝， 由图形知二面角A-PB-C的平面角为钝角， 所以二面角A-PB-C的余弦值为－. 方法技巧 1．求二面角的方法 学生用书↓第29页 2．向量法求二面角(或其某个三角函数值)的四个步骤 　　 对点练2．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面DOB1的夹角的余弦值． 解：(1)证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD， 又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD， 因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD. (2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直． 如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． 设棱长为2，因为∠CBA＝60°，所以OB＝ ，OC＝1， 所以O(0，0，0)，B1( ，0，2)，C1(0，1，2)， 平面BDD1B1即为平面DOB1，易知平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0，1，0)， 设平面C1OB1的法向量为m＝(x，y，z)， 则由m⊥，m⊥，所以 取z＝－ ，则x＝2，y＝2 ， 所以m＝(2，2 ，－ )， 所以cos 〈m，n〉＝ ＝ ＝ . 所以平面C1OB1与平面DOB1的夹角的余弦值为 . 易错点　混淆二面角与面面角的大小 已知ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，设PA＝AB＝a，AD＝2a，则平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为　　　　． [正解]　建立如图所示的空间直角坐标系，则B(a，0，0)，C(a，2a，0)，P(0，0，a)，D(0，2a，0)，所以＝(0，2a，0)，＝(－a，0，a)，＝(－a，0，0)，＝(0，2a，－a). 设平面BPC、平面DPC的法向量分别为n1＝(x，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，则有和 取x1＝1，y2＝1，可得n1＝(1，0，1)，n2＝(0，1，2)， 则cos〈n1，n2〉＝＝， 故平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为. 答案： [易错探因]　本题易错的地方是认为平面BPC与平面DPC的夹角就是二面角B-PC-D，得到错解：求得cos〈n1，n2〉＝＝后，观察图形知二面角B-PC-D为钝角，得平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为－. 事实上，二面角的取值范围是[0，π]，面面角的取值范围是，不要将两者混淆了． 学科网（北京）股份有限公司 $