重点题型强化（一） 空间直角坐标系的构建问题-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

本讲义聚焦空间直角坐标系构建这一核心知识点，承接平面直角坐标系基础，延伸至空间几何问题解决（如法向量、线面角等）。通过共顶点垂直棱、正棱锥中心与高、线面/面面垂直三类题型，结合例题解析、方法技巧及对点练，搭建递进式学习支架。 资料以分层设计为特色，题型分类明确，例题步骤详尽，提炼建系方法技巧，助力学生从几何体中抽象坐标系提升直观想象，通过逻辑推理建立空间坐标解决问题培养逻辑推理素养。课中辅助教师系统授课，课后学生可借课时测评查漏补缺，强化空间几何应用能力。

学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 重点题型强化（一】 空间直角坐标系的构建问题 [学习目标刷 1.了解空间坐标系建立的过程与必要性.2能建立空间直角坐标系解决空 知识层面 间几何问题。 依据空间几何体的结构特征建立空间直角坐标系，提升直观想象、逻辑推 素养层面 理素养。 题型一利用共顶点的互相垂直的三条棱建系 例□如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,E为PD的中点， AB=AP=1,AD=,试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 解：因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两垂直. D Y 如图所示，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A xz,则A(0,0,0),C(1,,0),P(0,0,1),D0,,0),E, 于是AC=(1,,0),AE=, 设平面ACE的一个法向量为n=(x,y,z), 则即所以 令y=-1,则x=,z=,即n=, 所以平面ACE的一个法向量为n=. 方法技巧 1.在长方体、正方体中，一般选择共顶点的三条相互垂直的棱为坐标轴建系. 2.直棱柱的侧棱垂直于底面，如果在底面上有相互垂直的邻边，也可构造此类建系模型. 独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 对点练1.如图，在正方体ABCD-A1B1CD1中，E为DD1的中点. D A E Di.... (1)证明：直线BD1∥平面ACE: (2)求异面直线CD,与AE所成角的余弦值. D B A E」 D ----0、 A 解：(I)证明：如图，连接BD交AC于点O,连接EO,由于E为DD,的中点，O为BD的 中点，则EO∥BD1, 又因为EOC平面ACE,BD1E平面ACE,所以BD1∥平面ACE. (2)以D为原点，DA,DC,DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐 标系. A E 金A 设正方体的棱长为2a,则C(0,2a,0),D(0,0,2a),A(2a,0,0),E0,0,a), 所以CD1=,AE=, 设CD1与AE所成角为O, 则cos0=lcos〈CD1,AE〉|===， 所以CD,与AE所成角的余弦值为 题型二利用正棱锥的中心与高所在的直线建系 例2如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=2,点E,F分别为PB,PD的中点.若平 独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 面AEF与棱PC交于点G,求平面AEGF与平面ABCD的夹角的余弦值. D 解：如图，连接AC,BD交于点O,则OA,OB,OP两两互相垂直， 以点O为坐标原点，分别以射线OA,OB,OP为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角 坐标系. D 因为PA=AB=2,由勾股定理易知OA=OB=OP==2, 从而可得有关点的坐标分别为A,B(0,2,0),C,D,P,E0,1,1),F 所以AE=,AF=. 设平面AEGF的法向量为n=, 则即 可取x=1,解得y=0,z=2, 从而得到平面AEGF的一个法向量为n=】 平面ABCD的法向量显然可取为m=, 从而cos〈m,n〉===. 所以平面AEGF与平面ABCD的夹角的余弦值是. 学生用书↓第34页 方法技巧 正棱锥底面中心与顶，点的连线与底面垂直，建系时常作z轴， 对点练2.已知正四棱锥V-ABCD中，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2a,高为h. (I)求∠DEB的余弦值： (2)若BE⊥VC,求∠DEB的余弦值. 解：(1)如图所示，以V在底面ABCD内的正投影O为坐标原点建立空间直角坐标系，其中 独家授权侵权必究 草学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 Ox∥BC,Oy∥AB. 由AB=2a,OV=h, 知B(a,a,0),C(-a,a,0),D(-a,-,0),0,0,h),E. 所以BE=,DE=, 所以cOs〈BE,DE〉==， 即cOS∠DEB=. (2)因为BE⊥VC,所以BEVC=0, 即(-a,a,-h)=0, 所以a2-一=0，所以h=a. 此时cos〈BE,DE〉===一=一， 即cOS∠DEB=-. 题型三利用线面、面面的垂直关系建系 例3如图，直三棱柱ABC-ABC的所有棱长都是2，D,E分别是AC,CC的中点. C (I)求证：AE⊥平面ABD: (2)求直线AB与平面ABD所成角的正弦值. 解：(I)证明：如图所示，取A1C的中点G,连接DG,由直三棱柱ABC-A B1C的所有棱长 都是2，D是AC的中点，所以BD⊥AC, 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 B A 又平面ACB⊥平面ACCA1,平面ACB∩平面ACCA1=AC,BDC平面ABC, 所以BD⊥平面ACCA1, 由D,G分别为AC,A1C的中点，可得DG⊥AC,可得DG,DA,DB两两垂直. 以D为坐标原点，以DG,DA,DB所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间 直角坐标系， 则D0,0,0),A(0,1,0),A1(2,1,0),E(1,-1,0),B(0,0,),B1, 可得AE=,DAI=, DB=, 因为AEDA1=0,AEDB=0, 所以AE⊥DA1,AE⊥DB, 又DA∩DB=D,DA1,DBC平面ABD, 所以AE⊥平面ABD. (2)由(I)可得AE⊥平面ABD,则n=AE=,即为平面ABD的一个法向量， 又由AB=,设直线AB与平面ABD所成的角为a, 可得sina=lcos〈AB,n〉|===， 所以直线AB与平面ABD所成角的正弦值为. 方法技巧 1.已知条件中的线面、面面垂直关系是建系的依据. 2.如果题目中没有明显的垂直关系，可先根据已知条件，设法证明线面、面面垂直，进而 为建系做准备. 对点练3.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD=2BC=2AB= 4,PA=2,且∠ABC=60°，点E为棱PD上一点（不与P,D重合），平面BCE交棱PA于 点F 独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (I)求证：BC∥EF; (2)若E为PD中点，求平面ACE与平面PAD夹角的余弦值. 解：(I)证明：因为BC∥AD,ADc平面PAD,BC丈平面PAD, 所以BC∥平面PAD, 又BCc平面BCEF,平面BCEFN平面PAD=EF, 所以BC∥EF.(2)取BC的中点为M,连接AM, 因为AB=BC,且∠ABC=60°， 所以△ABC为等边三角形， 所以AM⊥BC,又AD∥BC,所以AM⊥AD, 以A为原点，以AM,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示， B/M C 则A,C,E, 所以AE=,AC=(,1,0), 设平面ACE的法向量为n=, 则即 令x=,则y=-3,z=6,得n=. 因为AM⊥平面PAD,所以平面PAD的法向量为m=, 设平面ACE与平面PAD的夹角为0，则cos0====. ◆独家授权侵权必究