1.1.2 空间向量基本定理-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“空间向量基本定理”核心知识点，前承共线向量、共面向量定理，通过类比平面向量基本定理自然引入，构建从平面到空间的知识迁移支架，系统讲解基底、基向量及正交分解等内容。 资料突出数学抽象与数学运算素养培养，如类比平面向量探究空间向量表示培养抽象能力，通过基底判断、向量表示等题型解析提升运算能力。课时测评覆盖选择、填空、解答题，课中辅助教师授课，课后助力学生查漏补缺。

1．1.2　空间向量基本定理 [学习目标] 知识 层面 1.掌握空间向量共线、共面的充要条件及其应用．　2.了解空间向量基本定理及其意义，并会用基底表示空间向量，掌握空间向量的正交分解．　3.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法. 素养 层面 通过基底、基向量、向量的线性组合及空间向量基本定理的学习，培养数学抽象素养；借助任一空间向量可用一组基向量线性表示，提升数学运算素养. 类比平面向量基本定理，对于空间向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，是否可以用向量a，b，c来表示向量p? 提示：如图，设为在i，j所确定的平面上的投影向量，则＝＋. 又向量，k共线，因此存在唯一的实数z，使得＝zk，从而＝＋zk. 在i，j确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xi＋yj.从而＝＋zk＝xi＋yj＋zk.同理可知，向量a，b，c可以表示向量p. 知识点一　共面向量定理 1．共线向量基本定理 如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa． 2．共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb． 知识点二　空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)．使得p＝xa＋yb＋zc． 2．基底与基向量 空间中不共面的三个向量a，b，c组成空间向量的一组基底，记为{a，b，c}，此时，a，b，c都称为基向量；如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式． 微提醒 1．若p＝xa＋yb＋zc，则xa＋yb＋zc叫做向量a，b，c的线性表达式或线性组合，或者说p可以由a，b，c线性表示． 2．对于基底{a，b，c}，除了应知道a，b，c不共面外，还应明确以下三点： (1)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示，选用不同的基底，同一向量的表达式也可能不同； (2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0； (3)空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空间向量构成的，一个基向量是指基底中的某个向量，二者是相关联的不同概念．　　 [微思考]　(1)基底中能不能有零向量？(2)选取不同的基底对同一向量的表达式有无影响？(3)基底和基向量是同一概念吗？有什么区别？ 提示：(1)不能，因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面．(2)有影响，不同基底下，同一向量的表达式不同．(3)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． 学生用书↓第9页 1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是(　　) A．，，　　　　　　 B．，， C．，， D．，， 答案：C 解析：由题意知，，，不共面，可以作为空间向量的一个基底． 2．(多选)给出下列命题，其中是真命题的是(　　) A．若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底 B．已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底 C．已知A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面 D．已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底 答案：ABCD 解析：根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然B是真命题．C中，由，，不能构成空间的一个基底，知，，共面．又，，有公共点B，所以A，B，M，N四点共面，即C是真命题．A中，假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，因为d与c共线，c≠0，所以存在实数k，使得d＝kc.因为d≠0，所以k≠0，从而c＝a＋b，所以c与a，b共面，与条件矛盾，所以d与a，b不共面，即A是真命题．同理可证D也是真命题．故选ABCD． 3．如图P为空间中任意一点，动点Q在△ABC所在平面内运动，且＝2－3＋m，则实数m＝(　　) A．0 B．2 C．－2 D．1 答案：C 解析：因为＝2－3＋m，所以＝2－3－m.又动点Q在△ABC所在平面内运动，所以2－3－m＝1，解得m＝－2，故选C． 4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，下列关于的表达式中： ①＋＋； ②＋＋； ③＋＋； ④(＋)＋. 正确的个数有________个． 答案：3 解析：＋＋＝＋＝＋≠，②不正确；(＋)＋＝(＋)＋＝＋＝，④正确；①③明显正确． 题型一　基底的判断 (1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　) A．1个　　　 B．2个 C．3个 D．4个 (2)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底． [思路点拨]　根据基底的概念进行解答． 答案：(1)C 解析：(1)如图所示，令a＝，b＝，c＝， 则x＝，y＝，z＝， a＋b＋c＝.由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故选C． (2)假设，，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y使＝x＋y成立， 所以e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)， 即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3 所以此方程组无解． 即不存在实数x，y使得＝x＋y， 所以，，不共面． 所以{，，}能作为空间的一个基底． 方法技巧 基底判断的基本思路及方法 1．基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． 2．方法：(1)如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底． (2)假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．　　 对点练1．(多选)若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的另一个基底的是(　　) A．a，2b，3c B．a＋b，b＋c，c＋a C．a＋2b，2b＋3c，3a－9c D．a＋b＋c，b，c 答案：ABD 解析：对于A，a，2b，3c，B中a＋b，b＋c，c＋a，D中a＋b＋c，b，c，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底；对于C，a＋2b，2b＋3c，3a－9c满足3a－9c＝3[(a＋2b)－(2b＋3c)]，是共面向量，不能构成空间的一个基底． 学生用书↓第10页 题型二　用基底表示向量 (1)已知平行六面体OABC－O1A1B1C1，＝a，＝c，＝b，D是四边形OABC的对角线交点，则(　　) A．＝－a＋b＋c B．＝－b－a－c C．＝a－b－c D．＝a－b＋c (2)如图所示，在空间四边形OABC中，点M为OA的中点，N为AB的中点，P在CN上，且CP＝PN.若＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．－a＋b＋c B．a＋b－c C．－a－b＋c D．a－b＋c [思路点拨]　利用图形寻找待求向量与a，b，c的关系→利用向量运算进行分拆→直至向量用a，b，c表示 答案：(1)D　(2)A 解析：(1)如图，＝＋＝＋(＋)＝－＋＝a－b＋c.故选D． (2)＝＋＋＝－＋＋＝－a＋c＋×(＋)＝－a＋c＋(－＋－)＝－a＋c＋(a＋b－2c)＝－a＋b＋c.故选A． 方法技巧 基向量的选择和使用方法 1．尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底． 2．用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘．　　 对点练2．如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，. 解：＝＋ ＝＋(＋) ＝＋＋ ＝＋(－)＋ ＝＋＋ ＝(a＋b＋c)． 连接A′N(图略)． ＝＋ ＝＋(＋) ＝＋(＋) ＝a＋b＋c. 题型三　共线问题 (1)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝________． (2)如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且A1O＝，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线． [思路点拨]　(1)根据向量共线的充要条件求解． (2)用向量，，分别表示和. 答案：(1)1 解析：(1)＝＋＋＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2. 设＝λ，则7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)， 所以解得k＝1. (2)证明：设＝a，＝b，＝c， 则＝＋＝＋ ＝(＋)＋(＋) ＝＋＋(＋＋) ＝＋－－＋ ＝＋＋＝a＋b＋c， ＝＋＝＋＝(＋)＋， ＝a＋b＋c， 所以＝3，又直线MC1与直线MO有公共点M， 所以C1，O，M三点共线． 学生用书↓第11页 方法技巧 1．判断向量共线的策略 (1)熟记共线向量的充要条件：①若a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0)，则a∥b. (2)判断向量共线的关键：找到实数λ. 2．证明空间三点共线的三种思路 对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使＝λ成立． (2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)． (3)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．　　 对点练3．给出命题：①若a与b共线，则a与b所在的直线平行；②若a与b共线，则存在唯一的实数λ，使b＝λa；③若A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，＝＋＋，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC的内部． 其中真命题是________． 答案：③ 解析：①中a与b所在的直线也有可能重合，故①是假命题；②中当a＝0，b≠0时，找不到实数λ，使b＝λa，故②是假命题；可以证明③中A，B，C，M四点共面，因为＋＋＝，等式两边同时加上，则(＋)＋(＋)＋(＋)＝0，即＋＋＝0，＝－－，则与，共面，又M是三个有向线段的公共点，故A，B，C，M四点共面，所以M是△ABC的重心，所以点M在平面ABC上，且在△ABC的内部，故③是真命题． 题型四　向量共面问题 (链教材P13例1)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点．证明：向量，，是共面向量． [思路点拨]　利用向量共面的充要条件或向量共面的定义来证明． 证明：方法一：＝＋＋ ＝－＋ ＝(＋)－ ＝－， 由向量共面的充要条件知，，，是共面向量． 方法二：连接A1D，BD，取A1D中点G，连接FG，BG， 则有FG∥ DD1， BE∥ DD1， 所以FG∥ BE. 所以四边形BEFG为平行四边形． 所以EF∥BG.所以EF∥平面A1BD. 同理，B1C∥A1D，所以B1C∥平面A1BD， 所以，，都与平面A1BD平行． 所以，，共面． 方法技巧 1．关于向量共面的几点认识 (1)共面向量不一定在同一平面内，但可以平移到同一平面内； (2)空间任意的两个向量都是共面的； (3)共面向量定理及其推论可以用于解决空间中四点共面的问题． 2．证明空间四点共面的方法 对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面． (1)＝x＋y； (2)对空间任一点O，＝＋x＋yMB； (3)对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)； (4)∥(或∥，或∥)．　　 对点练4．　已知A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外的任意一点，若点P分别满足下列关系： (1)＋2＝6－3； (2)＋＝4－. 试判断点P是否与点A，B，C共面． 解：方法一：(1)因为3－3＝＋2－3＝(－)＋(2－2)， 所以3＝＋2，即＝－2－3. 根据共面向量定理的推论知：点P与点A，B，C共面． (2)设＝＋x＋y(x，y∈R)，则 ＋x＋y＋＝4－， 所以＋x(－)＋y(－)＋＝4－， 所以(1－x－y－4)＋(1＋x)＋(1＋y)＝0， 由题意知，，均为非零向量，所以x，y满足： 显然此方程组无解，故点P与点A，B，C不共面． 方法二：(1)由题意，＝＋＋， 因为＋＋＝1，所以点P与点A，B，C共面． (2)因为＝4－－，而4－1－1＝2≠1， 所以点P与点A，B，C不共面． 易错点　对基底理解不清 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若＝a，＝b, ＝c，试用基底{a，b，c}表示向量. 学生用书↓第12页 [正解]　如图，连接A1M，A1C1，则＝＋＝c－＝c－(＋) ＝－a－b＋c. [易错探因]　本题易错的地方是向量分解的不彻底．可能会得到如下错解： ＝－ ＝＋－(＋) ＝c＋－a－b. 事实上，仍需用基底表示． [误区警示]　基底可以表示空间内任一向量，用基底表示向量时，最后结果应只含基向量． 课时测评3　空间向量基本定理 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使{，，}成为空间的一个基底的是(　　) A．＝＋＋ B．＝＋ C．＝＋＋ D．＝2 － 答案：C 解析：对于选项A，由＝x ＋y ＋z (x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面，知，，共面；对于选项B，D，易知，，共面，故选C． 2．(2024·山东东营高二质量监测)《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　) A．1 B． C． D． 答案：C 解析：连接AM，AN，如图：由于G是MN的中点，所以＝＝＝＋＋.根据题意知＝x＋y＋z，所以x＋y＋z＝.故选C． 3．已知空间A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若＝6－4＋λ，则λ＝(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 答案：B 解析：＝6－4＋λ， 即－＝6－4＋λ， 整理得＝6－3＋λ， 由A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线， 可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2. 4．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 答案：A 解析：因为＝＋＋＝(a＋2b)＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b，所以＝3.又直线AB，AD有公共点A，故A，B，D三点共线． 5．(多选)若向量是空间的一个基底，向量m＝a＋b，n＝a－b，那么可以与m，n构成空间的一组基底的向量是(　　) A．a B．b C．a＋c D．c 答案：CD 解析：对于A选项，因为m＋n＝＋＝2a，故a与m，n是共面向量，不能构成一组基底，故A错误；对于B选项，m－n＝－＝2b，故b与m，n是共面向量，不能构成一组基底，故B错误；对于C选项，由于向量a，b，c是空间的一个基底，故a，b与c不共面，则m＝a＋b，n＝a－b与a＋c不共面，故可构成一组基底，C正确；对于D选项，由于向量a，b，c是空间的一个基底，故a，b与c不共面，则m＝a＋b，n＝a－b与c不共面，故可构成一组基底，故D正确．故选CD． 6．在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________．(用a，b，c表示) 答案：a＋b＋c 解析：因为在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，所以＝(＋)＝＋＝a＋×(＋)＝a＋(b＋c)＝a＋b＋c. 7．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a， ＝ ，点N为B1B的中点，则| |等于________． 答案：　 a 解析：因为＝－＝－ ＝＋－ (＋＋)＝ ＋ － ，所以||＝＝＝ a. 8．(一题两空)已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，若＝2 ＋μ，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n ＝0，那么λ＋m＋n的值为________． 答案：－1　0 解析：由A、B、C三点共线，所以2＋μ＝1，所以μ＝－1，又由λ＋m ＋n ＝0 得＝－－，由A，B，C三点共线知－－＝1，则λ＋m＋n＝0. 9．(10分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c. (1)试用a，b，c表示向量； (2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长． 解：(1)＝＋＋ ＝＋＋ ＝(c－a)＋a＋(b－a) ＝a＋b＋c. (2)因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5，所以|a＋b＋c|＝， 所以||＝|a＋b＋c|＝.即MN＝. 10．(10分)已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，且＝2e1－e2＋3e3，＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3. (1)判断P，A，B，C四点是否共面； (2)能否以{，，}作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量. 解：(1)假设四点共面，则存在实数x，y，z使＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1， 即2e1－e2＋3e3＝x(e1＋2e2－e3)＋y(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)，比较对应项的系数，得到关于x，y，z的方程组． 解得 与x＋y＋z＝1矛盾，故四点不共面． (2)若向量，，共面，则存在实数m，n，使＝m＋n，同(1)可证，这不可能，因此{，，}可以作为空间的一个基底．令＝a，＝b，＝c， 由e1＋2e2－e3＝a，－3e1＋e2＋2e3＝b，e1＋e2－e3＝c，联立得到方程组，从中解得 所以＝17－5－30. 11．(5分)给出下列命题： ①若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0； ②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件； ③若，共线，则AB∥CD； ④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x ＋y ＋z (其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面． 其中假命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：显然①是真命题；若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故②是假命题；若，共线，则直线AB，CD可能重合，故③是假命题；只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故④是假命题．故选C． 12．(5分)设e1，e2是平面上不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则实数k为________． 答案：－8 解析：因为＝－＝e1－4e2，＝2e1＋ke2，又A，B，D三点共线，由共线向量定理得＝，所以k＝－8. 13．(10分)已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若点M满足＝＋＋. (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断M是否在平面ABC内． 解：(1)因为＋＋＝3 ， 所以－＝(－)＋(－)， 所以＝＋＝－－， 所以向量，，共面． (2)由(1)知向量，，共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，所以M，A，B，C共面，即M在平面ABC内． 14．(5分)(新角度)(多选)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD -A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，则下列说法中正确的是(　　) A．AC1＝6 B．AC1⊥DB C．向量B1C与的夹角是60° D．BD1与AC所成角的余弦值为 答案：AB 解析：因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，所以·＝·＝·＝6×6×cos 60°＝18，(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋3×2×18＝216，则||＝|＋＋|＝6，故A正确；·＝(＋＋)·(－)＝·－·＋2－·＋·－2＝0，故B正确；显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60°.因为＝，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，故C不正确；因为＝＋－，＝＋，所以||＝＝6，||＝＝6，又·＝(＋－)·(＋)＝36，所以cos〈，〉＝＝＝，故D不正确．故选AB． 15．(15分)如图，三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若 ＝m ， ＝n ， ＝t ，求证： ＋ ＋ 为定值，并求出该定值． 证明：连接AG并延长，交BC于点H，因为点G为△ABC的重心， 所以 ＝ ，且H为BC的中点． 由题意，可令{ ， ， }为空间的一个基底， ＝ ＝ ( ＋ )＝ ＋ × ＝ ＋ ×＝ ＋ (－ )＋ ( － )＝ ＋ ＋ . 连接DM.因为点D，E，F，M共面，所以存在实数λ，μ，使得 ＝λ ＋μ ，即 － ＝λ( － )＋μ( － )，所以 ＝(1－λ－μ) ＋λ ＋μ ＝(1－λ－μ)m ＋λn ＋μt . 由空间向量基本定理，知 所以 ＋ ＋ ＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $