1.2.5 空间中的距离-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

令学科网书城 三方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1.2.5空间中的距离 [学习目标] 1掌握向量长度计算公式. 2会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距 知识层面 离、直线到平面的距离和面到面的距离. 素养层面 通过学习空间距离的求解，提升逻辑推理、数学运算素养 新知导学 ?问题导思 问题1.(1)点到直线的距离是什么？ (2)两条平行直线之间的距离是什么？ 提示：()点到直线的距离就是点与直线上任一点的距离中的最小值 (②)两条平行直线之间的距离就是一条直线上任一点到另一条直线的距离. 问题2.(1)点与平面的距离是什么？ (②)如何用向量求点与平面的距离？ 提示：(I),点与平面的距离就是过该点作已知平面的垂线，垂足与该点间的线段长度 (②)利用平面的斜向量以及斜向量在已知平面的法向量上的投影向量所建构的直角三角形求 解. D新知构建 >》 知识点一 空间距离的向量求法 分类 向量求法 两点距 设A、B为空间中的任意两点，则d=4B 设直线1的单位方向向量为，A∈l,PE1,设=a,则点P到直线1的距离d 点线距 la 2-(aw)2 点面距 已知平面a的法向量为n,A∈a,Pa,则点P到平面a的距离为d=AP→)nl 知识点二 相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 1.相互平行的直线与平面间的距离 设直线a∥平面a,A∈a,B∈a,n是平面a的法向量，过A作AC⊥a,垂足为C,则∥n, ·独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 因为广n=(+)n=,所以m=m 所以直线a到平面a的距离d=||=AB一)nW. 2.两平行平面间的距离 设n是两平行平面的一个法向量，A、B分别是两平行平面上的任意两点，则两平行平面的 距离d=AB-→)nlW. 微提醒 1.AB→)n表示向量在法向量n上的投影向量的长度，因此，点B到平面的距离也可以 表示成f0o(AB→)n)或o(AB→)n). 2.由于n=no可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质上就是平面的单位 法向量与从该点出发的斜线段对应的向量的数量积的绝对值，即d=~0 3.已知直线1的方向向量是a,点PEl,P'∈l, 则，点P到直线1的距离为d=PP'一)2-1blc(rc→)2 巴自主检测 》 1.已知直线1的方向向量n=(1,0,2),点A(0,1,1)在直线1上，则点P(1,2,2)到直 线1的距离为() A.30)5 B.30 C.30)10 D.230 答案：A 解析：由已知得=（一1，-1，-1），所以点P到直线1的距离为d=P4一)2-\ b11c1(rc1-→)2=95)=30)5.故选A. 2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的 距离是() A.6)6 B.6)3 C.3)6 D.3)3 答案：D ·独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 →→ 解析：以P为坐标原点， 的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角 坐标系，则41,0.0，B0,1,0,C0,0,)所以=(-1,1,0.→=(-1,0，) 设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z), 则n-lo4B→)→)=0，即-x十y=0,一x十z=0.)令x=1,则可得n=(1,1,1),则d=PA →)nl=3)3故选D 40 学生用书↓第31页 3.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1CD1,则平面AB1C与平面A1CD之间的距离为() A.3)6 B.3)3 C.3)3 D.3)2 答案：B 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,0),C1(0,1,0),D0,0,1),A(1, 0,10,所以=1,0，-10，=(0,1，-1， →=（-1,0,0，设平面A1CD的法向量为m=x,,1,则moDA1-)DC1-)=0, 即x-1=0,y-1=0,)解得x=1,y=1,)故m=(1,1,1),显然平面AB1C∥平面A1CD ,所以平面AB1C与平面A1CD之间的距离d=AD→)m=1r(3)=3)3. x 4.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BC、CD的中点，则BD到平面EFDB1 的距离为 W 答案：13 解析：以D为原点， 的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标 独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 系（图略），则D(0,0,0),Favs4 allcol(0,12),0,Eavs4 alcol(12),1,0),B1(1, 1,,所以=avs4alco1(-f112.0,→=as4alco1012,0,).设平面EFD,B 的一个法向量为n=(c,y,2), 则n-loEF→)EB1→)=0，即-f11212)x+z=0,令y=1, 则可得n=ais4alco1(-1,1,y12,又-aws4alco10,12,0, 所以d=DF→)lnl=13 合作探究 题型一求点到直线的距离 例I在长方体OABC-O41B1C1中，OA=2,AB=3,A41=2,求O1到直线AC的距离. [思路点拨] 思路一建立空间直角坐标系→作出点O1到直线AC的垂线段→利用待定系数法求解 思路二建立空间直角坐标系→用坐标表示所涉及的向量→利用点线距公式求解 解：方法一：建立如图(1)所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0),O1(0,0,2),C(0,3,0) ，过O1作OD⊥AC于点D,设Dc,y,0),则=(c,y,一2)，=(x-2,y,0). 因为=(-2,3,0，+，→/， 所以-2x+3y=0,x-2y3),解得x=18131213), 所以Davs4 allcol(f181213),0, 所以|=rc2)+bne0c2+(-2=286)13. 即O1到直线AC的距离为286)13. 0 0 02-- 0 图(1) 图(2) 方法二：连接AO1,建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0),O(0,0,2),C (0,3,0), ·独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 → 所以=(-2,0,2)，=(-2,3,0)， 所以=（-2,0,2(-2,3,0=4， 所以AO1→)→)AC→)=4r13), 所以O1到直线AC的距离 d=o(AO1→)|)2-1b11c1(rc→)→)AC→)|))八s1up12(2=286)13. 方法技巧 利用向量法求点到直线的距离的两种思路 1.将求点到直线的距离问题转化为求向量模的问题.过已知点作直线的垂线段，建立适当 的空间直角坐标系，利用待定系数法求出垂足的坐标，然后求出向量的模，这是求各种距离 的通法。 2.直接套用点线距公式求解，其步骤为： (I)求出直线的方向向量a: (②)求出所求点到直线上一点的向量及其在直线的方向向量α上的投影： (3)代入公式. 另外，注意两条平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化. 对点练1.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°，求点B 到直线A1C1的距离 解：以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则4(4,0,1)，C0,3,1),所以直线41C的方向向量为=(-4,3,0，而=0， 3,1), 所以点B到直线A1C1的距离 Irc\ d=BC1-→)2-b\1c1(rc\→）→)A1C1-)))八sup122=5)supl22=135 题型二求点到平面的距离或直线到平面的距离 ·独家授权侵权必究 年 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 例Z己知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC 的中点. D - (I)求点D到平面PEF的距离： (2)求直线AC到平面PEF的距离 [思路点拨]直接采用建系的方法，利用点到平面距离的向量公式求解。 解：①)以D为坐标原点，→，，→的方向分别为钓、y轴、：轴正方向，建立空间直角 坐标系，如图所示 D 则D0,0,0),P0,0,1),Eaws4alco11,f12,0),Fas4 allcol(f12,1,0), =\alvs4allcol(-\f(112),0,=lalvs4lalicol(1,(12),-1), =as4aheoi(1.V(12),). 设平面PEF的法向量为n=(c,y,), 则n-loEF-)PE→)=0，所以-f(11212)y-z=0 令x=2,则y=2,z=3,所以n=(2,2,3)为平面PEF的一个法向量， 所以点D到平面PEF的距离为 DE-→)n=2+1|r(4+4+9)=17)17. (②由q)为41,0,0，所以=as4 alcol0(,12,0). 因为AC∥平面PEF, 所以点A到平面PEF的距离为AE一→)n=IrI7)=17)17,所以直线AC到平面PEF的距离 为17017. ·独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 学生用书↓第32页 方法技巧 用向量法求点面距的步骤 1.建系：建立恰当的空间直角坐标系： 2.求点坐标：写出（求出）相关点的坐标； 3.求向量：求出相关向量的坐标如图中，一，a内两不共线向量，平面a的法向量m: 4.求距离d=AP→)nl 对点练2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=2. (1)求证：A1C∥平面ABD; (2)求点C1到平面ABD的距离 →→ 解：如图所示，以D为坐标原点， 的方向分别为x轴、y轴正方向，过点D且与AA1 平行的直线为z轴建立空间直角坐标系， z个 B B D C 则D0,0,0),C1,0,0),A(0,3,0),B1(-1,0,2),A1(0,3,2),C(1,0,2), 所以=1，-，-2，=(-1，-3,2.→=0，-，0 ()证明：设平面AB1D的法向量为n=c,y,z),则 o(AB1→)AD-→)·n=0,即-x-r3y+2z=0,-r(3y=0.) 令z=1,则x=2,y=0,所以n=(2,0,1) 因为n=1×2+(-3)×0+(-2)×1=0, 所以⊥n ·独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 因为A1C平面AB1D,所以A1C∥平面ABD. (2)由①知平面ABD的一个法向量为n=2,0,1),且=(-1,3，一2》，所以点C到平 面ABD的距离d=C1A→)nl=4r(5) =5)5 D易错精析 》 易错点错把法向量的长度当成点到平面的距离 典例如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧 棱AA1=2,D,E分别是CC1,A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G, 求点A1到平面AED的距离， [正解]建立如图所示的空间直角坐标系，设AC=2a(a>0),则A(2a,0,0),B(0,2a,0) ,D(0,0,1),A1(2a,0,2),E(a,a,1),Gavs4 alcol(f(2a2al3), B → 从而=alvs4 alco10faa23),=(0,-2a,1),=(2a,0,-1),=(a,a,0) 因为1，所以=0，所以a=1 →→ 设n=(,y,z)为平面AED的法向量， 则-loDA→)DE一)=0，即2x-z=0,x十y=0,)令x=1,则y=-1,z=2, 可得平面AED的一个法向量n=(1,一1,2).又=(0,0,2)，所以点A1到平面AED的距 离d=f0o(AA1→)1n0=6)3 [易错探因]本题易错的地方是误认为法向量的长度就是点到平面的距离，得到点A1到平 面AED的距离d=|n=6. ·独家授权侵权必究