（暑假预习课）第2章一元二次方程 单元练习2026-2027学年苏科版 数学九年级上册

**基本信息** 苏科版九年级上册一元二次方程暑假预习单元卷，以基础巩固为核心，融合文化传承与现实应用情境，适配预习阶段知识衔接需求，培养数学抽象与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|定义、根的判别式、求根公式、实际应用|结合《九章算术》古题（第6题）、广西水果产量增长率（第7题），体现文化与现实关联| |填空题|6|根的判别式、根与系数关系、建模应用|矩形铁皮做盒子（第14题）考查空间观念，小组建议问题（第13题）强化应用意识| |解答题|5|解方程、综合证明、动态几何、创新定义|21题“生成点”定义创新，20题动态几何问题发展推理能力，落实数学思维与语言表达|

（暑假预习课）第2章一元二次方程-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（新教材） 一、单选题 1．下列方程中是关于的一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 2．关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 3．用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（     ） A． B． C． D． 4．若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．0 5．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围(   ) A． B． C．且 D．且 6．《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立．甲行率六，乙行率四．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲走了多少步（   ） A．26 B．30 C．32 D．36 7．水果是广西农业农村的支柱产业，是广西的特色名片之一，2023年水果产量约为3121万吨，2025年水果产量约为3389万吨，求2023年至2025年广西水果产量的年平均增长率．设年平均增长率为，依据题意可列方程是（   ） A． B． C． D． 8．在估算一元二次方程的解时，小明列表如下： x 请判断其中一个解x的大致范围是（　　） A． B． C． D． 9．已知是关于x的一元二次方程的一个根，点、均在反比例函数的图象上，且，下则关于、的大小关系描述正确的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在宽米、长米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为平方米．设道路的宽为米，可列方程（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为______． 12．已知是方程的两根，则的值为_______． 13．某学习小组为了在学习上更好地互帮互助，每位组员都给同组的其他同学各提一条建议，该小组一共收到72条建议．若设这个小组有人，则应列方程为_______． 14．如图所示，现有一块矩形铁皮，其长是宽的2倍，在铁皮的四角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是，设矩形的宽为，则可列方程为_____． 15．已知一次函数的图象在y轴上的截距与一次函数的图象在y轴上的截距互为相反数，则_______． 16．如果m，n是一元二次方程的两个根，那么多项式的值是_______． 三、解答题 17．解方程： (1)． (2)． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求m的值及方程的另一根； (2)求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 19．《燕几图》是宋代文字学家、书法家、书学理论家黄伯思所编著的杂纂丛书，其中“燕几”即宴几（如图1）．书中名称为“回文”的一套燕几的拼合方式如图2所示，共包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，且每张桌面的宽都相等．若该燕几的面积为，求这些桌面的宽度． 20．已知：如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动． (1)如果、分别从、同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？请说明理由． 21．定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，分别以、为横坐标和纵坐标得到点，则称点N为该一元二次方程的生成点． (1)直接写出方程的生成点的坐标为______； (2)已知关于x的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程生成点的坐标（用含有的代数式表示）； (3)已知不论为何值，关于的方程的生成点始终在直线上，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（暑假预习课）第2章一元二次方程-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C B D D C B D A 1．C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、未知数的次数是1，不是一元二次方程，不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、当时，方程不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2．A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式判定方程根的情况，本题属于基础题型． 根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴有两个不相等的实数根， 故选：A． 3．C 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，把原方程化为形如（其中a、b、c是常数，）的形式即可得到答案． 【详解】解：， ， 则，，， 故选：C． 4．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解体的关键． 根据一元二次方程的定义可得，根据常数项为0得到，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项为0， ∴， 解得：， 故选：B． 5．D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于的不等式是解此题的关键．根据一元二次方程的定义和根的判别式得出且，求出即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：1且， 故选：D． 6．D 【分析】本题考查了方向角，设甲、乙的时间都是x，则，，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，表示正东方向，表示正南方向， ∴， 设甲、乙的时间都是x，则，， 又∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴（舍去），， ∴甲走的路程为（步）， 故选：D． 7．C 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意和题目中的数据，可以得到方程，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：根据题意得，， 故选：C． 8．B 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握估算一元二次方程近似解的方法．结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】解：根据表格中的数据，可以发现：时，； 时，， 故一元二次方程的一个解x的范围是． 故选：B． 9．D 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，反比例函数的性质；先根据题意得出的值，进而根据反比例函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴ 解得： ∴反比例数解析式为 ∵点、均在反比例函数的图象上，， ∴， 故选：D． 10．A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由图可知：草坪的长为米，宽为米，即可求解； 【详解】解：由图可知：草坪的长为米，宽为米， ∴， 故选：A 11． 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 12．24 【分析】本题考查了根与系数的关系、完全平方公式等知识点，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出，再运用完全平方公式可得，然后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴， ∴． 故答案为：24． 13． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．设该小组有人，则每人需提条建议，根据该小组一共收到72条建议，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设这个小组有人，则每人需提条建议， 则由题意得：， 故答案为：． 14． 【分析】本题主要是一元二次方程的应用题，关键是找出题中的等量关系；设矩形的宽为，则矩形的长为，做成一个无盖的盒子后，该长方体盒子的长为，宽为，高为，根据盒子的容积是，列出方程即可． 【详解】解：设矩形的宽为，则矩形的长为，做成一个无盖的盒子后，该长方体盒子的长为，宽为，高为， 根据题意： 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了一次函数与y轴的交点问题．令，分别代入解析式，可求得一次函数在y轴上的截距，根据题意列出一元二次方程，计算即可求得． 【详解】解：令，和， 由题意得， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，符合题意， 故答案为：． 16．2029 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键．先根据根与系数的关系得出，，再利用一元二次方程解的定义得到，，从而得到，，则原式化简为，最后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根 ，，， ， ，即 故答案为：2029． 17．(1)， (2)， 【分析】（1）将原方程转化为，然后利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （2）解：∵， ∴，即， ∴或， 解得：，． 18．(1)，另一个根是 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根的意义，一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程解的意义，将代入原方程即可求得的值，设另一根为，根据根与系数的关系可得，进而求得另一根； （2）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可． 【详解】（1）解：把代入 得，解得： 设另一根为， 则，即 另一个根是． （2）解：依题得 不论取何值， 不论取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 19．这些桌面的宽度为 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的实际应用，解题关键是正确理解题意并列出合适的一元二次方程．设这些桌面的宽度为，由图可知：小桌的长为，中桌的长为，长桌的长为，则，求解即可． 【详解】解：设这些桌面的宽度为，由图可知：小桌的长为，中桌的长为，长桌的长为， 则， 解得：（舍去）， ∴这些桌面的宽度为； 20．(1)1秒 (2)不能，见解析 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，根的判别式判断根的情况，解题的关键是掌握找准等量关系，借助方程求解． （1）设时间为秒，根据面积列出方程求解即可； （2）设时间为秒，根据面积列出方程，利用根的判别式进行求解即可． 【详解】（1）解：设时间为秒，则，，，（秒） ∴， ， 即 解得：，（不合题意，舍去） 答：1秒后，的面积等于； （2）解：的面积不能等于，理由如下： 令，即， ∴， 整理得：， 由于，则该方程没有实数根， 在（1）中，的面积不等于． 21．(1) (2)①证明见详解；② (3)，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意解出方程的两个根，再根据生成点的定义即可求出点坐标． （2）①利用根的判别式即可证明； ②解方程后，根据生成点的定义即可写出点坐标． （3）根据题意将直线转化为，求出定点坐标，即生成点坐标为，求解出两个根后，再利用根与系数的关系公式即可解出答案． 【详解】（1）解：解方程， 可得：，， ∵，， ∴的生成点为， 故答案为：． （2）解：①证明：∵， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②解方程， 解得：，， ∵，， ∴生成点的坐标为； （3）解：∵， ∴直线过定点， ∴生成点坐标为， 根据生成点的定义可得，， 解得：，， ∴方程的两个实数根为，， ∴，， 解得：，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $