第2章 一元二次方程全章综合检测卷（暑假预习举一反三单元自测·基础篇）新九年级数学上册新教材苏科版

**基本信息** 新教材苏科版八年级下第2章一元二次方程基础篇综合检测卷，24题覆盖选择（10题40分）、填空（6题30分）、解答（8题80分），通过基础巩固与创新应用梯度设计，量化掌握程度，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/40|一元二次方程定义、根的概念、判别式|结合各地期中真题，基础概念辨析| |填空|6/30|一般式转化、最值、根的性质、新定义|点阵问题体现几何直观，新定义强化推理意识| |解答|8/80|解方程、判别式应用、实际问题（利润/面积）、换根法、配方法、复数、函数“必将点”|商场促销、童装销售等情境落实模型意识，换根法、复数等创新题型发展创新思维|

第2章 一元二次方程全章综合检测卷（基础篇） 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）关于x的方程 没有实数根则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）一元二次方程 的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 5．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C．1 D．5 6．（25-26九年级上·广东汕头·期末）已知方程的解是或，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·云南玉溪·二模）某商场对一款书包进行降价促销，原价每个元，连续两次降价后每个元，且两次降价的百分率相同．设每次降价的百分率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·山东淄博·期中）已知菱形的两条对角线长分别是方程的两个实数根，则与该菱形面积相等的正方形的边长为（） A． B．4 C．2 D． 9．（2025·浙江·模拟预测）设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，则下列线段的长度是方程的一个根的是（    ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 11．（25-26八年级下·浙江温州·期中）将一元二次方程化为一般式为______． 12．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）代数式的最小值是________． 13．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 14．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）对于实数a，b，定义：，．若，且满足，则____________________ ． 15．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，是一个三角点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……，若三角点阵中前行的点数之和是66，则___________． 16．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知：的两个实数根为、；方程的两个实数根为、，且，则_____． 三、解答题（本大题共8小题，满分80分） 17．（8分）（25-26八年级下·浙江·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 18．（8分）（25-26九年级上·江苏无锡·期中）已知关于的一元二次方程． (1)当为何值时，方程有两个相等的实数根？ (2)说明：无论为何值，方程总有一个不变的根． 19．（8分）（25-26九年级上·广东深圳·期中）某景区内有一块矩形郁金香园地，米，米，现在其中修建一条花道（阴影所示）供游人赏花．花道的面积为12平方米．设米． (1)______；______；（用含x的式子表示） (2)求x的值． 20．（10分）（25-26九年级上·北京·期中）石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． (1)设每件童装降价x元时，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示） (2)每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元； (3)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 21．（10分）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简得：，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，利用“换根法”求一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍； (2)求解这个新方程的根． 22．（12分）（25-26八年级下·江苏常州·期中）对于二次三项式，可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使中的前两项与构成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，最后再用平方差公式进一步分解．于是 ．像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做配方法． (1)如果（   ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为 ； (2)用“配方法”分解因式：； (3)用“配方法”分解因式：． 23．（12分）（25-26八年级下·浙江金华·期中）定义：如果一个数的平方等于，记为，那么这个数叫做虚数单位．我们把形如（，为实数）的数叫做复数，叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式类似．例如：， 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：_______，_______． (2)已知，写出一个以，的值为解的一元二次方程． (3)在复数范围内解方程：． 24．（12分）（25-26九年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 函数图象的“必将点”【概念理解】 若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“必将点”．例如，是函数图象的“必将点”． 【问题解决】 试判断函数的图象上是否存在“必将点”．如果存在，求出“必将点”的坐标；如果不存在，请说明理由． 任务： (1)请解答笔记中的问题． (2)判断函数的图象上是否存在“必将点”．若存在，求出其坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 一元二次方程全章综合检测卷（基础篇） 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A. 中含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意； B. 含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意； C. 整理后，消去得，不是一元二次方程，不合题意； D. 整理得，只含一个未知数的整式方程，且未知数最高次数为2，符合一元二次方程的定义，符合题意． 2．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：∵是一元二次方程 的一个根， ∴将代入原方程得， 解得． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）关于x的方程 没有实数根则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程由根的情况求参数，基于平方数的非负性，方程左边恒大于等于零，因此当a小于零时方程无实数根.． 【详解】解：∵对于任意实数x，有， ∴当时，无实数根． 故选：C． 4．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）一元二次方程 的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴该一元二次方程没有实数根． 5．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 6．（25-26九年级上·广东汕头·期末）已知方程的解是或，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程解的意义以及换元法． 通过变量替换，将新方程转化为已知方程的形式求解. 【详解】解：设，则方程化为， 的解为或， ∴或， 解得或， 故选：C． 7．（2026·云南玉溪·二模）某商场对一款书包进行降价促销，原价每个元，连续两次降价后每个元，且两次降价的百分率相同．设每次降价的百分率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“降价后价格降价前价格（1降价百分率）”，依次推导两次降价后的价格，再结合最终价格列出方程． 【详解】解：原价为元，每次降价的百分率为， 第一次降价后的价格为元， 第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再次降价， 第二次降价后的价格为元， 两次降价后价格为元， 可列方程为：． 8．（25-26八年级下·山东淄博·期中）已知菱形的两条对角线长分别是方程的两个实数根，则与该菱形面积相等的正方形的边长为（） A． B．4 C．2 D． 【答案】C 【分析】先求解一元二次方程得到菱形两条对角线的长度，再利用菱形面积等于对角线乘积的一半求出菱形面积，最后根据正方形面积与菱形面积相等，计算正方形的边长即可． 【详解】解：解方程，得，， ∴菱形两条对角线长分别为和， ∴菱形面积． 设所求正方形的边长为，则， 解得或（不合题意，舍去）， ∴正方形的边长为2． 9．（2025·浙江·模拟预测）设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及不等式的综合应用．根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又因为，所以，即，利用根与系数的关系， 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴， 解得， ∵，， 又∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得， ∴a的取值范围是． 故选：D． 10．如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，则下列线段的长度是方程的一个根的是（    ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】B 【分析】由方程的解结合线段的和差可以得到答案． 【详解】解：， ， ， ，，， ， 线段的长是的根． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 11．（25-26八年级下·浙江温州·期中）将一元二次方程化为一般式为______． 【答案】 【分析】先根据单项式乘多项式法则展开方程左边，再通过移项整理得到一元二次方程的一般式． 【详解】解： ， ， 移项，得 ． 12．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）代数式的最小值是________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了配方法的应用，掌握配方法成为解题的关键． 先根据完全平方公式配方，然后根据非负数的性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴代数式的最小值是4． 故答案为：4． 13．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 【答案】 【分析】将代入方程求解判断即可． 【详解】解：将代入得，， 此方程必有一根为． 14．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）对于实数a，b，定义：，．若，且满足，则____________________ ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程．理解新定义运算是解题的关键． 根据新定义运算，将给定表达式转化为关于 的方程，然后求解二次方程，并根据 的条件选取合适的根． 【详解】由定义和，得则 即 ， 由于 ，故取 故答案为：． 15．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，是一个三角点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……，若三角点阵中前行的点数之和是66，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了规律型—图形的变化类，解一元二次方程； 根据图形得出，然后解方程即可． 【详解】解：由题意得：，即， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴， 故答案为：． 16．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知：的两个实数根为、；方程的两个实数根为、，且，则_____． 【答案】 【分析】由根与系数的关系可得：，，得：，从而推出，解得，，再根据，解得或，可知（舍去），，将和联立，解得，，从而求得，，根据，求得，即可求解． 【详解】解：由根与系数的关系可得：，， 得：， 又， ，解得，， ∵方程有两个实数根， ，即，解得或； （舍去），， ∴， ，联立， 解得，， 又， 解得，， 又， 解得， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，满分80分） 17．（8分）（25-26八年级下·浙江·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)，． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：，； （2）解：， ， ， ， 则或， 解得：，． 18．（8分）（25-26九年级上·江苏无锡·期中）已知关于的一元二次方程． (1)当为何值时，方程有两个相等的实数根？ (2)说明：无论为何值，方程总有一个不变的根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系、因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解答的关键． （1）根据方程的系数结合根的判别式 ，可得出，由方程有两个相等的实数根，解之即可得出； （2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出方程的两个根，进而可得出无论k为何值，方程总有一个不变的根为． 【详解】（1）解：∵方程有两个相等的实数根 ∴ 即 解得： ∴； （2）∵ ∴ ∴或 ∴或 ∴无论k为何值，方程总有一个不变的根． 19．（8分）（25-26九年级上·广东深圳·期中）某景区内有一块矩形郁金香园地，米，米，现在其中修建一条花道（阴影所示）供游人赏花．花道的面积为12平方米．设米． (1)______；______；（用含x的式子表示） (2)求x的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）根据题意列代数式即可； （2）根据花道的面积为12平方米列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵米，米，四边形是矩形， ∴米，米， ∴；； 故答案为：；； （2）解：由图形可得：， ， 化简得，， 解得，，（舍）， ． 20．（10分）（25-26九年级上·北京·期中）石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． (1)设每件童装降价x元时，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示） (2)每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元； (3)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 【答案】(1) ， (2) 每件童装降价10元或20元时，平均每天赢利1200元 (3) 不可能 【分析】（1）根据销售量=原销售量+降价增加的销售量，单件利润=原单件利润-降价金额，列出代数式； （2）根据总利润=单件利润×销售量列一元二次方程求解； （3）同样根据总利润关系列方程，利用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数解，即可得出结论． 【详解】（1） 解： 已知每件降价1元，多售出2件，降价元时，多售出件 原每天售出20件， 因此每天销售量为件 ，原单件利润为元， 降价元后，单件盈利为元． （2）根据总利润等于单件盈利乘销售量， 列方程得 整理得 因式分解得 解得 因此每件童装降价10元或20元时，平均每天赢利1200元． （3） 假设平均每天赢利2000元， 列方程得 整理得 判别式得 因此该方程没有实数根，不存在满足条件的降价 所以平均每天赢利2000元不可能． 21．（10分）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简得：，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，利用“换根法”求一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍； (2)求解这个新方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所求的方程； （2）根据配方法求解即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简得：， 故所求方程为； （2）解：， ， ， ， ∴，． 22．（12分）（25-26八年级下·江苏常州·期中）对于二次三项式，可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使中的前两项与构成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，最后再用平方差公式进一步分解．于是 ．像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做配方法． (1)如果（   ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为 ； (2)用“配方法”分解因式：； (3)用“配方法”分解因式：． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方式的结构特征确定常数项； （2）按照题干给出的配方法，先凑出完全平方式，再利用平方差公式分解因式； （3）先提取公因式，利用配方法分解因式即可． 【详解】（1）解：设括号内的常数为， 由于是完全平方式， 则， 解得：， 因此，括号内的常数应为； （2）解： ； （3）解： ． 23．（12分）（25-26八年级下·浙江金华·期中）定义：如果一个数的平方等于，记为，那么这个数叫做虚数单位．我们把形如（，为实数）的数叫做复数，叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式类似．例如：， 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：_______，_______． (2)已知，写出一个以，的值为解的一元二次方程． (3)在复数范围内解方程：． 【答案】(1)1；0 (2)（答案不唯一） (3)， 【分析】（1）利用新定义和乘方的意义计算； （2）先整理得到，所以，，然后利用根与系数的关系写出一个满足条件的一元二次方程即可； （3）利用配方法解方程． 【详解】（1）解：，； ∵；；⋯， ∴ ； （2）解： ， ， ， ，， ， 以，的值为解的一元二次方程可以是； （3）解：， ， ， ， ， 解得，． 24．（12分）（25-26九年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 函数图象的“必将点”【概念理解】 若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“必将点”．例如，是函数图象的“必将点”． 【问题解决】 试判断函数的图象上是否存在“必将点”．如果存在，求出“必将点”的坐标；如果不存在，请说明理由． 任务： (1)请解答笔记中的问题． (2)判断函数的图象上是否存在“必将点”．若存在，求出其坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在， (2)存在，和 【分析】本题主要考查函数、解一元二次方程、分式方程： （1）设存在“必将点”，设坐标为，根据题意可得； （2）设存在“必将点”，设坐标为，根据题意可得． 【详解】（1）解：存在，理由如下： 设存在“必将点”，设坐标为， 根据题意，得 变形，得 解得，（舍去）． 所以，存在“必将点”，坐标为． （2）解：存在，理由如下： 设存在“必将点”，设为， 根据题意，得 变形，得 解得， 所以，存在“必将点”，坐标为和． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $