第1章 反比例函数（暑假预习课） -2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 苏科版九年级上册反比例函数暑假预习单元卷，通过基础辨析与情境应用结合，适配预习阶段知识梳理与数学思维培养需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|10|反比例函数定义、图像性质、实际应用|结合气球气压等真实情境，考查数学眼光观察现实世界| |填空|6|解析式确定、几何意义、新定义问题|设计“友好点”创新题型，培养推理意识| |解答|5|图像绘制、综合应用、存在性问题|矩形与反比例函数结合题，体现模型观念与应用意识|

（暑假预习课）第1章反比例函数-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（新教材） 一、单选题 1．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中是的反比例函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 3．下列成反比例关系的是（　　） A．圆的面积一定，它的半径与圆周率 B．平行四边形的面积一定，它的底与高 C．同学的年龄一定，他们的身高与体重 D．三角形的高不变，它的底和面积 4．若和成反比例关系，当的值分别为时，的值如表所示，则表中的值是（　　） 3 2 A． B． C．3 D．2 5．如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴于点，点是点关于轴的对称点，连接，若的面积为18，则的值为（   ） A．18 B． C． D． 6．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数．已知与之间的函数图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．当，时， C．当时， D．当时， 7．若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 8．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点，则的值是（　　） A．0 B． C．1 D．3 9．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度ρ（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，，根据图象可知，下列说法不正确的是（    ） A．ρ与V的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，ρ的变化范围是 10．如图，在平面直角坐标系中；点在函数的图象上从左向右运动，轴，交函数的图象于点，轴交的延长线于点，则的面积（   ） A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．等于定值 D．等于定值 二、填空题 11．函数的值总为正，则的取值范围是______． 12．若y关于x的函数是反比例函数，则a的值为______． 13．定义：若实数，满足，，且（为常数），则称点为“友好点”，若有一个函数满足，其上存在“友好点”，则的取值范围是________． 14．反比例函数的图象经过点，，，则，，的大小关系为 _______．（用“”连接） 15．近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）符合如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于度的近视眼镜，则焦距的取值范围是______ 16．如图，直线与双曲线交于点A，点是直线上一点，且． （1）______； （2）过点B作轴于点C，作交双曲线于点D，过点D作于点E，则______． 三、解答题 17．已知与成反比例，且当时，． (1)求y与x的函数解析式； (2)当时，x的值是多少？ 18．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)在第一象限内，根据图象直接写出反比例函数值不小于一次函数值时自变量的取值范围． 19．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温下降的过程中，水温（单位：）与通电时间（单位：）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)在降温过程中，求关于的函数解析式，并求出自变量的取值范围． (2)在一个加热周期内，求水温不低于的时间． 20．在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． (1)完成下列表格： x … 2 3 4 6 … y … 2 3 6 … (2)描点、连线画图： 21．已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求m的值和E的坐标； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（暑假预习课）第1章反比例函数-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B A C D D A C D 1．D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义：形如（其中且为常数）的函数是反比例函数，据此定义判断即可． 【详解】解：①，不是的反比例函数； ②，是的反比例函数； ③，是的反比例函数； ④，不是的反比例函数； ⑤，即，是的反比例函数； ⑥，不是的反比例函数； ⑦，是的反比例函数； ⑧，不是的反比例函数； 综上所述，是的反比例函数的有②③⑤⑦，共4个． 故选：D． 2．C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，若点在函数的图象上，则．逐一验证各选项的横纵坐标乘积即可． 【详解】解：∵， ∴四个点中，只有点在反比例函数的图象上， 故选：C． 3．B 【分析】此题考查反比例的定义：两种相关联的量的乘积为定值时，它们成反比例关系，逐一分析各选项中的两个量是否满足该条件 【详解】解：A. 圆的面积公式为，当面积一定时，是常数，也随之固定，二者无变化关系，不成反比例； B. 平行四边形的面积公式为，当面积一定时，底与高的乘积为定值，符合反比例定义； C. 年龄一定时，身高与体重无必然的乘积或比值关系，不成比例； D. 三角形面积公式为，当高不变时，面积与底的比值为（定值），二者成正比例； 故选：B 4．A 【分析】本题考查了变量间成反比例关系，熟练掌握定义是解题的关键．根据反比例的定义，若和成反比例关系，则它们的乘积为定值，利用已知条件时，求出的值，再代入时的情况计算的值． 【详解】解：由反比例关系得：（为常数）， 当时，，代入得：， 当时，，代入关系式得：， 解得：， 因此，表中的值是， 故选：A． 5．C 【分析】设点，根据题意，得，根据对称，得，根据三角形的面积，解答即可． 本题考查了反比例函数的解析式确定，三角形面积计算，熟练掌握面积计算是解题的关键． 【详解】解：设点，根据题意，得， 根据对称，得，根据三角形的面积，得, 故， 故选：C． 6．D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例函数的解析式为，由此即可判断A错误；再将代入求出的值，由此即可判断B错误；然后将和代入求出的值，利用反比例函数的增减性即可判断C错误，D正确，由此即可得． 【详解】解：设与之间的函数解析式为， 将点代入得：， ∴，则选项A错误； 当时，，则选项B错误； 当时，， 当时，， ∵在函数中，， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴当时，，则选项C错误； 当时，，则选项D正确； 故选：D． 7．D 【分析】本题考查了反比例函数的增减性问题，求反比例函数值，根据解析式可得反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，则当时，，则可求出，再分别求出和时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵当时，反比例函数中有最大值， ∴， ∴， 当时，则y的最大值为，最小值为 故选： D． 8．A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，明确图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．将两点代入得到，则，即可判断． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和点， ∴， ∴， 故选：A． 9．C 【分析】本题考查了反比例函数的应用．设，把代入求出k，即可判断A；令，求出，即可判断B；结合图象即可判断C；当或9时，求出的对应值，即可判断D． 【详解】解：设， 把代入上式得，， ∴， ∴， 故选项A正确，不符合题意； 当时，， 故选项B正确，不符合题意； 由图象可得，当时，， 故选项C不正确，符合题意； 当时，，时，， ∴时，， 故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 10．D 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，相似三角形的性质与判定；根据反比例函数的几何意义得出，，即可得出，从而得出，通过证得，得出，即可得出． 【详解】如图，设分别交轴于点，    由题意可知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积等于定值． 故选：D． 11．/ 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质可知，当时，函数值为正，即，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：∵函数的值总为正，， ∴， 解得． 故答案为：． 12．3 【分析】根据反比例函数，列出等式，不等式解答即可． 本题考查了反比例函数的定义，绝对值的应用，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数，且函数是反比例函数， ∴，且， ∴，且或， ∴， 故答案为：3． 13． 【分析】本题考查了新定义，二次函数求最值，与反比例函数的综合，熟练掌握知识点，正确转化是解题的关键． 根据题意得到，整理得到，由，且，转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：有一个函数满足，其上存在“友好点”， 反比例函数的图象上存在“友好点”， ， ①②得， ， ， ， ， ， 整理得， 当时，， ∵， ∴， ，且， ， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的图象和性质是解答此题的关键． 先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论． 【详解】解：反比例函数的图象经过点，，， 函数图象在第一、第三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，首先根据函数图象中点的坐标求出反比例函数的解析式，再根据近视镜的度数的取值范围求出焦距的取值范围． 【详解】解：由题意可知：设近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的函数关系式为， 把代入可得：， 解得：， 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的函数关系式为， 当时，可得, 解得：， 焦距的取值范围是． 故答案为： ． 16． 【分析】本题考查平行线分线段成比例，求反比例函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，先根据平行线分线段成比例，求出点A的坐标即可得到，然后判断是等腰直角三角形，设，根据勾股定理和因式分解解题即可． 【详解】解：过点A作轴于点F， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵，， ∴， 设，则， 即点D的坐标为， ∴， ∴， 故答案为：，． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查了用待定系数法求函数解析式，得到用反比例函数表示的y与x的之间的关系式是解决本题的关键． （1）设出用k表示的反比例函数解析式，把时，代入即可求得k的值，进而整理为用x表示成y的形式即可； （2）再将当代入解析式求出即可． 【详解】（1）解：∵与成反比例函数， ∴， ∵当时，， ∴， ∴ ∴； （2）解：当时，2， ∴． 18．(1) (2)或 【分析】本题考查反比例函数的图像和性质，一次函数图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先将两点代入一次函数解析式，求出坐标，再将或坐标代入反比例函数解析式即可求出． （2）在第一象限内，根据图象直接写出即可． 【详解】（1）解：把，两点分别代入得 ，， 解得，， 点坐标为，点坐标为， 把代入， 求得， 反比例函数解析式为； （2）在第一象限内，根据图象反比例函数值不小于一次函数值时自变量的取值范围为：或 19．(1) (2)在一个加热周期内，水温不低于的时间是 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）设反比例函数的表达式为，将点代入可得的值，再求出的值，由此即可得； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， ∴与之间的函数表达式为， 当时，， ∴与之间的函数表达式为 （2）解：设当时，与之间的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则， 当时，，解得， 对于， 当时，， ∵， ∴一个加热周期内，水温不低于的时间为． 20．(1) 4， (2) 【分析】（1）根据反比例函数解析式，代入自变量，即可求函数值； （2）描点连线绘制即可． 【详解】（1）， 当时，； 当时，； 当时，. 故答案为：. （2）描点连线绘制函数图像如下： 【点睛】本题考查了反比例图像的知识，正确理解题意是解题的关键. 21．(1)，； (2)； (3)存在，N的坐标为或或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，中点坐标公式，矩形的性质等知识，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）根据点的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，即可求出的长； （2）根据坐标确定出直线与直线解析式，过点作轴交于点， 设， 三角形面积三角形面积三角形面积，把已知面积代入求出的值，即可确定出坐标； （3）分三种情况考虑，根据平行四边形性质及中点坐标公式确定出的坐标即可． 【详解】（1）解：点B的坐标为，D为中点， ， 反比例函数的图象经过的中点D， ， 反比例函数解析式为， 把代入反比例函数解析式中，得：， ∴； （2）解：由，得到直线解析式为， 由，得到直线解析式为， 过点M作轴交于点N， 设，则，， ， ， 解得：， ∴点M坐标为； （3）解：存在，理由如下： 由题意得：， 如图： 设， 分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴， 综上，的坐标为或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $