11.2 一元一次不等式 暑期专项练习2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 以“概念辨析-解法应用-实际建模”为主线，系统整合不等式定义、求解及生活应用，通过分层题型提炼转化、分类讨论等解题方法，强化模型意识与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|2题（6、2）|定义判断、解集逆向推理|从不等式概念到解的特征分析| |解法应用|5题（3、4、16、19）|数轴表示、整数解确定、步骤规范|解法规则→解集表示→解的筛选| |实际问题|13题（1、7-10、11-15、17-20）|新定义转化、方案优化、分类讨论|不等关系抽象→数学模型构建→实际决策|

11.2 一元一次不等式暑期专项练习2025-2026学年 人教版七年级数学下册 一、单选题 1．某商品进价为元，标价为元，打折后利润率不低于，设打折，下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话： 小明：在求解的过程中要改变不等号的方向； 小强：求得不等式的最小整数解为． 根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（　　） A． B． C． D． 3．将不等式的解集在数轴上表示，正确的是（     ） A． B． C． D． 4．不等式的最大整数解是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．新定义一种运算：，例如：．若，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．下列式子：①；②；③；④其中一元一次不等式的个数为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图是年月日河南南阳的天气预报，图中展示了当日室外气温．已知室内气温比室外气温高，下列说法错误的是（   ） A．可能是 B． C．这一天的温差是 D． 8．受《乌鸦喝水》故事的启发，小官设计了利用量筒估算小球体积的实验．如图，估计量筒中有水溢出时，量筒内相同体积的小球个数至少是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．某房屋的平面结构如图所示，现准备用A、B两种长方形地砖铺设房屋地面（包括阳台）．已知一块A型地砖的面积为，单价是40元/块；一块B型地砖的面积为，单价是60元/块．现用不超过8000元购买两种地砖，要求两种地砖的购买数量均为整数，且地砖总面积等于房屋总面积，则购买A型地砖的数量至少为（） A．100块 B．101块 C．102块 D．103块 10．对于不相等的两个实数、，定义新运算“”如下：当时，；当时，．若，则的取值范围为（     ） A．或 B．或 C． D． 二、填空题 11．如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是_______． 12．A，B两种食品的营养成分如图所示，选取A，B食品共4份，要使蛋白质总含量不低于，且总能量最低，则应选A食品______份． 13．某手工社团准备将一根长的彩带，全部剪成和两种规格的装饰条（每种规格至少一条），用于布置活动现场，那么不同的裁剪方案共有________种． 14．为了增强学生的消防安全意识，学校举办了消防安全知识竞赛，共35道题．已知答对一题得4分，答错或不答扣2分．竞赛规定总分不低于80分才能获得“消防安全小卫士”称号，小华想要获得此称号，则他至少要答对______道题． 15．一年一度的校园春季运动会即将拉开帷幕，学校体育教研室准备购买一批体育用品，其中计划同时购买接力棒、标志桶、长绳三种器材计划共40件，已知接力棒每根9元，标志桶每个18元，长绳每根25元，在价格不变的前提下，实际购买接力棒是计划数量的，长绳购进10根，结果实际购进三种器材共30件．且比原计划少支付124元，则实际购进标志桶的数量为______个． 三、解答题 16．解不等式，并把解集表示在数轴上． 17．为深入传承和弘扬和田悠久的历史文化，切实做好青少年传统文化研学实践教育工作，和田某中学组织本校学生前往和田约特干古城开展研学参观活动．为保障出行安全有序，学校计划统一租用甲、乙两种型号的客车负责接送学生．经调研测算，3辆甲型客车与2辆乙型客车一次性可运送195名学生；1辆甲型客车与1辆乙型客车一次性可运送75名学生． (1)求甲、乙两种型号客车每辆载客人数分别是多少？ (2)本次研学出行，学校计划总共租用甲、乙两种客车合计12辆，为保证所有参与研学的学生顺利出行，要求租用车辆一次性可承载的总人数不少于435人．则该学校至少需要租用甲型客车多少辆？ 18．2026马年央视春晚中，机器人展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号人形机器人进行快递分拣，若购买2台A型机器人、3台B型机器人，共需340万元；若购买3台A型机器人、4台B型机器人，共需480万元． (1)求A、B两种型号人形机器人的单价； (2)该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且总费用不超过1100万元，最多能购买A型机器人多少台？ 19．解下列不等式： (1)； (2)． 20．“端午佳节，粽叶飘香”，某超市推出甲、乙两款礼盒装的粽子．若购买1盒甲款粽子和1盒乙款粽子需要160元；若购买2盒甲款粽子和3盒乙款粽子需要380元． (1)求甲、乙两款礼盒装的粽子的单价各是多少； (2)超市现对甲款礼盒装的粽子推出两种优惠方案， 方案一：六盒以内不打折，超过六盒的部分打六折． 方案二：第二盒半价；（即第一盒原价，第二盒半价；第三盒原价，第四盒半价；以此类推） 小厦需要一次性购买（）盒甲款粽子，如何购买更划算？（注：一次性购买，两种优惠方案不同享） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A B B B C B C B 1．A 【分析】根据商品打折出售，可得售价为标价的，则利润为，根据“打折后利润率不低于（即利润不低于进价的，）”即可解答． 【详解】解：商品打折出售，售价为标价的， 打折后售价为， 利润售价进价， 利润为， 利润率不低于，即利润不低于进价的， 可得不等式． 2．D 【分析】先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再求出不等式的最小整数解，最后得出选项即可． 【详解】解：A．， ， ， ， ， （不等号的方向改变）， 所以不等式的最小整数解不是，故本选项不符合题意； B．， ， ， ， （不等号的方向改变了）， 所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意； C．， ， ， ， （不等号的方向改变了）， 所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意； D．， ， ， ， （不等号的方向改变）， 所以不等式的最小整数解是，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键． 3．A 【详解】解：不等式的解集为，在数轴上表示： 4．B 【分析】本题考查一元一次不等式的解法，解题思路为先求出不等式的解集，再在解集中找出最大的整数即可得到答案； 【详解】解：解不等式， 移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化为得 ； ∵小于的最大整数为， ∴不等式的最大整数解是； 5．B 【分析】先按照新定义规则，从内到外计算化简不等式，再解一元一次不等式得到的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 6．B 【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数次数是1，用不等号连接的整式不等式，逐一判断各式即可． 【详解】解：①，不含未知数，不是一元一次不等式； ②，含有一个未知数 ，未知数次数为1，是一元一次不等式； ③，含有一个未知数 ，未知数次数为1，是一元一次不等式； ④，是等式，不是不等式， 综上，一元一次不等式有②③，共2个． 7．C 【详解】解：A、根据图象可知，这一天的最低气温为，最高气温为，即，因此k可能是，故该选项正确； B、由题意可得，，故该选项正确； C、这一天的温差为，故该选项错误； D、由，得，即，故该选项正确． 8．B 【分析】先根据放入个小球水面上升的高度，求出每个小球使水面上升的高度，再设放入个小球时水溢出，根据量筒总高度列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：由图可知，放入个小球后，水面从上升到， 故每个小球使水面上升， 设放入个小球时量筒内有水溢出， ∵量筒总高度为，初始水位为， ∴， 解得， ∵为整数， ∴的最小值为， 故量筒内相同体积的小球个数至少是个． 9．C 【分析】首先根据图形计算房屋的总面积，然后设购买型地砖块，型地砖块，根据“地砖总面积等于房屋总面积”列出二元一次方程，根据“总费用不超过8000元”列出一元一次不等式，结合、均为整数求解即可． 【详解】解；由图可知，房屋总面积由三部分组成：左侧主体、右侧主体和阳台．右侧主体面积为，阳台面积为， 由图示结构可知左侧主体宽度与阳台宽度相同，均为，高度与右侧主体相同，为， 左侧主体面积为． 房屋总面积． 设购买型地砖块，型地砖块． 地砖总面积等于房屋总面积， ． 整理得：，即①． ． 为整数， 必须是6的倍数． 总费用不超过8000元， ，即②． 将①变形为 代入②得：． ．． 为6的倍数，且， 的最小值为102． 故选C． 10．B 【分析】根据新运算的规则，分两种情况对和的大小关系分类讨论，解一元一次不等式后取并集即可得到的取值范围． 【详解】解：当，即时，根据新运算定义得， ， ， 解得， 结合前提，得此种情况下； 当，即时，根据新运算定义得， ， ， 解得， 结合前提，得此种情况下； 综上所述，的取值范围为或． 11． 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，则，解出，即可． 【详解】解：一颗玻璃球的体积为， ∵将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， ∴， 解得：； ∵五颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ∴， 解得：； ∴一颗玻璃球的体积的取值范围为：， 故答案为：． 12．2 【分析】设选A种食品x份，依题意列出一元一次不等式，求出，得到或3或4，再分类计算总能量，并比较大小即可． 【详解】解：设选A种食品x份，依题意，得 ， 解得， ∵， ∴，且x为整数， ∴或3或4， 当时，总能量为（千焦）， 当时，总能量为（千焦）， 当时，总能量为（千焦）， 由，得 总能量最低，则应选A食品2份． 13．/三 【分析】设出两种规格装饰条的数量，根据总长度列出二元一次方程，结合x，y均为正整数的条件，找出方程所有符合要求的正整数解，即可得到不同裁剪方案的种数． 【详解】解：设的装饰条有根，的装饰条有根，其中为正整数， 根据题意得：， 整理得：， 变形得：， 因为是正整数， 所以为正偶数， 因此为偶数，且， 可得为偶数，且． 满足条件的的取值为，，， 对应得到的正整数分别为，，，共有组不同的正整数解． 14．25 【分析】根据得分规则和获奖的分数要求列出一元一次不等式即可求解． 【详解】设小华答对道题，则答错或不答的题数为道，根据题意列不等式，得 解得 故小华至少要答对道题． 15．6 【分析】设计划购进接力棒数量，根据实际购买比例得到实际接力棒数量，结合实际总件数得到实际标志桶数量的表达式，再根据总费用差列出方程，利用正整数的性质求解即可． 【详解】解：设计划购进接力棒根，实际购进标志桶个， 由题意，实际购买接力棒数量为 （根）， 实际购进长绳根，实际总件数为，因此可得： ， 整理得： ， 设原计划购进标志桶个，则原计划长绳数量为根， 原计划总费用减去实际总费用等于， 列方程得：， 整理得： ， 将 代入上式， 得：， 化简得， 变形得：， ∵是正整数， ∴为整数， 又∵和互质， ∴是的倍数， ∵，解得， ∴， 则，即实际购进标志桶的数量为个． 16．，画图如下： 【分析】根据题意先移项，再合并同类项，未知数系数化为1，即可得到解集，再在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 画图略． 17．(1)甲型号客车每辆载客人数为45名，乙型号客车每辆载客人数为30名 (2)5辆 【分析】（1）设甲型号客车每辆载客人数为人，乙型号客车每辆载客人数为人，根据题意列方程组解决即可； （2）设该学校租用甲型客车m辆，则租用乙型客车辆，列不等式解决即可； 【详解】（1）解：设甲型号客车每辆载客人数为人，乙型号客车每辆载客人数为人，由题意得： ， 解得， 答：甲型号客车每辆载客人数为45名，乙型号客车每辆载客人数为30名； （2）解：设该学校租用甲型客车m辆，则租用乙型客车辆． ， 解得， 答：该学校至少需要租用甲型客车5辆． 18．(1) 型人形机器人的单价为80万元，型人形机器人的单价为60万元 (2) 最多能购买型机器人10台 【分析】（1）设、两种型号人形机器人的单价分别为万元和万元，根据题干给出的两种购买方案的总费用，列出二元一次方程组求解即可得到单价； （2）设购买型机器人台，则型机器人为台，根据总费用不超过1100万元列出一元一次不等式，解不等式取最大正整数即可得到结果； 【详解】（1）解：设、两种型号人形机器人的单价分别为万元，万元， 根据题意得， 解得， 答：型人形机器人的单价为80万元，型人形机器人的单价为60万元； （2）解：设能购买型机器人台，则购买型机器人台， 根据题意得， 解得， 答：最多能购买型机器人10台． 19．(1)， (2) 【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 20．(1)甲款礼盒粽子单价为100元，乙款礼盒粽子单价为60元； (2)当时，选择方案二更划算；当时，两种方案费用相同；当或时，选择方案一更划算． 【分析】（1）甲款礼盒粽子单价为元，乙款礼盒粽子单价为元，根据题意列二元一次方程组，据此求解即可； （2）求得方案一；分类求得方案二、为偶数，；为奇数，，比较和，即可求解． 【详解】（1）解：甲款礼盒粽子单价为元，乙款礼盒粽子单价为元， 根据题意得， 解得， 答：甲款礼盒粽子单价为100元，乙款礼盒粽子单价为60元； （2）解：方案一、 ； 方案二、由题意得：奇偶交替，第1，3，5，盒原价100，第2，4，6，盒半价50， 若为偶数：共盒原价，盒半价， ， 若为奇数：共盒原价，盒半价， ； 情况1：为偶数，， 令，则，解得； 当偶数：，更小，方案二划算； 当偶数：，两种方案费用相同； 当偶数：，更小，方案一划算； 情况2：为奇数，， 令，则，解得； 当（奇数）：，方案二划算； 当（奇数）：，方案一划算； 综上，当时，选择方案二更划算；当时，两种方案费用相同；当或时，选择方案一更划算． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $