专题03 用反比例函数解决问题核心考点精练（七大类）-2026-2027学年苏科版九年级上册数学重难考点突破

**基本信息** 以“总量一定”为核心纽带，系统整合跨学科融合、行程工程等七大类应用场景，通过题型分类与方法提炼构建反比例函数解题体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |物理化学融合|4题|建立物理量反比例关系|从密度、压强等实际问题抽象函数模型，发展抽象能力| |行程类|4题|路程一定时速度与时间关系|通过表格数据推导函数表达式，培养推理意识| |经济生活类|3题|分段函数求最值|结合利润变化构建分段模型，提升应用意识| |图形面积|5题|坐标与面积公式结合|运用几何直观分析函数与图形关系，强化空间观念| |工程类|4题|总工作量一定时效率与时间关系|从工程问题中提炼反比例本质，发展模型意识| |方案设计类|3题|优惠率比较与方案优化|通过函数图像分析最优方案，培养数据观念| |实际生活应用|4题|总量一定的变量关系|联系饮水、物流等场景，体现数学与现实的联系|

11.3 用反比例函数解决问题 核心考点精练（七大类） 考点目录 一、反比例函数与物理化学的巧妙融合（新趋势） 1 二、反比例函数在行程类问题中的灵活运用。（核心——路程一定） 6 三、经典题型：经济生活类。（分段求最值） 9 四、高频题型：反比例函数与图形面积的融合。 13 五、工程类：核心总工作量一定。 22 六、高频考点：方案设计类 25 七、反比例函数在实际生活中的灵活应用。（核心：总量一定） 29 一、反比例函数与物理化学的巧妙融合（新趋势） 1．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度 是液体的密度 的反比例函数，其图像如图所示（），根据函数图像，回答下列问题： (1)写出浸液高度关于液体密度的反比例函数解析式 ； (2)当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度为 ； (3)若使用该密度计时，浸入溶液的高度不能低于（高度过低会导致密度计倾倒失效），求该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围． 【答案】(1)反比例函数解析式为 (2) (3)该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围为 【思路引导】（1）设反比例函数的解析式为，观察图像，结合点计算出反比例函数的，即可得到答案； （2）把代入反比例函数的解析式中即可求解； （3）浸入溶液的高度不能低于，则，从而解得的取值范围． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为，代入图像上点得， ∴； （2）解：∵，， 得； （3）解：由题意可知，，即，解得， 又， ∴， 答：该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围为． 2．在物理实验课上，小明用滑动变阻器设计了一个电路给一个小灯泡供电，在实验中，电流（单位：A）与滑动变阻器的电阻（单位：）是反比例函数关系，当时，． (1)写出关于的函数解析式： (2)完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； … 3 4 5 6 8 9 10 12 … … … (3)当电流超过时，小灯泡会损坏，那么滑动变阻器的阻值应控制在什么范围内？ 【答案】(1) (2)列表如下： … 3 4 5 6 8 9 10 12 … … 0.8 0.6 0.48 0.4 0.3 0.24 0.2 … 函数图象如下： (3)滑动变阻器的阻值应控制在不低于的范围内 【思路引导】（）先根据反比例函数的定义，用待定系数法求出与的函数解析式； （）将表格中的值代入解析式，求出对应的值，完成表格后，连线画出函数图象； （）根据电流限制条件列出不等式，结合反比例函数的增减性，求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵电流是电阻的反比例函数， ∴设， ∵时，， ∴， 解得， ∴； （2）略 （3）解：∵， ∴当时，， 解得 ∵当电流超过时，小灯泡会损坏， ∴由图象可得，滑动变阻器的阻值应控制在不低于的范围内． 3．项目式学习·测量盒子质量 问题背景：日常生活中的各种称重仪器大多都可以测出一定范围内的物体质量，当物体质量太轻或太重时便无法直接测量出结果，在数学活动课上，老师让同学们测空牛奶盒的质量． 实验操作：如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点A处，且托盘上放置了一个的砝码，右侧托盘可以在段滑动，已知，，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据． 实验数据： 实验序号 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 总质量m（牛奶+水） 120 60 50 40 150 的距离 12.5 25 30 37.5 10 问题解决    (1)任务一：根据表中数据可知，的长度随着总质量m的增大而________，并依此猜想：l与m满足怎样的函数关系：________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）； (2)任务二：某同学给空牛奶盒里加入了的水，移动托盘使天平保持平衡，此时，求这个空牛奶盒的质量； (3)任务三：在任务二的情况下，天平达到平衡，此时将含水的牛奶盒与砝码的位置互换，要使天平仍保持平衡，则右边托盘应怎样移动． 【答案】(1)减小，反比例函数； (2)这个空牛奶盒的质量为； (3)右边托盘应向左边移动 【思路引导】（1）根据表格数据可知，的长度随着总质量m的增大而减小，根据，猜想：l与m满足怎样的函数关系：反比例函数； （2）先设l关于m的函数解析式为，运用待定系数法，求出反比例函数的解析式为，再设空牛奶盒的质量为，根据题意得：，解方程，从而求出这个空牛奶盒的质量； （3）含水的牛奶盒质量为，牛奶盒与砝码的位置互换后，要使天平左边与右边平衡，则有，求出l，并根据任务二，求出右边托盘应向左边移动． 【详解】（1）解：任务一：根据表中数据可知，的长度随着总质量m的增大而减小， ∵， ∴依此猜想：l与m满足：反比例函数； （2）解：设l关于m的函数解析式为， 则，将代入， 得：， 即l关于m的函数解析式为， 设空牛奶盒的质量为， 根据题意得：， 解得：， 答：这个空牛奶盒的质量为． （3）解：由任务二得，含水的牛奶盒总质量为， ∵将含水的牛奶盒与砝码的位置互换， ∴要使天平左边与右边平衡，可列式为：， 解得：， ∵， ∴要使天平仍保持平衡，右边托盘应向左边移动． 4．当压力一定时，压强P（单位：）是受力面积S（单位：）的反比例函数，如图，当时，． (1)求P关于S的函数解析式； (2)若要求P不超过，求S的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据待定系数法求解即可； （2）将代入解析式，求出S，结合图象即可解答． 【详解】（1）解：设解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴函数解析式为； （2）解：将代入解析式，得， 解得， ∵P随着S的增大而减小，． ∴． 二、反比例函数在行程类问题中的灵活运用。（核心——路程一定） 5．超越公司将某品牌农副产品运往新时代市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如下表： v（千米/小时） 60 75 80 90 t（小时） 5.00 4.00 3.75 (1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； (2)汽车上午7：30从超越公司出发，能否在上午10：00之前到达新时代市场？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见详解 【思路引导】（1）根据表格中数据，可知是的反比例函数，设，利用待定系数法即可求解； （2）上午出发，到上午之前，可知时间为小时，根据（1）中的函数关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，即每一对与的对应值乘积为一定值，在减小，在增大， ∴与成反比关系，设， 把，代入反比例函数得，， ∴与的表达式为， ∵汽车行驶速度不超过千米/小时， ∴， ∴， ∴平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为． （2）解：∵（小时）， ∴（千米/小时）， ∵汽车行驶速度不超过千米/小时，， ∴不能． 6．五一假期，小王一家从杭州到温州自驾游，已知杭州到温州市区A处的路程为300千米，小王家的车油箱的容积为55升，小王把油箱加满后驾驶汽车从杭州出发．    (1)求汽车行驶的总路程s（单位：千米）与平均耗油量b（单位：升/千米）的函数表达式． (2)小王以平均每千米耗油0.1升的速度驾驶汽车到达温州市区A处，休整后沿图示路线继续出发，先到雁荡山B处，再到楠溪江C处，最后到洞头D处．由于下雨，从A处开始直到D处小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了20%．如果小王始终以此速度行驶，不需加油能否到达洞头D处？如果不能，至少还需加多少油？ 【答案】(1) (2)不加油不能到达洞头D处，还需加油升以上 【思路引导】（1）利用公式：路程总容积平均耗油量，即可得的函数关系式； （2）求出到达温州市区A处所需油量与从A处到达洞头D处所需油量之和，再和55升比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）从杭州到温州 A 处，一共耗油升， 从 处： ， 一共耗油升， ∴不加油不能到达洞头D处，还需：升 答：不加油不能到达洞头D处，还需加油 5升 以上． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，理解平均耗油量与行驶路程的关系． 7．丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．驾驶员根据平时驾车去往杭州市场的经验，得到v、t的一组对应值如下表： （千米/小时） 50 60 75 80 （小时） 6 5 4 3.75 (1)根据表中的数据，可知该公司到杭州市场的路程为___________千米； (2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数表达式； (3)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由． 【答案】(1)300 (2) (3)不能，理由见解析 【思路引导】（1）根据即可得s的值； （2）根据表格中数据，可知v是t的反比例函数，设，利用待定系数法求出k即可； （3）根据时间t = 2.5，求出速度，即可判断． 【详解】（1）解：根据表格中的数据，∵ ∴s = 300， ∴该公司到杭州市场的路程为300千米； 故答案为：300； （2）解：由表格中的数据可以看出每一对v与t的对应值乘积为一定值，将每一对对应值作为点的坐标在平面直角坐标系中做出对应的图象是双曲线的一部分，设， ∵v=75时，t= 4， ∴k=75×4=300， ∴； （3）解：不能． 理由如下：∵10-7.5=2.5（小时）， ∴t=2.5时，， ∵120＞100， ∴汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午10：00之前到达杭州市场． 8．已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过120千米/时．若从A市到B市汽车的行驶里程为480千米． (1)求关于的函数表达式和自变量t的取值范围； (2)若汽车从上午从市出发，如果汽车在当天到之间到达市，求汽车行驶速度的范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查反比例函数在行程问题中的应用： （1）根据时间、速度、路程之间的关系可列函数表达式，根据限速情况求t的取值范围； （2）先计算出上午到以及到的时长，再将它们分别代入关于的函数表达式，即可得汽车行驶的速度范围． 【详解】（1）解：由题意知， 关于的函数表达式为：， 速度限定为不超过120千米/时， ， ， ； （2）解：到用时小时，到用时小时， 将代入，得：， 将代入，得：， 汽车行驶速度的范围为． 三、经典题型：经济生活类。（分段求最值） 9．某小微企业生产加工一种产品，2013年1月的利润为180万元．设2013年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于企业生产规模较小，且成本较大，该厂决定从2013年1月底起适当限产，并投入资金进行扩建改造，导致月利润明显下降．从1月到6月y与x成反比例，到6月底扩建改造工程顺利完工，从这时起，该企业每月的利润比上一个月增加16万元．如图． (1)分别求出该企业扩建改造期间及扩建改造工程完工后，y与x之间对应的函数关系式； (2)扩建改造工程完工后从第几个月开始，该企业月利润才能不低于190万元？ (3)扩建改造工程完工后经过几个月，该企业月利润才能达到174万元？ (4)当月利润少于80万元时为该企业资金紧张期，问该企业资金紧张期大约有几个月（结果保留整数）？ 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【思路引导】此题主要考查了反比例函数以及一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． （1）直接利用待定系数法分别得出一次函数以及反比例函数解析式即可； （2）当代入，求出的值，进而得出答案； （3）当代入，求出的值，进而得出答案； （4）利用分别得出的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，由题意设，将代入得： ， 故在扩建改造期间的函数关系式为：； 当时，当时，，则； 即扩建改造工程完工后与之间的函数关系式为：； （2）扩建改造工程完工后，当时， 即：，解得：， ∴扩建改造工程完工后从第16个月开始，该企业月利润才能不低于190万元； （3）扩建改造工程完工后，当时， 即：，解得：， 则， ∴扩建改造工程完工后经过9个月，该企业月利润才能不低于174万元； （4）对于，当时，， 对于，当时，， 所以资金紧张期的有第3、4、5、6、7、8、9这7个月，该厂资金紧张期共有7个月． 10．一家名牌上衣专卖店月份的经营目标是盈利元． (1)写出专卖店月份每件上衣的利润（元）关于所需售出的上衣件数（件）的函数解析式； (2)如果每件上衣的利润是元，要完成经营目标，该商店月份至少要卖出多少件上衣？ (3)若经理只要求达到元利润，每售出一件上衣，售货员要提成元，在每件上衣元利润不变的前提下，营业员至少需要卖出多少件上衣才能完成任务？ 【答案】(1) (2)该商店月份至少要卖出120件上衣 (3)营业员至少需要卖出105件上衣才能完成任务 【思路引导】本题主要考查了反比例函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）由题意得，，据此可得答案； （2）由题意得，解不等式即可得到答案； （3）设营业员需要卖出m件上衣，根据题意可知每件上衣的实际利润为48元，再根据利润要达到5000元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：由题意得， 解得， 答：该商店月份至少要卖出120件上衣； （3）解：设营业员需要卖出m件上衣， 由题意得，， 解得， ∵m为正整数， ∴m的最小值为105， 答：营业员至少需要卖出105件上衣才能完成任务． 11．2020年9月，中国在联合国大会上向世界宣布了2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和的目标．为推进实现这一目标，某工厂投入资金进行了为期6个月的升级改造和节能减排改造，导致月利润明显下降，改造期间的月利润与时间成反比例函数关系；到6月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加30万元．设2021年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元，其图象如图所示，试解决下列问题： (1)分别写出该工厂对生产线进行升级改造前后y与x的函数表达式； (2)当月利润少于90万元时，为该工厂的资金紧张期，则该工厂资金紧张期共有几个月． 【答案】(1)，（x>6且x为整数） (2)该工厂资金紧张期共有5个月 【思路引导】（1）根据待定系数法可得到反比例函数解析式；由工厂每月的利润都比前一个月增加30万元，可求出改造后y与x的函数表达式； （2）对于，y＝90时，x＝2，得到x＞2时，y＜90，对于y＝30x−150，当y＝90时，x＝8，于是可得到结论． 【详解】（1）解：设改造前y与x的函数关系式为y＝，把x＝1，y＝180代入得，k＝180， ∴改造前y与x之间的函数关系式为， 把x＝6代入得y＝180÷6＝30， 由题意设6月份以后y与x的函数关系式为y＝30x＋b， 把x＝6，y＝30代入得，30＝30×6＋b， ∴b＝−150， ∴y与x之间的函数关系式为y＝30x−150（x>6且x为整数）； （2）对于，y＝90时，x＝2， ∵k＝180＞0，y随x的增大而减小， ∴x＞2时，y＜90， 对于y＝30x−150，当y＝90时，x＝8， ∵k＝10＞0，y随x的增大而增大， ∴x＜8时，y＜90， ∴2＜x＜8时，月利润少于90万元， ∴该工厂资金紧张期共有5个月． 四、高频题型：反比例函数与图形面积的融合。 12．如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60ｍ2的矩形科技园ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为．设AD的长为，DC的长为．    （1）求与之间的函数关系式； （2）若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26ｍ，材料AD和DC的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案． 【答案】（1）；（2）满足条件的所有围建方案：AD=5m，DC=12m或AD=6m，DC=10m或AD=10m，DC=6m． 【详解】解：（1）如图，AD的长为，DC的长为， 根据题意，得，即． ∴与之间的函数关系式为． （2）由，且都为正整数， ∴ｘ可取1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60． ∵ ∴符合条件的有：时，；时，；时，． 答：满足条件的所有围建方案：AD=5m，DC=12m或AD=6m，DC=10m或AD=10m，DC=6m． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线与相交于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)当时，求k的值； (2)点B关于y轴的对称点为C，连接； ①判断的形状，并说明理由； ②当的面积等于16时，双曲线上是否存在一点P，连接，使的面积等于面积？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①为直角三角形，理由见解析；②点P的坐标为或或或． 【思路引导】（1）设点B的坐标为，则点，则，即可求解； （2）①点A、C的横坐标相同，轴，点B关于y轴的对称点为C，故轴，即可求解；②过点C作直线，交反比例函数于点P，则点P符合题设要求，同样在下方等间隔作直线交反比例函数于点P，则点P也符合要求，进而求解． 【详解】（1）解∶设点B的坐标为，则点，则： ， 解得（负值已舍去）， 故点B的坐标为， 将点B的坐标代入反比例函数表达式得∶， 解得∶； （2）解：①为直角三角形，理由∶ 设点，则点， ∵点A、C的横坐标相同， ∴轴， ∴点B关于y轴的对称点为C， ∴轴， ∴， ∴为直角三角形； ②由①得∶， 则的面积， 解得（负值已舍去）， ∴点B的坐标为，C的坐标为， 将点B的坐标代入反比例函数表达式得∶，解得， ∴反比例函数表达式为①； 过点C作直线，交反比例函数于点P，则点P符合题设要求， 同样在AB下方等间隔作直线交反比例函数于点P，则点P也符合要求． ∵， ∴设直线m的表达式为， 将点C的坐标代入，解得， 故直线m的表达式为②， 根据图形的对称性，则直线n的表达式为③， 联立①②并解得∶ 或， 联立①③并解得∶ 或， ∴点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式，同底等高的三角形的面积等知识，综合性较强． 14．如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点，连接交双曲线另一支于点．已知点的坐标为，分别过作轴于、轴与，连接，过作直线． (1)求直线和反比例函数的表达式； (2)点在双曲线上移动，其它条件不变，和的面积会改变吗？如果不会改变，请直接写出它们的面积；如果会改变，请说明理由． 【答案】(1)直线表达式为，反比例函数的表达式为； (2)不会改变，的面积是，的面积是． 【思路引导】（）待定系数法求出表达式和反比例函数的表达式即可； （）作轴，垂足为，根据反比例函数的性质可得出，即可； 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）设反比例函数为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵点， 根据反比例函数的性质得与关于对称，轴与，得，， 设直线表达式为经过， ∴，解得， ∴直线表达式为； （2）不会改变，理由： 作轴，垂足为， ∵， ∴， 根据中心对称性质可得：关于原点对称， ∴根据平行线间的距离相等，， ∵， ∴， ∴的面积是，的面积是． 15．已知、两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)已知点P在x轴上，且的面积是面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)或 (3)或 【思路引导】本题考查了求一次函数解析式，由直线与坐标轴的交点求不等式的解集，求直线围成的图形面积，已知比例系数求特殊图形的面积，求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先根据A点的坐标求出反比例函数的比例系数，从而可得反比例函数的解析式，再求出B点的横坐标，从而可根据反比例函数与一次函数交于A、B两点，转化为关于k，b的方程组求解； （2）根据反比例函数与一次函数交于A、B两点，求不等式的解集； （3）先求得面积，再根据点P在x轴上，且的面积是面积的2倍，列出关于p的方程求解． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∵、是一次函数和反比例函数图象的两个交点， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为； （2）不等式，可化为， ∵一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为， ∴不等式为， 这个不等式表示一次函数的值比反比例函数的值大， 结合图象可知点A的左边符合，原点O到点B之间也符合， ∵、， ∴这个不等式的解集为或． （3）一次函数的解析式为， 当时，， 当时，， 解得：， ∴一次函数交x轴于，交y轴于， ∵、， ∴的面积为， ∵点P在x轴上， ∴设， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴， ∴P点的坐标为或． 16．已知反比例函数图象经过点，直线，经过点，经过点且垂直于轴的直线与直线相交于．    (1)求的值； (2)若的面积等于15，求直线l的解析式； (3)点G在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，问是否存在点G和点Q，使以G．Q及（2）中的C．B四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【思路引导】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意可求出点到的距离为5，利用的面积等于15可求出，进而得到，于是可利用待定系数法求出直线的解析式； （3）分两种情况讨论：当为的边时，此时，，设，直线的解析式，将点代入求得直线的解析式为，进而得到，再由，利用两点间距离公式计算即可；当为的对角线时，此时，，，则点的纵坐标为，代入反比例函数解析式求得，再利用求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 解得：； （2）解：轴，，， 点到的距离为5， 三角形面积为15， ， ， ， 将点，代入直线得，， 解得：， 直线的解析式为； （3）解：当为的边时，如图，    则，， 设，直线的解析式， ， ， 直线的解析式为， 令中的得，， 解得：， ， 由（2）可知，，， ， ， ， 整理得：， 解得：， ， 或； 当为的对角线时，如图，    则，， ， 点的纵坐标为， 令中的得，， 解得：， ， ， ， ， ． 综上，或或． 【点睛】本题主要考用待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、平行四边形的判定与性质，解题关键是熟记平行四边的判定定理，并学会利用分类讨论思想解决问题． 五、工程类：核心总工作量一定。 17．一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天. (1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土? 【答案】(1) (2)平均每天至少要回填30吨土 【思路引导】本题考查反比例函数的应用，根据题意列出反比例函数解析式是解题关键. （1）首先根据题意可知总工作量为吨不变，故回填速度v与回填天数t之间为反比例关系，即，变形即可得出v关于t的函数关系式； （2）由得出，再将代入，即可求出v的取值范围． 【详解】（1）设总工作量为k吨，根据已知条件得， ∴v关于t的函数表达式为； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 那么平均每天至少要回填30吨土． 18．市政府计划建设一项绿化工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)求运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间的函数关系式； (2)若这个运输公司每天可运送土石方，该公司完成全部运输任务需要多长时间？ 【答案】(1) (2)该公司完成全部运输任务需要9天 【思路引导】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据运送的土石总量等于平均每天运送的土石量乘以运送天数列式求解即可； （2）根据（1）所求，求出时t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：在中，当时，则， 解得， 答：该公司完成全部运输任务需要9天． 19．在伊通河治理工程实验过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数（单位：天）与每天完成的工程量（单位：m/天）之间的函数关系图象是如图所示的双曲线的一部分．    (1)请根据题意，求关于的函数解析式； (2)若该工程队有台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠，则该工程队需用多少天才能完成此项任务？ 【答案】(1) (2)天 【思路引导】（1）将点代入反比例函数的解析式，即可求得反比例函数的解析式； （2）用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间． 【详解】（1）解：设解析式为， ∵点在其图象上， 将代入反比例函数的解析式，得, 解得：， ∴所求函数关系式为． （2）解：由题意知，台挖掘机每天能够开挖水渠（米）， 当时，， 故该工程队需要用天才能完成此项任务． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从中整理出解决实际问题的函数模型． 20．在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（天）与每天完成工程量x米的函数关系图像如图所示，是双曲线的一部分． (1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式； (2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？ (3)工程队在（2）的条件下工作5天后接到防汛紧急通知，最多再给5天时间完成全部任务，则最少还需调配几台挖掘机？ 【答案】(1) (2)该工程队需要20天才能完成此项任务 (3)最少还需调配4台挖掘机 【思路引导】（1）用待定系数法求解即可； （2）将x＝60代入，求解即可； （3）先求出5天后还剩余的工作量，用这个剩余的工作量除以时间5天，得到每天应完成的工作量，再减去已有的两台挖机一天完成的要作量，得到还应凋入挖机一天要完成的工作量，用这个一天要完成的工作量除以每台完成任务的工作量，即可求得要调配的挖机数． 【详解】（1）解：设y=，由图可知，点(24，50)在图像上， 把(24，50)代入y=，得 50=，解得：k=1200， ∴； （2）解：∵该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米， ∴该工程队每天完成60米， 将x＝60代入，得 y=＝20(天), ∴该工程队需要20天才能完成此项任务； （3）解：5天后还剩1200－60×5＝900(米) 900÷5－60＝120(米) 120÷30＝4（台） ∴最少还需调配4台挖掘机． 六、高频考点：方案设计类 21．双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中代表优惠金额，代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率与顾客购买总金额（元）之间的函数关系分别如图所示，其中成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足． (1)___________；用含m的代数式表示：___________． (2)当购买总金额m（元）在的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？ 甲：___________；乙：___________ (3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由． 【答案】(1)100， (2)打6折促销，优惠100元 (3)当时，甲商场更优惠；当时，乙商场更优惠． 【思路引导】本题考查了反比例函数的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意、从题目中得出反比例函数的模型． （1）把代入中即可求得，然后根据始终为0.4可得与m的关系； （2）根据（1）的结论和图象即可得出结果； （3）先根据（2）题的促销方案求出在两家商场购买花钱一样多时的的值，再结合图象分类求解即可． 【详解】（1）解：把代入中，得， 由于始终为0.4，即， ； 故答案为：100，； （2）解：由（1）及优惠率的含义可知：当购买总金额都为元，且在的条件下时 甲家商场采取的促销方案是：打6折促销， 乙家商场采取的促销方案是：优惠100元， 故答案为：打6折促销，优惠100元； （3）解：由（2）题可知， 当时，甲家商场需花元，乙家商场需花元， 当时，解得，即当时，在两家商场购买花钱一样多， 再由图象易知，当时，乙商场更优惠；当时，甲商场更优惠． 22．如图，学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为的长方形种植园，其中边靠墙，墙长为．设的长为，的长为． (1)求与之间的函数关系式． (2)若围栏总长不超过，和的长都是整数，求满足条件的所有围建方案． 【答案】(1) (2)①，．②， 【思路引导】本题考查了反比例函数的应用，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式是解题的关键； （1）根据长方形种植园的面积为，可得出，即，结合墙长为且值非负，可确定的取值范围； （2）根据围栏总长不超过，可得出，结合，均为正整数且，即可找出各围建方案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 墙长为，且值非负， ， 与之间的函数关系式为； （2）解：根据题意得：， 即， 又，均为正整数，且， 当时，与的对应值如下表： 1 2 5 10 50 25 10 5 符合题目要求的对应值如下表： 5 10 10 5 满足条件的所有围建方案为①，． ②，． 23．某种糖艺工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． 方案 恒温工作 间歇加热工作 过程 ①从加热到； ②保持进行加工． ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元．（注：自然降温阶段不产生成本） (1)求材料加热到的时间． (2)求材料自然降温时，y关于x的函数表达式． (3)已知该工艺品操作时温度需保持在（包括），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 【答案】(1) (2)y (3)仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本，见解析 【思路引导】此题主要考查了反比例函数与一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求出解析式，然后把时代入即可求解； （）利用待定系数法即可求解； （）根据反比例函数与一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由图可知加热时，关于的函数为一次函数， ∴可设解析式为， 将点，代入，得 ，解得， ∴关于的函数解析式为， 当时，，解得， ∴第一次加热到时间为分钟； （2）解：由题意可设加热后关于的表达式为， 将代入，得， ∴关于的表达式为； （3）解：由题意可知，加热时长为分钟． 恒温阶段（分钟）， 费用为：（元）， 间歇加热工作：对于，令，得， 除第一次加热到需要分钟，后续加热到，自然降温到一轮需要分钟，一天小时中，加热时间为（分钟）， 费用为：（元）， ∵， ∴仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本． 七、反比例函数在实际生活中的灵活应用。（核心：总量一定） 24．“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 【答案】 (1) (2) (3)车辆的行驶速度应控制在不超过，即 【思路引导】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点，按自变量从小到大的顺序用平滑曲线顺次连接各点即可； （2）观察数据得行车速度与视野角度的乘积近似为定值，判断为反比例函数，写出近似函数表达式并标注自变量取值范围即可； （3）根据视野角度的要求列不等式，代入反比例函数解析式，结合实际意义求解，即可得到行驶速度的控制范围． 【详解】（1）略 （2）解：观察表格数据，每组行车速度v与视野角度的乘积近似等于，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为：； （3）解：由题意，要求视野角度不小于度，即，代入函数表达式得： ， 因为行车速度，不等式两边同时乘，不等号方向不变： ， 解得， 结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过，即． 25．为保障学生饮水健康安全，鹿鸣路初中配备了智能全自动饮水机．八年级数学兴趣小组研究发现：饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升，加热到时停止加热；随后水温自然回落，此阶段水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，开始下一轮循环．若初始水温在时接通电源，八年级数学兴趣小组绘制了水温随通电时间变化的部分函数图象（如图所示），请结合图象解答下列问题． (1)图象中停止加热后水温自然回落至的过程中，水温与通电时间x（min）之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是_____； (2)图象中从接通电源开始，到水温首次回落至为止，求这一过程中水温不低于时长为多少分钟？ (3)早晨7：40接通电源启动加热（此时水温为），当天上午9：20下课时同学们______（填“能”或“不能”）接到的温开水，此时水温为______． 【答案】(1)，； (2)； (3)能；40 【思路引导】(1) 先根据加热速率求出停止加热时的通电时间，再用待定系数法求反比例函数表达式，最后求水温降至时的总时间确定自变量范围． (2) 分加热和回落两个阶段分别求出水温为时对应的通电时间，再分别计算两阶段中水温不低于的时长并求和． (3) 先求一个完整周期时长，再计算内经历几个完整周期，判断下课时处于第几轮的哪个阶段，进而求出水温和是否在～范围内． 【详解】（1）解：∵ 初始水温为，每分钟上升， ∴ 加热到所需时间为， 即停止加热时，． 设停止加热后水温与通电时间的函数关系式为， ∵ 图象过点， ∴ ， 解得， ∴ 函数关系式为． 当水温降至时，， 解得， ∴ 自变量的取值范围是． （2）解：由题意，饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升， 加热阶段水温与通电时间的关系为()， 当时，， 解得， ∴ 加热阶段水温不低于的时长为． 回落阶段水温与通电时间的关系为()， 当时，， 解得， ∴ 回落阶段水温不低于的时长为． ∴ 这一过程中水温不低于的总时长为． （3）解：∵ 加热需，回落需， ∴一个完整周期为． ∵ 早晨7:40到上午9:20共， ， ∴ 经过个完整周期后，第个周期又进行了． 第个周期中，前加热，后回落， ∵ ， ∴ 此时处于第个周期的回落阶段， 故可知，第1个周期的温度，第个周期开始后第的温度一样， 此时的温度为： ∵ ， ∴ 同学们能接到～的温开水， 此时水温为． 26．某新型发动机启动过程中，转速与时间的关系如下： 阶段1（启动阶段）：从启动开始，转速随时间均匀增加．启动时转速为转，转速每分钟提高转，转速达到转停止加速； 阶段2（稳定下降阶段）：达到最高转速后，发动机进入保护模式，转速开始下降，且下降过程中转速与时间成反比例函数关系．已知转速（单位：转）与通电时间（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)求关于的函数解析式；（不需要写出自变量的取值范围） (2)从开始加速到转速下降的一个周期内，转速不低于转的时间有多长？ 【答案】(1)启动阶段：，下降阶段： (2) 【思路引导】（1）先算出加速到转用时，求出函数图象顶点坐标为，利用待定系数法分别求出加速段一次函数和下降段反比例函数； （2）分别在两个解析式里令求出对应，分段算出临界时间，再将两个临界时间相减可得出转速不低于转的时长． 【详解】（1）解：根据题意可得，转速从转加速到转时，所需时间为， 在转速增加的过程中，设关于的函数解析式为， 将点代入，得， 解得， 故启动阶段，关于的函数解析式为； 在转速下降过程中，设关于的函数解析式为，将点代入，得， 故下降阶段，关于的函数解析式为． （2）解：在中，令， 解得， 在中，令，得， 解得， 可得， 故从开始加速到转速下降的一个周期内，转速不低于转的时间为． 27．综合与实践 【项目主题】探究智能物流分拣中的数学规律，提升数据运算与模型构建能力 【实践小组】某校初中科技社团 智能分拣是现代物流核心作业环节，分拣效率指设备每秒处理包裹的数量（件）．某校初中科技社团开展实践活动，探究不同设备分拣效率、温度对效率的影响，用数学模型解决物流实际问题． 【项目准备】 1．设备选取：3种智能分拣设备（桌面小型分拣机、皮带中型分拣机、交叉带大型分拣机），分别记为设备A、设备B、设备C； 2．任务设定：选取同一批包裹分拣任务，该任务的总包裹量固定，记为（单位：件）； 3．实验原理：在标准环境下，设备完成任务的时间（单位：）与分拣效率（单位：件）成反比例关系，（为定值，，）． 4．实验数据： 设备类型 标准分拣效率（件/s） 完成时间 设备A（小型分拣机） 5 100 设备B（中型分拣机） 10 设备C（大型分拣机） 20 25 【项目探究】 (1)根据实验原理，该分拣任务的总包裹量________，________； (2)在实际作业中，当时，设备的实际分拣效率、与环境温度（）满足一次函数关系：，，若将设备A和设备B组成联合分拣组同时处理该任务，总效率为两者实际效率之和．求当环境温度为时，该联合分拣组完成总包裹量所需的时间； (3)设备C的实际分拣效率与环境温度（）满足：，若要使设备C完成该任务的实际时间不超过第（2）问中环境温度为时联合分拣组的完成时间，求环境温度（）的取值范围． 【答案】(1)500；50 (2) (3) 【思路引导】（1）将设备A的数据代入求出M的值，进而将设备B的数据代入即可求出a的值； （2）将分别代入，，进而求出总效率，根据即可求出所需时间； （3）根据题意列不等式求解，结合作答即可． 【详解】（1）解：将设备A的数据代入得：，解得：； 进而将设备B的数据代入得：； （2）解：当时，，， 总效率（件）， 所需时间． 答：所需时间为； （3）解：由题意，得， 解不等式，得， 结合，得． 答：环境温度（）的取值范围是． 试卷第38页，共38页 试卷第23页，共36页 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.3 用反比例函数解决问题 核心考点精练（七大类） 考点目录 一、反比例函数与物理化学的巧妙融合（新趋势） 1 二、反比例函数在行程类问题中的灵活运用。（核心——路程一定） 3 三、经典题型：经济生活类。（分段求最值） 4 四、高频题型：反比例函数与图形面积的融合。 5 五、工程类：核心总工作量一定。 7 六、高频考点：方案设计类 8 七、反比例函数在实际生活中的灵活应用。（核心：总量一定） 10 一、反比例函数与物理化学的巧妙融合（新趋势） 1．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度 是液体的密度 的反比例函数，其图像如图所示（），根据函数图像，回答下列问题： (1)写出浸液高度关于液体密度的反比例函数解析式 ； (2)当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度为 ； (3)若使用该密度计时，浸入溶液的高度不能低于（高度过低会导致密度计倾倒失效），求该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围． 2．在物理实验课上，小明用滑动变阻器设计了一个电路给一个小灯泡供电，在实验中，电流（单位：A）与滑动变阻器的电阻（单位：）是反比例函数关系，当时，． (1)写出关于的函数解析式： (2)完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； … 3 4 5 6 8 9 10 12 … … … (3)当电流超过时，小灯泡会损坏，那么滑动变阻器的阻值应控制在什么范围内？ 3．项目式学习·测量盒子质量 问题背景：日常生活中的各种称重仪器大多都可以测出一定范围内的物体质量，当物体质量太轻或太重时便无法直接测量出结果，在数学活动课上，老师让同学们测空牛奶盒的质量． 实验操作：如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点A处，且托盘上放置了一个的砝码，右侧托盘可以在段滑动，已知，，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据． 实验数据： 实验序号 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 总质量m（牛奶+水） 120 60 50 40 150 的距离 12.5 25 30 37.5 10 问题解决    (1)任务一：根据表中数据可知，的长度随着总质量m的增大而________，并依此猜想：l与m满足怎样的函数关系：________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）； (2)任务二：某同学给空牛奶盒里加入了的水，移动托盘使天平保持平衡，此时，求这个空牛奶盒的质量； (3)任务三：在任务二的情况下，天平达到平衡，此时将含水的牛奶盒与砝码的位置互换，要使天平仍保持平衡，则右边托盘应怎样移动． 4．当压力一定时，压强P（单位：）是受力面积S（单位：）的反比例函数，如图，当时，． (1)求P关于S的函数解析式； (2)若要求P不超过，求S的取值范围． 二、反比例函数在行程类问题中的灵活运用。（核心——路程一定） 5．超越公司将某品牌农副产品运往新时代市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如下表： v（千米/小时） 60 75 80 90 t（小时） 5.00 4.00 3.75 (1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； (2)汽车上午7：30从超越公司出发，能否在上午10：00之前到达新时代市场？请说明理由． 6．五一假期，小王一家从杭州到温州自驾游，已知杭州到温州市区A处的路程为300千米，小王家的车油箱的容积为55升，小王把油箱加满后驾驶汽车从杭州出发．    (1)求汽车行驶的总路程s（单位：千米）与平均耗油量b（单位：升/千米）的函数表达式． (2)小王以平均每千米耗油0.1升的速度驾驶汽车到达温州市区A处，休整后沿图示路线继续出发，先到雁荡山B处，再到楠溪江C处，最后到洞头D处．由于下雨，从A处开始直到D处小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了20%．如果小王始终以此速度行驶，不需加油能否到达洞头D处？如果不能，至少还需加多少油？ 7．丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．驾驶员根据平时驾车去往杭州市场的经验，得到v、t的一组对应值如下表： （千米/小时） 50 60 75 80 （小时） 6 5 4 3.75 (1)根据表中的数据，可知该公司到杭州市场的路程为___________千米； (2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数表达式； (3)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由． 8．已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过120千米/时．若从A市到B市汽车的行驶里程为480千米． (1)求关于的函数表达式和自变量t的取值范围； (2)若汽车从上午从市出发，如果汽车在当天到之间到达市，求汽车行驶速度的范围． 三、经典题型：经济生活类。（分段求最值） 9．某小微企业生产加工一种产品，2013年1月的利润为180万元．设2013年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于企业生产规模较小，且成本较大，该厂决定从2013年1月底起适当限产，并投入资金进行扩建改造，导致月利润明显下降．从1月到6月y与x成反比例，到6月底扩建改造工程顺利完工，从这时起，该企业每月的利润比上一个月增加16万元．如图． (1)分别求出该企业扩建改造期间及扩建改造工程完工后，y与x之间对应的函数关系式； (2)扩建改造工程完工后从第几个月开始，该企业月利润才能不低于190万元？ (3)扩建改造工程完工后经过几个月，该企业月利润才能达到174万元？ (4)当月利润少于80万元时为该企业资金紧张期，问该企业资金紧张期大约有几个月（结果保留整数）？ 10．一家名牌上衣专卖店月份的经营目标是盈利元． (1)写出专卖店月份每件上衣的利润（元）关于所需售出的上衣件数（件）的函数解析式； (2)如果每件上衣的利润是元，要完成经营目标，该商店月份至少要卖出多少件上衣？ (3)若经理只要求达到元利润，每售出一件上衣，售货员要提成元，在每件上衣元利润不变的前提下，营业员至少需要卖出多少件上衣才能完成任务？ 11．2020年9月，中国在联合国大会上向世界宣布了2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和的目标．为推进实现这一目标，某工厂投入资金进行了为期6个月的升级改造和节能减排改造，导致月利润明显下降，改造期间的月利润与时间成反比例函数关系；到6月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加30万元．设2021年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元，其图象如图所示，试解决下列问题： (1)分别写出该工厂对生产线进行升级改造前后y与x的函数表达式； (2)当月利润少于90万元时，为该工厂的资金紧张期，则该工厂资金紧张期共有几个月． 四、高频题型：反比例函数与图形面积的融合。 12．如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60ｍ2的矩形科技园ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为．设AD的长为，DC的长为．    （1）求与之间的函数关系式； （2）若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26ｍ，材料AD和DC的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线与相交于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)当时，求k的值； (2)点B关于y轴的对称点为C，连接； ①判断的形状，并说明理由； ②当的面积等于16时，双曲线上是否存在一点P，连接，使的面积等于面积？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 14．如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点，连接交双曲线另一支于点．已知点的坐标为，分别过作轴于、轴与，连接，过作直线． (1)求直线和反比例函数的表达式； (2)点在双曲线上移动，其它条件不变，和的面积会改变吗？如果不会改变，请直接写出它们的面积；如果会改变，请说明理由． 15．已知、两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)已知点P在x轴上，且的面积是面积的2倍，求点P的坐标． 16．已知反比例函数图象经过点，直线，经过点，经过点且垂直于轴的直线与直线相交于．    (1)求的值； (2)若的面积等于15，求直线l的解析式； (3)点G在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，问是否存在点G和点Q，使以G．Q及（2）中的C．B四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 五、工程类：核心总工作量一定。 17．一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天. (1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土? 18．市政府计划建设一项绿化工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)求运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间的函数关系式； (2)若这个运输公司每天可运送土石方，该公司完成全部运输任务需要多长时间？ 19．在伊通河治理工程实验过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数（单位：天）与每天完成的工程量（单位：m/天）之间的函数关系图象是如图所示的双曲线的一部分．    (1)请根据题意，求关于的函数解析式； (2)若该工程队有台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠，则该工程队需用多少天才能完成此项任务？ 20．在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（天）与每天完成工程量x米的函数关系图像如图所示，是双曲线的一部分． (1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式； (2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？ (3)工程队在（2）的条件下工作5天后接到防汛紧急通知，最多再给5天时间完成全部任务，则最少还需调配几台挖掘机？ 六、高频考点：方案设计类 21．双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中代表优惠金额，代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率与顾客购买总金额（元）之间的函数关系分别如图所示，其中成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足． (1)___________；用含m的代数式表示：___________． (2)当购买总金额m（元）在的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？ 甲：___________；乙：___________ (3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由． 22．如图，学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为的长方形种植园，其中边靠墙，墙长为．设的长为，的长为． (1)求与之间的函数关系式． (2)若围栏总长不超过，和的长都是整数，求满足条件的所有围建方案． 23．某种糖艺工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． 方案 恒温工作 间歇加热工作 过程 ①从加热到； ②保持进行加工． ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元．（注：自然降温阶段不产生成本） (1)求材料加热到的时间． (2)求材料自然降温时，y关于x的函数表达式． (3)已知该工艺品操作时温度需保持在（包括），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 七、反比例函数在实际生活中的灵活应用。（核心：总量一定） 24．“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 25．为保障学生饮水健康安全，鹿鸣路初中配备了智能全自动饮水机．八年级数学兴趣小组研究发现：饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升，加热到时停止加热；随后水温自然回落，此阶段水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，开始下一轮循环．若初始水温在时接通电源，八年级数学兴趣小组绘制了水温随通电时间变化的部分函数图象（如图所示），请结合图象解答下列问题． (1)图象中停止加热后水温自然回落至的过程中，水温与通电时间x（min）之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是_____； (2)图象中从接通电源开始，到水温首次回落至为止，求这一过程中水温不低于时长为多少分钟？ (3)早晨7：40接通电源启动加热（此时水温为），当天上午9：20下课时同学们______（填“能”或“不能”）接到的温开水，此时水温为______． 26．某新型发动机启动过程中，转速与时间的关系如下： 阶段1（启动阶段）：从启动开始，转速随时间均匀增加．启动时转速为转，转速每分钟提高转，转速达到转停止加速； 阶段2（稳定下降阶段）：达到最高转速后，发动机进入保护模式，转速开始下降，且下降过程中转速与时间成反比例函数关系．已知转速（单位：转）与通电时间（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)求关于的函数解析式；（不需要写出自变量的取值范围） (2)从开始加速到转速下降的一个周期内，转速不低于转的时间有多长？ 27．综合与实践 【项目主题】探究智能物流分拣中的数学规律，提升数据运算与模型构建能力 【实践小组】某校初中科技社团 智能分拣是现代物流核心作业环节，分拣效率指设备每秒处理包裹的数量（件）．某校初中科技社团开展实践活动，探究不同设备分拣效率、温度对效率的影响，用数学模型解决物流实际问题． 【项目准备】 1．设备选取：3种智能分拣设备（桌面小型分拣机、皮带中型分拣机、交叉带大型分拣机），分别记为设备A、设备B、设备C； 2．任务设定：选取同一批包裹分拣任务，该任务的总包裹量固定，记为（单位：件）； 3．实验原理：在标准环境下，设备完成任务的时间（单位：）与分拣效率（单位：件）成反比例关系，（为定值，，）． 4．实验数据： 设备类型 标准分拣效率（件/s） 完成时间 设备A（小型分拣机） 5 100 设备B（中型分拣机） 10 设备C（大型分拣机） 20 25 【项目探究】 (1)根据实验原理，该分拣任务的总包裹量________，________； (2)在实际作业中，当时，设备的实际分拣效率、与环境温度（）满足一次函数关系：，，若将设备A和设备B组成联合分拣组同时处理该任务，总效率为两者实际效率之和．求当环境温度为时，该联合分拣组完成总包裹量所需的时间； (3)设备C的实际分拣效率与环境温度（）满足：，若要使设备C完成该任务的实际时间不超过第（2）问中环境温度为时联合分拣组的完成时间，求环境温度（）的取值范围． 试卷第38页，共38页 试卷第8页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $