第13讲 有理数的运算技巧（讲义，全国通用新教材北师大版）数学小升初衔接

第13讲 有理数的运算技巧 学习目标 知识回顾 在有理数的运算中，若能根据题目的特征，采用适当的运算技巧，不但能化繁为简，提高运算速度，提升运算的准确率，而且会使计算过程充满乐趣。本专题重点学习几种有理数常用的运算技巧。 1.有理数的混合运算的基本概念和方法； 2.混合运算中加、减、乘、除、乘方的优先级顺序； 3.熟练掌握混合运算中的运算技巧（特别是运算律）。 新知导图 预习精讲 知识点01 有理数的运算技巧 有理数简便运算是七年级上册有理数运算的核心重难点，是在掌握有理数四则运算、乘方运算及基础运算定律的基础上，优化运算步骤、简化复杂算式的高效计算方法。 区别于按顺序逐一计算的硬算方式，简便运算依托加法、乘法的交换律、结合律及乘法分配律，针对含负数、分数、小数的混合算式，通过凑整、拆分（分组）、倒数、活用运算定律，裂项、错位、图解等技巧重组算式，规避繁琐通分、复杂大数计算，大幅减少符号、计算失误。 有理数的简便运算核心本质是改变运算组合，不改变运算结果，始终遵循有理数 “先定符号，再算数值” 的运算原则，适配有理数加减、乘除、混合运算各类题型，是提升有理数运算速度与准确率的关键，也是后续整式运算、方程计算的基础能力。 1）有理数运算核心：先定符号，再算数值，严守运算顺序。 2）简便运算核心：凑整、拆分（分组）、倒数、活用运算定律，裂项、错位、图解，拒绝盲目硬算。 3）提分关键：规避符号、乘方、运算顺序三大易错点，规范解题步骤。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）用简便方法计算： （1）； (2)． 【答案】（1）；(2) 【详解】（1）解： ． （2）解：原式 ； 2.（25-26七年级·浙江衢州·阶段练习）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解： ； （2） ； 3．（24-25七年级上·福建龙岩·期中）阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 4.（25-26七年级上·浙江宁波·期中）多个数进行相加时，有许多计算技巧，其中一种为裂项相消法，有一种裂项方法为：当n，i均为正整数时，有，例如．根据上述结论，完成问题： (1)计算：； (2)直接写出下式的计算结果：______； (3)①计算的值；②计算的值． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）解：，故答案为：， （2），故答案为：． （3）① ； ② ， ． 5．（25-26七年级上·山东青岛·期中）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用． 如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．    (1)图中阴影部分的面积为　　；(2)受此启发，得到＝　　； (3)联系拓广，得到＝　　（用含n的式子表示）； (4)迁移应用：得到＝　　（直接写出答案即可）． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）由题知，正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， 所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等． 又因为部分①的面积为：，部分②的面积为：， 部分③的面积为：，…，依次类图，部分n的面积为． 当时，．所以阴影部分的面积为．故答案为：． （2）由（1）知，，所以．故答案为：． （3）根据（2）中的发现可知，．故答案为：． （4）由题知，原式． 令①，则②， 得，，即， 所以原式．故答案为：． 题型速练 题型01凑整法 【例1】（25-26七年级上·成都·校考期中）用简便方法计算：（1） ． （2） ． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）解：．故答案：． （2）解：原式．故答案为：． 【例2】（25-26七年级上·江苏·校考期中）用简便方法计算： （1）；（2） 【答案】（1）（2） 【详解】解： ． （2）原式. 必记结论 凑整法是数学运算中通过调整数字组合使其接近整十、整百等易计算的数值，从而简化运算过程的技巧。 核心思想‌：通过拆分、重组或调整运算顺序，使复杂的非整数值转化为整十、整百等便于计算的整数，从而提升运算效率和准确性。 【小试牛刀】 1．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲：； 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】A 【详解】解： ，故甲正确； ，故乙正确．故选A． 2．（25-26七年级上·重庆·专题练习）用简便方法计算： (1)；(2)．(3) 【答案】(1)(2)1 （3） 【详解】（1）解：原式 ， （2）解：原式 ． （3） 3．（24-25七年级上·辽宁锦州·期中）用简便方法计算 （1）；（2）； 【答案】（1）；（2）7.5 【详解】（1）解： （2）解： ． 题型02 拆分法 【例1】（25-26七年级上·四川成都·期中）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ， 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 请仿照上面的方法，计算：． 【答案】 【详解】解： ． 必记结论 拆项法是一种将带分数或复杂分数表达式拆分为整数和真分数（或更简单的分数组合）进行计算的方法。 结构拆分‌：将带分数分解为整数部分和真分数部分（如）； 分组优化‌：利用加法结合律、乘法分配律等数学规则重组运算顺序。 【小试牛刀】 1.（25-26七年级上·江苏·专题练习）阅读下面文字：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法．仿照上面的方法，请你计算： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． 2.（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）阅读下面文字： 对于可以进行如下计算： 解：原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程；(2)类比上面的方法计算：． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：原式， ， ， ， 故答案为：；；． （2）解：原式， ， ． 3.（25-26七年级上·安徽合肥·期中）阅读下题的计算方法 计算： 解：原式 上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 题型03 倒数法 【例1】（25-26七年级上·成都·期中）计算： (1)前后两部分之间存在着什么关系？(2)先计算哪部分比较简单?请给予解答； (3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果；(4)根据上述分析，求出原式的结果． 【答案】(1)前后两部分互为倒数(2)先计算后面的部分比较简单，解答过程见解析(3)另一部分的结果为 【解析】解：∵乘积为1的两个数互为倒数 ∴前后两部分互为倒数． （2）解：计算应先通分，然后化除法为乘法，最后进行计算； 计算，先化除法为乘法，然后根据乘法分配律，进行加减计算； ∴先计算后面部分比较方便 计算如下： ． （3）解：∵前后两部分互为倒数，后面部分： ∴前面部分：． （4）解： ． 必记结论 倒数法通过取倒数或表达式的倒数，将复杂运算转化为更易处理的形式。 倒数法通过逆向转化运算逻辑，显著提升分数运算、方程求解及复杂问题的处理效率。重点在于灵活转化运算形式（如除法→乘法、分母→分子），并结合分配律、方程变形等技巧综合应用。 【小试牛刀】 1.（25-26七年级上·江苏·专题练习）阅读材料，回答问题． 计算：． 解：方法一：原式． 方法二：原式的倒数为： 故原式． 用适当的方法计算：． 计算： 解法①：原式 ； 解法②：原式 ； 解法三：原式的倒数为 ， 故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法___________是错误的（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法___________比较简便．（填序号）请你进行简便计算：． 【答案】(1)①(2)③； 【详解】（1）解：根据有理数的四则混合运算法则知，解法①是错误的．故答案为：①； （2）解：在正确的解法中，解法③比较简便．故答案为：③； 原式的倒数为 ， ∴原式． 2.（25-26七年级上·湖南湘西·期末）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算 刘聪和他的小伙伴选择常规解法： 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：原式的倒数： 所以，原式 (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？ 为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算： 【答案】(1)更喜欢张明的解法，理由见解析(2) 【详解】（1）解：更喜欢张明的解法，理由如下： 观察两人的解题过程可知，张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便， ∴更喜欢张明的解法； （2）解：原式的倒数为： ， ． 题型04 相互转化法 【例1】（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）计算（能简算的要简算） (1)；(2)；(3) (4)；(5)；(6) 【答案】(1)(2)3(3)(4)80(5)2(6) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 必记结论 相互转化法通过形式（分数、小数、百分数）统一、结构优化和单位整合，大幅提升计算效率。重点在于灵活选择转化路径，并熟练运用运算定律（如分配律、结合律）进行简化。 【小试牛刀】 1.（25-26七年级·福建厦门·阶段练习）用简便方法计算： (1)；(2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 【详解】（1）解： ； 2.（25-26七年级上·山东青岛·期中）计算：(1)；(2) 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解： （2） 题型05 利用运算律进行简算 【例1】（24-25七年级上·北京朝阳·阶段练习）计算（能用简便方法的用简便方法） (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 必记结论 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 乘法分配律的逆用： 运算律法：‌变运用运算律改变运算顺序；通过改变运算顺序，简化计算步骤。 ‌逆正难则反，逆用运算律改变次序‌：通过逆用运算律，解决复杂问题。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·浙江·期中）用简便方法计算：(1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 2．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算：(1) (2) (3) (4)用简便方法计算： 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： （4）解： ． 3.（24-25七年级上·浙江杭州·期中）简便运算：（1）．（2）； 【答案】（1）．（2） 【详解】（1）原式= = =． （2）解： 题型06 裂项相消法 【例1】（25-26七年级上·成都·月考）观察下列等式： ，，…… 用你发现的规律解答下列问题：（）猜想并写出：__________． （）直接写出下列各式的计算结果： ①…… .②…… . （）探究算式，直接写出计算结果：……_____． 【答案】（1）;（2）①;②;（3）. 【详解】(1) . ①…+ ==1−， ②…… =1−； (3) …… = = = 故答案为（1）;（2）①;②;（3）. 【例2】（25-26七年级上·重庆·期中）观察下列等式：，，…… 用你发现的规律解答下列问题：（）猜想并写出：__________； （）探究算式，并计算：； （3）探究算式，并计算：。 【详解】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）。答案： （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ 必记结论 裂项相消法‌是将分数表达式拆分为若干项的差值或和差形式，使得相邻项在求和时发生抵消，从而快速简化计算的策略。裂项相消法的核心是通过巧妙的代数变形，将复杂求和转化为简单抵消。掌握常见裂项公式和系数调整技巧，可快速解决分式、数列求和等问题，尤其在竞赛和考试中能大幅提升效率。 第一类（“裂差”型运算）：①或 ； 第二类（“裂和”型运算）： 或 。 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 【小试牛刀】 1．（24-25七年级上·广东·期中）计算： 【答案】 【解析】原式 2.（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读下列材料： 计算： 解：原式 这种求和方法称为“裂项相消法”，请你参照此法计算： ． 【答案】 【详解】解：依题意得： 3．（24-25七年级上·江苏·期中）计算：      【答案】； 【详解】 题型07 图解法 【例1】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算：     ． 【答案】 【详解】解：分析图形中的数据可知：，，， ，故答案为：，． 必记结论 利用图形进行简便运算的方法，通常被称为‌图形法‌或‌几何法‌。这种方法通过将数学问题转化为图形问题，利用图形的直观性和几何性质来简化运算过程。需要注意的是，虽然图形法可以简化运算过程并提高解题效率，但在使用时应确保图形的准确性和规范性。此外，对于一些特殊问题或复杂情况，可能需要结合其他数学方法或工具来共同求解。 【小试牛刀】 1．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）数形结合是一种重要的数学思想方法，以形助数更直观．例如：计算时，可以用图形来解释：把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形；接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的长方形；再把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的长方形．所以，阴影部分的面积：． (1)利用上述图形思路，你能猜想出下式的结果吗？． (2)利用上题猜想的结果，计算：． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵图中阴影部分的面积为． ∴可得出阴影部分的面积等于总面积减去空白的面积， ∴可以看成是把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形；接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的长方形；再把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的长方形．．．一直等分成两个面积为的长方形，∴； （2）解：可以看成是把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形；接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的长方形；再把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的长方形．．．一直等分成两个面积为的长方形， ∴． 2．（24-25七年级上·湖南常德·期中）如图，把一个面积为 1 的正方形分成两个面积为 的长方形，再把其中一个面积为 的长方形分成两个面积为 的正方形，再把其中一个面积为 的正方形分成两个面积为 的长方形，如此进行下去，用图形揭示的规律计算： ． 【答案】 【详解】解：由图可知：，，…, ∴故答案为： 3．（2025·山东·一模）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的长方形，再把面积为的长方形等分两个面积为的长方形，如此下去，利用图中所示的规律计算：＝ ． 【答案】 【详解】解：根据图示可知，，，， ∴＝．故答案为． 变式2． 题型08 错位相减法 【例1】（2025·安徽·一模）【阅读材料】数列是一个古老的数学课题，我国对数列概念的认识很早，例如《易传•系辞》：“河出图，洛出书，圣人则之；两仪生四象，四象生八卦”．这是世界数学史上有关等比数列的最早文字记载． 【问题提出】求等比数列1+a1+a2+a3+…+an的值(a＞0，且a≠1，n是正整数，请写出计算过程)． 【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q表示．如：数列1，2，4，8，…为等比数列，其中a1=1，a2=2，公比为q=2．根据以上材料，解答下列问题： (1)等比数列3，9，27，…的公比q为_____，第5项是_____． 【公式推导】如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：=q，=q，=q，…，=q．所以a2=a1•q，a3=a2•q=a1q•q=a1•q2，a4=a3•q=a1•q2=a1•q3，… (2)由此，请你填空完成等比数列的通项公式：an=a1•(_____)． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．欧几里得在《几何原本》中就给出了等比数列前n项和公式，而错位相减法则直到1822年才由欧拉在《代数学基础》中给出，时间相差两千多年．下面是小明为了计算1+2+22+…+22019+22020的值，采用的方法： 设S=1+2+22+…+22019+22020①，则2S=2+22+…+22020+22021②， ②-①得2S-S=S=22021-1，∴S=1+2+22+…+22019+22020=22021-1． 【解决问题】(3)请仿照小明的方法求等比数列1+a1+a2+a3+…+an的值(a＞0，且a≠1，n是正整数，请写出计算过程)． 【拓展应用】(4)计算25+252+253+…+25n的值为_____．(直接写出结果) 【答案】(1)3，243；(2)qn-1；【解决问题】；【拓展应用】 【详解】解：(1)等比数列3，9，27，…的公比q为3， 第四项为27×3=81，第五项为81×3=243，故答案为：3，243． (2) 如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：=q，=q，=q，…，=q．所以a2=a1•q，a3=a2•q=a1q•q=a1•q2，a4=a3•q=a1•q2=a1•q3，…an=a1.qn-1．故答案为：qn-1． (3)设S=1+a1+a2+a3+…+an①，则aS=a1+a2+a3+…+an+1②， ②-①得aS-S=(a-1)S=an+1-1，∴． (4)设S=25+252+253+…+25n，∴25S=252+253+…+25n+1， ∴25S-S=25n+1-25，∴．故答案为：． 必记结论 错位相减法通过构造等比数列的和式与其公比倍数的错位式，利用‌中间项相消的特性简化求和过程，最终导出等比数列前n项和的表达式。通过错位相减法，可直观理解等比数列求和的数学本质，并确保公式推导的逻辑严密性。实际应用中，直接套用闭合公式可高效解题，但推导过程需熟练掌握。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·成都·校考期中）【旧题重现】计算的值． 解：设，则 ， 得： ，，即 通过阅读，你一定学到了一种解决问题的方法． 请用你学到的方法计算：． 【新方法生成】将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，请利用数形结合的思想解决下列问题： （1）　 　；（2）　 　；（3）　 　； 【新方法迁移】（4）　 　；    【答案】旧题重现：；新方法生成:（1）（2）（3）；新方法迁移:（4） 【详解】解：旧题重现：设，则： 所以， 新方法生成：结合图形可得： （1）；（2）；（3）； 新方法迁移：（4）故答案为： 2．（24-25七年级上·广东深圳·期中）《庄子∙天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，探究课上，同学们运用此数学思想研究下列问题． “聪慧组”的同学将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，并用数形结合的思想解决下列问题 (1)请按照“聪慧组”同学的思路填空 ；________；猜想： ； (2)为了证明“聪慧组”同学得到的结论，“明辨组”的同学采用了以下方法进行证明，请将证明过程补充完整． 设 则 即 化简得 得： 即___________； 进一步可猜想：___________． 通过阅读，你一定学到了多种解决问题的方法． (3)请选择“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法进行计算： （只选一种解法，若选择作图，请标注出各部分图形的面积，下图是边长为的正方形） 【答案】(1)；；(2)；；(3)，见解析． 【详解】（1）解：；；；； ；故答案为：；； （2）解：得：，即； 设 则 即 化简得 得：，即； 故答案为：；； （3）解：解法一：设，则， 化简得， 得：，∴； 解法二：如图，由图可知：． 基础过关 1.（25-26七年级·广东·阶段练习）计算值为（  ） A．0 B．﹣1 C．2020 D．-2020 【答案】D 【详解】解：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+……+2017+2018-2019-2020 =（1+2-3-4）+（5+6-7-8）+（9+10-11-12）+……+（2017+2018-2019-2020） =（-4）+（-4）+（-4）+（-4）+……+（-4）=（-4）×505＝-2020．故选D. 2．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）阅读下面文字：对于 可以如下计算：原式 ， 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，计算： ． 【答案】 【详解】解：原式 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 4．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）用简便方法计算：(1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：；． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：①______；②______． (2)用合理的方法计算：． (3)用简便方法计算：． 【答案】(1)①；②(2)(3) 【详解】（1）解：①；②；故答案为：①；②； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 6．（25-26七年级上·江苏·专题练习）用简便方法计算：(1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 7．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）（1）计算： ； （2）计算：；（3）计算：． （4）用简便方法计算： ． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式 ． 8．（25-26七年级上·浙江金华·阶段练习）用简便方法计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解： ． （2） ． （3） ． 9．（25-26七年级上·广东·专题练习）用简便方法计算： （1）．（2） 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： ． 10．（24-25七年级上·河北廊坊·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)0(3)7(4) 【详解】（1）解：原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 11．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1)（用简便方法）．(2)（用乘法分配律） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： （2）解： ． 12．（24-25七年级上·天津宁河·阶段练习）用简便方法计算： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）（1）计算：     （2）计算： （3）计算：     （4）用乘法分配律计算： （5）计算：     （6）用简便方法计算： 【答案】（1）2；（2）；（3）；（4）4；（5）；（6） 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 14．（25-26七年级上·江苏·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3)12 (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （3）解：原式 ； （4）解： ； 能力提升 15．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．如图，将一个边长为1的正方形纸板等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形分成两个面积为的长方形，如此继续进行下去，根据图形的规律计算：的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：分析数据和图象可知，利用正方形的面积减去最后的一个小长方形的面积来求解面积和即为所求.最后一个小长方形的面积= ；故 即 故选B. 16．（24-25七年级上·广东·期中）  【答案】98； 【详解】 ＝（1－）＋（1－）＋（1－）＋……＋（1－）＋（1－） ＝99×1－（＋＋＋……＋＋） ＝99－[（1－）＋（－）＋（－）＋……＋（－）＋（－）] ＝99－[1－] ＝98 17．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）      【答案】5055； 【详解】 ＝1＋＋2＋＋3＋＋4＋＋5＋…＋100＋ ＝（1＋2＋3＋4＋…＋100）＋（＋＋＋＋…＋） ＝（1＋100）×100÷2＋ ＝101×100÷2＋ ＝10100÷2＋ ＝5050＋ ＝5050＋5 ＝5055 18．（24-25·辽宁·七年级专题练习）计算题。 19.98×68＋199.8×4.2－1998×0.1 【答案】5055；1998；； 【详解】 ＝（1＋2＋3＋…＋100）＋ ＝（1＋100）×100÷2＋ ＝5050＋ ＝5050＋5 ＝5055 19.98×68＋199.8×4.2－1998×0.1 ＝199.8×6.8＋199.8×4.2－199.8×1 ＝199.8×（6.8＋4.2－1） ＝199.8×10 ＝1998 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 19．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）（1）请你观察： ；；… 以上方法称为“裂项相消求和法” 仿照上面的方法，请你计算：的值． （2）．阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法； 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1），，，……， 以此类推可知，（n为自然数）， ∴ ； （2） ． 20．（25-26·四川成都·七年级期中） 【答案】885 【详解】 ＝0.5＋1＋1.5＋2＋2.5＋……29.5 ＝（0.5＋29.5）×59÷2 ＝30×59÷2 ＝1770÷2 ＝885 挑战一刻 21．（25-26·广东茂名市·七年级期末）为了求的值，可设，则，因此，所以．请仿照以上推理计算出 ________ ． 【答案】 【详解】设，则， 因此，，所以，即，故答案为：． 22．（25-26·江苏淮安·七年级期中）简便计算：；   【答案】； 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 23．（24-25·湖北 七年级专题练习）计算： （1）＋＋＋＋;（2）1－＋－＋ 【答案】1680；； （1）＋ ＝2016×（） ＝2016×（） ＝2016×（－－－－－） ＝2016×（1－－－－－） ＝2016× ＝1680 （2）1－＋－＋ ＝1＋－＋－＋ ＝1＋－－＋＋－－＋＋ ＝1＋－－＋＋－－＋＋ ＝1＋ ＝ 24．（24-25·辽宁·七年级专题练习）计算题。 【答案】；；；16 【详解】 ＝ ＝ ＝×（） ＝×（） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝（68×90）× ＝（68×90）×＋（68×90）× ＝＋ ＝ ＝16 25．（24-25七年级上·山东青岛·期中）曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了． 下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：数学问题，计算(其中是正整数，且，)． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；…… 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分割图可得等式：． 探究二：计算． 第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，…… 第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分制图可得等式：， 两边同除2，得， 探究三：计算． (仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程) 解决问题．计算． (在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)． (1)根据第n次分割图可得等式：___________．(2)所以，___________． (3)拓广应用：计算___________． 【答案】探究三：图见见解析； 解决问题：图见解析；（1）；（2）；（3） 【详解】探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分， 其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，…， 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分， 所有阴影部分的面积之和为：，最后的空白部分的面积是， 根据第次分割图可得等式：， 两边同除以3，得； 解决问题： （1）故答案为： （2），故答案为：； （3）拓广应用： ．故答案为：． 1 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 有理数的运算技巧 学习目标 知识回顾 在有理数的运算中，若能根据题目的特征，采用适当的运算技巧，不但能化繁为简，提高运算速度，提升运算的准确率，而且会使计算过程充满乐趣。本专题重点学习几种有理数常用的运算技巧。 1.有理数的混合运算的基本概念和方法； 2.混合运算中加、减、乘、除、乘方的优先级顺序； 3.熟练掌握混合运算中的运算技巧（特别是运算律）。 新知导图 预习精讲 知识点01 有理数的运算技巧 有理数简便运算是七年级上册有理数运算的核心重难点，是在掌握有理数四则运算、乘方运算及基础运算定律的基础上，优化运算步骤、简化复杂算式的高效计算方法。 区别于按顺序逐一计算的硬算方式，简便运算依托加法、乘法的交换律、结合律及乘法分配律，针对含负数、分数、小数的混合算式，通过凑整、拆分（分组）、倒数、活用运算定律，裂项、错位、图解等技巧重组算式，规避繁琐通分、复杂大数计算，大幅减少符号、计算失误。 有理数的简便运算核心本质是改变运算组合，不改变运算结果，始终遵循有理数 “先定符号，再算数值” 的运算原则，适配有理数加减、乘除、混合运算各类题型，是提升有理数运算速度与准确率的关键，也是后续整式运算、方程计算的基础能力。 1）有理数运算核心：先定符号，再算数值，严守运算顺序。 2）简便运算核心：凑整、拆分（分组）、倒数、活用运算定律，裂项、错位、图解，拒绝盲目硬算。 3）提分关键：规避符号、乘方、运算顺序三大易错点，规范解题步骤。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）用简便方法计算： （1）； (2)． 2.（25-26七年级·浙江衢州·阶段练习）用简便方法计算： (1) (2) 3．（24-25七年级上·福建龙岩·期中）阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 4.（25-26七年级上·浙江宁波·期中）多个数进行相加时，有许多计算技巧，其中一种为裂项相消法，有一种裂项方法为：当n，i均为正整数时，有，例如．根据上述结论，完成问题： (1)计算：； (2)直接写出下式的计算结果：______； (3)①计算的值；②计算的值． 5．（25-26七年级上·山东青岛·期中）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用． 如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．    (1)图中阴影部分的面积为　　；(2)受此启发，得到＝　　； (3)联系拓广，得到＝　　（用含n的式子表示）； (4)迁移应用：得到＝　　（直接写出答案即可）． 题型速练 题型01凑整法 【例1】（25-26七年级上·成都·校考期中）用简便方法计算：（1） ． （2） ． 【例2】（25-26七年级上·江苏·校考期中）用简便方法计算： （1）；（2） 必记结论 凑整法是数学运算中通过调整数字组合使其接近整十、整百等易计算的数值，从而简化运算过程的技巧。 核心思想‌：通过拆分、重组或调整运算顺序，使复杂的非整数值转化为整十、整百等便于计算的整数，从而提升运算效率和准确性。 【小试牛刀】 1．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲：； 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 2．（25-26七年级上·重庆·专题练习）用简便方法计算： (1)；(2)．(3) 3．（24-25七年级上·辽宁锦州·期中）用简便方法计算 （1）；（2）； 题型02 拆分法 【例1】（25-26七年级上·四川成都·期中）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ， 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 请仿照上面的方法，计算：． 必记结论 拆项法是一种将带分数或复杂分数表达式拆分为整数和真分数（或更简单的分数组合）进行计算的方法。 结构拆分‌：将带分数分解为整数部分和真分数部分（如）； 分组优化‌：利用加法结合律、乘法分配律等数学规则重组运算顺序。 【小试牛刀】 1.（25-26七年级上·江苏·专题练习）阅读下面文字：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法．仿照上面的方法，请你计算： (1)； (2)． 2.（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）阅读下面文字： 对于可以进行如下计算： 解：原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程；(2)类比上面的方法计算：． 3.（25-26七年级上·安徽合肥·期中）阅读下题的计算方法 计算： 解：原式 上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算： 题型03 倒数法 【例1】（25-26七年级上·成都·期中）计算： (1)前后两部分之间存在着什么关系？(2)先计算哪部分比较简单?请给予解答； (3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果；(4)根据上述分析，求出原式的结果． 必记结论 倒数法通过取倒数或表达式的倒数，将复杂运算转化为更易处理的形式。 倒数法通过逆向转化运算逻辑，显著提升分数运算、方程求解及复杂问题的处理效率。重点在于灵活转化运算形式（如除法→乘法、分母→分子），并结合分配律、方程变形等技巧综合应用。 【小试牛刀】 1.（25-26七年级上·江苏·专题练习）阅读材料，回答问题． 计算：． 解：方法一：原式． 方法二：原式的倒数为： 故原式． 用适当的方法计算：． 计算： 解法①：原式 ； 解法②：原式 ； 解法三：原式的倒数为 ， 故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法___________是错误的（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法___________比较简便．（填序号）请你进行简便计算：． 2.（25-26七年级上·湖南湘西·期末）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算 刘聪和他的小伙伴选择常规解法： 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：原式的倒数： 所以，原式 (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？ 为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算： 题型04 相互转化法 【例1】（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）计算（能简算的要简算） (1)；(2)；(3) (4)；(5)；(6) 必记结论 相互转化法通过形式（分数、小数、百分数）统一、结构优化和单位整合，大幅提升计算效率。重点在于灵活选择转化路径，并熟练运用运算定律（如分配律、结合律）进行简化。 【小试牛刀】 1.（25-26七年级·福建厦门·阶段练习）用简便方法计算： (1)；(2)． 2.（25-26七年级上·山东青岛·期中）计算：(1)；(2) 题型05 利用运算律进行简算 【例1】（24-25七年级上·北京朝阳·阶段练习）计算（能用简便方法的用简便方法） (1)； (2)； (3)； (4) 必记结论 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 乘法分配律的逆用： 运算律法：‌变运用运算律改变运算顺序；通过改变运算顺序，简化计算步骤。 ‌逆正难则反，逆用运算律改变次序‌：通过逆用运算律，解决复杂问题。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·浙江·期中）用简便方法计算：(1) (2) 2．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算：(1) (2) (3) (4)用简便方法计算： 3.（24-25七年级上·浙江杭州·期中）简便运算：（1）．（2）； 题型06 裂项相消法 【例1】（25-26七年级上·成都·月考）观察下列等式： ，，…… 用你发现的规律解答下列问题：（）猜想并写出：__________． （）直接写出下列各式的计算结果： ①…… .②…… . （）探究算式，直接写出计算结果：……_____． 【例2】（25-26七年级上·重庆·期中）观察下列等式：，，…… 用你发现的规律解答下列问题：（）猜想并写出：__________； （）探究算式，并计算：； （3）探究算式，并计算：。 必记结论 裂项相消法‌是将分数表达式拆分为若干项的差值或和差形式，使得相邻项在求和时发生抵消，从而快速简化计算的策略。裂项相消法的核心是通过巧妙的代数变形，将复杂求和转化为简单抵消。掌握常见裂项公式和系数调整技巧，可快速解决分式、数列求和等问题，尤其在竞赛和考试中能大幅提升效率。 第一类（“裂差”型运算）：①或 ； 第二类（“裂和”型运算）： 或 。 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 【小试牛刀】 1．（24-25七年级上·广东·期中）计算： 2.（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读下列材料： 计算： 解：原式 这种求和方法称为“裂项相消法”，请你参照此法计算： ． 3．（24-25七年级上·江苏·期中）计算：      题型07 图解法 【例1】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算：     ． 必记结论 利用图形进行简便运算的方法，通常被称为‌图形法‌或‌几何法‌。这种方法通过将数学问题转化为图形问题，利用图形的直观性和几何性质来简化运算过程。需要注意的是，虽然图形法可以简化运算过程并提高解题效率，但在使用时应确保图形的准确性和规范性。此外，对于一些特殊问题或复杂情况，可能需要结合其他数学方法或工具来共同求解。 【小试牛刀】 1．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）数形结合是一种重要的数学思想方法，以形助数更直观．例如：计算时，可以用图形来解释：把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形；接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的长方形；再把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的长方形．所以，阴影部分的面积：． (1)利用上述图形思路，你能猜想出下式的结果吗？． (2)利用上题猜想的结果，计算：． 2．（24-25七年级上·湖南常德·期中）如图，把一个面积为 1 的正方形分成两个面积为 的长方形，再把其中一个面积为 的长方形分成两个面积为 的正方形，再把其中一个面积为 的正方形分成两个面积为 的长方形，如此进行下去，用图形揭示的规律计算： ． 3．（2025·山东·一模）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的长方形，再把面积为的长方形等分两个面积为的长方形，如此下去，利用图中所示的规律计算：＝ ． 题型08 错位相减法 【例1】（2025·安徽·一模）【阅读材料】数列是一个古老的数学课题，我国对数列概念的认识很早，例如《易传•系辞》：“河出图，洛出书，圣人则之；两仪生四象，四象生八卦”．这是世界数学史上有关等比数列的最早文字记载． 【问题提出】求等比数列1+a1+a2+a3+…+an的值(a＞0，且a≠1，n是正整数，请写出计算过程)． 【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q表示．如：数列1，2，4，8，…为等比数列，其中a1=1，a2=2，公比为q=2．根据以上材料，解答下列问题： (1)等比数列3，9，27，…的公比q为_____，第5项是_____． 【公式推导】如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：=q，=q，=q，…，=q．所以a2=a1•q，a3=a2•q=a1q•q=a1•q2，a4=a3•q=a1•q2=a1•q3，… (2)由此，请你填空完成等比数列的通项公式：an=a1•(_____)． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．欧几里得在《几何原本》中就给出了等比数列前n项和公式，而错位相减法则直到1822年才由欧拉在《代数学基础》中给出，时间相差两千多年．下面是小明为了计算1+2+22+…+22019+22020的值，采用的方法： 设S=1+2+22+…+22019+22020①，则2S=2+22+…+22020+22021②， ②-①得2S-S=S=22021-1，∴S=1+2+22+…+22019+22020=22021-1． 【解决问题】(3)请仿照小明的方法求等比数列1+a1+a2+a3+…+an的值(a＞0，且a≠1，n是正整数，请写出计算过程)． 【拓展应用】(4)计算25+252+253+…+25n的值为_____．(直接写出结果) 必记结论 错位相减法通过构造等比数列的和式与其公比倍数的错位式，利用‌中间项相消的特性简化求和过程，最终导出等比数列前n项和的表达式。通过错位相减法，可直观理解等比数列求和的数学本质，并确保公式推导的逻辑严密性。实际应用中，直接套用闭合公式可高效解题，但推导过程需熟练掌握。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·成都·校考期中）【旧题重现】计算的值． 解：设，则 ， 得： ，，即 通过阅读，你一定学到了一种解决问题的方法． 请用你学到的方法计算：． 【新方法生成】将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，请利用数形结合的思想解决下列问题： （1）　 　；（2）　 　；（3）　 　； 【新方法迁移】（4）　 　；    2．（24-25七年级上·广东深圳·期中）《庄子∙天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，探究课上，同学们运用此数学思想研究下列问题． “聪慧组”的同学将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，并用数形结合的思想解决下列问题 (1)请按照“聪慧组”同学的思路填空 ；________；猜想： ； (2)为了证明“聪慧组”同学得到的结论，“明辨组”的同学采用了以下方法进行证明，请将证明过程补充完整． 设 则 即 化简得 得： 即___________； 进一步可猜想：___________． 通过阅读，你一定学到了多种解决问题的方法． (3)请选择“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法进行计算： （只选一种解法，若选择作图，请标注出各部分图形的面积，下图是边长为的正方形） 基础过关 1.（25-26七年级·广东·阶段练习）计算值为（  ） A．0 B．﹣1 C．2020 D．-2020 2．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）阅读下面文字：对于 可以如下计算：原式 ， 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，计算： ． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）用简便方法计算：(1) (2) 5．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：；． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：①______；②______． (2)用合理的方法计算：． (3)用简便方法计算：． 6．（25-26七年级上·江苏·专题练习）用简便方法计算：(1)；(2)． 7．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）（1）计算： ； （2）计算：；（3）计算：． （4）用简便方法计算： ． 8．（25-26七年级上·浙江金华·阶段练习）用简便方法计算： (1) (2) (3) 9．（25-26七年级上·广东·专题练习）用简便方法计算： （1）．（2） 10．（24-25七年级上·河北廊坊·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 11．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1)（用简便方法）．(2)（用乘法分配律） 12．（24-25七年级上·天津宁河·阶段练习）用简便方法计算： (1)；(2)． 13．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）（1）计算：     （2）计算： （3）计算：     （4）用乘法分配律计算： （5）计算：     （6）用简便方法计算： 14．（25-26七年级上·江苏·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． (3)； (4) 能力提升 15．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．如图，将一个边长为1的正方形纸板等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形分成两个面积为的长方形，如此继续进行下去，根据图形的规律计算：的值为（   ） A． B． C． D． 16．（24-25七年级上·广东·期中）  17．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）      18．（24-25·辽宁·七年级专题练习）计算题。 19.98×68＋199.8×4.2－1998×0.1 19．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）（1）请你观察： ；；… 以上方法称为“裂项相消求和法” 仿照上面的方法，请你计算：的值． （2）．阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法； 仿照上面的方法，请你计算：． 20．（25-26·四川成都·七年级期中） 挑战一刻 21．（25-26·广东茂名市·七年级期末）为了求的值，可设，则，因此，所以．请仿照以上推理计算出 ________ ． 22．（25-26·江苏淮安·七年级期中）简便计算：；   23．（24-25·湖北 七年级专题练习）计算： （1）＋＋＋＋;（2）1－＋－＋ 24．（24-25·辽宁·七年级专题练习）计算题。 25．（24-25七年级上·山东青岛·期中）曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了． 下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：数学问题，计算(其中是正整数，且，)． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；…… 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分割图可得等式：． 探究二：计算． 第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，…… 第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分制图可得等式：， 两边同除2，得， 探究三：计算． (仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程) 解决问题．计算． (在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)． (1)根据第n次分割图可得等式：___________．(2)所以，___________． (3)拓广应用：计算___________． 27 / 27 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $