第08讲 代数式（讲义，全国通用新教材北师大版）数学小升初衔接

第08讲 代数式 预习目标 知识回顾 1. 会用字母表示简单的数量关系，体会字母表示数的优越性； 2. 了解代数式的概念；会用代数式解决简单的实际问题； 3. 理解代数式的值的概念；会求代数式的值； 4. 掌握单项式和多项式、整式的定义；掌握单项式的系数和次数的概念；多项式的项、项数和次数的概念； 5. 培养观察、归纳、概括和语言表达的能力。 1.能用含有字母的式子表示数量、数量关系、数学公式等； 2.给定字母的数值，求式子的值（即代数式求值）； 3.方程：含有未知数的等式（小学阶段基本上都是简单的一元一次方程）。 新知导图 预习精讲 想一想 【思考1】港珠澳大桥建成通车，极大缩短香港、珠海和澳门三地间的时空距离；作为中国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作，该桥被业界誉为桥梁界的“珠穆朗玛峰”，被英国《卫报》称为“现代世界七大奇迹”之一。（1）如果一辆汽车在港珠澳大桥上以90千米/小时（1.5千米/分钟）的速度行驶，那么2分钟行驶多少千米？3分钟行驶多少千米？t分钟行驶多少千米？ （2）如果用字母t表示时间，用v表示速度，那么汽车行驶的路程是多少呢？ 【思考2】椐某报纸报道，父母身高预测子女成年后的身高公式是：儿子身高是父母身高的和的一半；再乘以1.08；女儿的身高是父亲身高的0.923倍加上母亲身高的和再除以2。（该公式是根据遗传原理和欧洲人身高增长速度推算出来的）。 （1） 已知父亲身高是a米，母亲身高是b米，请你用代数式表示儿子和女儿的身高； （2） 女生索菲亚的父亲身高是1.84米，母亲身高是1.66米；男生乔治的父亲身高是1.82米，母亲身高是1.64米，试预测索菲亚和乔治成年后的身高。（结果保留两位小数） 【思考3】（1）观察下列式子，他们都有哪些共同特点？ a；；；﹣x2y2；2ab； （2）观察下列式子，他们都有哪些共同特点？与单项式有什么联系？ ；；；；2ab+6；-x3﹣2x2y+3π 知识点01 代数式的相关概念 1.代数式：用运算符号把数和字母连接而成的式子就叫代数式（algebraic expression）。 单独一个数或一个字母也是代数式。 注意：含有等号或不等号的式子不是代数式，如，，等都不是代数式． 2.代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，就可以求出代数式的值。 3.代数式的书写规范：（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写； （2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； （4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式； （5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写。 4.列代数式：在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）下列式子：①1；②2a；③；④；⑤；⑥，其中代数式有（   ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 2．（25-26七年级上·山东临沂·期末）有下列五个式子：①；②；③（不等于0）；④；⑤；其中不符合代数式的书写格式的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26七年级上·河北唐山·期末）下面对代数式的叙述正确的是（   ） A．的3倍与的一半的差 B．的3倍与的差的一半 C．与的一半的差的3倍 D．与的差的3倍的一半 4．（25-26七年级上·福建厦门·期末）某平台外卖员的计薪规则为：收入=底薪＋每单提成×（当月总送单量基本单量）．完成基本单量才享有底薪，超过的部分按提成计薪，若未完成则按比例扣底薪．某外卖员月送单量超过基本单量后，总收入可表示为（其中为该月总送单量）．若该外卖平台的基本单量是300，则下列说法正确的是（） A．该平台外卖员的底薪为1800元 B．外卖员当月送单量为400时，收入为2380元 C．超过基本单量后，每单提成为6元 D．外卖员当月送单量为200时，收入为1680元 5．（25-26七年级上·成都·期中）已知，则的值为（     ） A．1 B． C．7 D． 知识点02 整式的相关概念 1. 单项式的概念 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式，叫作单项式（monomial）。例：a3；6a2；300t；等。 单独一个数或一个字母也是单项式。例：a；100；等。 注意：分母中有字母，那就是字母的商，不是单项式。例：不是单项式。 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数（coefficient）。例：的系数为。 单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和叫作多项式的次数（degree of monomial）。例： 的次数为3次。 2.多项式：几个单项式的和叫作多项式（polynomial）。 项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项（term）； 常数项：不含字母的项。 多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数。 3. 整式：单项式与多项式统称为整式（integral expression）。 注意：单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算；②分母中含有字母的式子不是整式（故不是单项式或多项式） 【即学即练】 1．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）下列判断：①不是单项式；②是多项式；③0不是单项式；④是整式．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·广东惠州·期中）下列各式中，整式的个数有（    ） ①；②；③1；④；⑤；⑥；⑦ A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 3．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列说法正确的是（     ） A．是三次二项式 B．单项式的系数和次数分别是 C．0是单项式 D．一次项的系数为2 4．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列关于多项式的说法中，错误的是（     ） A．有三项 B．常数项为 C．次数是7 D．二次项的系数是 5．（25-26七年级上·上海松江·期末）一个一次式满足：①只含有一个字母；②常数项为正数；③当字母的值取1时，这个一次式的值等于．写出满足要求的一次式________．（写出一个即可） 6．（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）把下列各式填在相应的大括号里（填序号）： ①，②，③，④，⑤y，⑥，⑦，⑧，⑨ 单项式集合{         …}； 多项式集合{         …}． 题型速练 题型01 代数式的概念 【例1】（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中代数式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 必记结论 代数式：由数、表示数的字母和运算符号组成的数学表达式称为代数式。这里的运算是指加、减、乘、除、乘方和开方。单独的一个数或一个字母也是代数式。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列式子中：2，，，，，，代数式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（25-26七年级上·河南周口·期末）下列选项中，不是代数式的是（   ） A． B．5 C． D． 3．（25-26七年级上·福建漳州·期中）下列各式中，符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 题型02 代数式的书写规范 【例1】（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）下列各式中：①；②；③人；④；⑤．其中符合代数式书写要求的个数有(    ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 必记结论 代数式的书写要求： （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写； （2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式； （4）在代数式前系数为1时，系数可省略不写，当“-1”乘以字母时，只要在那个字母前加上“－”； （5）后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·内蒙古通辽·期末）下列代数式的书写格式规范的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·广东珠海·阶段检测）以下代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D．厘米 3．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）有下列四个式子：；其中不符合代数式的书写格式的为（    ） A．①③⑤ B．②③④ C．①③④ D．②④⑤ 题型03 代数式的实际意义 【例1】（25-26七年级上·广西百色·期末）某中学为丰富学生体育活动，决定购置一批篮球．计划每个班级分配4个篮球，学校另外留存10个篮球用于校级比赛和公共借用．设全校班级总数为（为正整数）． (1)请用含的代数式表示学校需要购置的篮球总数；(2)现学校有18个班级，需要购置多少个篮球？（请写出计算过程）；(3)请结合题意，说明（1）中代数式的数字4和10在实际问题中分别表示什么含义． 必记结论 代数式的实际意义需通过语言表述，将字母和运算符号转化为具体情境中的对象与逻辑。 用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同实际问题的数量或数量关系。 【小试牛刀】 1．（2026·四川遂宁·二模）代数式的意义可以是（    ） A．与的和 B．与的差 C．与的积 D．与的商 2．（25-26七年级上·四川凉山·期末）下列代数式的意义叙述错误的是（    ） A．的意义是的倍与的和 B．的意义是的平方与的差 C．的意义是与的积的倍 D．的意义是与的和的平方 3．（2026·河南平顶山·二模）对代数式“”，我们可以这样来解释：某人以3米/秒的速度走了x秒，他一共走的路程是米．请你对“”再给出另一个实际生活方面的解释：____________． 题型04 列代数式 【例1】（25-26七年级下·广西桂林·期中）如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形地块，该校计划在中间留一块边长为米的正方形空地修建花坛，其余部分铺设草坪（阴影部分）． (1)请你直接写出花坛的面积．_____平方米．（用含的代数式表示） (2)求草坪的面积是多少平方米？（用含的代数式表示，结果请化简） (3)若，，草坪的单价为每平方米40元，求购买草坪所需的总费用． 必记结论 列代数式：在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式。代数式可以简明地、具有普遍意义地表示实际问题中的量，给数量关系的研究带来方便。特别注意代数式的书写要规范。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）智慧农业大棚采用自动温控系统．某日棚内温度变化规律为：每小时上升或下降．若初始温度为，经过小时后的温度可能表示为（     ） A． B． C．或 D． 2．（2026·山西长治·三模）某商店销售一款AI萌宠玩具，进价为元/个，商店将进价提高20%作为售价，则这款玩具每个的售价为__________元（用含的代数式表示） 3．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）若一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，它的百位数字为，十位数字为，个位数字为，用含，的式子表示这个三位数为___________ 题型05 代数式求值（已知字母和式子的数值） 【例1】（25-26七年级·成都·月考）当，时，求多项式的值． 【例2】（2026·海南海口·二模）已知，则代数式的值是（    ） A． B． C．2 D．3 必记结论 代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫作代数式的值。 例如：当x=20时，代数式x-7的值是13。注意：求代数式的值的步骤：（1）代入数值；  （2）计算结果。 【小试牛刀】 1．（2026·海南省直辖县级单位·二模）当时，代数式的值为（     ） A．5 B．0 C．1 D． 2．（25-26七年级下·湖南湘西·期中）当时，代数式的值是2005，则当时，代数式的值为（     ） A．2002 B．1999 C． D． 3．（2026·浙江湖州·二模）已知，则_____． 4．（2026·山西长治·三模）在中等配速（约6～7分钟/公里）的长跑中，当步幅（单位：）与身高（单位：）满足公式时，通常能获得较省力、高效舒适的跑步节奏．若小明同学身高，他长跑时应将步幅调整至________左右更省力． 题型06程序框图与代数式求值 【例1】（25-26七年级上·河南郑州·期中）信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则如图所示，当发送方发出，时，解密后__________． 必记结论 解题思路: ‌1）‌确定运算顺序与规则‌：根据程序框图的符号（如处理框、判断框）明确运算优先级和条件分支； 2）‌周期性规律的快速定位‌：若输出值出现重复序列，可直接通过余数确定第 n 次结果。 通过结合程序框图的逻辑分析与代数式化简技巧，可高效解决动态运算问题，提升计算准确性与速度。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在计算机上设置运算程序，输入数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”，下面是一个“数值转换机”，下列输入的数据中，输出的结果为33的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2026·陕西榆林·三模）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，根据如图所示的计算程序，当输入时，输出的结果为__________． 3．（25-26八年级下·北京·期中）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值为_____． 题型07 单项式与多项式、整式的概念辨析 【例1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 必记结论 单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫作单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。 注：分母中有字母，那就是字母的商，不是单项式。例：不是单项式。 多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫作多项式。 整式：单项式与多项式统称为整式。 注：①多项式是由多个单项式构成的；②单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算；③分母中含有字母的式子不是整式（因不是单项式或多项式）。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·上海·期中）在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·山东菏泽·期末）式子：，，，，，0中，是整式的有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 3．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）在代数式、、、5、、中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型08单项式的系数与次数 【例1】（25-26七年级上·福建宁德·期中）下列说法正确的是（） A．单项式的次数是3 B．单项式的系数是3 C．单项式的次数是2 D．单项式系数为 必记结论 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。例：的系数为。 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和。例：的次数为1+2=3次。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·西藏·期末）下列关于单项式的说法中，正确的是（    ） A．系数是3，次数是2 B．系数是，次数是 2 C．系数是 ，次数是 3 D．系数是，次数是 3 2．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）单项式的系数和次数分别是（　　） A．，8 B．，5 C．，6 D．，6 3．（25-26七年级上·四川成都·期末）单项式的系数是______ ，次数是______ ． 题型09多项式的项与次数 【例1】（25-26七年级上·广西河池·期末）对于多项式的说法正确的是（   ） A．是二次三项式 B．是三次二项式 C．一次项系数是1 D．常数项是2 必记结论 项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式。 常数项：不含字母的项。 多项式的次数：在多项式的所有项中，次数最高的项的次数就是多项式的次数。 例：的项有：，，-2；常数项是-2；次数最高的项的次数是2；称该多项式为二次三项式。 【小试牛刀】 1．（23-24七年级上·上海·期中）下列各多项式中，是四次三项式的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）多项式的次数及最高次项的系数（   ） A．2，2 B．2， C．3， D．3，2 3．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）对于多项式，下列结论中正确的是（　　） A．是六次三项式 B．是三次三项式 C．次数最高项的系数是1 D．常数项是3 题型10书写符合条件的单项式或多项式 【例1】（2026·河南三门峡·一模）若一个关于m，n的单项式的系数是，次数是5，则这个单项式可以是____________．（写出一个即可） 必记结论 书写符合条件的单项式或多项式时，关键在于明确题目要求的结构特征（如次数、系数、变量数量等）。掌握分类讨论和逆向验证技巧，可高效构建符合要求的代数式。 根据题设要求写出相应的单项式（多项式）即可，注意此类问题一般具有开放性，答案不唯一等特点，只要符合要求都可以得分。 【小试牛刀】 1．（2026·河南平顶山·三模）请写出一个只含字母的三次单项式：________． 2．（2026·河南平顶山·三模）请写出一个含有字母m，n，且次数是3，系数为的单项式：______． 3.（25-26七年级上·北京·期末）写出一个关于x的三次二项式，使得它的三次项系数为2，则这个三次二项式为____________ ． 题型11 根据单项式（多项式）的次数、项数求参数 【例1】（25-26七年级上·广东佛山·期末）已知是关于的二次三项式，则_____． 必记结论 通过分析单项式或多项式的次数、项数的定义，结合参数所在项的位置与系数特征，建立方程或不等式求解参数值。关键在于利用代数式的结构特征，合理分类讨论 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·河南信阳·期末）多项式是关于、的六次三项式，则取值为_____． 2．（25-26七年级上·陕西西安·期末）若关于的多项式有三项且次数是3，则的值为_____． 3．（25-26七年级上·河南南阳·期末）已知多项式是关于的二次三项式，则的值为______． 基础过关 1．（25-26七年级上·湖北·期末）下列式子：①1；②；③；④；⑤，其中代数式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）在代数式，，，中，单项式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）下列各式中，书写格式正确的是（   ） A． B． C． D．ab×5 4．（25-26七年级上·河南开封·期末）在代数式，中，整式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 5．（2026·贵州六盘水·二模）的3倍与2的和，列代数式是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，大长方形的长为 a，宽为 b，从右上角切去一个小长方形，剩余的阴影部分图形面积可通过多种方法表示．下列四个表达式中，不能表示该阴影部分面积的是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·上海青浦·期中）下列说法正确的是（　　） A．是次单项式 B．的系数是 C．是单项式 D．的系数是 8．（2026·广东广州·一模）多项式的次数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 9．（2026·青海西宁·二模）下列说法中正确的是（     ） A．单项式的次数为，系数是 B．单项式和是同类项 C．多项式是二次三项式 D．多项式的项是，和 10．（25-26七年级上·北京顺义·期中）以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 11．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）下列各式：，其中是代数式的有____________个． 11．（2026·海南三亚·模拟预测）妈妈让小明去市场买椰子，每个椰子单价为元，买了个椰子，小明身上还剩余元，用含的代数式表示小明一共带的钱数为__________元． 12．（25-26七年级上·上海·阶段检测）整式是________次________项式． 13．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）写出一个系数是，次数是的单项式，这个单项式可以是_______．（写出一个即可） 14．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）如图，长方形的长为，宽为．现以长方形的四个顶点为圆心，宽的一半为半径在四个角上分别画出四分之一圆． (1)用含，的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当，时，求图中阴影部分的面积．（取） 15．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）某公园的门票价格如下：成人20元，学生10元，满40人可以购买团体票（8折），设一个旅游团共有x人，其中学生有y人． (1)用含x，y的整式表示该旅游团购买团体票应付的门票费． (2)如果该旅游团有46个成人，12个学生，那么他们购买团体票需付的门票费是多少？ 能力提升 16．（25-26七年级上·河北唐山·期末）张老师在黑板上写了一个代数式，三位同学分别作了以下描述： 小明：这个代数式是一个六次三项式；小红：这个代数式的最高次项系数为；小华：这个代数式的常数项是7．如果上面的同学描述都是正确的，那么李老师写出的代数式有可能是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26七年级上·江西吉安·期末）多项式是关于，的五次三项式，则的值是（    ） A． B．2 C．或 D． 18．（25-26七年级上·广东珠海·期中）已知关于的多项式不含项，那么的值（   ） A． B． C． D． 19．（2025·广东清远·二模）已知，则代数式的值是______． 20．（2026·湖南·中考真题）已知，则代数式的值是________． 21．（2026·江西上饶·模拟预测）按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？ (1)填写表内空格； 输入x 5 4 … 输出答案 … (2)你发现的规律是______，并证明该规律的正确性． 挑战一刻 22．（25-26七年级上·四川眉山·期末）已知时，代数式的值为17，则时，代数式的值为（    ） A． B． C． D．14 23．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为明文，对应的密文为，．例如：明文1，2对应的密文是，4，当明文是2，5时，密文应是______，______． 24．（25-26七年级上·山东滨州·期末）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为，则最后输出的结果是______． 25．（2026·四川达州·中考真题）中国古代数学家李冶的《测圆海镜》是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，《测圆海镜》是高次幂在上，低次幂在下，如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的二次项系数为________． 26．（2026·四川广安·二模）若多项式是关于x，y的三次多项式，则______． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 代数式 预习目标 知识回顾 1. 会用字母表示简单的数量关系，体会字母表示数的优越性； 2. 了解代数式的概念；会用代数式解决简单的实际问题； 3. 理解代数式的值的概念；会求代数式的值； 4. 掌握单项式和多项式、整式的定义；掌握单项式的系数和次数的概念；多项式的项、项数和次数的概念； 5. 培养观察、归纳、概括和语言表达的能力。 1.能用含有字母的式子表示数量、数量关系、数学公式等； 2.给定字母的数值，求式子的值（即代数式求值）； 3.方程：含有未知数的等式（小学阶段基本上都是简单的一元一次方程）。 新知导图 预习精讲 想一想 【思考1】港珠澳大桥建成通车，极大缩短香港、珠海和澳门三地间的时空距离；作为中国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作，该桥被业界誉为桥梁界的“珠穆朗玛峰”，被英国《卫报》称为“现代世界七大奇迹”之一。（1）如果一辆汽车在港珠澳大桥上以90千米/小时（1.5千米/分钟）的速度行驶，那么2分钟行驶多少千米？3分钟行驶多少千米？t分钟行驶多少千米？ （2）如果用字母t表示时间，用v表示速度，那么汽车行驶的路程是多少呢？ 【思考2】椐某报纸报道，父母身高预测子女成年后的身高公式是：儿子身高是父母身高的和的一半；再乘以1.08；女儿的身高是父亲身高的0.923倍加上母亲身高的和再除以2。（该公式是根据遗传原理和欧洲人身高增长速度推算出来的）。 （1） 已知父亲身高是a米，母亲身高是b米，请你用代数式表示儿子和女儿的身高； （2） 女生索菲亚的父亲身高是1.84米，母亲身高是1.66米；男生乔治的父亲身高是1.82米，母亲身高是1.64米，试预测索菲亚和乔治成年后的身高。（结果保留两位小数） 【思考3】（1）观察下列式子，他们都有哪些共同特点？ a；；；﹣x2y2；2ab； （2）观察下列式子，他们都有哪些共同特点？与单项式有什么联系？ ；；；；2ab+6；-x3﹣2x2y+3π 知识点01 代数式的相关概念 1.代数式：用运算符号把数和字母连接而成的式子就叫代数式（algebraic expression）。 单独一个数或一个字母也是代数式。 注意：含有等号或不等号的式子不是代数式，如，，等都不是代数式． 2.代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，就可以求出代数式的值。 3.代数式的书写规范：（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写； （2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； （4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式； （5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写。 4.列代数式：在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）下列式子：①1；②2a；③；④；⑤；⑥，其中代数式有（   ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【详解】解：①1；②2a；③；④；⑤；⑥中，①②④为代数式；③⑤⑥中的式子含有等号或不等号，不是代数式；故选B． 2．（25-26七年级上·山东临沂·期末）有下列五个式子：①；②；③（不等于0）；④；⑤；其中不符合代数式的书写格式的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：对于①：代数式中数字因数应写在字母因数的前面，正确写法为或，故①不符合书写格式；对于②：该式为分数形式，分子是多项式，符合代数式书写格式； 对于③：代数式中除法运算需写成分数形式，正确写法为，故③不符合书写格式； 对于④：带分数与字母相乘时，应将带分数化为假分数，正确写法为，故④不符合书写格式； 对于⑤：系数为时，可直接写为，符合代数式书写格式． 综上，不符合书写格式的有①③④，共3个．故选：C． 3．（25-26七年级上·河北唐山·期末）下面对代数式的叙述正确的是（   ） A．的3倍与的一半的差 B．的3倍与的差的一半 C．与的一半的差的3倍 D．与的差的3倍的一半 【答案】A 【详解】解：∵表示a的3倍，表示b的一半， ∴表示a的3倍与b的一半的差，与选项A的叙述一致； ∵选项B对应的代数式为，选项C对应的代数式为，选项D对应的代数式为，均与原代数式不符．故选：A． 4．（25-26七年级上·福建厦门·期末）某平台外卖员的计薪规则为：收入=底薪＋每单提成×（当月总送单量基本单量）．完成基本单量才享有底薪，超过的部分按提成计薪，若未完成则按比例扣底薪．某外卖员月送单量超过基本单量后，总收入可表示为（其中为该月总送单量）．若该外卖平台的基本单量是300，则下列说法正确的是（） A．该平台外卖员的底薪为1800元 B．外卖员当月送单量为400时，收入为2380元 C．超过基本单量后，每单提成为6元 D．外卖员当月送单量为200时，收入为1680元 【答案】C 【详解】解：根据题意，基本单量为300单，当送单量时，总收入：， 收入构成是：收入=底薪+每单提成，A．当时，刚好完成基本单量，此时收入为元，不是1800元，故本选项不符合题意； B．送单量为400时，收入为，不是2380元，故不符合题意；C．从公式中的系数可以直接看出，超过基本单量后，每单提成就是6元，故说法正确，符合题意； D．送单量为200时，没有达到300单的基本量，需要按比例扣底薪，实际收入为元，不是1680，故本选项不符合题意；故选：C． 5．（25-26七年级上·成都·期中）已知，则的值为（     ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴． 知识点02 整式的相关概念 1. 单项式的概念 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式，叫作单项式（monomial）。例：a3；6a2；300t；等。 单独一个数或一个字母也是单项式。例：a；100；等。 注意：分母中有字母，那就是字母的商，不是单项式。例：不是单项式。 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数（coefficient）。例：的系数为。 单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和叫作多项式的次数（degree of monomial）。例： 的次数为3次。 2.多项式：几个单项式的和叫作多项式（polynomial）。 项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项（term）； 常数项：不含字母的项。 多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数。 3. 整式：单项式与多项式统称为整式（integral expression）。 注意：单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算；②分母中含有字母的式子不是整式（故不是单项式或多项式） 【即学即练】 1．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）下列判断：①不是单项式；②是多项式；③0不是单项式；④是整式．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵ 单项式是数字与字母的积，∴ 是单项式，故①错误； ∵ 多项式是几个单项式的和，∴ 是多项式，故②正确； ∵ 0 是数字，为单项式，故③错误；∵ 整式要求分母中不含字母， ∴ 不是整式，故④错误；综上，只有②正确，故选：B． 2．（25-26七年级上·广东惠州·期中）下列各式中，整式的个数有（    ） ①；②；③1；④；⑤；⑥；⑦ A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【详解】解：∵①分母为数字，是整式；②是多项式，是整式； ③1是常数，是整式；④是不等式，不是代数式； ⑤分母含字母，不是整式；⑥是单项式，是整式； ⑦分母为数字，是整式；∴整式有①②③⑥⑦，共5个，故选：B． 3．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列说法正确的是（     ） A．是三次二项式 B．单项式的系数和次数分别是 C．0是单项式 D．一次项的系数为2 【答案】C 【详解】解：选项A，中最高次项的次数为2，共有2个单项式，因此它是二次二项式，A错误； 选项B，单项式中，是常数，因此系数为，次数为，B错误； 选项C，单独的一个数是单项式，因此0是单项式，C正确； 选项D，的一次项为，因此一次项的系数为，D错误． 4．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列关于多项式的说法中，错误的是（     ） A．有三项 B．常数项为 C．次数是7 D．二次项的系数是 【答案】C 【详解】解：∵ 多项式 由个单项式组成，∴ 多项式共有三项，A选项说法正确； ∵ 不含字母的项是，∴ 常数项为，B选项说法正确； ∵ 最高次项为 ，次数为， ∴ 多项式的次数为，不是，C选项说法错误； ∵ 二次项是，数字因数为，∴ 二次项的系数是，D选项说法正确．综上，错误的是C． 5．（25-26七年级上·上海松江·期末）一个一次式满足：①只含有一个字母；②常数项为正数；③当字母的值取1时，这个一次式的值等于．写出满足要求的一次式________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：设一次式形式为，常数项，当时，，即， ∵，∴，∴取，则，得一次式为， 验证：常数项，当时，，满足条件．故答案为：（答案不唯一）． 6．（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）把下列各式填在相应的大括号里（填序号）： ①，②，③，④，⑤y，⑥，⑦，⑧，⑨ 单项式集合{         …}； 多项式集合{         …}． 【答案】②③⑤⑧⑨；①④⑥⑦ 【详解】解：单项式有：，，，，，即单项式集合{②③⑤⑧⑨…}； 多项式有：，，，；则多项式集合{①④⑥⑦…}． 故答案为：②③⑤⑧⑨；①④⑥⑦． 题型速练 题型01 代数式的概念 【例1】（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中代数式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：∵代数式是指用运算符号连接数或字母的式子，或单独的数、字母，含有等号、不等号的式子不是代数式∴①（单独的数）是代数式， ②（数与字母的乘积）是代数式，④（数与字母的除法）是代数式， ⑦（字母的乘方）是代数式，③（含等号，是方程）不是代数式， ⑤（含等号，是公式）不是代数式，⑥（含不等号，是不等式）不是代数式， 综上，代数式有①②④⑦，共个．故选：C． 必记结论 代数式：由数、表示数的字母和运算符号组成的数学表达式称为代数式。这里的运算是指加、减、乘、除、乘方和开方。单独的一个数或一个字母也是代数式。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列式子中：2，，，，，，代数式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】解：2是代数式；是代数式；是代数式；是代数式；是不等式，不是代数式；是等式，不是代数式；综上，代数式有4个．故选：B． 2．（25-26七年级上·河南周口·期末）下列选项中，不是代数式的是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵代数式是由数、字母和运算符号组成的式子，且不包含等号、不等号等关系符号， ∴选项A是等式，含有等号，不属于代数式，选项B是单独的数，属于代数式， 选项C、D是由数、字母和运算符号组成的式子，属于代数式，∴不是代数式的是A选项，故选：A． 3．（25-26七年级上·福建漳州·期中）下列各式中，符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 带分数作系数时需要化为假分数，A选项使用带分数，因此A不符合书写规范． ∵ 除法运算需要写成分数形式，B选项保留除号，因此B不符合书写规范． ∵ 数字与字母相乘时，乘号需要省略且数字要写在字母前方，C选项保留乘号，因此C不符合书写规范． ∵ 符合代数式书写规范，因此D正确．∴ 答案选D． 题型02 代数式的书写规范 【例1】（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）下列各式中：①；②；③人；④；⑤．其中符合代数式书写要求的个数有(    ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【详解】解：①带分数作字母系数时，必须化为假分数，因此不符合要求； ②代数式中除法运算需要写成分数形式，不能直接使用除号，因此不符合要求； ③加减形式的代数式带单位时，需要给整体代数式加括号，因此人不符合要求； ④数字与数字相乘不能使用点乘，必须用乘号连接，因此不符合要求； ⑤符合代数式的书写要求．∴符合书写要求的式子共1个，故选C． 必记结论 代数式的书写要求： （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写； （2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式； （4）在代数式前系数为1时，系数可省略不写，当“-1”乘以字母时，只要在那个字母前加上“－”； （5）后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·内蒙古通辽·期末）下列代数式的书写格式规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、中系数是带分数，未化成假分数，不规范，不符合题意； 、中含乘号，未省略，不规范，不符合题意； 、中含乘号，未省略，不规范，不符合题意； 、代数式的书写格式规范，符合题意；故选：． 2．（25-26七年级上·广东珠海·阶段检测）以下代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D．厘米 【答案】B 【详解】解：A．书写时，应当省略，故该选项不符合书写规范，不符合题意； B．符合书写规范，符合题意； C．书写时，系数不能用带分数，需化为假分数，故该选项不符合书写规范，不符合题意； D．书写时，“÷”号应写为分数线的形式，即厘米，故该选项不符合书写规范，不符合题意． 3．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）有下列四个式子：；其中不符合代数式的书写格式的为（    ） A．①③⑤ B．②③④ C．①③④ D．②④⑤ 【答案】C 【详解】解：①，数字因数写在前面，乘号可以省略不写，应写为，不符合书写格式； ③应写为，不符合书写格式；④应写为，不符合书写格式； 而②和⑤符合书写格式；不符合的是①③④，有3个．故选：C． 题型03 代数式的实际意义 【例1】（25-26七年级上·广西百色·期末）某中学为丰富学生体育活动，决定购置一批篮球．计划每个班级分配4个篮球，学校另外留存10个篮球用于校级比赛和公共借用．设全校班级总数为（为正整数）． (1)请用含的代数式表示学校需要购置的篮球总数；(2)现学校有18个班级，需要购置多少个篮球？（请写出计算过程）；(3)请结合题意，说明（1）中代数式的数字4和10在实际问题中分别表示什么含义． 【答案】(1)(2)82个(3)见解析 【详解】（1）解：学校需要购置的篮球总数为：个． （2）解：当时，． 答：需要购置82个篮球． （3）解：数字4表示：每个班级分配到的篮球个数（或每班分配4个篮球）； 数字10表示：学校额外留存的篮球个数（或学校另留10个篮球作为公用）． 必记结论 代数式的实际意义需通过语言表述，将字母和运算符号转化为具体情境中的对象与逻辑。 用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同实际问题的数量或数量关系。 【小试牛刀】 1．（2026·四川遂宁·二模）代数式的意义可以是（    ） A．与的和 B．与的差 C．与的积 D．与的商 【答案】C 【详解】解：代数式的意义可以是与的积. 2．（25-26七年级上·四川凉山·期末）下列代数式的意义叙述错误的是（    ） A．的意义是的倍与的和 B．的意义是的平方与的差 C．的意义是与的积的倍 D．的意义是与的和的平方 【答案】D 【详解】解：选项A：的意义是的2倍与3的和，叙述正确； 选项B：的意义是的平方与1的差，叙述正确； 选项C：的意义是与的积的5倍，叙述正确； 选项D：表示与的平方的和，而“与的和的平方”对应的代数式是，两者运算顺序不同，该叙述错误． 3．（2026·河南平顶山·二模）对代数式“”，我们可以这样来解释：某人以3米/秒的速度走了x秒，他一共走的路程是米．请你对“”再给出另一个实际生活方面的解释：____________． 【答案】香蕉每千克3元，某人买了x千克，共付款元（答案不唯一，合理即可） 【详解】解：香蕉每千克3元，某人买了x千克，共付款元． 题型04 列代数式 【例1】（25-26七年级下·广西桂林·期中）如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形地块，该校计划在中间留一块边长为米的正方形空地修建花坛，其余部分铺设草坪（阴影部分）． (1)请你直接写出花坛的面积．_____平方米．（用含的代数式表示） (2)求草坪的面积是多少平方米？（用含的代数式表示，结果请化简） (3)若，，草坪的单价为每平方米40元，求购买草坪所需的总费用． 【答案】(1)(2)草坪的面积是平方米(3)购买草坪的总费用为6200元 【详解】（1）解：花坛的面积为平方米． （2）解：∵， ∴， ∴草坪的面积是平方米； （3）解：当，时，，∴（元）． 答：购买草坪的总费用为6200元． 必记结论 列代数式：在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式。代数式可以简明地、具有普遍意义地表示实际问题中的量，给数量关系的研究带来方便。特别注意代数式的书写要规范。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）智慧农业大棚采用自动温控系统．某日棚内温度变化规律为：每小时上升或下降．若初始温度为，经过小时后的温度可能表示为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】解：①若某日棚内温度变化规律为：每小时上升，则经过小时后的温度可能表示为； ②若某日棚内温度变化规律为：每小时下降，则经过小时后的温度可能表示为； 综上，经过小时后的温度可能表示为或． 2．（2026·山西长治·三模）某商店销售一款AI萌宠玩具，进价为元/个，商店将进价提高20%作为售价，则这款玩具每个的售价为__________元（用含的代数式表示） 【答案】 【详解】解：由题意可知，售价为进价加上进价提高的部分，因此列式得 ． 3．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）若一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，它的百位数字为，十位数字为，个位数字为，用含，的式子表示这个三位数为___________ 【答案】 【详解】解：已知三位数中百位数字的计数单位为，十位数字的计数单位为，个位数字的计数单位为，故当百位数字为时，百位对应的数值为， 当十位数字为时，十位对应的数值为，当个位数字为时，个位对应的数值为， 将三个数位的数值相加，可得这个三位数为： ． 题型05 代数式求值（已知字母和式子的数值） 【例1】（25-26七年级·成都·月考）当，时，求多项式的值． 【答案】 【详解】解：∵， 则． 【例2】（2026·海南海口·二模）已知，则代数式的值是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：∵，∴，∴． 必记结论 代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫作代数式的值。 例如：当x=20时，代数式x-7的值是13。注意：求代数式的值的步骤：（1）代入数值；  （2）计算结果。 【小试牛刀】 1．（2026·海南省直辖县级单位·二模）当时，代数式的值为（     ） A．5 B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】将给定的的值代入代数式，按照有理数运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：把代入，得， 即代数式的值为． 2．（25-26七年级下·湖南湘西·期中）当时，代数式的值是2005，则当时，代数式的值为（     ） A．2002 B．1999 C． D． 【答案】D 【分析】当时，代数式的值为2005，可先求出的值；当时，和的值为时的相反数，进而求出代数式的值． 【详解】解：当时，，则， 当时，，，则所求代数式为：， ∴当时，． 3．（2026·浙江湖州·二模）已知，则_____． 【答案】11 【详解】解：∵，∴ 4．（2026·山西长治·三模）在中等配速（约6～7分钟/公里）的长跑中，当步幅（单位：）与身高（单位：）满足公式时，通常能获得较省力、高效舒适的跑步节奏．若小明同学身高，他长跑时应将步幅调整至________左右更省力． 【答案】 【详解】解：当时，． 题型06程序框图与代数式求值 【例1】（25-26七年级上·河南郑州·期中）信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则如图所示，当发送方发出，时，解密后__________． 【答案】11 【详解】解：∵、，∴，，∴． 必记结论 解题思路: ‌1）‌确定运算顺序与规则‌：根据程序框图的符号（如处理框、判断框）明确运算优先级和条件分支； 2）‌周期性规律的快速定位‌：若输出值出现重复序列，可直接通过余数确定第 n 次结果。 通过结合程序框图的逻辑分析与代数式化简技巧，可高效解决动态运算问题，提升计算准确性与速度。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在计算机上设置运算程序，输入数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”，下面是一个“数值转换机”，下列输入的数据中，输出的结果为33的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：当输入，，，此时， ，两个结果不相等，无法输出，不符合要求； 当输入，，不满足，此时无法计算，无法输出，不符合要求； 当输入，，，此时， ，两个结果相等，可以输出，符合要求； 当输入，，，此时， ，两个结果不相等，无法输出，不符合要求． 2．（2026·陕西榆林·三模）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，根据如图所示的计算程序，当输入时，输出的结果为__________． 【答案】1 【详解】解：当输入时，原式，将代入得：．故输出结果为1． 3．（25-26八年级下·北京·期中）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值为_____． 【答案】 【详解】解：输入的值是，将代入中，． 题型07 单项式与多项式、整式的概念辨析 【例1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 【答案】B 【详解】①是数与字母的积，是单项式，属于整式； ②是两个单项式的差，是多项式，属于整式；③分母含有字母a，是分式，不是单项式； ④分母含有字母，是分式，不是多项式； ⑤中分母是常数，属于单项式，因此原式是三个单项式的和，是多项式， ∴A选项中③不是单项式，错误；B选项中②⑤都是多项式，正确； C选项中④不是多项式，错误；D选项中③④是分式，不是整式，错误． 必记结论 单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫作单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。 注：分母中有字母，那就是字母的商，不是单项式。例：不是单项式。 多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫作多项式。 整式：单项式与多项式统称为整式。 注：①多项式是由多个单项式构成的；②单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算；③分母中含有字母的式子不是整式（因不是单项式或多项式）。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·上海·期中）在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵，是两个单项式的差，属于多项式，不是单项式 ∵是数与字母的乘积，是单项式；∵是单独的一个字母，是单项式 ∵是单项式和单项式的和，属于多项式，不是单项式 综上，单项式共有个，因此选C． 2．（25-26七年级上·山东菏泽·期末）式子：，，，，，0中，是整式的有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【详解】解：∵整式是单项式和多项式的统称，且分母中含有字母的式子不是整式． ∴是多项式，属于整式．分母含字母，不是整式． 是多项式，属于整式．是单项式，属于整式． 分母含字母，不是整式．0是单独的数，属于单项式，即整式． ∴整式共有4个．故选：C 3．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）在代数式、、、5、、中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：在代数式、、、5、、中，多项式有、、，共3个；故选B． 题型08单项式的系数与次数 【例1】（25-26七年级上·福建宁德·期中）下列说法正确的是（） A．单项式的次数是3 B．单项式的系数是3 C．单项式的次数是2 D．单项式系数为 【答案】D 【详解】解：是常数，不含字母，则次数为0，故A错误； 单项式的数字因数是，即系数是，故B错误； 单项式中所有字母的指数和为，次数是3，故C错误； 单项式的数字因数为，即系数为，故D正确． 必记结论 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。例：的系数为。 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和。例：的次数为1+2=3次。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·西藏·期末）下列关于单项式的说法中，正确的是（    ） A．系数是3，次数是2 B．系数是，次数是 2 C．系数是 ，次数是 3 D．系数是，次数是 3 【答案】D 【详解】解：对于单项式，它的数字因数为，即系数为， 其中的指数为，的指数为，总次数为 ，即次数为，∴正确选项是D． 2．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）单项式的系数和次数分别是（　　） A．，8 B．，5 C．，6 D．，6 【答案】D 【详解】解：根据定义，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。 ∵ 题中单项式为 ，∴ 它的数字因数为，即系数为. 所有字母的指数和为，即次数为.因此该单项式的系数和次数分别是和， 3．（25-26七年级上·四川成都·期末）单项式的系数是______ ，次数是______ ． 【答案】 3 【详解】解：单项式的数字因数是，因此它的系数是， 单项式中字母的指数为，字母的指数为，所有字母的指数和为，因此它的次数是． 题型09多项式的项与次数 【例1】（25-26七年级上·广西河池·期末）对于多项式的说法正确的是（   ） A．是二次三项式 B．是三次二项式 C．一次项系数是1 D．常数项是2 【答案】A 【详解】解：多项式是二次三项式，一次项系数是，常数项为． 必记结论 项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式。 常数项：不含字母的项。 多项式的次数：在多项式的所有项中，次数最高的项的次数就是多项式的次数。 例：的项有：，，-2；常数项是-2；次数最高的项的次数是2；称该多项式为二次三项式。 【小试牛刀】 1．（23-24七年级上·上海·期中）下列各多项式中，是四次三项式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、多项式有三项，且次数最高的项的次数为2，，是二次三项式，不符合题意； B、多项式有四项，且次数最高的项的次数为3，，是三次四项式，不符合题意； C、多项式有两项，且次数最高的项的次数为4，是四次二项式，不符合题意； D、多项式有三项，且次数最高的项的次数为4，是四次三项式，符合题意； 2．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）多项式的次数及最高次项的系数（   ） A．2，2 B．2， C．3， D．3，2 【答案】B 【详解】解：多项式的各项分别为，，， ∵是常数项，次数为0，的次数为1，的次数为2， ∴该多项式的次数为2，最高次项为，最高次项的系数为． 3．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）对于多项式，下列结论中正确的是（　　） A．是六次三项式 B．是三次三项式 C．次数最高项的系数是1 D．常数项是3 【答案】C 【详解】解：对于多项式 ；它共有项，分别为 ，， 计算各项次数： 的次数为 ， 的次数为 因此该多项式是四次三项式，故A选项“六次三项式”错误， B选项“三次三项式”错误;最高次项为，系数是 ；该多项式的常数项是，不是； 题型10书写符合条件的单项式或多项式 【例1】（2026·河南三门峡·一模）若一个关于m，n的单项式的系数是，次数是5，则这个单项式可以是____________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由题意可知，单项式的系数为，次数为，即，的指数之和为； 故单项式可以为（答案不唯一） 必记结论 书写符合条件的单项式或多项式时，关键在于明确题目要求的结构特征（如次数、系数、变量数量等）。掌握分类讨论和逆向验证技巧，可高效构建符合要求的代数式。 根据题设要求写出相应的单项式（多项式）即可，注意此类问题一般具有开放性，答案不唯一等特点，只要符合要求都可以得分。 【小试牛刀】 1．（2026·河南平顶山·三模）请写出一个只含字母的三次单项式：________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵只含的三次单项式，∴只需满足和的指数和为，且系数不为即可， 例如中，指数为，指数为，指数和，符合要求． 2．（2026·河南平顶山·三模）请写出一个含有字母m，n，且次数是3，系数为的单项式：______． 【答案】或（答案不唯一） 【详解】解：符合题意的单项式可以是或． 3.（25-26七年级上·北京·期末）写出一个关于x的三次二项式，使得它的三次项系数为2，则这个三次二项式为____________ ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由题意得满足条件的多项式可以为．（答案不唯一） 题型11 根据单项式（多项式）的次数、项数求参数 【例1】（25-26七年级上·广东佛山·期末）已知是关于的二次三项式，则_____． 【答案】3 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴，，，∴，，∴．故答案为：3． 必记结论 通过分析单项式或多项式的次数、项数的定义，结合参数所在项的位置与系数特征，建立方程或不等式求解参数值。关键在于利用代数式的结构特征，合理分类讨论 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·河南信阳·期末）多项式是关于、的六次三项式，则取值为_____． 【答案】 【详解】解：多项式是关于 ， 的六次三项式，因此最高次项的次数为 6，且共有三项， 第一项 的次数为，令，得，所以或， 当时，第一项系数，多项式变为，只有两项，不符合三项式要求， 故，故答案为：． 2．（25-26七年级上·陕西西安·期末）若关于的多项式有三项且次数是3，则的值为_____． 【答案】1 【详解】解：∵关于的多项式有三项且次数是3，∴，∴，故答案为：1． 3．（25-26七年级上·河南南阳·期末）已知多项式是关于的二次三项式，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式，∴最高次项指数，解得：或， ∵第二项系数，∴，∴，故答案为：． 基础过关 1．（25-26七年级上·湖北·期末）下列式子：①1；②；③；④；⑤，其中代数式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：① 1是数字，是代数式；②是数字与字母的乘积，是代数式； ③含有等号，是方程，不是代数式；④是除法运算，是代数式； ⑤含有不等号，是不等式，不是代数式；代数式有①②④，共3个．故选：B． 2．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）在代数式，，，中，单项式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：是单独的数，属于单项式；是两个单项式的差，不属于单项式；是字母的积，属于单项式；是数与字母的积，属于单项式，∴单项式的个数是个． 3．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）下列各式中，书写格式正确的是（   ） A． B． C． D．ab×5 【答案】B 【详解】解：A选项是数字与数字相乘，乘号简写错误，不符合书写要求． B选项是字母与字母相乘，省略乘号，书写格式正确，符合要求． C选项带分数未化为假分数，书写错误，不符合要求． D选项数字未写在字母前，书写错误，不符合要求． 4．（25-26七年级上·河南开封·期末）在代数式，中，整式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【详解】解：整式是单项式与多项式的统称，且整式的分母中不含字母， 对各代数式判断如下：是多项式，属于整式；是多项式，属于整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式；分母含字母，不是整式； 中分母含字母，不是整式；是单独的常数，属于单项式，是整式； 是单项式，属于整式；综上，整式共有5个．故选：C． 5．（2026·贵州六盘水·二模）的3倍与2的和，列代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵的3倍可表示为 , ∴的3倍与2的和可表示为 ． 6．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，大长方形的长为 a，宽为 b，从右上角切去一个小长方形，剩余的阴影部分图形面积可通过多种方法表示．下列四个表达式中，不能表示该阴影部分面积的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：用大长方形面积减去长方形面积表示该阴影部分面积为， A选项表达式正确，不符合题意； 如图①，用上半部分的长方形面积加下半部分长方形的面积表示该阴影部分面积为，B选项表达式正确，不符合题意；C选项表达式错误，符合题意； 如图②，用两个梯形的面积表示该阴影部分面积为， D选项表达式正确，不符合题意． 7．（25-26七年级上·上海青浦·期中）下列说法正确的是（　　） A．是次单项式 B．的系数是 C．是单项式 D．的系数是 【答案】C 【详解】解：、中是常数，所有字母的指数和为，因此它是次单项式，故本选项说法错误，不符合题意；、的数字因数是，因此系数为，不是，故本选项说法错误，不符合题意； 、根据定义，单独的一个数是单项式，因此是单项式，故本选项说法正确，符合题意； 、的数字因数是，因此系数为，不是，故本选项说法错误，不符合题意． 8．（2026·广东广州·一模）多项式的次数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】解：∵ 的次数为，中的指数为，的指数为，次数为，常数项的次数为， ∴ 该多项式次数最高项的次数为，即该多项式的次数是． 9．（2026·青海西宁·二模）下列说法中正确的是（     ） A．单项式的次数为，系数是 B．单项式和是同类项 C．多项式是二次三项式 D．多项式的项是，和 【答案】B 【详解】解：A，单项式的系数为，次数为，选项说法错误； B，和所含字母相同，且相同字母的指数也相同，符合同类项定义，二者是同类项，选项说法正确；C，多项式的最高次项次数为，共项，该多项式是三次三项式，选项说法错误； D，多项式 的项是，和，选项说法错误． 10．（25-26七年级上·北京顺义·期中）以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项B：各项的指数依次为，符合降幂排列的要求，正确； 选项C：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项D：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误． 11．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）下列各式：，其中是代数式的有____________个． 【答案】6 【详解】解：是代数式；是代数式；是方程，不是代数式；是代数式；0是代数式；是代数式；是代数式；是不等式，不是代数式；是不等式，不是代数式，则，其中是代数式的有个．故答案为：6． 11．（2026·海南三亚·模拟预测）妈妈让小明去市场买椰子，每个椰子单价为元，买了个椰子，小明身上还剩余元，用含的代数式表示小明一共带的钱数为__________元． 【答案】 【详解】解：每个椰子单价为元，购买个椰子的总花费为元，小明剩余钱数为元， 一共带的钱数为总花费加剩余钱数，可得代数式为. 12．（25-26七年级上·上海·阶段检测）整式是________次________项式． 【答案】 三 三 【详解】解：整式包含三个单项式，分别为，，，其中的次数为，的次数为，的次数为，可得最高次项的次数为，项数为，因此该整式是三次三项式． 13．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）写出一个系数是，次数是的单项式，这个单项式可以是_______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：可构造一个字母的指数为、系数为的单项式，如，其中的指数为，次数为，系数为，也可用多个字母，如，其中的指数为，的指数为，次数和为， 故答案为：（答案不唯一）． 14．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）如图，长方形的长为，宽为．现以长方形的四个顶点为圆心，宽的一半为半径在四个角上分别画出四分之一圆． (1)用含，的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当，时，求图中阴影部分的面积．（取） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：根据题意知，阴影部分的面积为； （2）解：当，时，阴影部分的面积为． 15．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）某公园的门票价格如下：成人20元，学生10元，满40人可以购买团体票（8折），设一个旅游团共有x人，其中学生有y人． (1)用含x，y的整式表示该旅游团购买团体票应付的门票费． (2)如果该旅游团有46个成人，12个学生，那么他们购买团体票需付的门票费是多少？ 【答案】(1)元 (2)他们购买团体票需付的门票费是832元 【详解】（1）解：成人门票费为元，学生门票费为元， 所以旅游团应付的总费用为元； （2）解：旅游团有46个成人，12个学生， 所以（元）． 答：他们购买团体票需付的门票费是832元． 能力提升 16．（25-26七年级上·河北唐山·期末）张老师在黑板上写了一个代数式，三位同学分别作了以下描述： 小明：这个代数式是一个六次三项式；小红：这个代数式的最高次项系数为；小华：这个代数式的常数项是7．如果上面的同学描述都是正确的，那么李老师写出的代数式有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A. ，是四次三项式、最高次项系数为、常数项为，故该选项不正确，不符合题意； B. ，是六次三项式、最高次项系数为、常数项为，故该选项正确，符合题意； C. ，是六次三项式、最高次项系数为、常数项为，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，是四次三项式、最高次项系数为、常数项为，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 17．（25-26七年级上·江西吉安·期末）多项式是关于，的五次三项式，则的值是（    ） A． B．2 C．或 D． 【答案】D 【详解】解：∵多项式是关于的五次三项式， ∴，且，∴，且，∴，故选：D． 18．（25-26七年级上·广东珠海·期中）已知关于的多项式不含项，那么的值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵关于x的多项式不含项，∴解得：故选：D． 19．（2025·广东清远·二模）已知，则代数式的值是______． 【答案】4 【详解】解：，，． 20．（2026·湖南·中考真题）已知，则代数式的值是________． 【答案】2026 【分析】将代数式前两项提取2进行变形，把已知代数式的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴． 21．（2026·江西上饶·模拟预测）按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？ (1)填写表内空格； 输入x 5 4 … 输出答案 … (2)你发现的规律是______，并证明该规律的正确性． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【详解】（1） 输入x 5 4 … 输出答案 0 0 0 0 … (2)输入的x为任何数结果都为0． 证明：∵， ∴无论x取任何值，结果都为0，即结果与字母x的取值无关． 挑战一刻 22．（25-26七年级上·四川眉山·期末）已知时，代数式的值为17，则时，代数式的值为（    ） A． B． C． D．14 【答案】A 【详解】∵当时，，即，∴. 当时，， ∵，∴原式故选：A． 23．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为明文，对应的密文为，．例如：明文1，2对应的密文是，4，当明文是2，5时，密文应是______，______． 【答案】 9 【详解】解：由题意得，明文，，将，代入加密规则得： 第一个密文：，第二个密文：． 24．（25-26七年级上·山东滨州·期末）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为，则最后输出的结果是______． 【答案】 【详解】解：当时，∵，∴计算， ∵，∴当时，∵，∴计算， ∵，∴当时，∵，∴计算， ∵，∴结果为． 25．（2026·四川达州·中考真题）中国古代数学家李冶的《测圆海镜》是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，《测圆海镜》是高次幂在上，低次幂在下，如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的二次项系数为________． 【答案】3780 【详解】解：根据题意，天元式中高次幂在上，低次幂在下， 图1中第一行表示二次项系数，第二行（标有“元”）表示一次项系数，第三行表示常数项， 图2中第一行表示二次项系数，观察图2第一行算筹，从左到右依次为千位、百位、十位、个位， 千位为横式，表示，百位为纵式，表示，十位为横式（参考图1中千位的表示），表示，个位为，表示，该多项式的二次项系数为． 26．（2026·四川广安·二模）若多项式是关于x，y的三次多项式，则______． 【答案】或 【详解】解：多项式是关于，的三次多项式， 次数为的项的系数必须为，且最高次项的次数为， 可得，由得，将代入得， 即或，解得或， 当，时，，当，时，． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $