第10讲 探究与表达规律（讲义，全国通用新教材北师大版）数学小升初衔接

第10讲 探究与表达规律 预习目标 知识回顾 1. 通过具体的问题情境，经历在实际问题中探索规律的过程； 2. 能归纳具体问题中蕴含的规律，用代数式表示， 并通过计算验证； 3. 在解决问题过程中体验类比、转化等数学思想，培优良好的思维品质。 1. 同类项的概念与合并同类项的步骤； 2. 去（添）括号法则； 3. 整式的加减的步骤及化简求值的步骤； 4. 整式比较大小和实际生活中的应用。 新知导图 预习精讲 想一想 【思考1】观察下面日历图，思考下列问题：（1）日历图中的数有什么规律？（2）日历图的套色方框中的 9 个数之和与该方框正中间的数有什么关系？（3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？（4）你还能发现这样的方框中 9 个数之间的其他关系吗？请用代数式表示。 【思考2】成都某湿地公园规划将一片五边形区域划分为多个三角形生态保育区。规划人员在五边形内部设置若干个观测点，连同五个顶点，用小路（直线段）连接这些点，使得每个区域都是三角形且小路除端点外不交叉．经验发现：如图，当五边形内有1个观测点时，可得分5个三角形生态区；当五边形内有2个观测点时，可得分7个三角形生态区（不被分割的三角形）；当五边形内有3个观测点时，可得分9个三角形生态区（不被分割的三角形）；当五边形内部设置n个观测点时，可划分出的三角形生态区（不被分割的三角形）数量为多少呢？ 【思考3】下表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an，则a6=______，an=______． 知识点01 探究与表达规律 1.探究与表达规律的核心思想：从特殊实例→归纳猜想→用代数式表示一般规律→整式运算验证规律，体会从特殊到一般的代数推理，是整式加减的综合应用。 2.探索规律的通用步骤： 1）观察特例：列出前3～5组数据，寻找变化特点；2）猜想规律：寻找数值和序号n之间的关系； 3）表示规律：用含正整数n的代数式写出通项；4）验证规律：代入下一组数据检验，不成立则重新猜想。 我们经历多次“归纳”的过程，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程。归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略。 3.规律探索型问题三大类型 1）数式规律：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 2）图形规律：根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律。解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律。 3）数表规律：解决本题的方法一般先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律。有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·重庆·校考期末）如图所示：下列各三角形中的三个数均有相同的规律，按此规律，最后一个三角形中的值是（   ）    A．420 B．422 C．424 D．426 【答案】B 【详解】根据题中前4个三角形中的三个数的规律，可知如下规律：    ∴当时，． 2．（25-26九年级下·江西九江·期中）已知一列数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，的分母分别为8，11，14，规律为两数之间都是增加3，∴可猜想的分母为5， ∵，，的分子分别为7，9，11，规律为两数之间都是增加2，∴可猜想的分子为5， ∴，符合题意，∴由分子的5，7，9，11，可得的分子为， 由分母的5，8，11，14，可得的分母为，∴，∴． 3．（2026·山东烟台·一模）如图，将一根绳子折成4段，然后按图中所示方式剪开，剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9段；……依此规律剪n刀，绳子变为________段． 【答案】/ 【详解】解：当剪刀时，段数为：；当剪刀时，段数为：； 当剪刀时，段数为：；；由此归纳，剪刀时，绳子变为段． 4．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）如图所示，将部分偶数依顺序排列成三角形数阵，从上到下称为行．图中数6为第2行、从左向右第2个数；数为第4行、从左向右第3个数，那么第7行、从左向右第4个数为________． 【答案】 【详解】解：由题意得，第1行有1个偶数，第2行有3个偶数，第3行有5个偶数，第4行有7个偶数， ∴第5行有9个偶数，第6行有11个偶数，∴前6行偶数的个数为， ∴从2开始的第36个偶数绝对值为，又∵第6偶数行的最后一个数为负数， ∴第6行的最后一个数为，∴第7行的数分别为74，，78，，∴第7行左起第4个数为． 5．（2026·内蒙古通辽·二模）如图是由白色小正三角形和黑色小正三角形组成的图形，第①个图有1个白色小正三角形和3个黑色小正三角形；第②个图有4个白色小正三角形和6个黑色小正三角形；第③个图有9个白色小正三角形和9个黑色小正三角形，…，以此类推，则第个图中的白色小正三角形和黑色小正三角形共有__________个． 【答案】 【详解】解：由第①个图中白色小正三角形有1个，黑色小正三角形有3个，第②个图中白色小正三角形有4个，黑色小正三角形有6个，第③个图中白色小正三角形有9个，黑色小正三角形有9个，可得第个图中白色小正三角形有个，黑色小正三角形有3n个， 则第个图中白色小正三角形和黑色小正三角形共有个． 6．（25-26七年级上·广东茂名·期中）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学发了一张边长为1的正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】小明同学经过一番思考后，进行了如下操作：如图，将边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，……，依次类推，则图中空白部分的面积为， 计算时，小彬同学是这样思考的：设① 将等式两边同时乘得② 将①减去②得，即， 即， (1)【过程思考】图中阴影部分的面积是____； (2)根据以上规律，可得_____；____；（为正整数） (3)【知识迁移】请你借助小彬同学的方法，求的值． 【答案】(1)(2)，(3) 【详解】（1）解：由题知，正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， ∴图中阴影部分的面积与第⑥部分的面积相等． 又∵第①部分的面积为：，第②部分的面积为：， 第③部分的面积为：，…，依次类推，第n部分的面积为． 当时，．∴阴影部分的面积为； （2）解：设，∴， ∴，即； 设，将等式两边同时乘以得：②， 将①减去②得，即，即； （3）解：令①， 将等式两边同时乘以2得：②， 将②式减去①式得，即． 题型速练 题型1 数字规律—日历问题 【例1】（25-26七年级上·江西·校考期末）数学活动-探究日历中的数字规律：如图1是2025年1月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值．探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为 ；将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为 ； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，， ，可得 ， ， 则 ； (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究．请从下列A、B两题中任选一题作答． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)0；0(2)，，，0 (3)选择A，的值均为0，理由见解析（选择B，的值均为） 【详解】（1）解：； 将的方框移动到图1中的其他位置，如，则；无论移动到哪，总有，，，则； （2）解：设，则，，， 可得，，则； （3）解：选择A，的值均为0，理由如下：设，则，，， ，则的值均为0； 选择B，的值均为，理由如下：设，则，，， ，则的值均为． 必记结论 横向：相邻两个数，右边比左边大1； 纵向：上下两个数，下边比上边大7； 3×3 方框九个数： 九个数的和 = 中间数 ×9； 对角两数之和相等。 十字框：上下左右四数之和 = 中间数的 4 倍。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）如图是2025年6月的日历，用如图的X型框去框该日历中的日期数，每次同时框5个数．那么圈出的5个数之和不可能是（   ） A．50 B．75 C．95 D．105 【答案】B 【详解】解：设X型最中间的数为，由图知剩余4个数分别为：， 则每次同时框5个数的和为：， A、因为，又当时，能圈出X型框， 所以圈出的5个数之和可能是50，不符合题意； B、因为，又当时，不能圈出X型框， 所以圈出的5个数之和不可能是75，符合题意； C、因为，又当时，能圈出X型框， 所以圈出的5个数之和可能是95，不符合题意； D、因为，又当时，能圈出X型框， 所以圈出的5个数之和可能是105，不符合题意；故选：B． 2．（24-25八年级上·河南开封·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是2025年1月份的日历．任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，发现结果都是7．若将方框部分的左上角数字设为，用等式表示这一规律为_______． 【答案】 【详解】解：设日历中所示的方框左上角数字为n，则其余三个数从小到大依次是：， ∴用含x的式子可表示为．故答案为：． 3．（2025七年级上·福建泉州·专题练习）如图是2025年1月份的日历，“横3”和“竖3”两个阴影图形分别覆盖其中3个数字（两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动）．设“横3”覆盖的数字之和为，“竖3”覆盖的数字之和为，若，则的最小值为_______． 【答案】51 【详解】解：设“横3”中间数为x，“竖3”中间数为y， 由题意得：，，， ∴x、y为同一横行上，相邻的两个数，∵，∴当最小时，最小， 根据图可知，的最小值为8，∴的最小值为， ∴的最小值为，∴的最小值为．故答案为：51． 4．（25-26七年级上·河北保定·期末）【问题发现】如图①是2026年1月的日历，用“目”字形阴影框中的三个数字均满足“三个数字之和是中间数字的3倍”理由如下：设中间数为，则“目”字框中最上面的数表示为，最下面的数表示为，三个数字之和为，所以“目”字框中三个数之和是中间数的3倍． 【类比联想】请根据上面的探究过程，猜想图②的“”字形阴影框中日历中的五个数，这五个数从小到大依次为． (1)若日历中用“”字形框中五个数，其中最小的数是1，则“”字形框中的五个数之和为_______． (2)在日历中将“”字形框上下左右移动，框中日历表中的五个数字之和能被5整除吗？通过计算说明理由． (3)【类比探究】请你根据上述探究过程，猜想图中由个数字组成的偶数方阵中任意“十”字框中的5个数字之和与框中心的数字的关系为__________________． 【答案】(1)45(2)能，理由见解析(3) 【详解】（1）解：用“”字形框中五个数，其中最小的数是1，则这五个数分别为， 故这五个数之和为．故答案为：45． （2）解：能，理由如下：设“”字形框中最小的数为x，则其余四个数字为， 这五个数之和为， ∵是5的倍数，∴框中日历表中的五个数字之和能被5整除． （3）解：“十”字框中框中心的数字， 则框中心上方的数字，框中心下方的数字，框中心左方的数字，框中心右方的数字， ∴“十”字框中的5个数字之和， ∴“十”字框中的5个数字之和与框中心的数字的关系为．故答案为：． 题型2 数字规律—数列问题1 【例1】（25-26七年级·成都·期中）有这样一组数：、、、、…、第个数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】第一个数：第二个数： 第三个数：第四个数：……第n个数：. 必记结论 数列的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n之间的关系。 速记口诀‌：‌一验差值、二联序号、三拆因式、四建函数‌。 验证规律完整性‌：至少验证3项是否符合推导公式，避免片面规律。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知一组数据1，3，5，7，9，…，则这组数据的第10个数是____． 【答案】19 【详解】这组数据为连续奇数，第n个数为，第10个数为． 2．（25-26七年级下·西藏林芝·期中）数列，，，，，，第个数是______． 【答案】 【详解】解：由题干可得，第个数为，第个数为，第个数为，第个数为， 依此类推，归纳可得第个数为． 3．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）找出规律，填一填．3、11、20、30、( )、53、( )． 【答案】 41 66 【详解】解：计算相邻两数的差：，，， 可得规律：相邻两个数的差依次增加，因此第一个括号中的数为， 验证可得，符合已知数列，因此第二个括号中的数为． 4．（2026·河南南阳·一模）观察下列一组数：，，，，，，按此规律，第个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题中规律可得整数部分每次增加，则第个数整数部分是，小数部分每次增加一个，则第个数小数部分有个，∴第个数小数部分是，∴第个数是． 题型3 数字规律—数列问题2 【例1】（2026·云南楚雄·三模）观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，则这一组数的第n个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，，，， ∴这一组数的第n个数是. 必记结论 数列的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n之间的关系。 速记口诀‌：‌一验差值、二联序号、三拆因式、四建函数‌。 验证规律完整性‌：至少验证3项是否符合推导公式，避免片面规律。 【小试牛刀】 1．（2026·江苏徐州·二模）观察下列各数：，1，，，⋯，按此规律，第12个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：第1个数为：；第2个数为：； 第3个数为：；第4个数为：；…； 第n个数是，第12个数是． 2．（25-26九年级下·河南周口·期中）按规律排列的一组数：，按此规律第n个数为________． 【答案】 【详解】解：观察已知排列的数：第个数：；第个数：； 第个数：；第个数：；； 按此规律，可得第个数的分子为，分母为．∴第个数为． 3．（25-26七年级·广东·期中）观察数列，，，，，，，，，，，，，，，，…，数列中第150个是______． 【答案】 【详解】解：观察数列，发现： 分母为1的分数有1个，；分母为2的分数有3个，； 分母为3的分数有5个，；分母为4的分数有7个，；…… 规律：分母为n的分数有个；前n个分母的分数总个数是． 所以，数列中第150个是分母为13的第6个数，即． 4．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知，，，，则________ ． 【答案】 【详解】解：由题知，所给各数的分子依次为3，5，7，9，…，所以第n个数的分子可表示为； 所给各数的分母依次为2，5，10，17，…，所以第n个数的分母可表示为， 又因为第奇数个数为负数，第偶数个数为正数，所以第n个数可表示为：； 当时，． 题型4 数字规律—数（图）表问题 【例1】（2026·江西上饶·模拟预测）如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是____________． 【答案】44 【分析】根据前三个图的数字变化，得出数字规律即可求出，的值． 【详解】解：∵第1个图中，，， 第2个图中，，， 第3个图中，，， ∴第4个图中，，． 【例2】（24-25七年级上·河南鹤壁·期中）观察一列数：，4，，16，，64，，256，…将这列数排成如图所示的形式，则第10行第8个数是（   ） 4      16   64    256   … A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由排列规律可得，第行有个数. ∵第1行有个数，第2行有个数，，第9行有个数， ∴前9行数字的总个数为 ， ∴第10行第8个数是原数列的第个数， 观察原数列可得，第个数的绝对值为，为奇数时符号为负，为偶数时符号为正. ∵是奇数，∴第10行第8个数为． 常见错误/必记结论 数（图）表的规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系。 口诀速记‌：‌图形数一数，增减看清楚；表格分行列，验证第一步！ 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图， ∵左下角的数依次为，右上角的数依次为， ∴右上角的数左下角的数，即，解得：， ∵左上角的数依次为，左下角的数依次为， ∴左下角的数左上角的数，即，解得：， ∵根据()可得：，根据()可得：，根据()可得：， ∴推出第()个式子为：，∴． 2．（2026·贵州遵义·二模）杨辉三角是中国古代数学的杰出成果，比欧洲发现此规律早300多年，彰显了中国古代数学的辉煌成就．如图是杨辉三角的前几行．观察数字规律，第9行从左数第3个数字是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示：第9行左起第3个数是28. 3．（2026·甘肃平凉·二模）“格子乘法”是15世纪中叶，意大利数学家帕乔利在《算术、几何及比例性质摘要》一书中介绍的一种两个数相乘的计算方法．这种方法传入中国之后，在明朝数学家程大位的《算法统宗》中被称为“铺地锦”．如图1表示，运算结果为3036．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则a的值是（    ）． A．2 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【详解】解：由图2可知，上方数字为3，2，右侧数字为a，4，观察左上角的小方格，其所对的两个数为3和a，乘积为，根据图示，该方格对角线下方的数字为a，表示的个位数字是a， ∵a为两位数的十位数字，∴，在1至9的整数中，只有的个位数字与乘数5相同， ∴，验证：当时，观察右上角小方格，所对两数为2和5，乘积， 图示该方格对角线上方的数字为，即，与10的十位数字1相符，符合题意． 4．（2026·陕西榆林·三模）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称莱布尼茨三角形，它第行两端的数均为，且每个数都是它下一行左右相邻两数的和，则第行从左到右第个数为_____． 【答案】 【详解】解：图中每一行第个数是，则 第二行第个数：， 第三行第个数：，第四行第个数：，第五行第个数：， 上述式子满足的规律是第行第个数可表示为，则第行从左到右第个数为． 题型5 代数式的规律 【例1】（2026·河南平顶山·三模）按一定规律排列的多项式：，，，，则第10个多项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察已知多项式：第1个：，第2个：，第3个：，第4个：，第n个多项式为：， 则第10个多项式是：． 【例2】（2026·河南平顶山·三模）观察2，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第10个式子为________． 【答案】 【详解】解：，， ，， ，…，第n个式子为， ∴第10个式子为，即． 必记结论 代数式型的规律问题主要看两个内容：（1）系数变化规律：①正负符号是否交替出现；②系数的数值变化规律；（2）字母指数变化规律。 【小试牛刀】 1．（2026·云南昆明·模拟预测）一列代数式按以下规律排列：，，，，，…，第n个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题可知，系数分别是1，，，，，， 即第1项系数为1，第2项系数为，第3项系数为，第4项系数为，第5项系数为，则系数规律为； 的次数分别是，，，，，， 即第1项次数为，第2项次数为，第3项次数为，第4项次数为，第5项次数为，则的次数规律为；第个代数式为． 2．（2026·云南临沧·二模）按一定规律排列的代数式：，，，，，第n个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将代数式按序号 依次分析规律：∵当时，系数为，的指数为； 当时，系数为，的指数为；当时，系数为，的指数为； 当时，系数为，的指数为；∴第个代数式的系数为，的指数为， ∴第个代数式是． 3．（2026·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的代数式：，，，，……，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得，第一个代数式，的指数为，的系数为； 第二个代数式，的指数为，的系数为； 第三个代数式，的指数为，的系数为；∴第个代数式为． 题型6 算式的规律 【例1】（2026·江苏泰州·二模）我国宋代数学家杨辉在《详解九章算法》中给出了著名的“杨辉三角”．观察下列按规律排列的算式： …… 按照此规律，下一个等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： ∴规律为：第n个等式中，左边第一个乘数是从1开始的连续n个正整数组成的数，加号后的加数是n，结果是从9开始依次递减1的连续n个正整数组成的数. ∴下一个等式对应 ，第一个乘数为1234，加数为4，结果为9876，即等式为． 必记结论 ‌口诀速记‌：‌符号增减看指数，分项拆解再重组；递推关系抓前项，验证三步防错误！ 算式的规律：用含有字母的算式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系。 【小试牛刀】 1．（2026·云南楚雄·一模）观察下列等式：，，，…，按此规律，则第2026个等式的左边为（    ） A．4043 B．4045 C．4048 D．4051 【答案】D 【详解】解：观察题中规律可得，第n个等式的左边为，右边为， ∴第2026个等式的左边为． 2．（2026·山东潍坊·二模）观察以下等式， ， ， ， ， 已知，则__________． 【答案】9 【分析】找出规律解答即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，∴，解得：． 3．（25-26九年级下·宁夏固原·学业考试模拟）仿照下列式子的规律填空： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第202个等式：______． 【答案】 【详解】观察给出的等式：第1个等式：，可写为． 第2个等式：，可写为． 第3个等式：，可写为．．．． 归纳规律可得，第个等式为：．当时，． 4．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）观察下列各式，解答后面的问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)第5个等式是______；(2)第n个等式是______； (3)计算：． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：；第3个等式： ∴第5个等式是：； （2）解：． （3）解：原式 ． 题型7 循环规律类问题 【例1】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知有理数，我们把称为的“差倒数”，如：2的“差倒数”是，的“差倒数”是．若，是的“差倒数”，是的“差倒数”，是的“差倒数”，…，依此类推，则的值是(     ) A． B． C．4 D． 【答案】C 【详解】解：∵∴ ∴该数列以三个数为一个周期循环；∵，刚好整除；∴；故选：C． 必记结论 有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。 固定周期重复‌：数字、图形或坐标序列每间隔‌固定项数重复出现。 口诀速记‌：‌周期长度看重复，余数定位是核心；起始项序要验证，两级循环需分层！ 【小试牛刀】 1．（2026·河南平顶山·三模）观察下列计算结果： 通过分析结果中个位数字的变化规律，判断的计算结果的个位数字是（     ） A．1 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【详解】解：由已知计算结果，提取的个位数字依次为： 当时，个位为；当时，个位为；当时，个位为； 当时，个位为；当时，个位为；…∴个位数字按1，7，7，5循环，周期为， ∵，余数为，∴的个位数字对应循环中第个数字，即． 2．（2026·湖北武汉·一模）有一枚棋子放在图中号位置上，现按顺时针方向，第一次跳一步，跳到号位置；第二次跳两步，跳到号位置；第三次跳三步，又跳到号位置；……，这样一直进行下去，永远跳不到的位置序号是（     ） A．仅③ B．仅⑤ C．仅⑥ D．③或⑥ 【答案】D 【详解】解：根据题意可知，棋子每次跳的位置依次为、、、、、、、、、、、、、、，...，每次为一个周期循环，故永远跳不到的位置序号是③或⑥． 3．（2026·河北张家口·二模）嘉嘉用硬卡纸做了一个骰子，六个面上分别标有六个数字，投掷两次，结果如图所示．从第二次投掷结果开始将骰子向右滚动，第一次滚动后写有数字4的一面朝下，第二次滚动后写有数字6的一面朝下，……，按照这样的规律，经过103次滚动后，朝下一面的数字为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：根据题意，得4和3相对，6和5相对，1和2相对，第一次滚动后写有数字4的一面朝下，第二次滚动后写有数字6的一面朝下，第三次滚动后写有数字3的一面朝下，第四次滚动后写有数字5的一面朝下，第五次滚动后写有数字4的一面朝下，每滚动4次回到初始位置， 因为，所以朝下一面的数字为3； 题型8 图形规律—一次类型 【例1】（2026·四川乐山·一模）观察下列图形变化的规律，我们发现每一个图形都分为上、下两层，下层都是由黑色正方形构成，其数量与编号相同；上层都是由黑色正方形或白色正方形构成（第个图形除外），则下列说法中正确的个数有（    ） ①第个图形中，白色正方形共有个；②第个图形中，黑色正方形共有个； ③第个图形中，一共有个正方形；④第个图形中，黑色正方形的个数比白色正方形的个数多个 A．1个 B．个 C．3个 D．个 【答案】B 【详解】解：观察图形可知，图1中，下层1个黑色正方形，上层1个黑色正方形，共2个正方形； 图2中，下层2个黑色正方形，上层1个黑色正方形和1个白色正方形，共4个正方形； 图3中，下层3个黑色正方形，上层2个黑色正方形和1个白色正方形，共6个正方形； 图4中，下层4个黑色正方形，上层2个黑色正方形和2个白色正方形，共8个正方形； 图5中，下层5个黑色正方形，上层3个黑色正方形和2个白色正方形，共10个正方形； ∴ 第n个图形中，下层有n个黑色正方形，上层有n个正方形，正方形总数为2n个， 当n为偶数时，上层有个黑色正方形和个白色正方形， 当n为奇数时，上层有个黑色正方形和个白色正方形． ① ∵为偶数，∴ 白色正方形有个，∴ 说法①错误； ② ∵为奇数，∴ 黑色正方形有个，∴ 说法②正确； ③ ∵ 第n个图形中，下层n个，上层n个，∴ 一共有2n个正方形，∴ 说法③正确； ④ 当n为偶数时，黑色正方形有个，白色正方形有个，∴ 黑色比白色多个， 当n为奇数时，黑色正方形有个，白色正方形有个，∴ 黑色比白色多个，∴ 说法④错误．综上所述，正确的说法有2个． 必记结论 图形的规律（一次型）特点‌：每步增加相同数量的元素；观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。 口诀速记‌：‌图形拆解是根基，固定递变看差异（若图形拆解不易，也可以观察图形数量的变化规律）；三项验证防陷阱！ 【小试牛刀】 1．（2026·宁夏银川·二模）如图，在数学实践课上，小明将五边形区域分割成若干个三角形，他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．则当五边形内有2026个点时，可分得三角形的个数为________． 【答案】4055 【详解】解：当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为：； 当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为：； 当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为：；， 所以当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为个， 所以当五边形内有2026个点时，可分得的三角形的个数为． 2．（2026·广西南宁·三模）烷烃是由碳、氢元素组成的有机化合物．如图是其前四种烷烃的分子结构模型，其中黑球代表碳原子C，白球代表氢原子H． 如图①第1种烷烃甲烷的化学式为，如图②第2种烷烃乙烷的化学式为， 如图③第3种烷烃丙烷的化学式为，如图④第4种烷烃丁烷的化学式为． 按照这一规律，第8种烷烃辛烷的化学式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意及图形可知，第1种烷烃化学式为，其中氢原子个数为； 第2种烷烃化学式为，其中氢原子个数为； 第3种烷烃化学式为，其中氢原子个数为； 第4种烷烃化学式为，其中氢原子个数为；第种烷烃的化学式为． 当时，碳原子个数为8，氢原子个数为．第8种烷烃辛烷的化学式为． 题型9 图形规律—二次类型 【例1】（25-26七年级上·河南平顶山·阶段检测）下列图案是由相同大小的“●”按照一定规律组成，其中第①个图中有3个“●”，第②个图中有6个“●”，第③个图中有11个“●”按照这一规律，则第⑧个图中“●”的个数是______个． 【答案】66 【详解】解：由图可得，图①中的圆形图案有：，图②中的圆形图案有：， 图③中的圆形图案有：，则第⑧个图形中圆形图案的个数应是：． 必记结论 1）递变累加型‌‌特点‌：增量本身成等差（二阶等差）。公式‌：总数 = an² + bn + c。 2）分区域累加型‌‌特点‌：图形由多个独立部分构成。‌步骤‌：拆解区域→各部分分别列式→求和。 【小试牛刀】 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有4个☆，第2个图案中有5个☆，第3个图案中有8个☆，第4个图案中有13个☆……按此规律，则第12个图案中，☆的个数是（） A．148个 B．125个 C．126个 D．128个 【答案】B 【详解】解：观察图形可知：第1个图案中☆的个数为； 第2个图案中☆的个数为；第3个图案中☆的个数为； 第4个图案中☆的个数为；∴第n个图案中☆的个数为， 当时，☆的个数为． 2．（2026·重庆武隆·二模）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有3个小太阳，第②个图案中有7个小太阳，第③个图案中有13个小太阳，第④个图案中有21个小太阳，…，按照这一规律，则第⑧个图案中小太阳的个数是（     ） A．73 B．57 C．91 D．85 【答案】A 【详解】第①个图案中有(个)小太阳；第②个图案中有(个)小太阳； 第③个图案中有(个)小太阳；第④个图案中有(个)小太阳， ∴第n个图案中有个小太阳，当时，，∴第⑧个图案中小太阳的个数是73． 3．（2026·黑龙江大庆·一模）在一次模拟编程设计中，无人机群按如下规律组成方阵图形：图①有2架无人机，图②有8架无人机，图③有18架无人机，按此规律，图⑤有____架无人机． 【答案】50 【详解】解：第①个图无人机的数量为（架），第②个图无人机的数量为（架）， 第③个图无人机的数量为（架），……第n个图无人机的数量为架， 当时，（架）． 4．（25-26七年级下·江苏南京·开学考试）如图，鸡蛋饼的表面可以看作是一个圆面，分割的每一刀都可以看作一条直线．切5刀最多可以将鸡蛋饼分成______块． 【答案】16 【详解】解：由题知，切1刀可将鸡蛋饼分成的块数为∶； 切2刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为∶； 切3刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为∶；…… ∴切n刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为∶， 当时，（块）．即切5刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为16块． 题型10 图形规律—指数型 【例1】（2026·甘肃白银·一模）如图，分形树是一种体现自然生长规律的数学模型，其“自相似、渐繁茂”的生长特征既蕴含着简洁统一的数学美，也隐喻着自然界高效有序的生长智慧．分形树的生长规律如下：第1个图形由1条主干组成，第2个图形是在第1个图形的主干顶端生长出2条新树枝，第3个图形是在第2个图形的每条树枝顶端各生长出2条新树枝，…，以此类推，每个新图形都是在前一个图形的每条末端树枝顶端生长出2条新树枝，那么第个图形中所有树枝（含主干）的总条数是________．（用含的代数式表示） 【答案】 【详解】解：第1个图形由1条主干组成，图形中所有树枝（含主干）的总条数是，规律表示为； 第2个图形是在第1个图形的主干顶端生长出2条新树枝，图形中所有树枝（含主干）的总条数是，规律表示为；第3个图形是在第2个图形的每条树枝顶端各生长出2条新树枝，图形中所有树枝（含主干）的总条数是，规律表示为；第4个图形是在第3个图形的每条树枝顶端各生长出2条新树枝，图形中所有树枝（含主干）的总条数是，规律表示为；… 以此类推，第个图形中所有树枝（含主干）的总条数是． 必记结论 图形规律：观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。 口诀‌：‌几何倍增看比值，首项定位是根基；补形转化破复杂，两级验算防陷阱！ 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，…，第n次对折后得到的图形面积为，则________． 【答案】 【详解】解：由题意知，，，，…，， 剩下部分面积为，∴． 2．（2026·山西运城·二模）我们来探究“雪花曲线”的相关问题：将第个图形中的正三角形的每条边三等分，以其居中的那一条线段为底边，向外作正三角形，然后以其两腰代替底边这样就得到第2个图形，再将第个图形中的每条边三等分，并重复上述的作法，得到第个图形，……如此继续下去，则第个图形的边数是________． 【答案】 【详解】解：观察规律可发现从第1个图形开始，每个图形的边数都是前一个图形边数的四倍， 即第个图形的边数为，第个图形的边数为，第个图形的边数为， 第个图形的边数为，第个图形的边数为，……，第个图形的边数是． 3．（25-26七年级下·重庆江北·开学考试）将一个面积为1的三角形分成4个面积相等的小三角形如图①，再将图①中心的小三角形按同样的方式分成4个面积相等的小三角形如图②，再将图②中心的小三角形按同样的方式分成4个面积相等的小三角形如图③，以此类推． (1)图①中阴影部分的面积为 ，图②中阴影部分的面积为 ，图③中阴影部分的面积为 ； (2)计算：． 【答案】(1)；，(2) 【详解】（1）解：由题知：图①中阴影部分的面积为：； 图②中阴影部分的面积为：；图③中阴影部分的面积为：；…， 所以图n中阴影部分的面积为． （2）解：由题知，图①中空白部分的面积为：； 图②中空白部分的面积为：； 图③中空白部分的面积为：；…， 所以图n中空白部分的面积为：． 当时，． 基础过关 1．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）在一列数：，，，，中，，，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意计算得： ， 从第三个数开始，每个数是前两个数之积的个位数字 ，得；，得；，得 ，得；，得；，得 ... 由此可知，这列数每个数为一个循环周期， ，刚好整除，等于一个周期内的第个数，即 . 2．（2026·云南昆明·模拟预测）一组按规律排列的多项式：，，，，…，第个多项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：观察给出的多项式：第个多项式 ，的指数为：， 第个多项式 ，的指数为：，第个多项式 ，的指数为：， 第个多项式 ，的指数为：，且每个多项式的第二项始终为， 第个多项式中，的指数为，即第个多项式为． 3．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如表，从左到右在每一个小格中都填入一个整数，使任意三个相邻的格子所填的整数之和都相等，则第个格子中的整数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：任意三个相邻的格子所填的整数之和都相等，，， ，，数据按照，，循环，周期为， ，第个格子中的整数与第个格子的整数相同，是． 4．（2026·重庆·一模）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有16个正方形，……，按此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（   ） A．64 B．72 C．81 D．100 【答案】D 【详解】解：图①中正方形的个数，图②中正方形的个数， 图③中正方形的个数，则第个图形中正方形的个数为， 故第⑨个图案中正方形的个数为． 5．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法（如图1）进行速算．图2表示的“竖式”，则的值为（   ） A．25 B．21 C．22 D．26 【答案】B 【详解】解：最上层的四个数字自左到右依次十位数字平方得到的两位数，个位数字平方得到的两位数，平方不是两位数时，十位数字用0补齐位； 中间行的数字是最右边一个空出来，计算十位数字与个位数字积的2倍，把结果的个位数字写在空格后的最右边空里，依次向左写，故 故． 6．（25-26七年级上·河南郑州·期末）1883 年，康托尔用以下的方法构造的这个分形，称作康托尔集． 如图，取一条长度为 1 的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下两段，这称为第一阶段；然后将剩下的两段再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，这称为第二阶段．．．将这样的操作无限地重复下去，余下的无穷点就称作康托尔集．那么经过第四个阶段后，留下的线段的长度之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：前四个阶段变化特点如下：根据第一阶段时余下的线段的长度之和是； 第二阶段时，余下的线段的长度之和是；第三阶段时，余下的线段的长度之和是； 第四阶段时，余下的线段的长度之和是． 7．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式： 解答下列问题：请用上面得到的规律计算：（    ） A．2419 B．2400 C．2601 D．2501 【答案】B 【详解】解： ，…，∴． ．故选B． 8．（25-26七年级上·贵州毕节·期末）将一根绳子按如图所示的方式折成三段，然后沿虚线剪开．剪1刀，绳子变为4段；剪2刀，绳子变为7段；剪13刀，绳子的段数为（   ） A．38 B．39 C．40 D．41 【答案】C 【详解】解：剪刀，绳子变为（段）；剪刀，绳子变为（段）； 剪刀，绳子变为（段）；剪刀，绳子变为（段）；， 剪刀，绳子的段数为（段）． 9．（2026·河南·模拟预测）计算3的正整数次幂，，，，，，，，…观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得的个位数字是_______． 【答案】9 【详解】解：由题意，可知的个位数字以四个一组循环， ， 的个位数字是循环组中的第2个数字，即为． 10．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）假如2024个人排成一排，并按1、2、3、4、5、6、5、4、3、2、1、1、2、3、4、5、6、5、4、3、2、1……这样循环报数，这第2024个人所报的数是( )这2024个人所报的所有数的和是( )． 【答案】 1 6624 【详解】解：循环周期11，组（无余数），第2024个数为1； 一个周期所有数的和： ，总和． 11．（2026·江西上饶·三模）有一列数按如下规律排列：请你根据规律写出第6个数：______． 【答案】 【详解】解：有一列数按如下规律排列：， 观察分子部分：，，，，可得第个数的分子为； 观察分母部分：，， ，，可得第个数的分母为， 当时，分子：，分母：，因此第个数是． 12．（2026·河南漯河·二模）观察式子：，则该多项式的第项是______． 【答案】 【详解】解：当时，第1项为，当时，第2项为， 当时，第3项为，当时，第4项为，... 依此类推，可得该多项式的第项为，故答案为：． 13．（25-26七年级下·重庆·自主招生）观察下列一列数，2，5，10，17，a，37，50，b，82，寻找规律，则________． 【答案】91 【详解】由观察得 ； ； ；， ； ；，． 14．（2026·陕西渭南·一模）算筹是我国古代常用的计算工具，也叫算、筹、策、筹策、算子．如图，用大小完全相同的算筹按照一定规律摆成下列图形，第1个图形中有3个算筹，第2个图形中有4个算筹，第3个图形中有5个算筹，…，以此类推，第26个图形中有______个算筹． 【答案】28 【详解】解：由图可知，第1个图形中有个算筹，第2个图形中有个算筹， 第3个图形中有个算筹，以此类推，第个图形中有个算筹， 则第26个图形中有个算筹． 15．（2026·湖北十堰·模拟预测）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为___________． 【答案】 【详解】解：左上数字：依次为，规律为第个正方形左上， 右上数字：依次为，规律为，已知最后一个正方形右上为，代入得，解得， 左下数字：依次比左上数字大，因此， 验证前三个正方形：，，，完全符合已知右下数字， 规律为：右下右上左下左上，代入得． 能力提升 16．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）某同学在10月的日历上圈出了三个数a，b，c，设，并求出它们的和为，则这三个数在日历中的排位位置是（   ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、设最小的数是x， ，故本选项不合题意； B、设最小的数是x，，故本选项不合题意； C、设最小的数是x，，故本选项符合题意； D、设最小的数是x，，故本选项不合题意．故选C． 17．（2026·重庆·三模）如图，下列图形由同样的棋子按一定规律组成，图1有1颗棋子，图2有3颗棋子，图3有7颗棋子，图4有13颗棋子，…，则图8的棋子颗数为（     ） A．43 B．57 C．64 D．73 【答案】B 【详解】解：由图形可得：图1有颗棋子，图2有颗棋子， 图3有颗棋子，图4有颗棋子，…， ∴图的棋子颗数为，∴图8的棋子颗数为． 18．（23-24七年级上·陕西西安·开学考试）若一列数依次为，即这列数从第二个数开始，后一个数总是前一个数的2倍加1，则这列数中的第9个数为______． 【答案】 【详解】解：由题意可得，第个数为，第个数为，第个数为， 第个数为，．．．，可推得第个数为，则第个数为． 19．（2026·安徽滁州·二模）如图1是一个点阵多边形，若四个相邻的点围成的正方形的面积为1，数学家发现了一个计算点阵多边形的面积公式：，其中表示多边形内部的点数，表示边界上的点数，表示多边形的面积． （1）如图1，多边形的面积__________； （2）如图2的点阵图中五边形的面积为10，根据点的位置，则的值为__________． 【答案】 6 14或15 【详解】解：（1）由图象得：，∴； （2）根据题意得：，∴，∴， 如图所示：当或时，满足题意； ∴或． 20．（2026·山东临沂·一模）2026年1月的日历如图所示，已知某社区的便民服务站每6天开放一次，从2026年1月2日开始第一次开放，第二次开放时间为2026年1月8日⋯以此类推，则2026年（共365天）的最后一次开放是星期______． 【答案】一 【详解】解：第一次开放是2026年1月2日，是星期五，第二次开放时间为2026年1月8日，是星期四， 第三次开放时间为2026年1月14日，是星期三，第四次开放时间为2026年1月20日，是星期二， 第五次开放时间为2026年1月26日，是星期一，，∴第n次开放时间为， ∵2026年共365天，∴，解得：， ∵n是整数，∴，即这一年结束循环了61次， ∴（天），即2026年的第362天是开放的最后一次， 从第一次开放日（第2天）到最后一次开放日（第362天），中间间隔了天， ∵一个 星期是7天一个循环，∴， ∴从第一次开放日（星期五）往后推3天得到是星期一，∴最后一次开放是星期一． 21．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照排列的规律，第7行第4个数是______． 【答案】50 【详解】解：根据观察可知：第 行有 个偶数；第1行的第1个数为： ， 第2行的第1个数为： ，第3行的第1个数为： ， 第4行的第1个数为： ，……第 行的第1个数为： ， ∴ 第7行的第1个数为： ，∴ 第7行的第4个数为：50， 挑战一刻 22．（2026·山西晋中·二模）园艺工人计划用两种不同的花卉布置广场，设计方案时，用全等的圆点和全等的三角形分别代表万寿菊和一品红的盆数，按如图所示的规律摆放，则第20个图形中花卉的总盆数为________． 【答案】440 【详解】解：第一部分是用圆点表示的图形，数量规律是1，2，3，4，…； 圆点数量规律为第个图形有个； 第二部分是用三角形表示的部分，数量规律是，，，，…， 三角形数量规律为第个图形有个；∴图中的花卉盆数是， 当时，． 23．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，叫三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为，第二个三角形数记为，第n个三角形数记为，则时，式子______． 【答案】 【详解】解：根据题意，，，，， ，， ∴，∴， ∴，∴， 当时，原式． 24．（2026七年级·江苏·期中）在数学上，图形可以通过一种特殊的方式进行“生长”．以一个正三角形为例，将它的三条边分别进行三等分，然后以每条边中间的一段为底边，向外再画出一个等边三角形，并擦去原来中间的那一段，这时，图形就完成了一次“生长”变形，成为了一个新图形（如图中①②）． （1）如果一个边长是厘米的等边三角形，经过两次“生长”变形，得到的图形（如图③）周长是_______厘米． （2）如果一个边长为厘米的等边三角形，像这样经过四次“生长”变形，得到的图形周长是_______厘米．（用含有的式子表示） 【答案】 / 【详解】（1）边长是厘米的等边三角形，周长是（厘米）， 第一个“生长”得到图形的周长是（厘米）， 第二次“生长”得到图形的周长是（厘米）， 因此一个边长是厘米的等边三角形，经过两次“生长”变形，得到的图形周长是厘米； （2）边长为厘米的等边三角形，周长是厘米， 第一次“生长”得到图形的周长是（厘米）， 第二次“生长”得到图形的周长是（厘米）， 第三次“生长”得到图形的周长是（厘米），， 以此类推，第次“生长”得到图形的周长是（厘米） 第四次“生长”得到图形的周长是（厘米）， 因此一个边长为厘米的等边三角形，像这样经过四次“生长”变形，得到的图形周长是厘米． 25．（2026·江西上饶·一模）如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是______． 【答案】1325 【详解】解：第1个图中，,第2个图中，, 第3个图中，,∴第个图中，, ∴第25个图中，． 26．（2026·安徽阜阳·二模）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把，这样的数称为“三角形数”，某数学兴趣小组对“三角形数”进行了研究． 【规律发现】①第个“三角形数”可以表示为； ②第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 【规律应用】(1)第5个等式为___________；(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1)(2)，见解析 【详解】（1）解：； （2），证明如下： ∵左边右边，∴等式成立． 27．（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）如表是11月的日历，用如图所示的曲尺形框框（有三个方向，从左往右依次记为第一、第二、第三个框），可以框住日历中的三个数，设被框住的三个数中最大的数为x． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (1)请用含x的代数式填写以下三个空：第一个框框住的最小的数是　　　，第二个框框住的最小的数是　　　，第三个框框住的三个数的和是　　　． (2)先对每个框中的三个数按从小到大排序，再取中间的数相加，它们的和能是7的倍数吗？如能请求出x的值，如不能请说明理由． 【答案】(1)；；(2)能，x的值可以为14，21，28 【详解】（1）解：根据题意得：第一个框框住的最小的数是，第二个框框住的最小的数是，第三个框框住的三个数分别是，，x，∴第三个框框住的三个数的和是：． （2）解：它们的和能是7的倍数， ∵第一个框框住的三个数分别是，，x，第二个框框住的三个数分别是，，x，第三个框框住的三个数分别是，，x，∴中间的数相加的和为：． 当是7的倍数时，x的值可以为7，14，21，28， ∵不符合题意，∴舍去，∴x的值可以为14，21，28． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 探究与表达规律 预习目标 知识回顾 1. 通过具体的问题情境，经历在实际问题中探索规律的过程； 2. 能归纳具体问题中蕴含的规律，用代数式表示， 并通过计算验证； 3. 在解决问题过程中体验类比、转化等数学思想，培优良好的思维品质。 1. 同类项的概念与合并同类项的步骤； 2. 去（添）括号法则； 3. 整式的加减的步骤及化简求值的步骤； 4. 整式比较大小和实际生活中的应用。 新知导图 预习精讲 想一想 【思考1】观察下面日历图，思考下列问题：（1）日历图中的数有什么规律？（2）日历图的套色方框中的 9 个数之和与该方框正中间的数有什么关系？（3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？（4）你还能发现这样的方框中 9 个数之间的其他关系吗？请用代数式表示。 【思考2】成都某湿地公园规划将一片五边形区域划分为多个三角形生态保育区。规划人员在五边形内部设置若干个观测点，连同五个顶点，用小路（直线段）连接这些点，使得每个区域都是三角形且小路除端点外不交叉．经验发现：如图，当五边形内有1个观测点时，可得分5个三角形生态区；当五边形内有2个观测点时，可得分7个三角形生态区（不被分割的三角形）；当五边形内有3个观测点时，可得分9个三角形生态区（不被分割的三角形）；当五边形内部设置n个观测点时，可划分出的三角形生态区（不被分割的三角形）数量为多少呢？ 【思考3】下表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an，则a6=______，an=______． 知识点01 探究与表达规律 1.探究与表达规律的核心思想：从特殊实例→归纳猜想→用代数式表示一般规律→整式运算验证规律，体会从特殊到一般的代数推理，是整式加减的综合应用。 2.探索规律的通用步骤： 1）观察特例：列出前3～5组数据，寻找变化特点；2）猜想规律：寻找数值和序号n之间的关系； 3）表示规律：用含正整数n的代数式写出通项；4）验证规律：代入下一组数据检验，不成立则重新猜想。 我们经历多次“归纳”的过程，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程。归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略。 3.规律探索型问题三大类型 1）数式规律：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 2）图形规律：根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律。解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律。 3）数表规律：解决本题的方法一般先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律。有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·重庆·校考期末）如图所示：下列各三角形中的三个数均有相同的规律，按此规律，最后一个三角形中的值是（   ）    A．420 B．422 C．424 D．426 2．（25-26九年级下·江西九江·期中）已知一列数，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山东烟台·一模）如图，将一根绳子折成4段，然后按图中所示方式剪开，剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9段；……依此规律剪n刀，绳子变为________段． 4．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）如图所示，将部分偶数依顺序排列成三角形数阵，从上到下称为行．图中数6为第2行、从左向右第2个数；数为第4行、从左向右第3个数，那么第7行、从左向右第4个数为________． 5．（2026·内蒙古通辽·二模）如图是由白色小正三角形和黑色小正三角形组成的图形，第①个图有1个白色小正三角形和3个黑色小正三角形；第②个图有4个白色小正三角形和6个黑色小正三角形；第③个图有9个白色小正三角形和9个黑色小正三角形，…，以此类推，则第个图中的白色小正三角形和黑色小正三角形共有__________个． 6．（25-26七年级上·广东茂名·期中）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学发了一张边长为1的正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】小明同学经过一番思考后，进行了如下操作：如图，将边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，……，依次类推，则图中空白部分的面积为， 计算时，小彬同学是这样思考的：设① 将等式两边同时乘得② 将①减去②得，即， 即， (1)【过程思考】图中阴影部分的面积是____； (2)根据以上规律，可得_____；____；（为正整数） (3)【知识迁移】请你借助小彬同学的方法，求的值． 题型速练 题型1 数字规律—日历问题 【例1】（25-26七年级上·江西·校考期末）数学活动-探究日历中的数字规律：如图1是2025年1月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值．探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为 ；将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为 ； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，， ，可得 ， ， 则 ； (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究．请从下列A、B两题中任选一题作答． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 必记结论 横向：相邻两个数，右边比左边大1； 纵向：上下两个数，下边比上边大7； 3×3 方框九个数： 九个数的和 = 中间数 ×9； 对角两数之和相等。 十字框：上下左右四数之和 = 中间数的 4 倍。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）如图是2025年6月的日历，用如图的X型框去框该日历中的日期数，每次同时框5个数．那么圈出的5个数之和不可能是（   ） A．50 B．75 C．95 D．105 2．（24-25八年级上·河南开封·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是2025年1月份的日历．任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，发现结果都是7．若将方框部分的左上角数字设为，用等式表示这一规律为_______． 3．（2025七年级上·福建泉州·专题练习）如图是2025年1月份的日历，“横3”和“竖3”两个阴影图形分别覆盖其中3个数字（两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动）．设“横3”覆盖的数字之和为，“竖3”覆盖的数字之和为，若，则的最小值为_______． 4．（25-26七年级上·河北保定·期末）【问题发现】如图①是2026年1月的日历，用“目”字形阴影框中的三个数字均满足“三个数字之和是中间数字的3倍”理由如下：设中间数为，则“目”字框中最上面的数表示为，最下面的数表示为，三个数字之和为，所以“目”字框中三个数之和是中间数的3倍． 【类比联想】请根据上面的探究过程，猜想图②的“”字形阴影框中日历中的五个数，这五个数从小到大依次为． (1)若日历中用“”字形框中五个数，其中最小的数是1，则“”字形框中的五个数之和为_______． (2)在日历中将“”字形框上下左右移动，框中日历表中的五个数字之和能被5整除吗？通过计算说明理由． (3)【类比探究】请你根据上述探究过程，猜想图中由个数字组成的偶数方阵中任意“十”字框中的5个数字之和与框中心的数字的关系为__________________． 题型2 数字规律—数列问题1 【例1】（25-26七年级·成都·期中）有这样一组数：、、、、…、第个数是（） A． B． C． D． 必记结论 数列的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n之间的关系。 速记口诀‌：‌一验差值、二联序号、三拆因式、四建函数‌。 验证规律完整性‌：至少验证3项是否符合推导公式，避免片面规律。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知一组数据1，3，5，7，9，…，则这组数据的第10个数是_． 2．（25-26七年级下·西藏林芝·期中）数列，，，，，，第个数是______． 3．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）找出规律，填一填．3、11、20、30、( )、53、( )． 4．（2026·河南南阳·一模）观察下列一组数：，，，，，，按此规律，第个数是（  ） A． B． C． D． 题型3 数字规律—数列问题2 【例1】（2026·云南楚雄·三模）观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，则这一组数的第n个数是（     ） A． B． C． D． 必记结论 数列的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n之间的关系。 速记口诀‌：‌一验差值、二联序号、三拆因式、四建函数‌。 验证规律完整性‌：至少验证3项是否符合推导公式，避免片面规律。 【小试牛刀】 1．（2026·江苏徐州·二模）观察下列各数：，1，，，⋯，按此规律，第12个数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·河南周口·期中）按规律排列的一组数：，按此规律第n个数为________． 3．（25-26七年级·广东·期中）观察数列，，，，，，，，，，，，，，，，…，数列中第150个是______． 4．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知，，，，则________ ． 题型4 数字规律—数（图）表问题 【例1】（2026·江西上饶·模拟预测）如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是____________． 【例2】（24-25七年级上·河南鹤壁·期中）观察一列数：，4，，16，，64，，256，…将这列数排成如图所示的形式，则第10行第8个数是（   ） 4      16   64    256   … A． B． C． D． 常见错误/必记结论 数（图）表的规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系。 口诀速记‌：‌图形数一数，增减看清楚；表格分行列，验证第一步！ 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（     ）． A． B． C． D． 2．（2026·贵州遵义·二模）杨辉三角是中国古代数学的杰出成果，比欧洲发现此规律早300多年，彰显了中国古代数学的辉煌成就．如图是杨辉三角的前几行．观察数字规律，第9行从左数第3个数字是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·甘肃平凉·二模）“格子乘法”是15世纪中叶，意大利数学家帕乔利在《算术、几何及比例性质摘要》一书中介绍的一种两个数相乘的计算方法．这种方法传入中国之后，在明朝数学家程大位的《算法统宗》中被称为“铺地锦”．如图1表示，运算结果为3036．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则a的值是（    ）． A．2 B．5 C．7 D．8 4．（2026·陕西榆林·三模）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称莱布尼茨三角形，它第行两端的数均为，且每个数都是它下一行左右相邻两数的和，则第行从左到右第个数为_____． 题型5 代数式的规律 【例1】（2026·河南平顶山·三模）按一定规律排列的多项式：，，，，则第10个多项式是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·河南平顶山·三模）观察2，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第10个式子为________． 必记结论 代数式型的规律问题主要看两个内容：（1）系数变化规律：①正负符号是否交替出现；②系数的数值变化规律；（2）字母指数变化规律。 【小试牛刀】 1．（2026·云南昆明·模拟预测）一列代数式按以下规律排列：，，，，，…，第n个代数式是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·云南临沧·二模）按一定规律排列的代数式：，，，，，第n个代数式是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的代数式：，，，，……，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 题型6 算式的规律 【例1】（2026·江苏泰州·二模）我国宋代数学家杨辉在《详解九章算法》中给出了著名的“杨辉三角”．观察下列按规律排列的算式： …… 按照此规律，下一个等式是（    ） A． B． C． D． 必记结论 ‌口诀速记‌：‌符号增减看指数，分项拆解再重组；递推关系抓前项，验证三步防错误！ 算式的规律：用含有字母的算式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系。 【小试牛刀】 1．（2026·云南楚雄·一模）观察下列等式：，，，…，按此规律，则第2026个等式的左边为（    ） A．4043 B．4045 C．4048 D．4051 2．（2026·山东潍坊·二模）观察以下等式， ， ， ， ， 已知，则__________． 3．（25-26九年级下·宁夏固原·学业考试模拟）仿照下列式子的规律填空： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第202个等式：______． 4．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）观察下列各式，解答后面的问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)第5个等式是______；(2)第n个等式是______； (3)计算：． 题型7 循环规律类问题 【例1】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知有理数，我们把称为的“差倒数”，如：2的“差倒数”是，的“差倒数”是．若，是的“差倒数”，是的“差倒数”，是的“差倒数”，…，依此类推，则的值是(     ) A． B． C．4 D． 必记结论 有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。 固定周期重复‌：数字、图形或坐标序列每间隔‌固定项数重复出现。 口诀速记‌：‌周期长度看重复，余数定位是核心；起始项序要验证，两级循环需分层！ 【小试牛刀】 1．（2026·河南平顶山·三模）观察下列计算结果： 通过分析结果中个位数字的变化规律，判断的计算结果的个位数字是（     ） A．1 B．5 C．7 D．9 2．（2026·湖北武汉·一模）有一枚棋子放在图中号位置上，现按顺时针方向，第一次跳一步，跳到号位置；第二次跳两步，跳到号位置；第三次跳三步，又跳到号位置；……，这样一直进行下去，永远跳不到的位置序号是（     ） A．仅③ B．仅⑤ C．仅⑥ D．③或⑥ 3．（2026·河北张家口·二模）嘉嘉用硬卡纸做了一个骰子，六个面上分别标有六个数字，投掷两次，结果如图所示．从第二次投掷结果开始将骰子向右滚动，第一次滚动后写有数字4的一面朝下，第二次滚动后写有数字6的一面朝下，……，按照这样的规律，经过103次滚动后，朝下一面的数字为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型8 图形规律—一次类型 【例1】（2026·四川乐山·一模）观察下列图形变化的规律，我们发现每一个图形都分为上、下两层，下层都是由黑色正方形构成，其数量与编号相同；上层都是由黑色正方形或白色正方形构成（第个图形除外），则下列说法中正确的个数有（    ） ①第个图形中，白色正方形共有个；②第个图形中，黑色正方形共有个； ③第个图形中，一共有个正方形；④第个图形中，黑色正方形的个数比白色正方形的个数多个 A．1个 B．个 C．3个 D．个 必记结论 图形的规律（一次型）特点‌：每步增加相同数量的元素；观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。 口诀速记‌：‌图形拆解是根基，固定递变看差异（若图形拆解不易，也可以观察图形数量的变化规律）；三项验证防陷阱！ 【小试牛刀】 1．（2026·宁夏银川·二模）如图，在数学实践课上，小明将五边形区域分割成若干个三角形，他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．则当五边形内有2026个点时，可分得三角形的个数为________． 2．（2026·广西南宁·三模）烷烃是由碳、氢元素组成的有机化合物．如图是其前四种烷烃的分子结构模型，其中黑球代表碳原子C，白球代表氢原子H． 如图①第1种烷烃甲烷的化学式为，如图②第2种烷烃乙烷的化学式为， 如图③第3种烷烃丙烷的化学式为，如图④第4种烷烃丁烷的化学式为． 按照这一规律，第8种烷烃辛烷的化学式为（     ） A． B． C． D． 题型9 图形规律—二次类型 【例1】（25-26七年级上·河南平顶山·阶段检测）下列图案是由相同大小的“●”按照一定规律组成，其中第①个图中有3个“●”，第②个图中有6个“●”，第③个图中有11个“●”按照这一规律，则第⑧个图中“●”的个数是______个． 必记结论 1）递变累加型‌‌特点‌：增量本身成等差（二阶等差）。公式‌：总数 = an² + bn + c。 2）分区域累加型‌‌特点‌：图形由多个独立部分构成。‌步骤‌：拆解区域→各部分分别列式→求和。 【小试牛刀】 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有4个☆，第2个图案中有5个☆，第3个图案中有8个☆，第4个图案中有13个☆……按此规律，则第12个图案中，☆的个数是（） A．148个 B．125个 C．126个 D．128个 2．（2026·重庆武隆·二模）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有3个小太阳，第②个图案中有7个小太阳，第③个图案中有13个小太阳，第④个图案中有21个小太阳，…，按照这一规律，则第⑧个图案中小太阳的个数是（     ） A．73 B．57 C．91 D．85 3．（2026·黑龙江大庆·一模）在一次模拟编程设计中，无人机群按如下规律组成方阵图形：图①有2架无人机，图②有8架无人机，图③有18架无人机，按此规律，图⑤有____架无人机． 4．（25-26七年级下·江苏南京·开学考试）如图，鸡蛋饼的表面可以看作是一个圆面，分割的每一刀都可以看作一条直线．切5刀最多可以将鸡蛋饼分成______块． 题型10 图形规律—指数型 【例1】（2026·甘肃白银·一模）如图，分形树是一种体现自然生长规律的数学模型，其“自相似、渐繁茂”的生长特征既蕴含着简洁统一的数学美，也隐喻着自然界高效有序的生长智慧．分形树的生长规律如下：第1个图形由1条主干组成，第2个图形是在第1个图形的主干顶端生长出2条新树枝，第3个图形是在第2个图形的每条树枝顶端各生长出2条新树枝，…，以此类推，每个新图形都是在前一个图形的每条末端树枝顶端生长出2条新树枝，那么第个图形中所有树枝（含主干）的总条数是________．（用含的代数式表示） 必记结论 图形规律：观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。 口诀‌：‌几何倍增看比值，首项定位是根基；补形转化破复杂，两级验算防陷阱！ 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，…，第n次对折后得到的图形面积为，则________． 2．（2026·山西运城·二模）我们来探究“雪花曲线”的相关问题：将第个图形中的正三角形的每条边三等分，以其居中的那一条线段为底边，向外作正三角形，然后以其两腰代替底边这样就得到第2个图形，再将第个图形中的每条边三等分，并重复上述的作法，得到第个图形，……如此继续下去，则第个图形的边数是________． 3．（25-26七年级下·重庆江北·开学考试）将一个面积为1的三角形分成4个面积相等的小三角形如图①，再将图①中心的小三角形按同样的方式分成4个面积相等的小三角形如图②，再将图②中心的小三角形按同样的方式分成4个面积相等的小三角形如图③，以此类推． (1)图①中阴影部分的面积为 ，图②中阴影部分的面积为 ，图③中阴影部分的面积为 ； (2)计算：． 基础过关 1．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）在一列数：，，，，中，，，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第个数是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·云南昆明·模拟预测）一组按规律排列的多项式：，，，，…，第个多项式是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如表，从左到右在每一个小格中都填入一个整数，使任意三个相邻的格子所填的整数之和都相等，则第个格子中的整数是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆·一模）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有16个正方形，……，按此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（   ） A．64 B．72 C．81 D．100 5．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法（如图1）进行速算．图2表示的“竖式”，则的值为（   ） A．25 B．21 C．22 D．26 6．（25-26七年级上·河南郑州·期末）1883 年，康托尔用以下的方法构造的这个分形，称作康托尔集． 如图，取一条长度为 1 的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下两段，这称为第一阶段；然后将剩下的两段再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，这称为第二阶段．．．将这样的操作无限地重复下去，余下的无穷点就称作康托尔集．那么经过第四个阶段后，留下的线段的长度之和为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式： 解答下列问题：请用上面得到的规律计算：（    ） A．2419 B．2400 C．2601 D．2501 8．（25-26七年级上·贵州毕节·期末）将一根绳子按如图所示的方式折成三段，然后沿虚线剪开．剪1刀，绳子变为4段；剪2刀，绳子变为7段；剪13刀，绳子的段数为（   ） A．38 B．39 C．40 D．41 9．（2026·河南·模拟预测）计算3的正整数次幂，，，，，，，，…观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得的个位数字是_______． 10．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）假如2024个人排成一排，并按1、2、3、4、5、6、5、4、3、2、1、1、2、3、4、5、6、5、4、3、2、1……这样循环报数，这第2024个人所报的数是( )这2024个人所报的所有数的和是( )． 11．（2026·江西上饶·三模）有一列数按如下规律排列：请你根据规律写出第6个数：______． 12．（2026·河南漯河·二模）观察式子：，则该多项式的第项是______． 13．（25-26七年级下·重庆·自主招生）观察下列一列数，2，5，10，17，a，37，50，b，82，寻找规律，则________． 14．（2026·陕西渭南·一模）算筹是我国古代常用的计算工具，也叫算、筹、策、筹策、算子．如图，用大小完全相同的算筹按照一定规律摆成下列图形，第1个图形中有3个算筹，第2个图形中有4个算筹，第3个图形中有5个算筹，…，以此类推，第26个图形中有______个算筹． 15．（2026·湖北十堰·模拟预测）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为___________． 能力提升 16．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）某同学在10月的日历上圈出了三个数a，b，c，设，并求出它们的和为，则这三个数在日历中的排位位置是（   ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A． B． C． D． 17．（2026·重庆·三模）如图，下列图形由同样的棋子按一定规律组成，图1有1颗棋子，图2有3颗棋子，图3有7颗棋子，图4有13颗棋子，…，则图8的棋子颗数为（     ） A．43 B．57 C．64 D．73 18．（23-24七年级上·陕西西安·开学考试）若一列数依次为，即这列数从第二个数开始，后一个数总是前一个数的2倍加1，则这列数中的第9个数为______． 19．（2026·安徽滁州·二模）如图1是一个点阵多边形，若四个相邻的点围成的正方形的面积为1，数学家发现了一个计算点阵多边形的面积公式：，其中表示多边形内部的点数，表示边界上的点数，表示多边形的面积． （1）如图1，多边形的面积__________； （2）如图2的点阵图中五边形的面积为10，根据点的位置，则的值为__________． 20．（2026·山东临沂·一模）2026年1月的日历如图所示，已知某社区的便民服务站每6天开放一次，从2026年1月2日开始第一次开放，第二次开放时间为2026年1月8日⋯以此类推，则2026年（共365天）的最后一次开放是星期______． 21．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照排列的规律，第7行第4个数是______． 挑战一刻 22．（2026·山西晋中·二模）园艺工人计划用两种不同的花卉布置广场，设计方案时，用全等的圆点和全等的三角形分别代表万寿菊和一品红的盆数，按如图所示的规律摆放，则第20个图形中花卉的总盆数为_____． 23．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，叫三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为，第二个三角形数记为，第n个三角形数记为，则时，式子______． 24．（2026七年级·江苏·期中）在数学上，图形可以通过一种特殊的方式进行“生长”．以一个正三角形为例，将它的三条边分别进行三等分，然后以每条边中间的一段为底边，向外再画出一个等边三角形，并擦去原来中间的那一段，这时，图形就完成了一次“生长”变形，成为了一个新图形（如图中①②）． （1）如果一个边长是厘米的等边三角形，经过两次“生长”变形，得到的图形（如图③）周长是_______厘米． （2）如果一个边长为厘米的等边三角形，像这样经过四次“生长”变形，得到的图形周长是_______厘米．（用含有的式子表示） 25．（2026·江西上饶·一模）如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是______． 26．（2026·安徽阜阳·二模）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把，这样的数称为“三角形数”，某数学兴趣小组对“三角形数”进行了研究． 【规律发现】①第个“三角形数”可以表示为； ②第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 【规律应用】(1)第5个等式为___________；(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 27．（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）如表是11月的日历，用如图所示的曲尺形框框（有三个方向，从左往右依次记为第一、第二、第三个框），可以框住日历中的三个数，设被框住的三个数中最大的数为x． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (1)请用含x的代数式填写以下三个空：第一个框框住的最小的数是　　　，第二个框框住的最小的数是　　　，第三个框框住的三个数的和是　　　． (2)先对每个框中的三个数按从小到大排序，再取中间的数相加，它们的和能是7的倍数吗？如能请求出x的值，如不能请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $