第12讲 绝对值的几何意义综合压轴问题（讲义，全国通用新教材北师大版）数学小升初衔接

第12讲 绝对值的几何意义综合压轴问题 学习目标 知识回顾 绝对值的最值问题命题趋势：弱化纯代数计算，强化几何意义应用，多以“多绝对值叠加最值、含参数绝对值最值、动点距离最值”形式出题。推导逻辑（数形结合，吃透原理，拒绝死记硬背）。本专题就绝对值中的八类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 1.绝对值的概念，能熟练求出一个有理数的绝对值； 2. 绝对值的代数意义和几何意义，并掌握绝对值的非负性。 新知导图 专题精讲 知识点01 绝对值的几何意义 ①绝对值具有非负性，即； ②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离；表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。‌ 绝对值最值问题本质是数轴上动点到定点的距离和、距离差的最值问题，无需复杂代数计算，依托数轴几何特征即可快速求解，是数形结合思想的经典应用。 【即学即练】 1.（2025·山东青岛·校考一模）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1． 如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1． 如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】(1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ；(4)的最小值为 。 2（2024·四川成都·三模）函数的最小值为3，则a的值为 ． 3．（25-26七年级上·四川成都·校考期中）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 题型速练 题型01. 的最小值模型 【例1】（25-26七年级上·成都·阶段检测）阅读下面材料：点、在数轴上分别表示有理数、，在数轴上、两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示和3两点之间的距离是__________，数轴上表示和4的两点之间的距离是__________； (2)数轴上表示和2的两点之间的距离为7，求表示的数； (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 必记结论 求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 结论：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 【小试牛刀】 1.（24-25七年级上·浙江湖州·期中）我们知道表示与之差的绝对值，实际上也可以理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)填空：_______．若，则________．(2)填空：使得成立的的值是________．(3)由以上探索：猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，请说明理由． 2.（25-26七年级上·云南昆明·期中）材料一： 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，例如，的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 【例】已知，求的值． 解：数轴上与表示2的点距离为5的点表示的数为7或，或． 材料二：（i）发现问题：代数式的最小值是多少？ （ii）探究问题：如图，点、、（看作动点）分别表示数、、，． 的几何意义是线段与的长度之和， 当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，． 的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： (1)当时，求出的值；(2)求代数式的最小值是多少？ (3)当为何值时，代数式的最小值是2． 题型02. 的最小值和最大值模型 【例1】（24-25七年级上·安徽六安·期中）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为（1）若，这样的数x为_______； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是_______． 必记结论 求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值：结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。（几何意义） 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上数到原点的距为为4，x可能在原点左边4个单位，此时的值为______，x也可能在原点右边4个单位，此时的值为______． (2)与3之间的距离表示为______，结合上面的理解，若，则______． (3)当是__时，代数式．(4)当取最大值时，的取值范围是____，最大值为__． (5)若点表示的数，点与点的距离是5，且点在点的右侧，动点P、Q分别从、同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，？（请写出必要的求解过程） 2.（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如，表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以转化为，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】（1）______；（2）利用数轴，解决下列问题： ①若，则______；②若，请直接写出所有的整数：______； ③是否存在有理数x，使得式子有最大值？如果存在，写出一个符合条件的x的值及式子的最大值；如果不存在，说明理由． 题型03. 的最小值模型 【例1】（25-26七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）探究规律： (1)计算： ______ ；  ______．(2)归纳：表示数轴上，两点间的______． (3)应用：的最小值是______，此时 ______．求的最小值． 必记结论 的最小值的分析： 找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： 当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数（即）‬‬时，‬取得‬最小值‬； 当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段‬（即）时，‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 【小试牛刀】 1.（25-26七年级上·重庆万州·期中）同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，同理也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示x在数轴上对应的点到的距离，由上面绝对值的几何意义，解答下列问题：(1)x与4的距离可以表示为__________，若，则__________． (2)若，则所有符合条件的整数x的和为__________． (3)当x的取值为多少时，有最小值，最小值是多少？ 2.（25-26七年级上·广东肇庆·阶段检测）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)_________________；当时，______________． (2)表示___________与_________之间的距离；表示________与_________之间的距离；找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数有________________（直接写出答案）； (3)由以上探索，请你结合数轴猜想：对于任何有理数，；是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． (4)拓展：的最小值是：_______________．（直接写出答案） 3.（25-26七年级上·四川广元·阶段检测）在学习绝对值后，我们知道绝对值的几何意义，如：表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． ［尝试运用］（1）点在数轴上分别表示有理数，那么点到点的距离是______，点A到点的距离是______（直接填最后结果）； （2）点在数轴上分别表示有理数，那么点到点的距离与点到点C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； 【拓展探究】（3）利用数轴探究：①满足的的所有值是______； ②设，当时，的值是不变的，而且是的最小值，这个最小值是______；当x的值在______的范围时，的最小值是2，当的值取3时，的最小值是______； （4）试求的最小值． 4.（24-25七年级上·福建泉州·阶段检测）信息：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 信息：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．结合上面的信息回答下列问题：已知数轴上点、两点分别对应有理数，，且，满足， (1)填空：______，______，、两点之间的距离为______； (2)式子的最小值是______，此时符合条件的整数的值是______； (3)若，则______；(4)数轴上的动点对应有理数； 式子的最小值是______，此时______． 式子有最小值为，则有理数______． 题型04. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 【例1】（24-25七年级上·重庆江津·期中）【用数学的眼光观察现实世界】若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，则．即表示5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【用数学的思维思考现实世界】(1)点A、B表示的数分别为，2，则________，在数轴上可以理解为表示数x的点与表示数________的点的距离．(2)①求的最小值，并写出此时x的值．②当x满足什么条件时，取得最小值，最小值是多少？(3)当x取何值时，取得最小值，最小值是多少？ 必记结论 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 ①绝对值系数不为“1”：如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”：如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 【小试牛刀】 1.（25-26七年级上·浙江·专题练习）我们知道，在数轴上，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么、两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示15和的两点之间的距离是 ． (2)点、在数轴上分别表示和1，则两点之间的距离是 ，如果，那么是 ． (3)式子的最小值是 ．(4)式子的最小值是 ，此时的值是 ． 2.（24-25七年级上·江苏盐城·阶段检测）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点距离记作： (1)数轴上表示和3的两点和之间的距离是______；如果，那么为______； (2)当满足条件______时，取最小值，最小值是______； (3)当满足条件______时，取最小值，最小值是______； (4)的最小值是______；(5)的最小值是______． 题型05. 型或型最值模型 【例1】（25-26七年级上·成都·期中）已知是非负数，且非负数中最小的数是0． （1）已知，则的值是_________； （2）当________时，有最小值，最小值是______ 必记结论 1）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 2）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 【小试牛刀】 1.（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）已知是一个有理数，则关于的值的说法，正确的是（    ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值3 D．有最大值3 2.（25-26七年级上·广东·单元复习）根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 3．（25-26七年级上·成都·期中）若，为有理数，下列判断正确的个数是（　　） （1）的最小值是；（2）的最小值是；（3）的最大值为；（4）的最大值是． A． B． C． D． 题型06. 绝对值最值模型的实际应用 【例1】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）【探究问题】如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x，因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是3． 填空： 若， 则x的值为 ； （2）【解决问题】①直接写出式子的最小值为 ； ②若代数式的最小值是2，则a的值为 ； （3）【实际应用】如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 必记结论 灵活运用数形结合‌：将绝对值的几何意义与代数表达式结合，可以帮助直观地解决问题。 【小试牛刀】 1.（25-26七年级上·广东肇庆·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】新定义：我们规定：点A，B在数轴上分别表示数，，则A，B两点之间的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示的点之间的距离． 【初步理解】（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示和5.2的两点之间的距离是________； （2）已知数轴上点A所表示的数是，点B所表示的数是6，x表示数轴上任意一点，则的最小值是________； 【深入探究】（3）结合数轴，利用以上的新定义求式子的最小值，求出此时x的值，并简单说明理由． 【实际应用】（4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由） 2．（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）探索材料1（填空）： 数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． 例如数轴上表示数2和5的两点距离为_____．数轴上表示数3和的两点距离为_____． 则的意义可理解为数轴上表示数_____和_____这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数_____和_____这两点的距离； 探索材料2（填空）：①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点和，要在流水线上设一个材料供应点往两个加工点输送材料，材料供应点应设在_____才能使到的距离与到的距离之和最小？ 图1 ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，，，要在流水线上设一个材料供应点在三个加工点输送材料、材料供应点应设在_____才能使到、、三点的距离之和最小？ 图2 ⑧如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点、、、．要在流水线上设一个材料供应点往四个加工点输送材料．材料供应点应设在_____，才能使到、、、四点的距离之和最小？ 图3 结论应用（填空）：①代数式的最小值是_____；②代数式的最小值是_____； ③代数式的最小值是_____，此时的最大值是_____． ④代数式的最小值是_____． 题型07. 绝对值相关运算与最值问题 【例1】（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）我国著名的数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．在中学数学中，体现数形结合思想的内容较多，本学期学习的“数轴”就是体现数形结合思想的一个有力工具，利用数轴常常可以使一些复杂问题变得容易解决．例如，式子|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；再比如，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 发现问题：的最小值是多少？ 探究问题：如图，点A，B，P分别表示数，2，x，．    ∵的几何意义是线段的长度之和，∴当点P在线段上时，； 当点P在点A的左侧或点B的右侧时，，∴的最小值是3． 解决问题：(1)表示数轴上x所对应的点与数 所对应的点之间的距离，表示数轴上x所对应的点与数 所对应的点之间的距离； (2)的最小值是多少？并利用数轴说明理由；    (3)若，则_____；(4)请直接写出所有满足的整数a的值______． (5)若未知数x、y满足，则代数式的最大值是 ，最小值是 ． 【小试牛刀】 1.（25-26七年级上·四川内江·阶段检测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】(1)请你结合数轴探究：的最小值是______． (2)请你结合图④探究的最小值是______． (3)的最小值为___．(4)的最小值为___． (5)已知，则的最大值为______，a＋2b＋3c的最小值为______． 2.（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）材料一：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离．这个结论可以推广为：的几何意义是：在数轴上数，对应点，之间的距离，例如在数轴上点表示数1，点表示数，则． 材料二：在数轴上，对于点与线段的距离，我们给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果有最小值，那么称这个最小值为点与线段的距离．显然，若点落在线段上（含端点），则点与线段的距离为0． 【简单应用】（1）数轴上表示2和5的两点距离为______； （2）数轴上点，，分别表示数，2，4，则若点与线段的距离为______； （3）数轴上点，，分别表示数，2，，若点与线段的距离为2，则______． 【关联应用】（1）代数式的最小值为______； （2）若代数式的值为12，求的最大值． 【实际应用】如图，某工厂自动化直线型流水线上设有4个工位，，，和一个中控中心，，分别位于中控中心点左侧8米，左侧3米，，分别位于中控中心右侧2米，右侧5米，工位，分别需要2个机器人同时操作，工位，只需要1个机器人操作，现要在直线型流水线上设置一个长度为2米的可移动的物料区，供6个机器人取用，要求6个机器人到物料区的距离之和最小，请直接写出距离之和最小值． 题型8. 绝对值最值中的新定义问题 【例1】（25-26七年级上·北京·期中）数组是由个互不相等的整数组成，我们把数组中任意两个整数差的绝对值的最大值称为数组的距离系数． 例如，对于数组：，因为，，，所以是数组的距离系数． (1)对数组：，是______；(2)对数组：，，，若，求的值； (3)从正整数中选取个互不相同的整数组成数组，若，则满足条件的数组有_____个． (4)已知（是大于等于的整数）个连续整数中，从中选取个（是大于等于的整数）不同的整数组成数组，则的最大值为_____． 【小试牛刀】 1.（25-26七年级上·浙江湖州·期中）对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如：，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)3和5关于2的“美好关联数”为 ； (2)若x和1关于0的“美好关联数”为4，求x的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于40的“美好关联数”为1，…． ①的最小值为 ；②求的最小值． 2.（25-26七年级上·江苏盐城·期末）在数轴上存在不同的三个点，三个点表示的数分别为，对于三个点的“完美距离”规定如下：若，则关于点的“完美距离”；若，则关于点的“完美距离”．点是点的“完美相关点”． 例如：对于点，三个点表示的数分别为，因为，所以关于点的“完美距离”． 【初步理解】（1）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，则关于点的“完美距离”为_____； 【深入应用】（2）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为． ①若关于点的“完美距离”，求的值；②若，则关于点的“完美距离”的最大值为_____． 【知识迁移】（3）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，且，关于点的“完美距离”的最大值为；数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为1，且在和之间，关于点的“完美距离”的最大值为．若均是整数，求的值． 基础过关 1．（25-26七年级上·江苏南通·期中）关于代数式的最值，下列说法正确的是（） A．最小值是0 B．最小值是3 C．最小值是 D．无最大值 2．（25-26七年级上·广东·月考）（1）若有最小值，则当______时，取最小值，最小值为______． （2）若，则___________，__________． （3）有最_________（填“大”或“小”）值，这个最（大）小值是____________． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）阅读绝对值拓展材料：表示数a在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示和在数轴上对应的两点之间的距离，类似的有：表示5和在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，有理数、在数轴上对应的点为、，那么、之间的距离可表示为．回答下列问题：(1)数轴上表示和的两点之间的距离是______．数轴上表示和的两点和之间的距离可表示为______． (2)借助数轴，请求出的最小值是多少？当达到最小值时，x可取哪些整数？ (3)的最小值是______，达到最小值时，x可取哪些整数，请直接写出所有答案______． 4．（25-26七年级上·成都·专题练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数－1的点和表示数的点之间的距离是_________． (2)数轴上点A用数a表示，则①若，那么a的值是_________．②当_________时，有最小值，最小值是_________；③有最小值，最小值是_________； 5．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的表示为距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示5和2的两点之间的距离是 ；数轴上表示2和的两点之间的距离为 ． (2)数轴上表示x和两点之间的距离为；若数轴上表示x和2两点之间的距离为3，那么 ． (3)若式子有最小值，则该最小值为 ． (4)无论x取何值，都成立，则a的取值范围是 ． 6．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离．(1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和的两点之间的距离是________． ②数轴上表示和的两点和之间的距离是________，如果，那么为________． (2)探索规律：①当的最小值是________．②当的最小值是________． (3)知识迁移：的最大值是________． 7．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示7与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】：（1）如果，那么 ；（2）有最小值 ；（3）有最大值 ； 【应用】：（4）的最小值为 ； （5）的最大值为 ． 8．（24-25七年级上·河南商丘·期中）姗姗在学习绝对值的时候发现：可表示数轴上表示2和表示1的两点间的距离；而即则表示数轴上表示2和表示的两点间的距离．根据上面的发现，姗姗将看成数轴上表示与表示2的两点在数轴上的距离，那么可看成表示与表示的两点在数轴上的距离．姗姗继续研究发现：取不同的值时，有最小值，请你借助数轴解决下列问题： (1)当时，的最小整数值是__________； (2)若，那么的最小值是__________； (3)若，那么的最小值是__________，此时为_________； (4)的最小值是__________． 9．（25-26七年级上·江苏·专题练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数、，那么A、B之间的距离可表示为． 问题1：点A、B、C在数轴上分别表示有理数：、、3，那么A到B的距离是_________，A到C的距离是_________．（直接填最后结果） 问题2：点A、B、C在数轴上分别表示有理数、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为_________（用含绝对值的式子表示）． 问题3：利用数轴探究：①找出满足的的所有值是_________； ②设，当的值取在不小于且不大于3的范围时，的值是不变的，而且是的最小值，这个最小值是_________；当的值取在_________的范围时，的最小值是_________． 10．（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，数轴上有点三点． (1)用“”将连接起来．(2) 1， 0（填“”“”，“”） (3)求下列各式的最小值：①的最小值为 ；②的最小值为 ； ③当 时，的最小值为 ． 能力提升 11．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． 例如数轴上表示数3和8的两点距离为__________； 的意义可理解为数轴上表示数__________和数__________的两点之间的距离； （2）探索材料2（填空）： ①如图，在工厂的一条流水线上有两个加工点和，要在流水线上设一个材料供应点往两个加工点输送材料，材料供应点应设在__________处才能使到的距离与到的距离之和最小？ ②如图，在工厂的一条流水线上有三个加工点，，，要在流水线上设一个材料供应点往三个加工点输送材料，材料供应点应设在__________处才能使到，，三点的距离之和最小？ ③如图，在工厂的一条流水线上有四个加工点，，，，要在流水线上设一个材料供应点往四个加工点输送材料，材料供应点应设在__________处才能使到，，，四点的距离之和最小？ （3）结论应用（填空）： ①代数式的最小值是__________，此时的范围是__________； ②代数式的最小值是__________，此时的值为__________； ③代数式的最小值是__________，此时的范围是__________． 12．（24-25七年级上·辽宁抚顺·阶段检测）如图，数轴上点A，B，C分别表示的有理数为是这个数轴上的动点，点P，Q分别表示的有理数为x，y，定义表示点与点之间的距离，即，当P，Q重合时，． (1)在，，4这三个数中，绝对值最小的数是 ； (2)当时，求的值； (3)探究的最小值，并写出取得最小值时的值； (4)当时，直接写出的最小值，并写出此时的取值范围是． 13．（24-25七年级上·江西·阶段检测）课本再现 课堂上，通过探究我们发现：在数轴上，若点A，B分别表示数a，b，则点A，B之间的距离等于． （1）的意义可理解为数轴上表示数x和_________这两点的距离． 继续探究:结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （2）数轴上表示x的点位于与2之间，则__________； （3）若数x满足，则__________；（4），则x的取值范围是__________； 结论：的最小值是__________，此时x的范围是__________． 拓展应用 （5）当__________时，的值最小，最小值是__________； （6）当x满足什么条件时，（其中且n为正整数）取得最小值？ 14．（25-26七年级上·江西上饶·期末）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．阅读材料完成下列问题． 材料一：如图，已知数轴上两点．则两点之间的距离为两数差的绝对值，即，如：到5距离为两数差的绝对值，即，表示点到3的距离． 材料二：在数轴上，对于点与线段的距离，我们给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果有最小值，那么称这个最小值为点与线段的距离．显然，若点落在线段上（含端点），则点与线段的距离为0． (1)数轴上表示和5的数的两点之间的距离是_______； (2)为数轴任意一点，则有没有最小值？若有，请求出最小值，并直接写出的取值范围． (3)数轴上点分别表示数，1，，若点与线段的距离为2，则求出的值． 15．（24-25七年级上·广东江门·阶段检测）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是什么，最小值是什么．” 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．” 小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，式子的最小值为3． 请你根据他们的解题思路解决下面的问题． (1)当式子取最小值时，最小值是__________．(2)已知，y的最大值是__________． (3)已知：，则__________． 16．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）如图，数轴上点，所对应的数分别是，2．对于关于的式子，我们规定：当有理数在数轴上所对应的点为，之间（包括点，）的任意一点时，式子的最大值小于等于2，最小值大于等于，则称式子是线段的“完美”式子．例如，对于关于的式子，当时，式子取得最大值2；当时，式子取得最小值0，所以式子是线段的“完美”式子． (1)关于的式子，当有理数在数轴上所对应的点为，之间（包括点，）的任意一点时，取得的最大值是____，最小值是____，所以式子_____（填“是”或“不是”）线段的“完美”式子． (2)关于的式子是线段的“完美”式子，则有理数的最大值是_____，最小值是_____． (3)以下关于的式子：①；②；③．其中是线段的“完美”式子的是_____（填序号），并说明理由（只需对你认为是的式子给出验证过程，不是的无需说明）． 17．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）如图，已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数－6，4．若x表示一个有理数． (1)数轴上点A到点B的距离为______；数轴上到点A、B的距离相等的点表示的有理数为______； (2)若，则______；(3)式子的最小值为______，此时x的取值范围是______； (4)式子有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由． 18.（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）（问题提出）的最小值是多少？ （阅读理解）为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离．那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离．就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示：    （1）如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，在1和2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1． 所以到1和2的距离之和最小值是1． （问题解决）（1）的几何意义是 ．请你结合数轴探究：的最小值是 ． （2）请你结合图④探究：的最小值是 ，此时a为 ． （3）的最小值为 ． （4）的最小值为 ． （拓展应用）（5）如图⑤，已知到－1，2的距离之和小于4，请写出的范围为 ． 19．（25-26七年级上·成都·单元复习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为．所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 发现问题：代数式的最小值是多少？ 探究问题：如图，点，，分别表示的是，，，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，， ∴的最小值是． （1）解决问题，的值是 ．（2）的最小值是 ．（3）若的最小值是，则的值为 ．    拓展提升：（4）的最小值是 ，最大值是 ．（5）的最小值是 ． （6）若的最小值是，则的值是 ．（7）若，且为整数，则的值为 ．（8）若，则的值为 ． 挑战一刻 20．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．下列说法中正确的有(   )个． ① 若，点表示的数是，则点表示的数是； ② 当取最小值时，所有满足条件的整数有个： ③ 当时， 代数式的最小值为： ④ 若、、满足则的最小值为． A．0 B．1 C．2 D．3 21．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段练习）规定．如：．下列结论中：①若，则；②若，则；③当时，有最大值5；④式子的最小值是5，以上结论正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）若，则x的最小值为__________；若的最小值为11，则m的值为__________． 23．（24-25七年级上·山东济南·期末）泉水是济南文化的特色名片，“游泉打卡”活动将泉水文化与趣味游泉相结合．为方便游客“游泉”，志愿者在位于环形公路上的，，，四个景点处放置了若干张游泉图鉴，目前，，，四个景点分别有170，120，80，230张图鉴．现在，从每个景点向相邻的两个景点移动图鉴，使得四个景点的图鉴存量相等，怎样做能让移动的图鉴数量总和最小？ 【策略联想】借助示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关系更清晰．因此，小红将以上问题中的信息用如下示意图进行表示：将四个景点，，，标注在环形图上，图中的箭头表示了图鉴移动的方向．例如，“”代表了从景点向景点送去50张图鉴，“”代表了从景点向景点送去30张图鉴． 【问题理解】（1）如图所示，四个景点之间移动的图鉴数量总和，当，，，时，_____张； 【问题分析】当四个景点的图鉴数量相等时，每个景点最终应留存张图鉴．如果按照（1）中的方式移动，四个景点之间移动的图鉴数量总和并不是最少的，那么最小值是多少呢？ 为了计算四个景点之间移动的图鉴数量总和的最小值，小红在计算景点的图鉴数时得到关于，的等式：，运用“移项”的方法，用只含有的代数式表示，得到． （2）根据以上的方式，用只含的代数式分别表示和，可得_____，_____； 【问题解决】（3）因此，四个景点之间移动的图鉴数量总和也可用只含的代数式进行表示，通过求这个代数式的最小值，可得出移动的图鉴数量总和的最小值=_____张． 24．（24-25七年级上·山东济南·期中）类比是应用过去的经验去解决新问题的一种思维过程． 【回顾·反思】数学兴趣小组在研究的最小值问题时，利用“一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离”这一概念，发现就是x和所对应的两个点之间的距离，就是x和7所对应的两个点之间的距离．同学们用和7这两个数所对应的点将数轴分为三个部分，然后分别在这三个部分上探究x到与x到7的距离之和，并运用数形结合的思想解决了这个问题： 在数轴上， ①如图1，若x代表的数在的左侧，则x到与x到7的距离之和大于11； ②如图2，若x代表的数在与7之间，则x到与x到7的距离之和等于11； ③如图3，若x代表的数在7的右侧，则x到与x到7的距离之和大于11； ④若，则x到与x到7的距离之和等于11； ⑤若，则x到与x到7的距离之和等于11； 综合以上各种情况，的最小值为11． 【操作·思考】数学兴趣小组的同学们想通过类比学习的方式探究的最大值问题． 就是x和 所对应的两个点之间的距离，就是x和 所对应的两个点之间的距离，这两个数所对应的点可以将数轴分为三个部分，分别在三个部分上进行探究，可以得出的最大值为 ； 【尝试·思考】当或b时，代数式的值为相等的正数，则 ． 25．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 26．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知有理数a，b满足，请回答下列问题： (1)请直接写出a，b的值： ， ； (2)数轴上a，b，x三个数所对应的点分别为A、B、X，且点X是数轴上的任意点，点A与点X之间的距离用表示，点B与点X之间的距离用表示，请计算当x分别为，0，2025时，代数式的值，并指出当的值最小时，点X在数轴上的位置； (3)如果在数轴连续的整数点上依次有n个机器人，且相邻两个机器人之间的距离都是1个单位，同时数轴上有一个快递包裹分发点智能机器人，它能根据机器人的数量自动决策出快递包裹分发点的位置，使得每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，请直接用含n的代数式表示这个最小值． 33 / 33 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 绝对值的几何意义综合压轴问题 学习目标 知识回顾 绝对值的最值问题命题趋势：弱化纯代数计算，强化几何意义应用，多以“多绝对值叠加最值、含参数绝对值最值、动点距离最值”形式出题。推导逻辑（数形结合，吃透原理，拒绝死记硬背）。本专题就绝对值中的八类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 1.绝对值的概念，能熟练求出一个有理数的绝对值； 2. 绝对值的代数意义和几何意义，并掌握绝对值的非负性。 新知导图 专题精讲 知识点01 绝对值的几何意义 ①绝对值具有非负性，即； ②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离；表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。‌ 绝对值最值问题本质是数轴上动点到定点的距离和、距离差的最值问题，无需复杂代数计算，依托数轴几何特征即可快速求解，是数形结合思想的经典应用。 【即学即练】 1.（2025·山东青岛·校考一模）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1． 如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1． 如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】(1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ；(4)的最小值为 。 【答案】(1)a在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和；3；(2)2；2；(3)6；(4)1025156。 【详解】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和 当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3 故答案为：a在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；3 （2）当a取中间数2时，绝对值最小；的最小值是1＋0＋1＝2故答案为：2；2 （3）当a取最中间数时，绝对值最小；的最小值是 ； （4）当a取中间数1013时，绝对值最小， 的最小值为： 故答案为：1025156. 2（2024·四川成都·三模）函数的最小值为3，则a的值为 ． 【答案】或 【详解】解：∵ ∴根据绝对值的意义，是指到和到的距离之和 ∵函数的最小值为3，∴此时在和的之间，且是和的之间的距离为3 即∴∴或故答案为：或． 3．（25-26七年级上·四川成都·校考期中）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 【答案】(1)，(2)当最大值为；当最小值为(3)，最小值为 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴式子取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是． 故答案为；． （2）解：当时，； 当时，此时； 当时，； ∴当最大值为；当最小值为； （3）解：， 表示在数轴上的对应点与、、、……、所对应点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为 ． 题型速练 题型01. 的最小值模型 【例1】（25-26七年级上·成都·阶段检测）阅读下面材料：点、在数轴上分别表示有理数、，在数轴上、两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示和3两点之间的距离是__________，数轴上表示和4的两点之间的距离是__________； (2)数轴上表示和2的两点之间的距离为7，求表示的数； (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)，(2)9或(3)当，即表示有理数的点在和5之间时，它的最小值为8 【详解】（1）解：数轴上表示-2和3两点之间的距离是， 数轴上表示和4的两点之间的距离是，故答案为：，； （2）解：数轴上表示和2的两点之间的距离为，或，故答案为：9或． （3）解：数轴上表示和的两点之间的距离是，     数轴上表示和5的两点之间的距离是，    数轴上表示和5的两点之间的距离是，     在数轴上的几何意义是：表示有理数的点到及到5的距离之和， 当，即表示有理数的点在和5之间时，它的最小值为8． 必记结论 求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 结论：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 【小试牛刀】 1.（24-25七年级上·浙江湖州·期中）我们知道表示与之差的绝对值，实际上也可以理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)填空：_______．若，则________．(2)填空：使得成立的的值是________．(3)由以上探索：猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，请说明理由． 【答案】(1)，6或-2; (2)或(3)有最小值，最小值为 【详解】（1）解：， 若，则x与的距离等于，∴或， 当时，∴x=6；当时，∴x=-2；故答案为：6或-2;； （2）解：∵， ∴式子可理解为到与到的距离之和， ∵，∴不在和之间， 当在左边时，，解得； 当在右边时，，解得；故答案为：或； （3）解：有最小值，最小值为，理由如下： ∵，∴式子理解为到与到的距离之和， 根据两点之间线段最短，可知当时，的值最小，最小值为． 2.（25-26七年级上·云南昆明·期中）材料一： 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，例如，的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 【例】已知，求的值． 解：数轴上与表示2的点距离为5的点表示的数为7或，或． 材料二：（i）发现问题：代数式的最小值是多少？ （ii）探究问题：如图，点、、（看作动点）分别表示数、、，． 的几何意义是线段与的长度之和， 当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，． 的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： (1)当时，求出的值；(2)求代数式的最小值是多少？ (3)当为何值时，代数式的最小值是2． 【答案】(1)或(2)11(3)或 【详解】（1）解：∴数轴上与表示的点距离为2的点表示的数为或，或． （2）解：的最小值是11，理由如下： ∵如图：，∴的几何意义是线段与的长度之和， 当点在线段上时，， 当点在点的左侧或点的右侧时，．∴的最小值是11． （3）解：∵如图：， ∴的几何意义是线段与的长度之和， 当点在线段上或点在线段上时，或， ∴或，∴或． 题型02. 的最小值和最大值模型 【例1】（24-25七年级上·安徽六安·期中）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为（1）若，这样的数x为_______； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是_______． 【答案】 5或1 6 【详解】（1）由绝对值的几何意义知：表示在数轴上x表示的点到3的距离等于2， ∴，或，∴或1；故答案为：5或1； （2）当时，即表求x的点在的左侧时， 当时，即表求x的点在和5之间时， ∴， 当时，即表求x的点在5的右侧时， ∴的最大值为6，故答案为：6． 必记结论 求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值：结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。（几何意义） 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上数到原点的距为为4，x可能在原点左边4个单位，此时的值为______，x也可能在原点右边4个单位，此时的值为______． (2)与3之间的距离表示为______，结合上面的理解，若，则______． (3)当是__时，代数式．(4)当取最大值时，的取值范围是____，最大值为__． (5)若点表示的数，点与点的距离是5，且点在点的右侧，动点P、Q分别从、同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，？（请写出必要的求解过程） 【答案】(1)，；(2)，或；(3)或；(4)，；(5)运动秒或秒后，． 【详解】（1）解：数轴上到原点距离为的点有两个， 当在原点左边时，的值为，当在原点右边时，的值为，故答案为：，； （2）解：与之间的距离表示为：，若则 解得：或;故答案为：，或； （3）解：①当时，原方程可化为：，解得：， ②当时，原方程可化为：，此时方程无解， ③当时，原方程可化为：，解得：， 综上可得的值为或，故答案为：或； （4）解：当时，，，∴， 当时，，，∴， ∴，即； 当时，，，∴， 综上可知：当时，取最大值，最大值为，故答案为：，； （5）解：设运动秒后， ∵点表示的数为，点与点的距离是，且点在点的右侧∴点表示的数为：， 由题意可得秒后点表示的数为，点表示的数为， 则，整理得：，∴或解得：或， ∴运动秒或秒后． 2.（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如，表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以转化为，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】（1）______；（2）利用数轴，解决下列问题： ①若，则______；②若，请直接写出所有的整数：______； ③是否存在有理数x，使得式子有最大值？如果存在，写出一个符合条件的x的值及式子的最大值；如果不存在，说明理由． 【答案】（1）4（2）①或2；②，，0，1，2，3；③存在最大值为4，此时x的值可以是6（大于或等于3的所有值均可） 【详解】（1）解：，故答案为：4； （2）①∵，或， 解得，或，故答案为：2或； ②，当时，，得（舍去）， 当时，，当时，，得（舍去）， 由上可得，符合要求的整数是，，0，1，2，3， 故答案为：，，0，1，2，3． ③要使有最大值，则可知为与3之间的距离， 即最大值为：，此时的值可以是6（大于或等于3的所有值均可）． 题型03. 的最小值模型 【例1】（25-26七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）探究规律： (1)计算： ______ ；  ______．(2)归纳：表示数轴上，两点间的______． (3)应用：的最小值是______，此时 ______．求的最小值． 【答案】(1)；；(2)距离；(3)，；． 【详解】（1）解：；，故答案为：；； （2）解：表示数轴上，两点间的距离，故答案为：距离； （3）解：的最小值是， 当时，可得：，解得：，故答案为：，； 解：表示数轴上表示x的数到1的距离加上表示x的数到2的距离加上表示x的数到3的距离，∴当时，有最小值， ∴此时． 必记结论 的最小值的分析： 找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： 当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数（即）‬‬时，‬取得‬最小值‬； 当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段‬（即）时，‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 【小试牛刀】 1.（25-26七年级上·重庆万州·期中）同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，同理也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示x在数轴上对应的点到的距离，由上面绝对值的几何意义，解答下列问题： (1)x与4的距离可以表示为__________，若，则__________． (2)若，则所有符合条件的整数x的和为__________． (3)当x的取值为多少时，有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)；或．(2)(3)当时，式子有最小值，最小值为2550． 【详解】（1）解：x与4的距离表示为； ∵表示x到2的距离为5，∴或，故答案为：；或． （2），表示x到1和的距离和； ∵1与的距离为，∴x在之间，符合条件的整数x为、、、、， 和为，故答案为：． （3）式子表示x到、、…、、…、49、50共101个点的距离和； 根据对称性，当x在中间点时，距离和最小； 最小值为 答：当时，式子有最小值，最小值为2550． 2.（25-26七年级上·广东肇庆·阶段检测）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)_________________；当时，______________． (2)表示___________与_________之间的距离；表示________与_________之间的距离；找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数有________________（直接写出答案）； (3)由以上探索，请你结合数轴猜想：对于任何有理数，；是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． (4)拓展：的最小值是：_______________．（直接写出答案） 【答案】(1)7，(2)x，；x，2；；(3)有最小值，最小值是9(4)625 【详解】（1）解：；∵，∴，∴，故答案为：7，； （2）解：由题意得，表示x与之间的距离，表示x与2之间的距离， 当时，∵，∴，解得（舍去）； 当时，∵，∴，即， ∴此时满足题意的整数为； 当时，∵，∴，解得（舍去）， 综上所述，满足题意的整数为；故答案为：x，；x，2；； （3）解：|有最小值，最小值是9． 理由：当时，； 当时，； 当时，，∴有最小值，最小值是9． （4）相当于数轴上表示x的点到点1,2,3,4,,50的距离和， 当x在1和50之间时，有最小值49，当x在2和49之间时，有最小值47， 当x在3和48之间时，有最小值45，， 当x在25和26之间时，有最小值1， 综上，当x在25和26之间时，的最小值是 ，故答案为：625 3.（25-26七年级上·四川广元·阶段检测）在学习绝对值后，我们知道绝对值的几何意义，如：表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． ［尝试运用］（1）点在数轴上分别表示有理数，那么点到点的距离是______，点A到点的距离是______（直接填最后结果）； （2）点在数轴上分别表示有理数，那么点到点的距离与点到点C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； 【拓展探究】（3）利用数轴探究：①满足的的所有值是______； ②设，当时，的值是不变的，而且是的最小值，这个最小值是______；当x的值在______的范围时，的最小值是2，当的值取3时，的最小值是______； （4）试求的最小值． 【答案】（1）4，8（2）（3）①5或②4，，4（4） 【详解】解：（1）点，，在数轴上分别表示有理数，，3，那么到的距离是，到的距离是，故答案为：4，8； （2）点，，在数轴上分别表示有理数，，1，那么到的距离与到的距离之和可表示为，故答案为：； （3）①当时，即，解得， 当时，即，解得， 当时，表示，3在数轴上对应的两点之间的距离为4，不可能为8，则此情况不成立；故满足的的所有值是5或，故答案为：5或； ②设，当时，的值不变，且是的最小值，最小值是， 当的值取在的范围时，的最小值是， 当的取值是3时，的最小值是，故答案为：4，，4； （4）当时，的最小值为． 4.（24-25七年级上·福建泉州·阶段检测）信息：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 信息：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．结合上面的信息回答下列问题：已知数轴上点、两点分别对应有理数，，且，满足， (1)填空：______，______，、两点之间的距离为______； (2)式子的最小值是______，此时符合条件的整数的值是______； (3)若，则______；(4)数轴上的动点对应有理数； 式子的最小值是______，此时______． 式子有最小值为，则有理数______． 【答案】(1)，，；(2)，或或或或或或或；(3)或；(4)，；或． 【详解】（1）解：∵，∴，， ∴， ， 、两点之间的距离为，故答案为：，，； （2）解：当位于点左侧时，即时，， 当位于点与点之间时，即时，， 当位于点右侧时，即时， 综上可知：当位于点与点之间时，的值最小，最小值为，符合条件的整数为或或或或或或或，故答案为：；或或或或或或或； （3）解：当位于点左侧时，即时，，解得：； 当位于点与点之间时，即时，， 当位于点右侧时，即时，解得：；故答案为：或； （4）解：当位于点左侧时，即时，， 当位于点与点之间时，即时，， ∴， 当位于点与点之间时，即时，， ∴， 当位于点右侧时，即时，， 综上可知：当位于点与点之间时，即时，有最小值，当，最小值为，故答案为：，； 当时，即有时可取最小值，，，解得：； 当时，即有时可取最小值，，，解得：； 故答案为：或． 题型04. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 【例1】（24-25七年级上·重庆江津·期中）【用数学的眼光观察现实世界】若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，则．即表示5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【用数学的思维思考现实世界】(1)点A、B表示的数分别为，2，则________，在数轴上可以理解为表示数x的点与表示数________的点的距离．(2)①求的最小值，并写出此时x的值．②当x满足什么条件时，取得最小值，最小值是多少？(3)当x取何值时，取得最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)，(2)①当时，取得最小值7；②当时，取得最小值9；(3)14 【详解】（1）解：，在数轴上可以理解为表示数x的点与表示数的点的距离； 故答案为：，； （2）解：①表示到的距离与到2的距离以及到3的距离之和， 所以当时，的值最小为； ②∵表示到的距离与到3的距离之和， ∴当时，的值最小为； （3）解：∵表示到的距离3倍的与到5的距离的2倍之和， ∴x越接近，的值越小，∴当时，的值最小为． 必记结论 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 ①绝对值系数不为“1”：如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”：如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 【小试牛刀】 1.（25-26七年级上·浙江·专题练习）我们知道，在数轴上，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么、两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示15和的两点之间的距离是 ． (2)点、在数轴上分别表示和1，则两点之间的距离是 ，如果，那么是 ． (3)式子的最小值是 ．(4)式子的最小值是 ，此时的值是 ． 【答案】(1)3，45(2)；3或(3)4(4)6，1.5 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是， 数轴上表示15和两点之间的距离是．故答案为：3，45； （2）解：数轴上表示和1的两点、之间的距离为，如果，那么， 因为数轴上与1距离为2的点表示的数有两个：3或，所以或，故答案为：；3或； （3）解：根据题意可得，的意义为数轴上表示数的点到表示数，2，3的点的距离之和，因此当时，这个距离之和最小，最小值为4；故答案为：4； （4）解：的几何意义为数轴上表示的点到数轴上表示，1.5，1.5，5点的距离和，当时，这个距离之和最小，最小值为6．故答案为：6，1.5． 2.（24-25七年级上·江苏盐城·阶段检测）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点距离记作： (1)数轴上表示和3的两点和之间的距离是______；如果，那么为______； (2)当满足条件______时，取最小值，最小值是______； (3)当满足条件______时，取最小值，最小值是______； (4)的最小值是______；(5)的最小值是______． 【答案】(1)；5或(2)；4(3)；10(4)4(5) 【详解】（1）解：，，，或；故答案为：；5或； （2）解：表示x到，3这两个数的距离的和， 当时，到这两个数的距离的和最小， 最小值为；故答案为：；4； （3）解： 表示到，，3这三个数的距离的和， 当取中间数时，到三个数的距离的和最小， 最小值为；故答案为：；10； （4） 同理（3）得：当时，取最小值4， （5）解： 同理（3）得：当时，， 即的最小值是． 题型05. 型或型最值模型 【例1】（25-26七年级上·成都·期中）已知是非负数，且非负数中最小的数是0． （1）已知，则的值是_________； （2）当________时，有最小值，最小值是______． 【答案】 3 1 2 【详解】解：（1）∵，，， ∴，∴，∴，故答案为：3； （2）∵，∴当时，，此时有最小值， ∴当时有最小值，最小值是2，故答案为：1，2． 必记结论 1）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 2）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 【小试牛刀】 1.（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）已知是一个有理数，则关于的值的说法，正确的是（    ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值3 D．有最大值3 【答案】D 【详解】解：∵，∴，∴，∴有最大值3，故选：D． 2.（25-26七年级上·广东·单元复习）根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 【答案】(1)4，0(2)，3(3)，4 【详解】（1）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是0．故答案为：4，0 （2）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是3． （3）因为，所以，所以当时，有最大值，这个最大值是4． 3．（25-26七年级上·成都·期中）若，为有理数，下列判断正确的个数是（　　） （1）的最小值是；（2）的最小值是；（3）的最大值为；（4）的最大值是． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，即的最小值是，故（1）正确； ，，当，即时，，故的最小值不是； 当时，则，即，即，故最小值不是；故（2）不正确； 的最小值为，故（3）错误；的最大值是，故（4）正确；．故选：B． 题型06. 绝对值最值模型的实际应用 【例1】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）【探究问题】如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x，因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是3． 填空： 若， 则x的值为 ； （2）【解决问题】①直接写出式子的最小值为 ； ②若代数式的最小值是2，则a的值为 ； （3）【实际应用】如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【答案】（1）1或3；（2）①6；②或；（3）当M在点F上时，四个点到M的距离之和最小，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为 【详解】解：（1）表示x所对应的点与2所对应的点之间的距离为1， ∴或，故答案为：1或3； （2）①表示x所对应的点到4和所对应的点的距离之和，当x在4和之间时，有最小值，∴的最小值为，故答案为：6； ②表示x所对应的点到和所对应的点的距离之和，当x在和之间时，有最小值，最小值为， ∵代数式的最小值是2，∴，解得：或，故答案为：或； （3）如图所示，设M表示的数为x，距离之和为s， 则所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和为： 表示x所对应的点到、、、、、、七个点的距离之和， ∴奇数个点时取正中间的数时有最小值，即时，， ∴当M在点F上时，四个点到M的距离之和最小，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为． 必记结论 灵活运用数形结合‌：将绝对值的几何意义与代数表达式结合，可以帮助直观地解决问题。 【小试牛刀】 1.（25-26七年级上·广东肇庆·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】新定义：我们规定：点A，B在数轴上分别表示数，，则A，B两点之间的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示的点之间的距离． 【初步理解】（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示和5.2的两点之间的距离是________； （2）已知数轴上点A所表示的数是，点B所表示的数是6，x表示数轴上任意一点，则的最小值是________； 【深入探究】（3）结合数轴，利用以上的新定义求式子的最小值，求出此时x的值，并简单说明理由． 【实际应用】（4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由） 【答案】（1）3，7.7；（2）7；（3）时，式子有最小值为6，见解析；（4）公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为3200米 【详解】解：（1）由题可知，和两点的距离可表示为， 和两点的距离可表示为，故答案为，； （2）表示数轴上表示x的点到表示和6的点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为，故答案为：； （3）根据新定义可知，表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示4的点之间的距离， 如图，代数式存在最小值，即存在最小值， 所以当点与点重合，即时，有最小值，此时最小值为， 所以当时，式子有最小值为； （4）由题意，当所建公交站台在兴园小区和名园小区之间时，到兴园小区和名园小区的距离之和最小，当所建公交站台在梦园小区和竹园小区之间时，到梦园小区和竹园小区的距离之和最小， 故为使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为米． 2．（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）探索材料1（填空）： 数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． 例如数轴上表示数2和5的两点距离为_____．数轴上表示数3和的两点距离为_____． 则的意义可理解为数轴上表示数_____和_____这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数_____和_____这两点的距离； 探索材料2（填空）：①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点和，要在流水线上设一个材料供应点往两个加工点输送材料，材料供应点应设在_____才能使到的距离与到的距离之和最小？ 图1 ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，，，要在流水线上设一个材料供应点在三个加工点输送材料、材料供应点应设在_____才能使到、、三点的距离之和最小？ 图2 ⑧如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点、、、．要在流水线上设一个材料供应点往四个加工点输送材料．材料供应点应设在_____，才能使到、、、四点的距离之和最小？ 图3 结论应用（填空）：①代数式的最小值是_____；②代数式的最小值是_____； ③代数式的最小值是_____，此时的最大值是_____． ④代数式的最小值是_____． 【答案】材料一：3；4；6；；； 材料二：点、点之间 点 点、点之间 结论应用：①．②．③，．④ 【详解】解：探索材料1：数轴上表示数2和5的两点距离为， 数轴上表示数3和的两点距离为， 则的意义可理解为数轴上表示数6和这两点的距离， 的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离， 故答案为：3；4；6；；；；探索材料2： ①当点P在点A左边时，； 当点P在点A、点之间时，； 当点P在点A右边时，． ∴当点P在点A、点B之间时才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小．故答案为：点A、点B之间； ②当点P在点A左边，， 当点P在点A、点B之间时，， 当点P在点C、点B之间时，， 当点P在点C右边，， ∴点P应设在点B时才能使P到A，B，C三点的距离之和最小；故答案为：点； ③当点P在点A左边时，， 当点P在点A、点B之间时，， 当点P在点C、点B之间时，， 当点P在点C、点D之间时，， 当点P在点D右边时，， ∴当点P在点C、点B之间时，P到A，B，C，D四点的距离之和最小．故答案为：点B、点C之间； 结论应用（填空）：①表示点数轴上表示数到数和的距离之和， 由探究材料2得，当时，有最小值，最小值为，故答案为：． ②表示点数轴上表示数到数三点距离之和， 由探究材料2得，当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． ③表示点数轴上表示数到数四点距离之和， 由探究材料2得，当时，有最小值，最小值为，此时的最大值是．故答案为：，． ④表示点数轴上表示数到数共个点距离之和， 由探究材料2得奇数个距离之和的最小值时，的值为正中间的那一个数，即当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 题型07. 绝对值相关运算与最值问题 【例1】（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）我国著名的数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．在中学数学中，体现数形结合思想的内容较多，本学期学习的“数轴”就是体现数形结合思想的一个有力工具，利用数轴常常可以使一些复杂问题变得容易解决．例如，式子|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；再比如，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 发现问题：的最小值是多少？ 探究问题：如图，点A，B，P分别表示数，2，x，．    ∵的几何意义是线段的长度之和，∴当点P在线段上时，； 当点P在点A的左侧或点B的右侧时，，∴的最小值是3． 解决问题：(1)表示数轴上x所对应的点与数 所对应的点之间的距离，表示数轴上x所对应的点与数 所对应的点之间的距离； (2)的最小值是多少？并利用数轴说明理由；    (3)若，则_____；(4)请直接写出所有满足的整数a的值______． (5)若未知数x、y满足，则代数式的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)或 (4)，，0 (5)7， 【详解】（1）解：根据绝对值的几何意义，表示数轴上所对应的点与数所对应的点之间的距离，表示数轴上所对应的点与数所对应的点之间的距离．故答案为：，； （2）解：如图，点，，分别表示，，，．    ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，；当点在点A的左侧或点B的右侧时，． ∴的最小值是； （3）解：当时，∵∴，解得：，符合题意， 当时，∵∴，此时等式不成立， 当时，∵∴，解得：，符合题意， 的值为或．故答案为：或； （4）解：∵，即， ∴表示到和2的距离的和为9， ，，整数的值有，，0．故答案为：，，0； （5）解：对于，表示到1和3的距离之和，当时，该和取得最小值，最小值为， 对于，表示到和2的距离之和，当时，该和取得最小值，最小值为， ∴，， ∵，且，∴，， ∴，，要使的值最大，则，，此时； 要使的值最小，则，，此时．故答案为：7，． 【小试牛刀】 1.（25-26七年级上·四川内江·阶段检测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】(1)请你结合数轴探究：的最小值是______． (2)请你结合图④探究的最小值是______． (3)的最小值为___．(4)的最小值为___． (5)已知，则的最大值为______，a＋2b＋3c的最小值为______． 【答案】(1)3(2)2(3)6(4)(5)15， 【详解】（1）的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和； 当a在4和7之间时（包括4，7上）， 可以看出a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3；故答案为：3． （2）当a取中间数2时，绝对值最小，的最小值是；如图所示： 故答案为：2； （3）当a取最中间数时，绝对值最小，的最小值是； （4）当a取中间数1011时，绝对值最小，的最小值为： 1010+1009+1008+1007+……+1+0+1+2+3+……+1010=； （5）∵ ∴，，∴，， ∴当时，的值最小，为， 当时，的值最大，为，故答案为：15，． 2.（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）材料一：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离．这个结论可以推广为：的几何意义是：在数轴上数，对应点，之间的距离，例如在数轴上点表示数1，点表示数，则． 材料二：在数轴上，对于点与线段的距离，我们给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果有最小值，那么称这个最小值为点与线段的距离．显然，若点落在线段上（含端点），则点与线段的距离为0． 【简单应用】（1）数轴上表示2和5的两点距离为______； （2）数轴上点，，分别表示数，2，4，则若点与线段的距离为______； （3）数轴上点，，分别表示数，2，，若点与线段的距离为2，则______． 【关联应用】（1）代数式的最小值为______； （2）若代数式的值为12，求的最大值． 【实际应用】如图，某工厂自动化直线型流水线上设有4个工位，，，和一个中控中心，，分别位于中控中心点左侧8米，左侧3米，，分别位于中控中心右侧2米，右侧5米，工位，分别需要2个机器人同时操作，工位，只需要1个机器人操作，现要在直线型流水线上设置一个长度为2米的可移动的物料区，供6个机器人取用，要求6个机器人到物料区的距离之和最小，请直接写出距离之和最小值． 【答案】[简单应用] （1） ；（2）；（3）或；[关联应用] （1）；（2）；[实际应用] 【详解】[简单应用] （1）解：数轴上表示2和5的两点距离为； （2）利用题中定义可得点与线段的距离为； （3）当点在左边时，，解得； 当点在右边时，，解得，综上，或；故答案为：；；或； [关联应用]（1）解： 表示到的距离加上到的距离， 当时，到的距离加上到的距离最小，最小值为，故的最小值为， 故答案为：； （2）根据（1）可得在时，取最小值为， 在时，取最小值为，在时，取最小值为， ， ，，， ，，，的最大值为； [实际应用]解：设点为原点，则可得，，，表示的数分别为， 由题意可得在之间时，距离最小，设表示的数为，则表示的数为， 当时，，此时6个机器人到物料区的距离之和为：， 当时，，此时6个机器人到物料区的距离之和为：， 则6个机器人到物料区的距离之和为， 即， 在时，取最小值，在时，取最小值， 的最小值为，综上，距离之和最小值为． 题型8. 绝对值最值中的新定义问题 【例1】（25-26七年级上·北京·期中）数组是由个互不相等的整数组成，我们把数组中任意两个整数差的绝对值的最大值称为数组的距离系数． 例如，对于数组：，因为，，，所以是数组的距离系数． (1)对数组：，是______；(2)对数组：，，，若，求的值； (3)从正整数中选取个互不相同的整数组成数组，若，则满足条件的数组有_____个． (4)已知（是大于等于的整数）个连续整数中，从中选取个（是大于等于的整数）不同的整数组成数组，则的最大值为_____． 【答案】(1)(2)或(3)(4) 【详解】（1）解：∵，，，∴，故答案为：； （2）解：当是三个数中最大的数时，∵，∴，解得； 当是三个数中最小的数时，∵，∴，∴；综上，的值为或； （3）解：∵，∴当最小的数为，最大的数为，中间的数可以为，共有组； 当最小的数为，最大的数为，中间的数可以为，共有组； 同理当最小的数为，，时，可得也分别有组；∴满足条件的数组共有个，故答案为：； （4）解：设个连续整数中最小的数为，则最大的数为。 要使从中选取的个整数的距离系数最大，所选取的数中必须包含这个连续整数中的最小数和最大数。因此，的最大值为。，故答案为：． 【小试牛刀】 1.（25-26七年级上·浙江湖州·期中）对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如：，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)3和5关于2的“美好关联数”为 ； (2)若x和1关于0的“美好关联数”为4，求x的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于40的“美好关联数”为1，…． ①的最小值为 ；②求的最小值． 【答案】(1)(2)或(3)①；② 【详解】（1）解：，∴3和5关于2的“美好关联数”为4． （2）∵x和1关于0的“美好关联数”为4，∴，∴，解得：或． （3）解：①∵和关于1的“美好关联数”为1，∴， ∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， 当，时，∴，∴， 当，时，∴，∴， 当，时，∴，∴， ∴，∴有最小值1． ②由题意可知：，同理可得：的最小值； ，同理可得：的最小值； 同理，，的最小值； ，的最小值；； ，的最小值； ∴的最小值：． 2.（25-26七年级上·江苏盐城·期末）在数轴上存在不同的三个点，三个点表示的数分别为，对于三个点的“完美距离”规定如下：若，则关于点的“完美距离”；若，则关于点的“完美距离”．点是点的“完美相关点”． 例如：对于点，三个点表示的数分别为，因为，所以关于点的“完美距离”． 【初步理解】（1）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，则关于点的“完美距离”为_____； 【深入应用】（2）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为． ①若关于点的“完美距离”，求的值；②若，则关于点的“完美距离”的最大值为_____． 【知识迁移】（3）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，且，关于点的“完美距离”的最大值为；数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为1，且在和之间，关于点的“完美距离”的最大值为．若均是整数，求的值． 【答案】（1）（2）①或；②（3）的值为：，，， 【详解】解：（1）∵，， ∴数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，则关于点的“完美距离”为． （2）①∵数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，关于点的“完美距离” ∴当时，则，解得：（不符合题意舍去）， 当时，则，解得：（不符合题意舍去），综上：或． ②∵，如图， ∴的中点对应的数为，∴当表示时， 关于点的“完美距离”取最大值，最大值为． （3）∵数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，且，关于点的“完美距离”的最大值为；结合（2）可得：当为的中点时， ， ∵数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为1，且在和之间，关于点的“完美距离”的最大值为，∴， 同理可得：，∴， ∵均是整数，∴的值为：，，，． 基础过关 1．（25-26七年级上·江苏南通·期中）关于代数式的最值，下列说法正确的是（） A．最小值是0 B．最小值是3 C．最小值是 D．无最大值 【答案】C 【详解】解：表示到的距离与的距离的差， ①当时，，，∴ ②当时，，，∴；∴ ③当时，，，∴ 综上所述，当时，有最小值为故选：C． 2．（25-26七年级上·广东·月考）（1）若有最小值，则当______时，取最小值，最小值为______． （2）若，则___________，__________． （3）有最_________（填“大”或“小”）值，这个最（大）小值是____________． 【答案】 6 0 2 6 大 5 【详解】解：（1）∵，∴若有最小值，则， ∴，∴，∴当时，取最小值，最小值为0，故答案为：6；0； （2）∵，，∴， ∴，∴，故答案为：2；6； （3）∵，∴，∴，∴有最大值，最大值为5，故答案为：大；5． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）阅读绝对值拓展材料：表示数a在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示和在数轴上对应的两点之间的距离，类似的有：表示5和在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，有理数、在数轴上对应的点为、，那么、之间的距离可表示为．回答下列问题：(1)数轴上表示和的两点之间的距离是______．数轴上表示和的两点和之间的距离可表示为______． (2)借助数轴，请求出的最小值是多少？当达到最小值时，x可取哪些整数？ (3)的最小值是______，达到最小值时，x可取哪些整数，请直接写出所有答案______． 【答案】(1)；(2)；，，，，，，(3)； 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是； 数轴上表示和的两点和之间的距离可表示为．故答案为：；； （2）解：表示数轴上和两点之间的距离，表示数轴上和两点之间的距离， 当且仅当时，两距离之和最小，最小值是：， 可取的整数有：，，，，，，．故答案为：；，，，，，，； （3）解：表示数轴上和两点之间的距离，表示数轴上和两点之间的距离，表示数轴上和两点之间的距离，当且仅当时，距离之和最小， 最小值为 当的值最小时，的值为．故答案为：；． 4．（25-26七年级上·成都·专题练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数－1的点和表示数的点之间的距离是_________． (2)数轴上点A用数a表示，则①若，那么a的值是_________． ②当_________时，有最小值，最小值是_________； ③有最小值，最小值是_________； 【答案】(1)5，2(2)①或；②，0；③；④ 【详解】（1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是， 数轴上表示数-1的点和表示数的点之间的距离是． （2）数轴上点A用数a表示， ①若，则或，∴或． ②∵表示数轴上到表示点a的数的点和表示的点的距离， ∴当时，有最小值，最小值是0． ③∵的意义是表示数轴上到表示和表示的点的距离之和， 由两点之间线段最短可知：当时，有最小值，最小值为． 5．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的表示为距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示5和2的两点之间的距离是 ；数轴上表示2和的两点之间的距离为 ． (2)数轴上表示x和两点之间的距离为；若数轴上表示x和2两点之间的距离为3，那么 ． (3)若式子有最小值，则该最小值为 ． (4)无论x取何值，都成立，则a的取值范围是 ． 【答案】(1)；(2)，或；(3)；(4)． 【详解】（1）解：数轴上表示5和2的两点之间的距离是， 数轴上表示2和的两点之间的距离为，故答案为：； （2）解：数轴上表示x和两点之间的距离为， ∵若数轴上表示x和2两点之间的距离为3，∴，∴或故答案为：，或； （3）解：∵式子有最小值，∴当时最小，最小值为，故答案为：； （4）解：由数轴可知，表示x到1，，2，这四个点的距离之和， 令， 当时，，时，，时，，时，， 可以观察知：当时，由于四点分列在x两边，恒有， 当时，，当时，，当时，， 当时，，综合以上：，∴ ，∴a的取值范围是． 6．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离．(1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和的两点之间的距离是________． ②数轴上表示和的两点和之间的距离是________，如果，那么为________． (2)探索规律：①当的最小值是________．②当的最小值是________． (3)知识迁移：的最大值是________． 【答案】(1)①，；②，或(2)①；②(3) 【详解】（1）解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是． ②数轴上表示和的两点和之间的距离是， 如果，则，解得或，即那么为或； （2）解：①当时，， 当时，， 当时，，故的最小值是． ②当时，， 当时，， 当时，， 当时，，故的最小值是； （3）解：当时，， 当时，， 当时，，故最大值是． 7．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示7与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】：（1）如果，那么 ；（2）有最小值 ；（3）有最大值 ； 【应用】：（4）的最小值为 ； （5）的最大值为 ． 【答案】（1）0或；（2）1；（2）1；（4）；（5）1012． 【详解】（1）解：，∴或，解得或，故答案为：0或． （2）的意义即数轴上点x与1，2的距离和， 当时，距离和为；当时，距离和为； 当时，距离和为； 故对于任何有理数，有最小值， 当时，即点x在1和2之间（包含1和2）时，最小值为1． （3）的意义即数轴上点x与1，2的距离差； 当时，；当时， ；当时， ； 故对于任何有理数，有最大值， 当时，即点x在2上或右边时，最大值为1． （4）表示数轴上点与1，2，……2024的距离和， 由（2）可知：当时，有最小值； 此时： =； （5）表示x到1的距离与x到2的距离的差、x到3距离与x到4距离的差 …x到2023距离与x到2024距离的差的和， 由（3）可知：当x在最大数右边（或最大数上）时有最大值； 即：时， ． 8．（24-25七年级上·河南商丘·期中）姗姗在学习绝对值的时候发现：可表示数轴上表示2和表示1的两点间的距离；而即则表示数轴上表示2和表示的两点间的距离．根据上面的发现，姗姗将看成数轴上表示与表示2的两点在数轴上的距离，那么可看成表示与表示的两点在数轴上的距离．姗姗继续研究发现：取不同的值时，有最小值，请你借助数轴解决下列问题： (1)当时，的最小整数值是__________； (2)若，那么的最小值是__________； (3)若，那么的最小值是__________，此时为_________； (4)的最小值是__________． 【答案】(1)(2)6(3)8，(4)90 【详解】（1）解：根据题意，得表示数轴上表示与表示2的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离的和， ∵，∴，∴的最小整数值是，故答案为：． （2）解：根据题意，得表示数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离的和， ∴时，取得最小值，此时，故答案为：6． （3）解：根据题意，得表示数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示0的两点在数轴上的距离的和，∴，∴时，取得最小值， 此时，故答案为：8，． （4）解：根据题意，得表示的是x与这19个数的距离之和，即．故答案为：90． 9．（25-26七年级上·江苏·专题练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数、，那么A、B之间的距离可表示为． 问题1：点A、B、C在数轴上分别表示有理数：、、3，那么A到B的距离是_________，A到C的距离是_________．（直接填最后结果） 问题2：点A、B、C在数轴上分别表示有理数、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为_________（用含绝对值的式子表示）． 问题3：利用数轴探究：①找出满足的的所有值是_________； ②设，当的值取在不小于且不大于3的范围时，的值是不变的，而且是的最小值，这个最小值是_________；当的值取在_________的范围时，的最小值是_________． 【答案】问题1：4，8；问题2：；问题3：①4，；②4；，2 【详解】解：问题1：A到B的距离是，A到C的距离是；故答案为：4，8； 问题2：A到B的距离与A到C的距离之和可表示为；故答案为：； 问题3：①设点A、B、C在数轴上分别表示数x、3、， 则表示A到B的距离与A到C的距离之和为6， 结合数轴可知，当A在B、C之间（包含B、C）时，不符合题意， 当A在B右侧时，，解得， 当A在C左侧时，，解得；故答案为：4，； ②对于，当x的值取在不小于且不大于3的范围时，； 对于，当x的值取在不小于0且不大于2的范围时，的值保持不变，且为其最小值， 这个最小值为；故答案为：4；，2． 10．（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，数轴上有点三点． (1)用“”将连接起来．(2) 1， 0（填“”“”，“”） (3)求下列各式的最小值：①的最小值为 ；②的最小值为 ； ③当 时，的最小值为 ． 【答案】(1)(2)，(3)①2；②③， 【详解】（1）解：由数轴可得：； （2）解：由数轴可得：，，，故答案为：，； （3）解：①的意义是数轴上表示数的点到表示数，到表示数的点的距离之和， 故的最小值为，故答案为：； ②的意义是数轴上表示数的点到表示数，到表示数的点的距离之和， ，故的最小值为，故答案为：； ③的意义是数轴上表示数的点到表示数，到表示数，到表示数的点的距离之和， 故当时，的值最小，为，故答案为：． 能力提升 11．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． 例如数轴上表示数3和8的两点距离为__________； 的意义可理解为数轴上表示数__________和数__________的两点之间的距离； （2）探索材料2（填空）： ①如图，在工厂的一条流水线上有两个加工点和，要在流水线上设一个材料供应点往两个加工点输送材料，材料供应点应设在__________处才能使到的距离与到的距离之和最小？ ②如图，在工厂的一条流水线上有三个加工点，，，要在流水线上设一个材料供应点往三个加工点输送材料，材料供应点应设在__________处才能使到，，三点的距离之和最小？ ③如图，在工厂的一条流水线上有四个加工点，，，，要在流水线上设一个材料供应点往四个加工点输送材料，材料供应点应设在__________处才能使到，，，四点的距离之和最小？ （3）结论应用（填空）： ①代数式的最小值是__________，此时的范围是__________； ②代数式的最小值是__________，此时的值为__________； ③代数式的最小值是__________，此时的范围是__________． 【答案】（1）5，x，；（2）①点A、点B之间②点B③点B、点C之间；（3）①8；②8；③19，． 【详解】解：（1）；，的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离；故答案为：5，x，． （2）①当点P在点A、点B之间，， 当点P在点A左边，，当点P在点B右边，． ∴当点P在点A、点B之间时才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小．故答案为：点A、点B之间． ②当点P在点C右边，， 当点P在点C、点B之间时，， 当点P在点A左边，， 当点P在点A、点B之间时，， 当点P与点B重合时，，距离最小， ∴点P应设在点B时才能使P到A，B，C三点的距离之和最小．故答案为：点B． ③当点P在点D右边时，， 当点P在点C、点B之间时，， 当点P在点A、点B之间时，， 当点P在点C、点D之间时，， 当点P在点A左边，， ∴当点P在点C、点B之间时，P到A，B，C，D四点的距离之和最小．故答案为：点B、点C之间． （3）①由探究材料2得，当时，， ∴有最小值，最小值为8．故答案为：8；． ②由探究材料2得，这是在求点x到三点的最小距离， ∴当时，有最小值为．即最小值为8， 故答案为：8；． ③由探究材料2得，这是在求点x到四点的最小距离， ∴当时，有最小值为，即最小值为19， 故答案为：19，． 12．（24-25七年级上·辽宁抚顺·阶段检测）如图，数轴上点A，B，C分别表示的有理数为是这个数轴上的动点，点P，Q分别表示的有理数为x，y，定义表示点与点之间的距离，即，当P，Q重合时，． (1)在，，4这三个数中，绝对值最小的数是 ； (2)当时，求的值； (3)探究的最小值，并写出取得最小值时的值； (4)当时，直接写出的最小值，并写出此时的取值范围是． 【答案】(1)(2)10或8(3)的最小值是7，此时(4) 【详解】（1）解：，， 在，，4这三个数中，绝对值最小的数是；故答案为：； （2）解：当时，； 当时，； 当时，求的值为8或10； （3）解：的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，，4的三点的距离之和， 只有当表示的数与点B重合时，距离之和才最小为点A和点C之间的距离为：，此时：； （4）解：的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，4的两点的距离之和， 只有当表示的数在点B点C之间时（包含点B，点C），距离之和才最小，最小距离为； 同理，的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，5的两点的距离之和， 只有当表示的数在点A点P之间时（包含点A，点P），距离之和才最小，最小距离为； 的几何意义是：数轴上表示数的点到表示,，4，5的四点的距离之和， 只有当表示的数在点B点C之间时（包含点B，点C），距离之和才最小， 最小距离为：；此时：． 13．（24-25七年级上·江西·阶段检测）课本再现 课堂上，通过探究我们发现：在数轴上，若点A，B分别表示数a，b，则点A，B之间的距离等于． （1）的意义可理解为数轴上表示数x和_________这两点的距离． 继续探究:结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （2）数轴上表示x的点位于与2之间，则__________； （3）若数x满足，则__________；（4），则x的取值范围是__________； 结论：的最小值是__________，此时x的范围是__________． 拓展应用 （5）当__________时，的值最小，最小值是__________； （6）当x满足什么条件时，（其中且n为正整数）取得最小值？ 【答案】（1）；（2）7；（3）或3；（4）或；结论：7，；（5）1，7；（6）若n为偶数，当时，取得最小值；若n为奇数，当时，取得最小值． 【详解】解：（1），即、两点的距离等于，两数之差的绝对值， 的意义可理解为数轴上有理数和-5这两点的距离．故答案为：-5． （2）数轴上表示的点位于与2之间，，，， ．故答案为：7． （3）若，分三种情况：①当时， ，； ②当，，此时方程无解； ③当时，，．故答案为：或3． （4）表示数轴上-5与2的点的距离和大于7的数，或． 表示数轴上有理数和-5这两点的距离，表示数轴上有理数和2这两点的距离， 表示数轴上有理数的到-5及与2的距离之和， 当时，最小值为7．故答案为：或；结论：7，． （5）表示数轴上表示的点到-5，-2，1三点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为7．故答案为：1，7． （6）当为奇数时，中间的点为，则当时，有最小值； 当为偶数时，中间的点为和， 则当或时，有最小值． 14．（25-26七年级上·江西上饶·期末）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．阅读材料完成下列问题． 材料一：如图，已知数轴上两点．则两点之间的距离为两数差的绝对值，即，如：到5距离为两数差的绝对值，即，表示点到3的距离． 材料二：在数轴上，对于点与线段的距离，我们给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果有最小值，那么称这个最小值为点与线段的距离．显然，若点落在线段上（含端点），则点与线段的距离为0． (1)数轴上表示和5的数的两点之间的距离是_______； (2)为数轴任意一点，则有没有最小值？若有，请求出最小值，并直接写出的取值范围． (3)数轴上点分别表示数，1，，若点与线段的距离为2，则求出的值． 【答案】(1)；(2)有最小值，最小值为，的取值范围是；(3)或 【详解】（1）解：数轴上表示和5的两点之间的距离为；故答案为：． （2）解：，表示数轴上点到点与点的距离之和． 根据两点之间线段最短，当点位于点和点之间(包括端点)时，距离之和取得最小值，最小值为，此时的取值范围是； （3）解：已知点表示，点表示，线段对应的数的范围是． ①当点在线段左侧时，点到线段的距离为，解得； ②当点在线段右侧时，点到线段的距离为，解得； 点在线段上时，距离为，不符合距离为的条件，故舍去．综上，的值为或． 15．（24-25七年级上·广东江门·阶段检测）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是什么，最小值是什么．” 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．” 小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，式子的最小值为3． 请你根据他们的解题思路解决下面的问题． (1)当式子取最小值时，最小值是__________．(2)已知，y的最大值是__________． (3)已知：，则__________． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：当时，原式，此时；当时，原式；当时，原式， 当时，取最小值时，最小值为．故答案为． （2）解：当时， 当时，，当时，最大； 当，时， 综上所以时，有最大值．故答案为：10． （3）解：， 当时，原方程可以化为，解得： （舍去）， 当时，原方程可以化为，解得：， 当时，原方程可以化为，，综上所述，或；故答案为：3或18． 16．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）如图，数轴上点，所对应的数分别是，2．对于关于的式子，我们规定：当有理数在数轴上所对应的点为，之间（包括点，）的任意一点时，式子的最大值小于等于2，最小值大于等于，则称式子是线段的“完美”式子．例如，对于关于的式子，当时，式子取得最大值2；当时，式子取得最小值0，所以式子是线段的“完美”式子． (1)关于的式子，当有理数在数轴上所对应的点为，之间（包括点，）的任意一点时，取得的最大值是____，最小值是____，所以式子_____（填“是”或“不是”）线段的“完美”式子． (2)关于的式子是线段的“完美”式子，则有理数的最大值是_____，最小值是_____． (3)以下关于的式子：①；②；③．其中是线段的“完美”式子的是_____（填序号），并说明理由（只需对你认为是的式子给出验证过程，不是的无需说明）． 【答案】(1)；；不是(2)；(3)②，理由见解析 【详解】（1）∵在数轴上、之间（包括、），∴在到之间（包括和）．   对于：  当时，；当时，；当时，， ∴的最大值是，最小值是， 又∵“完美”式子要求最大值，而，∴式子不是线段的“完美”式子．   故答案为：；；不是； （2）∵在到之间（包括和）， 对于：  当时，取最小值；当时，取最大值， ∵是“完美”式子，∴需满足：   最大值：；  最小值： ∴在到之间（包括和），则的最大值是，最小值是．故答案为：；； （3）∵在到之间（包括和），逐一验证式子：   ①对于：  ∵，式子随增大而增大． 当时，（最小值<-2），不符合要求，故①不是；   ②对于：  ∵，在到之间（包括和）时，最大值为、最小值为 ∴式子最大值为，最小值为．∵且，符合要求，故②是；   ③对于：  当在到之间（包括和）时， 式子（最小值），不符合要求，故③不是；   综上，是线段“完美”式子的是②．  故答案为：②； 17．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）如图，已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数－6，4．若x表示一个有理数． (1)数轴上点A到点B的距离为______；数轴上到点A、B的距离相等的点表示的有理数为______； (2)若，则______；(3)式子的最小值为______，此时x的取值范围是______； (4)式子有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)6或2(3)8，(4) 【详解】（1）∵数轴上有两个点，分别表示有理数，∴数轴上点到点的距离为； ∴数轴上到点的距离相等的点的位置表示的有理数为；故答案为：； （2）根据题意， ，解得：或故答案为：6或2 （3）∵表示数轴上x到3两点之间的距离，表示数轴上x到两点之间的距离， 由图可知，当或时，，当时， ∴式子的最小值为8，此时x的取值范围为；故答案为：8， （4），当式子的最小值为8时，有最大值；此时；的最大值为 18.（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）（问题提出）的最小值是多少？ （阅读理解）为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离．那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离．就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示：    （1）如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，在1和2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1． 所以到1和2的距离之和最小值是1． （问题解决）（1）的几何意义是 ．请你结合数轴探究：的最小值是 ． （2）请你结合图④探究：的最小值是 ，此时a为 ． （3）的最小值为 ． （4）的最小值为 ． （拓展应用）（5）如图⑤，已知到－1，2的距离之和小于4，请写出的范围为 ． 【答案】（1）这个数在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和，3；（2）2，2；（3）9；（4）1021110；（5） 【详解】解（1）根据题目提供的方法，可知：这个数在数轴上对应的点到表示3和6两个数的点的距离之和；此时最小值为3；故答案为：这个数在数轴上对应的点到表示3和6两个数的点的距离之和；3； （2）根据题目提供的方法，可知：当处于1和3的中点2，即时最小，最小值为：；故答案为：2；2； （3）根据题目提供的方法，可知：当在1和6之间，且处于中段，即处于3和4之间时，所求式子最小；不妨取，最小值为：；故答案为：9； （4）1，2，3，4，的中间数为：1011 ；故答案为：1021110； （5）使它到，2的距离之和小于4，， ①当时，则有，解得：．； ②当时，则有，； ③当时，则有，解得：，； 由①②③不得式得出：．故答案为：． 19．（25-26七年级上·成都·单元复习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为．所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 发现问题：代数式的最小值是多少？ 探究问题：如图，点，，分别表示的是，，，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，， ∴的最小值是． （1）解决问题，的值是 ．（2）的最小值是 ．（3）若的最小值是，则的值为 ．    拓展提升：（4）的最小值是 ，最大值是 ．（5）的最小值是 ． （6）若的最小值是，则的值是 ．（7）若，且为整数，则的值为 ．（8）若，则的值为 ． 【答案】（）；（）；（）或；（），；（）；（）或；（），，，；（）或． 【详解】解：（）解决问题，的值是，故答案为：； （）的最小值是，故答案为：； （）若的最小值是，则的值为或，故答案为：或；    拓展提升：（）的最小值是，最大值是，理由如下： 令，当时，；当时，， ∴，当时，，综上可知：，故答案为：，； （）由可知：的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离，的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离，的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离， 则当与重合时，有最小值，故答案为：； （）若的最小值是， 则当时，有最小值，所以，则； 当时，有最小值，所以，则； 则的值是或，故答案为：或； （）∵，且为整数，∴，则的值为，，，， 故答案为：，，，； （）∵，∴时，，则； 时，，则；所以的值为或，故答案为：或． 挑战一刻 20．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．下列说法中正确的有(   )个． ① 若，点表示的数是，则点表示的数是； ② 当取最小值时，所有满足条件的整数有个： ③ 当时， 代数式的最小值为： ④ 若、、满足则的最小值为． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】解：① 由，解得或，点的位置可能为或，故错误； ②当时，的最小值为， 的最小值对应整数有个，故错误； ③ 代入得值为，但最小值在时为，代数式的最小值为而非4，故错误； ④ 当，，，取得最小值， 当各因子取最小值时，则当时，的最小值为而非，故错误，故选：A． 21．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段练习）规定．如：．下列结论中：①若，则；②若，则；③当时，有最大值5；④式子的最小值是5，以上结论正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①若，则，∴∴故①错误； ②若，则∴ ∴故②错误； ③∵，又，∴即：当时，有最大值5故③正确； 由绝对值的几何意义可知：表示数轴上对应的点到、对应的点之间的距离之和，故当时，有最小值，故④正确； 选：B 22．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）若，则x的最小值为__________；若的最小值为11，则m的值为__________． 【答案】 或8/8或 【详解】解：∵表示数x表示的点到数和6表示的点的距离之和，且， ∴当时，，∴x的最小值为； ∵可以看作数轴上表示m表示的点到数，6和m表示的点的距离之和，且的最小值为11， ①当时，则时，原式有最小值11， 此时，解得； ②当时，则时，原式有最小值11， 此时，此时方程无解； ③当时，则时，原式有最小值11， 此时，解得； 综上，m的值为或8，故答案为：；或8． 23．（24-25七年级上·山东济南·期末）泉水是济南文化的特色名片，“游泉打卡”活动将泉水文化与趣味游泉相结合．为方便游客“游泉”，志愿者在位于环形公路上的，，，四个景点处放置了若干张游泉图鉴，目前，，，四个景点分别有170，120，80，230张图鉴．现在，从每个景点向相邻的两个景点移动图鉴，使得四个景点的图鉴存量相等，怎样做能让移动的图鉴数量总和最小？ 【策略联想】借助示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关系更清晰．因此，小红将以上问题中的信息用如下示意图进行表示：将四个景点，，，标注在环形图上，图中的箭头表示了图鉴移动的方向．例如，“”代表了从景点向景点送去50张图鉴，“”代表了从景点向景点送去30张图鉴． 【问题理解】（1）如图所示，四个景点之间移动的图鉴数量总和，当，，，时，_____张； 【问题分析】当四个景点的图鉴数量相等时，每个景点最终应留存张图鉴．如果按照（1）中的方式移动，四个景点之间移动的图鉴数量总和并不是最少的，那么最小值是多少呢？ 为了计算四个景点之间移动的图鉴数量总和的最小值，小红在计算景点的图鉴数时得到关于，的等式：，运用“移项”的方法，用只含有的代数式表示，得到． （2）根据以上的方式，用只含的代数式分别表示和，可得_____，_____； 【问题解决】（3）因此，四个景点之间移动的图鉴数量总和也可用只含的代数式进行表示，通过求这个代数式的最小值，可得出移动的图鉴数量总和的最小值=_____张． 【答案】（1）；（2）；；（3） 【详解】解：（1）（张），故答案为：； （2）根据题意得，景点的图鉴数：，景点的图鉴数：， ，，，故答案为：；； （3）， 可以看作是数轴上对应的点到、、和的距离和， 当时，距离之和最小为，，故答案为：． 24．（24-25七年级上·山东济南·期中）类比是应用过去的经验去解决新问题的一种思维过程． 【回顾·反思】数学兴趣小组在研究的最小值问题时，利用“一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离”这一概念，发现就是x和所对应的两个点之间的距离，就是x和7所对应的两个点之间的距离．同学们用和7这两个数所对应的点将数轴分为三个部分，然后分别在这三个部分上探究x到与x到7的距离之和，并运用数形结合的思想解决了这个问题： 在数轴上， ①如图1，若x代表的数在的左侧，则x到与x到7的距离之和大于11； ②如图2，若x代表的数在与7之间，则x到与x到7的距离之和等于11； ③如图3，若x代表的数在7的右侧，则x到与x到7的距离之和大于11； ④若，则x到与x到7的距离之和等于11； ⑤若，则x到与x到7的距离之和等于11； 综合以上各种情况，的最小值为11． 【操作·思考】数学兴趣小组的同学们想通过类比学习的方式探究的最大值问题． 就是x和 所对应的两个点之间的距离，就是x和 所对应的两个点之间的距离，这两个数所对应的点可以将数轴分为三个部分，分别在三个部分上进行探究，可以得出的最大值为 ； 【尝试·思考】当或b时，代数式的值为相等的正数，则 ． 【答案】【操作·思考】，3，5；【尝试·思考】12． 【详解】解：【操作·思考】根据题干可知是和所对应的两个点的距离， 是是3两个点所对应的距离，如图所示， ①当时，； ②当时，，在此范围内， 当时，最大； ③当时，，综上，最大值为5；故答案为：，3，5； 【尝试思考】如图所示， ①当时，，为负数，不合题意； ②当时，，为负数，不合题意； ③当时，，为正数，符合题意； ④当时，， 此时要想满足其值为正数，则还要小于10，所以，当在2到6和6到10这两段时其值为正数， 即可以在和6之间，则在6和10之间， 当在和6之间时，， 当在6和10之间时，， 所以，所以．故答案为：12． 25．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 【答案】(1)，(2)当最大值为；当最小值为(3)，最小值为 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴式子取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是． 故答案为；． （2）解：当时，； 当时，此时； 当时，； ∴当最大值为；当最小值为； （3）解：， 表示在数轴上的对应点与、、、……、所对应点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为 ． 26．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知有理数a，b满足，请回答下列问题： (1)请直接写出a，b的值： ， ； (2)数轴上a，b，x三个数所对应的点分别为A、B、X，且点X是数轴上的任意点，点A与点X之间的距离用表示，点B与点X之间的距离用表示，请计算当x分别为，0，2025时，代数式的值，并指出当的值最小时，点X在数轴上的位置； (3)如果在数轴连续的整数点上依次有n个机器人，且相邻两个机器人之间的距离都是1个单位，同时数轴上有一个快递包裹分发点智能机器人，它能根据机器人的数量自动决策出快递包裹分发点的位置，使得每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，请直接用含n的代数式表示这个最小值． 【答案】(1)，2024 (2)当时，值为4051；当时，值为4047；当时，值为4049，当的值最小时，点X在数轴上的线段上； (3)当n为奇数时，最小值为，当n为偶数时，最小值为 【详解】（1）解：∵，∴， ∴；故答案为：，2024； （2）∵， ∴当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； ∴当的值最小时，点X在数轴上的线段上； （3）当为奇数时，分包机器人在最中间的机器人处时，每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，为： ； 当为偶数时，分包机器人在中间两个机器人之间时，每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，为：． 5 / 59 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $