第07讲 有理数的混合运算（讲义，全国通用新教材北师大版）数学小升初衔接

第07讲 有理数的混合运算 预习目标 知识回顾 1. 掌握有理数的混合运算的基本概念和方法； 2. 理解混合运算中加、减、乘、除、乘方的优先级顺序； 3. 能够熟练进行有理数混合运算，并正确解释计算过程； 4. 熟练掌握混合运算中的运算技巧（特别关注运算律）； 5. 能够熟练运用有理数混合运算解决相关应用问题； 6. 理解近似数的概念；能够求一个数的近似数并指出精确到哪一位；能够由近似数推断真值范围。 1. 有理数的乘方，幂，底数，指数的概念及意义； 2. 求有理数的正整数指数幂； 3. 科学记数法的的概念；用科学记数法表示较大的数；将用科学记数法表示的数变回原数。 新知导图 预习精讲 想一想 【思考1】在小学我们学习过加减乘除运算的顺序是“先乘除，后加减，若有括号，先进行括号内的运算”。 对于下面的计算：，运算顺序有是怎样的呢？ 【24点游戏】‌ 24点游戏 的起源可以追溯到20世纪60年代的 中国 或 美国 ，具体起源尚有争议‌。一种说法是24点游戏由美籍华人孙士杰 在20世纪60年代发明，旨在帮助孩子提升心算能力‌。另一种观点认为，24点游戏是西方数学教育中“算术组合游戏 ”的变体，类似玩法在西方早已存在，并在20世纪80年代由美国出版商 商业化推广至全球‌。 游戏规则：24点游戏的规则非常简单：使用一副扑克牌（去掉两个王），随机取四张牌，牌上的数字通过加、减、乘、除四则运算组合成24。玩家需要在规定时间内找出所有可能的运算组合，使得结果等于24。 24点游戏的历史影响：24点游戏因其教育意义和智力挑战性，逐渐风靡全球，并进入了中小学数学课本。它不仅锻炼了玩家的数学运算能力，还促进了大脑的灵活性和逻辑思维能力。‌ 【思考2】游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式。 知识点01 有理数的混合运算 1.有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号里面的。 注意：①正常情况下同级运算，从左到右进行（若运用了运算律除外）；②如有多种括号，按小括号、中括号、大括号依次进行。 2.有理数混合运算常见技巧： 1）加减法：①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。 2）乘除法：①运用结合律，将能约分的先结合计算；②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数；③带分数应先化为假分数的形式；④几个分数相乘，先约分，在相乘；⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。 【即学即练】 1．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）计算（能简便运算的要简算）： (1)； (2) (3)； (4) (5)； (6) 2．（25-26七年级上·成都·期中）计算题（能简便运算的要简算）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 3．（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）根据如图所示的程序，当输入的值为1时，输出的值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 4．（25-26七年级上·河北邢台·期末）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 知识点02 近似数 1.准确数：表示与实际数量完全符合，没有误差的数。 2.近似数：与实际数量非常接近，一般由测量、估算、四舍五入得到，存在微小误差。 3.精确度：表示近似数与准确数的接近程度。 4.精确度的类型：1）纯数字类：如按四舍五入法对圆周率取近似数时：（精确到个位）；（精确到十分位，或叫精确到）；（精确到百分位，或叫精确到）。 2）带单位类：如近似数万（精确到千位）。 3）科学记数法类：如近似数（精确到百位）。 注意：1）近似数表示的是一个大概的数字，与实际有差别；2）近似数要看精确到哪一位，也就是实际需要的取值精确度；3）近似数是估值，但是要控制误差。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·云南红河·期末）已知圆周率，将π精确到百分位的结果是（   ） A．3.1 B．3.14 C．3.141 D．3.142 2．（25-26七年级上·吉林长春·期中）用四舍五入法将近似数精确到个位的结果是_____． 3．（25-26七年级上·成都·期中）下列说法正确的是（　　） A．近似数23与23.0的精确度相同 B．近似数与2000的意义完全一样 C．近似数79.0精确到个位 D．近似数3.14精确到0.01 4．（25-26七年级上·山东·期末）一个数a精确到十分位的结果是，那么这个数a的范围满足（    ） A． B． C． D． 题型速练 题型01 加减乘除混合运算 【例1】（25-26七年级上·辽宁营口·阶段检测）计算： (1)； (2) (3)； (4) 必记结论 有理数混合运算的顺序：（1）先乘除，后加减；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·重庆·期中）计算：（1）；（2）； (3)；(4)；(5)。 2．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 3．（25-26七年级上·重庆·开学考试）计算： (1) (2) (3) (4) 题型02 含乘方的有理数混合运算 【例1】95．（25-26六年级下·黑龙江绥化·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 必记结论 含乘方的有理数混合运算的顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·山东·期中）计算：（1）．（2） 2．（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）计算： (1) (2) (3) 3．（24-25七年级上·山东烟台·期中）计算下列各式 (1) (2) (3) (4) 题型03 有理数混合运算与运算技巧 【例1】（25-26七年级上·成都·校考期末）脱式计算，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 【例2】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 必记结论 运用运算律简化计算常见技巧： 加减法：①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。 乘除法：①运用结合律，将能约分的先结合计算；②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数；③带分数应先化为假分数的形式；④几个分数相乘，先约分，在相乘；⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·重庆·期中）计算：（1）． （2） 2．（25-26七年级上·四川自贡·阶段检测）简便运算： (1)； (2)． 3．（25-26七年级上·全国·寒假作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 4．（25-26七年级上·绵阳·阶段检测）计算下面各题，能简算的要用简便方法计算并写出计算过程． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 题型04 有理数混合运算--程序框图 【例1】（24-25七年级上·湖南·期中）按如图所示的程序进行计算，则输出的结果为______． 必记结论 程序框图解题通用步骤：（1）‌明确运算结构‌：①识别流程图中运算模块的先后顺序（如加减、乘除、乘方的位置）；②特别注意条件判断模块的阈值。 （2）‌分步代入计算 （3）‌循环终止判断‌：①每次计算结果作为新输入值；②结果满足阈值条件时终止循环。 注意：建议优先掌握运算顺序可视化方法与循环终止条件的快速判定技巧，配合至少3种不同类型的流程图案例进行专项训练。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·四川成都·期中）在如图的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为，，则第4次输出的结果为__________． 2．（25-26七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）按如图所示的程序进行计算，若输入的值是，则输出的值是___________． 3．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，把分别输入数值转换器，则输出的结果是______； 题型05 有理数混合运算--24点游戏 【例1】（25-26七年级上·河南安阳·期中）有一种游戏叫“24点游戏”，规则是：随机抽取4个整数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．有一次小明在做“24点游戏”时抽到的4个数分别是，4，5，11，请你写出一个算式使其结果为24：______． 常见错误 24点游戏易错点： 1）‌忽略分数可能性‌：认为必须全部整数运算，实际可用分数； 2）‌运算顺序错误‌：漏加括号导致优先级错误； 3）‌固定思维局限‌：过度追求乘法对，忽略加减法组合 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·江苏南京·期中）玩“24点”游戏时，小明抽到“”四张牌，请写出运算结果为24的算式：___________． 2．（25-26七年级上·江苏·期中）不改变数的顺序，请用“”“”运算符号把数，，，组成一个算式：__________，使其运算结果为． 3．（25-26七年级上·陕西西安·期中）有一种“24点”游戏，从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，将牌面上的数字进行运算（可使用加、减、乘、除、乘方或括号），每个数用且只用一次，使其结果为24．若抽取牌面数字为，，2，3，请写出一种运算等式：___________． 4．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）“算24”的扑克牌游戏曾经风靡许多国家，深受青少年朋友的喜爱．这种游戏将两张王牌去掉，规定扑克牌中的J为11，Q为12，K为13，A为1．从扑克牌中按要求抽取若干张牌，将牌面所表示的数进行有理数的加、减、乘、除运算（每张牌用且只用一次），算得“24”即可． 【问题情境】假设已抽取如下的牌，能不能根据牌面所表示的数算“24”呢？如果能，怎么算？ 可列算式：．根据上图中4张牌，还可以列出不同的算式 ． 【思考探究】（1）用两张牌算“24”：①；②；③；④用三张牌算“24”：可以将其中两张牌整合，转化为（1）中情况来思考，例如：抽到的牌为2、3、4，可以列式为，转化为（1）中的①．问题：抽到的牌为2、3、4，还可以转化为（1）中的③，即列式为 ． （2）用四张牌算“24”：可以一三分组，也可以两两分组，例如：抽到的牌为8、9、12、13，我们可以一三分组，列式为，转化为（1）中的①；请你用8、9、12、13四张牌进行有理数的加、减、乘、除运算再列一个算式，使得算式结果为24． （3）用五张牌算“24”：请你考虑这九个数字中，若恰巧五张牌的数字都相同（五个1，五个2，…五个9），会有哪些情况可以算出“24”． 题型06 有理数混合运算--新定义 【例1】（24-25七年级上·江苏淮安·期末）定义：对于“☆”运算，若，则称“☆”运算满足“反换律”．例如：，故乘法运算满足“反换律”． (1)下列运算满足“反换律”的是______．（填序号） ①加法，②减法，③除法． (2)规定“”运算：．①若，，则______； ②请你判断“”运算是否满足“反换律”，并说明理由． 必记结论 解题步骤： （1）‌破译定义规则‌①‌提取关键符号含义‌：明确新定义中运算符的转化公式；②‌优先级判定‌：注意新运算符与常规运算的优先级关系；②‌示例对照验证‌：通过题目给出的示例反推规则细节； （2）‌分步代入转化‌①‌数值替换‌：将题目数值代入新定义公式，严格遵循运算层级；②嵌套运算处理‌：逐层解析复合表达式； （3）‌逆向推理验证‌‌：从结果反推输入值（如已知新定义结果，构造方程求解未知数）。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）阅读理解，解答相关问题． 定义“*”运算：a，b是有理数，，例如；； (1)计算：①；②． (2)是否存在整数m，n，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 3．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）设表示不超过x的最大整数如，计算下列各式的值： ； ． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）通过多次举例验证，发现取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型07 有理数混合运算的实际应用 【例1】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）根据以下素材，解决税收中的数学问题． 素材1 我国新的个人所得税“起征点”是5000元，即月工资扣除各项费用后超过5000元的部分这部分称为“应纳税所得额”需要缴纳税收． 应纳税所得额=月工资专项项目金额 个人所得税税率表参考右表． 个人所得税税率表工资薪金所得适用 级数 应纳税所得额 税率 1 0至3000元的部分      2 超过3000元至12000元的部分      3 超过12000元至25000元的部分      4 超过25000元至35000元的部分     5 超过35000元至55000元的部分      素材2 我国专项项目金额常见的由以下几个部分： ①每个子女教育金额2000元；②一套住房贷款金额2000元； ③赡养每位老人金额2000元；④其它规定项目各类保险、公益捐赠等 素材3 某企业一技术专家的月工资是45000元，他有1个读初中的儿子、1个读小学的女儿、1套住房的贷款和赡养2位老人，其它规定项目中各类保险3000元． 任务1 简单计算税额 某员工扣除各项费用后的应纳税所得额为2400元，则该员工缴纳的税额为______元． 任务2 计算个人税额 求该企业技术专家月缴纳的税额． 任务3 确定捐款金额 该技术专家在某月份参加公益捐赠活动后，实际收入40100元，求该技术专家在该月份捐款的金额不超过2000元 必记结论 有理数混合运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。 【小试牛刀】 1．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，图书馆、小明家、社区服务中心和超市在同一条笔直的马路上．若小明家位于图书馆和超市连线段上靠近图书馆的三等分点处，则社区服务中心和超市的距离为 m． 2．（24-25七年级上·江苏南通·期中）在电子工程中，数字电路使用的是二进制系统，而采用八进制编码的数字也经常用于显示屏控制、芯片编程和未处理器设备中．现用二进制计数法表示正整数，例如：．记作，，记作，八进制计数法表示正整数，例如：，记作．则等于八进制中的数为（  ） A．35 B．82 C．83 D．135 3．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）阅读材料，解决问题： 参考数据 材料1 谷物、牛奶、牛肉、鸡蛋的蛋白质含量 食品种类 谷物 牛奶 牛肉 鸡蛋 每所含蛋白质 10 3 20 15 材料2 有研究认为，周岁男性每天约需要摄入蛋白质． 问题解决 问题1 若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，则该份早餐中蛋白质总含量为__． 问题2 某天中学生小强刚好通过谷物和牛肉共实现了蛋白质的摄入量，这天他摄入谷物和牛肉各多少克？ 4．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）2024年欧洲杯在德国举行．某工厂设计了某款足球纪念品并进行生产，原计划每天生产10000个该款足球纪念品，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入，下表是某一周的生产情况（超出记为正，不足记为负，单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知，本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少个？ (2)本周实际生产总量是否达到了计划数量？说明理由． (3)若该款足球纪念品每个生成成本25元，并按每个30元出售，则该工厂本周的生产总利润是多少元？ 题型08 求一个数的近似数 【例1】（25-26·重庆·七年级专题练习）用四舍五入法，按括号内的要求对下列数取近似值． （1）0.008435（保留三个有效数字） ≈_________；（2）12.975（精确到百分位） ≈_________； （3）548203（精确到千位） ≈_________； （4）5365573（保留四个有效数字）≈_________． 必记结论 近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示。 “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些。 有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·福建漳州·期中）古希腊以来黄金分割就被视为最美丽的几何学比例，它的值约为……用四舍五入法精确到百分位为_________． 2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）按要求取近似数：______（精确到） 3．（25-26七年级下·吉林长春·开学考试）把精确到百位的近似值是______． 4．（25-26七年级·上海浦东新·期中）我国第七次广东人口普查公布，我国总人口为141178万人，用科学记数法表示141178万这个数为 （保留三个有效数字）． 题型09 确定近似数精确程度 【例1】（25-26七年级上·湖南怀化·期中）关于近似数，下列说法正确的是（    ） A．精确到十分位，有2位有效数字 B．精确到十分位，有3位有效数字 C．精确到百分位，有2位有效数字 D．精确到百分位，有3位有效数字 必记结论 一个近似数四舍五入到哪一位,那么就说这个近似数精确到哪一位，从左边第一个不是0的数字起到精确的数位止的所有数止。 1）用常规方法确定精确到哪一位：当近似数是一般数的形式时，它最后一位在什么位上,就说这个近似数精确到哪一位； 2）用还原法确定精确到哪一位：当近似数是科学记数法形式或带有计数单位形式时,先把它还原成一般数，再看原数的最后一位在哪一位上就说这个近似数精确到了哪一位。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）近似数万精确到（   ）位． A．十 B．十分位 C．千 D．万 2．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）由四舍五入法得到的近似数精确到（   ） A．百分位 B．个位 C．十位 D．百位 3．（25-26七年级上·山东济南·期中）下列说法正确的是（　　） A．精确到百分位 B．万精确到个位 C．精确到千分位 D．精确到千位 题型10 由近似数推断真值范围 【例1】（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）一个三位小数用四舍五入法取近似值8.40，则这个数原来最小是________． 必记结论 用“逼近法”确定近似数的准确值的取值范围，近似数的准确值的取值范围要从高位到低位逐个确定，同时须分两种情况找出精确到的那一位后面的数字与5的关系，这样就不会使近似数的准确值的取值范围扩大或缩小。 【小试牛刀】 1．（25-26八年级下·江西吉安·期中）已知2.■是一个两位小数，保留一位小数后的近似数是2.5，这个两位小数的取值范围在数轴上表示出来应该是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）近似数所表示的准确数a的范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·安徽安庆·阶段检测）某同学测量身高近似米，若这位同学的身高记为米，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 基础过关 1．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 2．（25-26七年级上·山东东营·期末）用计算器计算，按键顺序是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·吉林长春·期中）下列对使用四舍五入法得到近似数的描述正确的是（） A．近似数精确到百位 B．3.254精确到十分位是3.2 C．近似数6.32万精确到百分位 D．4.701的近似数是4 4．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）近似数2.30精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．个位 5．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）下列说法：①整数和分数统称为有理数；②绝对值是它本身的数只有0；③两数之和一定大于每个加数；④0是最小的有理数；⑤数轴上表示互为相反数的点位于原点的两侧；⑥近似数与的精确度相同；⑦近似数精确到千位；其中正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（25-26七年级上·山东烟台·期中）利用下面张图上的点数，凑成的算式是_______． 7．（2026·黑龙江绥化·三模）计算：_______． 8．（2026·黑龙江绥化·二模）计算：________． 9．（25-26七年级上·江苏南通·开学考试）年月日“苏超”联赛南通队主场对阵连云港队，现场观赛人数为26383人，横线上的数省略“万”后面的尾数是______万．此外，全市“第二现场”观赛点共个，吸引约万人次球迷观看，线上直播平台观看人次超1668万，把横线上的数改写成用“亿”作单位的数，是______亿．这场胜利不仅让南通队提前晋级淘汰赛，更点燃了全城的足球热情，展现了“全域主场”的强大凝聚力． 10．（25-26七年级上·云南普洱·期末）用四舍五入法，取近似值：______（精确到） 11．（2026·河北石家庄·模拟预测）图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 12．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）计算． (1) (2) (3)（用简便算法） (4) 13．（24-25七年级上·山东烟台·期中）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 能力提升 14．（25-26七年级上·山东泰安·期中）关于近似数的说法正确的是（   ） A．说一个数精确到哪一位，说明这一位数及其之前的位数是准确的 B．近似数与近似数无论从大小上还是从意义上都是相同的 C．太阳到地球的距离为是国际联合会公布的，是准确数 D．近似数是与准确数接近的数 15．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）自2025年11月1日泰州队斩获苏超冠军以来，李中水上森林景区累计接待游客超万人次．该近似数万精确到（   ）位． A．十 B．百 C．千 D．万 16．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）下列近似数的结论不正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．万精确到百分位 C．（精确到百分位） D．（精确到千分位） 17．（25-26七年级上·海南·阶段检测）近似数是由数a四舍五入得到的，那么数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4张牌（4张牌颜色依次为红色、黑色、黑色、红色），写出三个符合规则的算式________ 19．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）使用计算器计算：，其按键顺序如表第一行，计算结果是，那么根据第二行的按键顺序得到的计算结果是_______． 行 按键顺序 第一行 第二行 20．（25-26七年级上·成都·期中）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到，则原轴长的合格范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？ 挑战一刻 21．（25-26七年级上·福建泉州·期末）近似数表示精确到（    ） A．千位 B．万位 C．十分位 D．百分位 22．（2026·陕西榆林·模拟预测）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第1次计算输出的结果是1，第2次计算输出的结果是,…，这样计算下去，第7次计算输出的结果是_____． 23．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）用一个8、一个9、六个0可组成多个不同的八位数，把它们从大到小排列，其中第二大的数写作( )，这个数改写成用“亿”作单位并保留两位小数是( )亿． 24．（25-26·山东·七年级期中）对非负有理数数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．例如：＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.493＞＝1，＜18.75＞＝＜19.499＞＝19，…．解决下列问题： （1）＜π＞＝ （π为圆周率）；（2）若＜x＞＝6，则x的取值范围是 ． 25．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 有理数的混合运算 预习目标 知识回顾 1. 掌握有理数的混合运算的基本概念和方法； 2. 理解混合运算中加、减、乘、除、乘方的优先级顺序； 3. 能够熟练进行有理数混合运算，并正确解释计算过程； 4. 熟练掌握混合运算中的运算技巧（特别关注运算律）； 5. 能够熟练运用有理数混合运算解决相关应用问题； 6. 理解近似数的概念；能够求一个数的近似数并指出精确到哪一位；能够由近似数推断真值范围。 1. 有理数的乘方，幂，底数，指数的概念及意义； 2. 求有理数的正整数指数幂； 3. 科学记数法的的概念；用科学记数法表示较大的数；将用科学记数法表示的数变回原数。 新知导图 预习精讲 想一想 【思考1】在小学我们学习过加减乘除运算的顺序是“先乘除，后加减，若有括号，先进行括号内的运算”。 对于下面的计算：，运算顺序有是怎样的呢？ 【24点游戏】‌ 24点游戏 的起源可以追溯到20世纪60年代的 中国 或 美国 ，具体起源尚有争议‌。一种说法是24点游戏由美籍华人孙士杰 在20世纪60年代发明，旨在帮助孩子提升心算能力‌。另一种观点认为，24点游戏是西方数学教育中“算术组合游戏 ”的变体，类似玩法在西方早已存在，并在20世纪80年代由美国出版商 商业化推广至全球‌。 游戏规则：24点游戏的规则非常简单：使用一副扑克牌（去掉两个王），随机取四张牌，牌上的数字通过加、减、乘、除四则运算组合成24。玩家需要在规定时间内找出所有可能的运算组合，使得结果等于24。 24点游戏的历史影响：24点游戏因其教育意义和智力挑战性，逐渐风靡全球，并进入了中小学数学课本。它不仅锻炼了玩家的数学运算能力，还促进了大脑的灵活性和逻辑思维能力。‌ 【思考2】游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式。 知识点01 有理数的混合运算 1.有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号里面的。 注意：①正常情况下同级运算，从左到右进行（若运用了运算律除外）；②如有多种括号，按小括号、中括号、大括号依次进行。 2.有理数混合运算常见技巧： 1）加减法：①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。 2）乘除法：①运用结合律，将能约分的先结合计算；②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数；③带分数应先化为假分数的形式；④几个分数相乘，先约分，在相乘；⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。 【即学即练】 1．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）计算（能简便运算的要简算）： (1)； (2) (3)； (4) (5)； (6) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． （5）解：原式 ． （6）解：原式 ． 2．（25-26七年级上·成都·期中）计算题（能简便运算的要简算）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)3(2)3.5(3)(4)(5)0(6) 【详解】（1）解： ； （2）解： = ； （3）解： ； （4）解： = ； （5）解： ； （6）解： ． 3．（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）根据如图所示的程序，当输入的值为1时，输出的值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【详解】解：输入1，，输入，，所以输出的值为4． 4．（25-26七年级上·河北邢台·期末）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：这2张卡片上数字乘积最大， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，乘积最大，即，故答案为：； （2）这2张卡片上数字相除的商最小， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，商最小，即，故答案为：； （3）结果为24，取出的4张卡片上的数字分别为，，，，不可能为0， 则．故答案为：． 知识点02 近似数 1.准确数：表示与实际数量完全符合，没有误差的数。 2.近似数：与实际数量非常接近，一般由测量、估算、四舍五入得到，存在微小误差。 3.精确度：表示近似数与准确数的接近程度。 4.精确度的类型：1）纯数字类：如按四舍五入法对圆周率取近似数时：（精确到个位）；（精确到十分位，或叫精确到）；（精确到百分位，或叫精确到）。 2）带单位类：如近似数万（精确到千位）。 3）科学记数法类：如近似数（精确到百位）。 注意：1）近似数表示的是一个大概的数字，与实际有差别；2）近似数要看精确到哪一位，也就是实际需要的取值精确度；3）近似数是估值，但是要控制误差。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·云南红河·期末）已知圆周率，将π精确到百分位的结果是（   ） A．3.1 B．3.14 C．3.141 D．3.142 【答案】B 【详解】将π精确到百分位的结果是3.14． 2．（25-26七年级上·吉林长春·期中）用四舍五入法将近似数精确到个位的结果是_____． 【答案】 【详解】解：根据四舍五入法则，的十分位数字为，需向个位进，因此（精确到个位）． 3．（25-26七年级上·成都·期中）下列说法正确的是（　　） A．近似数23与23.0的精确度相同 B．近似数与2000的意义完全一样 C．近似数79.0精确到个位 D．近似数3.14精确到0.01 【答案】D 【详解】解A．近似数23与23.0分别精确到个位和十分位，精确度不同，原说法错误，故选项不符合题意； B．近似数2.0×103与2000分别精确到百位和个位，精确度不相同，原说法错误，故选项不符合题意； C．近似数79.0精确到十分位，原说法错误，故选项不符合题意； D．近似数3. 14精确到0.01，正确，故选符合题意；故选：D． 4．（25-26七年级上·山东·期末）一个数a精确到十分位的结果是，那么这个数a的范围满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：把a精确到十分位的近似数是，则a的取值范围是，故选：D． 题型速练 题型01 加减乘除混合运算 【例1】（25-26七年级上·辽宁营口·阶段检测）计算： (1)； (2) (3)； (4) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 必记结论 有理数混合运算的顺序：（1）先乘除，后加减；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·重庆·期中）计算：（1）；（2）； (3)；(4)；(5)。 【答案】（1）10；（2）；(3)8；(4)；(5) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； 2．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)4(2)(3)3(4) 【详解】（1） （2）原式 （3）原式 （4） 3．（25-26七年级上·重庆·开学考试）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)2(2)(3)0(4)10 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型02 含乘方的有理数混合运算 【例1】95．（25-26六年级下·黑龙江绥化·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)22 (2) (3)9 (4) (5) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 必记结论 含乘方的有理数混合运算的顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·山东·期中）计算：（1）．（2） 【答案】（1）（2） 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)6 (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 3．（24-25七年级上·山东烟台·期中）计算下列各式 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 题型03 有理数混合运算与运算技巧 【例1】（25-26七年级上·成都·校考期末）脱式计算，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)80(2)112(3)45(4)750(5)75(6)0.4 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： ； （5）解： （6）解： 【例2】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)499(2)7(3)885(4) 【详解】（1）解： ； （2）解：                   ； （3）解： ； （4）解： ． 必记结论 运用运算律简化计算常见技巧： 加减法：①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。 乘除法：①运用结合律，将能约分的先结合计算；②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数；③带分数应先化为假分数的形式；④几个分数相乘，先约分，在相乘；⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·重庆·期中）计算：（1）． （2） 【答案】（1）432（2） 【详解】解： ． （2）解： ． 2．（25-26七年级上·四川自贡·阶段检测）简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26七年级上·全国·寒假作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ； 4．（25-26七年级上·绵阳·阶段检测）计算下面各题，能简算的要用简便方法计算并写出计算过程． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． 题型04 有理数混合运算--程序框图 【例1】（24-25七年级上·湖南·期中）按如图所示的程序进行计算，则输出的结果为______． 【答案】160 【详解】解：把40输入得：， 把80输入得：，∴输出结果为：160． 必记结论 程序框图解题通用步骤：（1）‌明确运算结构‌：①识别流程图中运算模块的先后顺序（如加减、乘除、乘方的位置）；②特别注意条件判断模块的阈值。 （2）‌分步代入计算 （3）‌循环终止判断‌：①每次计算结果作为新输入值；②结果满足阈值条件时终止循环。 注意：建议优先掌握运算顺序可视化方法与循环终止条件的快速判定技巧，配合至少3种不同类型的流程图案例进行专项训练。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·四川成都·期中）在如图的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为，，则第4次输出的结果为__________． 【答案】3 【详解】解：若开始输入的值为48，我们发现第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为，第三次输出的结果为，第四次输出的结果为． 2．（25-26七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）按如图所示的程序进行计算，若输入的值是，则输出的值是___________． 【答案】7 【详解】解：由题意得，∴输出的值是7． 3．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，把分别输入数值转换器，则输出的结果是______； 【答案】9 【详解】解： ，∴输出的结果是9． 题型05 有理数混合运算--24点游戏 【例1】（25-26七年级上·河南安阳·期中）有一种游戏叫“24点游戏”，规则是：随机抽取4个整数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．有一次小明在做“24点游戏”时抽到的4个数分别是，4，5，11，请你写出一个算式使其结果为24：______． 【答案】 【详解】解：计算过程：先，得到，再将与相乘，得到6， 最后将6与4相乘，得到24，则．故答案为： 常见错误 24点游戏易错点： 1）‌忽略分数可能性‌：认为必须全部整数运算，实际可用分数； 2）‌运算顺序错误‌：漏加括号导致优先级错误； 3）‌固定思维局限‌：过度追求乘法对，忽略加减法组合 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·江苏南京·期中）玩“24点”游戏时，小明抽到“”四张牌，请写出运算结果为24的算式：___________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：根据题意得：， 故答案为（答案不唯一）． 2．（25-26七年级上·江苏·期中）不改变数的顺序，请用“”“”运算符号把数，，，组成一个算式：__________，使其运算结果为． 【答案】 【详解】解：数字顺序固定为，，，．在6与之间插入减号；算式为； 在与之间插入加号，算式为； 与之间插入减号，算式为．故答案为：． 3．（25-26七年级上·陕西西安·期中）有一种“24点”游戏，从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，将牌面上的数字进行运算（可使用加、减、乘、除、乘方或括号），每个数用且只用一次，使其结果为24．若抽取牌面数字为，，2，3，请写出一种运算等式：___________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由题意，得，故答案为：（答案不唯一）． 4．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）“算24”的扑克牌游戏曾经风靡许多国家，深受青少年朋友的喜爱．这种游戏将两张王牌去掉，规定扑克牌中的J为11，Q为12，K为13，A为1．从扑克牌中按要求抽取若干张牌，将牌面所表示的数进行有理数的加、减、乘、除运算（每张牌用且只用一次），算得“24”即可． 【问题情境】假设已抽取如下的牌，能不能根据牌面所表示的数算“24”呢？如果能，怎么算？ 可列算式：．根据上图中4张牌，还可以列出不同的算式 ． 【思考探究】（1）用两张牌算“24”：①；②；③；④用三张牌算“24”：可以将其中两张牌整合，转化为（1）中情况来思考，例如：抽到的牌为2、3、4，可以列式为，转化为（1）中的①．问题：抽到的牌为2、3、4，还可以转化为（1）中的③，即列式为 ． （2）用四张牌算“24”：可以一三分组，也可以两两分组，例如：抽到的牌为8、9、12、13，我们可以一三分组，列式为，转化为（1）中的①；请你用8、9、12、13四张牌进行有理数的加、减、乘、除运算再列一个算式，使得算式结果为24． （3）用五张牌算“24”：请你考虑这九个数字中，若恰巧五张牌的数字都相同（五个1，五个2，…五个9），会有哪些情况可以算出“24”． 【答案】问题情境：；思考探究：（1）；（2）；（3）5个数字2，5个数字3，5个数字4，5个数字5，5个数字6和5个数字8可以算出24点． 【详解】解：问题情境：，故答案为：； 思考探究：（1），故答案为：； （2），故答案为：； （3）5个1不能算出24点；，则5个2可以算出24点； ，则5个3可以算出24点； ，则5个4可以算出24点； ，则5个5可以算出24点； ，则5个6 可以算出24点； 5个7不可以算出24点，，则5个8可以算出24点； 5个9不可以算出24点； 综上所述，5个数字2，5个数字3，5个数字4，5个数字5，5个数字6和5个数字8可以算出24点． 题型06 有理数混合运算--新定义 【例1】（24-25七年级上·江苏淮安·期末）定义：对于“☆”运算，若，则称“☆”运算满足“反换律”．例如：，故乘法运算满足“反换律”． (1)下列运算满足“反换律”的是______．（填序号） ①加法，②减法，③除法． (2)规定“”运算：．①若，，则______； ②请你判断“”运算是否满足“反换律”，并说明理由． 【答案】(1)②(2)①11；②满足，理由见解析 【详解】（1）解：与不一定相等，故①不满足“反换律”； ，故②满足“反换律”； 与不一定相等，故③不满足“反换律”； 满足“反换律”的是②．故答案为：②． （2）解：①当，时，；故答案为：11． ②满足，理由如下：，， ，“”运算满足“反换律”． 必记结论 解题步骤： （1）‌破译定义规则‌①‌提取关键符号含义‌：明确新定义中运算符的转化公式；②‌优先级判定‌：注意新运算符与常规运算的优先级关系；②‌示例对照验证‌：通过题目给出的示例反推规则细节； （2）‌分步代入转化‌①‌数值替换‌：将题目数值代入新定义公式，严格遵循运算层级；②嵌套运算处理‌：逐层解析复合表达式； （3）‌逆向推理验证‌‌：从结果反推输入值（如已知新定义结果，构造方程求解未知数）。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 【答案】C 【详解】解：由题知，因为，所以第1次“F运算”的结果是， 第2次“F运算”的结果，第3次“F运算”的结果， 第4次“F运算”的结果，第5次“F运算”的结果， 第6次“F运算”的结果，第7次“F运算”的结果，…， 由此可见，从第1次“F运算”的结果开始按152，19，62，31，98，49循环． 因为，所以第2025次“F运算”的结果62． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）阅读理解，解答相关问题． 定义“*”运算：a，b是有理数，，例如；； (1)计算：①；②． (2)是否存在整数m，n，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)①8；②82(2)存在，2或6或 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：存在，理由如下：∵，∴， ∵m，n为整数，∴或或或，∴或或或， ∴或或或， ∴的值为2或6或． 3．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）设表示不超过x的最大整数如，计算下列各式的值： ； ． 【答案】 【详解】解：，则， 由题意得，，则，． 故答案为；． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）通过多次举例验证，发现取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】解： 逆运算 第步后的数为 ；第步后的数： ；第步后的数： ； 第步后的数： ；第步后的数： ；第步后的数： 或 ； 第步后的数： （舍去）或 或 （舍去） 或 ； 则原数为 或 或 或 ； 综上：所有符合条件的的值有4个．故选：B． 题型07 有理数混合运算的实际应用 【例1】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）根据以下素材，解决税收中的数学问题． 素材1 我国新的个人所得税“起征点”是5000元，即月工资扣除各项费用后超过5000元的部分这部分称为“应纳税所得额”需要缴纳税收． 应纳税所得额=月工资专项项目金额 个人所得税税率表参考右表． 个人所得税税率表工资薪金所得适用 级数 应纳税所得额 税率 1 0至3000元的部分      2 超过3000元至12000元的部分      3 超过12000元至25000元的部分      4 超过25000元至35000元的部分     5 超过35000元至55000元的部分      素材2 我国专项项目金额常见的由以下几个部分： ①每个子女教育金额2000元；②一套住房贷款金额2000元； ③赡养每位老人金额2000元；④其它规定项目各类保险、公益捐赠等 素材3 某企业一技术专家的月工资是45000元，他有1个读初中的儿子、1个读小学的女儿、1套住房的贷款和赡养2位老人，其它规定项目中各类保险3000元． 任务1 简单计算税额 某员工扣除各项费用后的应纳税所得额为2400元，则该员工缴纳的税额为______元． 任务2 计算个人税额 求该企业技术专家月缴纳的税额． 任务3 确定捐款金额 该技术专家在某月份参加公益捐赠活动后，实际收入40100元，求该技术专家在该月份捐款的金额不超过2000元 【答案】任务1：72；任务2：该企业技术专家月缴纳的税额为4090元；任务3：该技术专家在该月份捐款的金额为1080元 【详解】解：（任务1），该员工缴纳的税额为元 故答案为：72； （任务2）∵该企业技术专家应纳税所得额为元， 该企业技术专家月缴纳的税额为 元 答：该企业技术专家月缴纳的税额为4090元； （任务3）设该技术专家在该月份捐款的金额为x元，根据题意得： ， 解得： 答：该技术专家在该月份捐款的金额为1080元． 必记结论 有理数混合运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。 【小试牛刀】 1．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，图书馆、小明家、社区服务中心和超市在同一条笔直的马路上．若小明家位于图书馆和超市连线段上靠近图书馆的三等分点处，则社区服务中心和超市的距离为 m． 【答案】 【详解】解：∵小明家位于图书馆和超市连线段上靠近图书馆的三等分点处， ∴图书馆到超市的距离为：m， ∴社区服务中心和超市的距离为：m．故答案为：． 2．（24-25七年级上·江苏南通·期中）在电子工程中，数字电路使用的是二进制系统，而采用八进制编码的数字也经常用于显示屏控制、芯片编程和未处理器设备中．现用二进制计数法表示正整数，例如：．记作，，记作，八进制计数法表示正整数，例如：，记作．则等于八进制中的数为（  ） A．35 B．82 C．83 D．135 【答案】D 【详解】解：化为， 则，那么等于八进制中的数为135，故选：D． 3．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）阅读材料，解决问题： 参考数据 材料1 谷物、牛奶、牛肉、鸡蛋的蛋白质含量 食品种类 谷物 牛奶 牛肉 鸡蛋 每所含蛋白质 10 3 20 15 材料2 有研究认为，周岁男性每天约需要摄入蛋白质． 问题解决 问题1 若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，则该份早餐中蛋白质总含量为__． 问题2 某天中学生小强刚好通过谷物和牛肉共实现了蛋白质的摄入量，这天他摄入谷物和牛肉各多少克？ 【答案】问题1：25；问题2：他摄入谷物，牛肉． 【详解】问题1：∴该份早餐中蛋白质总含量为； 问题2：设摄入谷物，则牛肉 由题意得，解得， 所以， 答：他摄入谷物，牛肉． 4．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）2024年欧洲杯在德国举行．某工厂设计了某款足球纪念品并进行生产，原计划每天生产10000个该款足球纪念品，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入，下表是某一周的生产情况（超出记为正，不足记为负，单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知，本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少个？ (2)本周实际生产总量是否达到了计划数量？说明理由． (3)若该款足球纪念品每个生成成本25元，并按每个30元出售，则该工厂本周的生产总利润是多少元？ 【答案】(1)本周生产量最多的一天比最少的一天多生产224个 (2)是达到了计划数量，理由见解析 (3)该工厂本周的生产总利润是350050元 【详解】（1）解：（个）答：本周生产量最多的一天比最少的一天多生产224个． （2）解：是达到了计划数量，理由：因为所以达到了． （3）解：（元）答：该工厂本周的生产总利润是350050元． 题型08 求一个数的近似数 【例1】（25-26·重庆·七年级专题练习）用四舍五入法，按括号内的要求对下列数取近似值． （1）0.008435（保留三个有效数字） ≈_________；（2）12.975（精确到百分位） ≈_________； （3）548203（精确到千位） ≈_________； （4）5365573（保留四个有效数字）≈_________． 【答案】     0.00844     12.98          【详解】解：（1）保留三个有效数字：，（2）精确到百分位：， （3）精确到千位：，（4）保留四个有效数字：， 故答案为：，，，． 必记结论 近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示。 “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些。 有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·福建漳州·期中）古希腊以来黄金分割就被视为最美丽的几何学比例，它的值约为……用四舍五入法精确到百分位为_________． 【答案】 【详解】解：根据题意，精确到百分位，即保留小数点后两位，需要观察小数点后第三位，即千分位的数字．，千分位数字为，因为，根据四舍五入规则，向百分位进．因此得到的结果为． 2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）按要求取近似数：______（精确到） 【答案】 【详解】解：（精确到）． 3．（25-26七年级下·吉林长春·开学考试）把精确到百位的近似值是______． 【答案】 【详解】解：，∴把精确到百位的近似值是． 4．（25-26七年级·上海浦东新·期中）我国第七次广东人口普查公布，我国总人口为141178万人，用科学记数法表示141178万这个数为 （保留三个有效数字）． 【答案】 【详解】解：141178万，故答案为：． 题型09 确定近似数精确程度 【例1】（25-26七年级上·湖南怀化·期中）关于近似数，下列说法正确的是（    ） A．精确到十分位，有2位有效数字 B．精确到十分位，有3位有效数字 C．精确到百分位，有2位有效数字 D．精确到百分位，有3位有效数字 【答案】D 【详解】解：∵近似数的末位数字在百分位，从左边第一个非零数字起共有，，三个数字， ∴精确到百分位，有位有效数字． 必记结论 一个近似数四舍五入到哪一位,那么就说这个近似数精确到哪一位，从左边第一个不是0的数字起到精确的数位止的所有数止。 1）用常规方法确定精确到哪一位：当近似数是一般数的形式时，它最后一位在什么位上,就说这个近似数精确到哪一位； 2）用还原法确定精确到哪一位：当近似数是科学记数法形式或带有计数单位形式时,先把它还原成一般数，再看原数的最后一位在哪一位上就说这个近似数精确到了哪一位。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）近似数万精确到（   ）位． A．十 B．十分位 C．千 D．万 【答案】C 【详解】解：万，85000中最后一位有效数字“”位于千位，则近似数万精确到千位． 2．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）由四舍五入法得到的近似数精确到（   ） A．百分位 B．个位 C．十位 D．百位 【答案】C 【详解】解：∵，又∵原数中数字4位于十位上，∴该近似数精确到十位，故选：C 3．（25-26七年级上·山东济南·期中）下列说法正确的是（　　） A．精确到百分位 B．万精确到个位 C．精确到千分位 D．精确到千位 【答案】D 【详解】、精确到千分位，原说法错误，不符合题意； 、万精确到千位，原说法错误，不符合题意；、精确到十位，原说法错误，不符合题意； 、精确到千位，原说法正确，符合题意；故选：． 题型10 由近似数推断真值范围 【例1】（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）一个三位小数用四舍五入法取近似值8.40，则这个数原来最小是________． 【答案】 【详解】解：若为“五入”得到，则原三位小数的整数部分为，十分位为，百分位为，千分位需满足进位条件，最小为，即原数为，因此这个数原来最小是． 必记结论 用“逼近法”确定近似数的准确值的取值范围，近似数的准确值的取值范围要从高位到低位逐个确定，同时须分两种情况找出精确到的那一位后面的数字与5的关系，这样就不会使近似数的准确值的取值范围扩大或缩小。 【小试牛刀】 1．（25-26八年级下·江西吉安·期中）已知2.■是一个两位小数，保留一位小数后的近似数是2.5，这个两位小数的取值范围在数轴上表示出来应该是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知：这个数在和之间，则符合题意的只有B选项． 2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）近似数所表示的准确数a的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵近似数是精确到百分位，对千分位数字四舍五入得到的， ∴当千分位满5进1得到时，准确数最小为，即． 当千分位舍去得到时，则．综上，准确数a的范围是． 3．（25-26七年级上·安徽安庆·阶段检测）某同学测量身高近似米，若这位同学的身高记为米，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵身高近似1.68米，是四舍五入到百分位的结果， ∴的取值范围为，故选：C． 基础过关 1．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 【答案】B 【详解】解：． 2．（25-26七年级上·山东东营·期末）用计算器计算，按键顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：用计算器计算，按键的顺序为， 故选：B． 3．（25-26七年级上·吉林长春·期中）下列对使用四舍五入法得到近似数的描述正确的是（） A．近似数精确到百位 B．3.254精确到十分位是3.2 C．近似数6.32万精确到百分位 D．4.701的近似数是4 【答案】A 【详解】解：对于A：，最后一位有效数字在百位，精确到百位，正确； 对于B：精确到十分位时，看百分位数字为，四舍五入得，错误； 对于C：万，最后一位有效数字在百位，万精确到百位，错误； 对于D：精确到个位，四舍五入的近似数为，错误． 4．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）近似数2.30精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．个位 【答案】B 【详解】解：∵近似数的精确度由最后一位有效数字所在的数位决定，2.30的最后一位有效数字是0，位于百分位，∴近似数2.30精确到百分位． 5．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）下列说法：①整数和分数统称为有理数；②绝对值是它本身的数只有0；③两数之和一定大于每个加数；④0是最小的有理数；⑤数轴上表示互为相反数的点位于原点的两侧；⑥近似数与的精确度相同；⑦近似数精确到千位；其中正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】解：①根据有理数定义，整数和分数统称为有理数，故①正确； ②绝对值是它本身的数是所有正数和0，不只有0，故②错误； ③当两个数相加时，若存在负加数，和会小于正加数，如，故③错误； ④负数小于0，因此0不是最小的有理数，故④错误； ⑤0的相反数是0，对应点在原点，不在原点两侧，故⑤错误； ⑥精确到百分位，精确到千分位，精确度不同，故⑥错误； ⑦ ，其中3在千位，因此近似数精确到千位，故⑦正确； 综上，正确的说法共2个，故A正确． 6．（25-26七年级上·山东烟台·期中）利用下面张图上的点数，凑成的算式是_______． 【答案】(答案不唯一) 【详解】解：，故答案为：(答案不唯一)． 7．（2026·黑龙江绥化·三模）计算：_______． 【答案】 【详解】解： ． 8．（2026·黑龙江绥化·二模）计算：________． 【答案】 【详解】解： ． 9．（25-26七年级上·江苏南通·开学考试）年月日“苏超”联赛南通队主场对阵连云港队，现场观赛人数为26383人，横线上的数省略“万”后面的尾数是______万．此外，全市“第二现场”观赛点共个，吸引约万人次球迷观看，线上直播平台观看人次超1668万，把横线上的数改写成用“亿”作单位的数，是______亿．这场胜利不仅让南通队提前晋级淘汰赛，更点燃了全城的足球热情，展现了“全域主场”的强大凝聚力． 【答案】 3 0.1668 【详解】解：对于，千位上的数字为，，向万位进，因此万， 因为亿万，因此万亿亿，故答案为；． 10．（25-26七年级上·云南普洱·期末）用四舍五入法，取近似值：______（精确到） 【答案】 【详解】解：精确到即保留两位小数，观察的千分位数字为7，因为，根据四舍五入法，向百分位进1，百分位上的5加1后变为6，所以． 11．（2026·河北石家庄·模拟预测）图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 【答案】(1)，，(2) 【详解】（1）解：；；综合算式： （2）解： ． 12．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）计算． (1) (2) (3)（用简便算法） (4) 【答案】(1)(2)18(3)(4) 【详解】（1）解：         ． （2）解：          ． （3）解： ． （4）解： ． 13．（24-25七年级上·山东烟台·期中）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 能力提升 14．（25-26七年级上·山东泰安·期中）关于近似数的说法正确的是（   ） A．说一个数精确到哪一位，说明这一位数及其之前的位数是准确的 B．近似数与近似数无论从大小上还是从意义上都是相同的 C．太阳到地球的距离为是国际联合会公布的，是准确数 D．近似数是与准确数接近的数 【答案】D 【详解】解：∵ 近似数精确到哪一位，说明该数的误差不超过这一位的半个单位，精确到的这一位本身是近似得到的，不是准确数，故选项A错误． ∵ 近似数精确到十分位，近似数精确到百分位，二者精确度不同，意义不同，故选项B错误． ∵ 太阳到地球的距离无法得到绝对准确的数值，是近似数，故选项C错误． ∵ 根据定义，近似数是与准确数接近的数，故选项D正确． ∴ 本题答案选D． 15．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）自2025年11月1日泰州队斩获苏超冠军以来，李中水上森林景区累计接待游客超万人次．该近似数万精确到（   ）位． A．十 B．百 C．千 D．万 【答案】C 【详解】解：∵万；∴原数中末位数字9位于千位；∴万精确到千位． 16．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）下列近似数的结论不正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．万精确到百分位 C．（精确到百分位） D．（精确到千分位） 【答案】B 【详解】解：A、的末位是十分位，即精确到十分位，结论正确，不符合题意； B、万，末位数字6在百位，因此万精确到百位，不是百分位，结论错误，符合题意； C、的末位数字在百分位，因此精确到百分位，结论正确，不符合题意； D、的末位数字在千分位，因此精确到千分位，结论正确，不符合题意． 17．（25-26七年级上·海南·阶段检测）近似数是由数a四舍五入得到的，那么数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵近似数是由a四舍五入到百分位得到的， ∴a的最小值为（千分位为5，进一后得）， a的最大值小于（若，四舍五入后为），∴故选：B． 18．（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4张牌（4张牌颜色依次为红色、黑色、黑色、红色），写出三个符合规则的算式________ 【答案】或或 【详解】解：由图可得，符合规则的算式为或或， 故答案为：或或． 19．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）使用计算器计算：，其按键顺序如表第一行，计算结果是，那么根据第二行的按键顺序得到的计算结果是_______． 行 按键顺序 第一行 第二行 【答案】 【详解】解：根据题意得，，故答案为：． 20．（25-26七年级上·成都·期中）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到，则原轴长的合格范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？ 【答案】(1)原轴长的合格范围为大于或等于，且小于(2)产品不合格 【详解】（1）解：∵图纸要求精确到， ∴原轴长的合格范围为大于或等于，且小于； （2）解：由（1）可知，原轴长的合格范围为大于或等于，且小于； ∵，∴产品不合格． 挑战一刻 21．（25-26七年级上·福建泉州·期末）近似数表示精确到（    ） A．千位 B．万位 C．十分位 D．百分位 【答案】A 【详解】解：∵ ，∴ 原数中近似数的末位数字5位于千位， ∴ 近似数精确到千位. 22．（2026·陕西榆林·模拟预测）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第1次计算输出的结果是1，第2次计算输出的结果是,…，这样计算下去，第7次计算输出的结果是_____． 【答案】1 【详解】解：当输入时，第1次输出的结果是；第2次输出的结果是； 第3次输出的结果是；第4次输出的结果是； 第5次输出的结果是；第6次输出的结果是； 第7次输出的结果是． 23．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）用一个8、一个9、六个0可组成多个不同的八位数，把它们从大到小排列，其中第二大的数写作( )，这个数改写成用“亿”作单位并保留两位小数是( )亿． 【答案】 【详解】解：由题意得，第二大的数为， 亿，保留两位小数亿．故答案为：，． 24．（25-26·山东·七年级期中）对非负有理数数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．例如：＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.493＞＝1，＜18.75＞＝＜19.499＞＝19，…．解决下列问题： （1）＜π＞＝ （π为圆周率）；（2）若＜x＞＝6，则x的取值范围是 ． 【答案】（1）3；（2）5.5＜x＜6.5 【详解】（1）π＝3.1415..．∵0.1415...＜0.5，∴＜π＞＝3，故答案为：3； （2）若＜x＞＝6，①当5＜x＜6，但x的小数部分小于0.5时，即x＞5.5， ②当6＜x＜7，但x的小数部分小于0.5时，即x＜6.5， ∴x的取值范围是5.5＜x＜6.5，故答案为：5.5＜x＜6.5． 25．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 【答案】(1)所选数字为，算式： (2)可以， 【详解】（1）解：当选时， ∵，∴； 当选时，∴； 当选时，∴； 当选时，∴； 当选时，∴； 当选时，∴； 当选时，∴； 当选时，∴； 当选时，∴； 当选时，∴； 任选其一即可； （2）答：可以，． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $