第11讲 数轴上的动态压轴问题（讲义，全国通用新教材北师大版）数学小升初衔接

第11讲 数轴中的动态压轴问题 学习目标 知识储备 数轴中的动态压轴问题属于北师大版七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现动态分析、分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。 要求学生吃透数轴动点的核心模型，掌握动点表示、距离计算、最值、相遇追及推导逻辑，规避高频易错点，熟练套用标准化解题模板，实现所有数轴动态题型全覆盖、解题步骤规范化。 1.数轴的画法，数轴的三要素； 2.能将已知数在数轴上表示出来，能指出数轴上的点所表示的数及数轴上点的运动； 3.能利用绝对值或数轴比较两个有理数的大小. 新知导图 专题精讲 知识点01 数轴上的动态压轴模型 数轴动态压轴模型（动点模型）的核心本质：用代数式子表示数轴上运动的点，将几何点的运动问题，转化为代数方程、不等式、绝对值计算问题。 ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图：在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点：写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离：右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解：根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③核心数学思想：数形结合、动态分析、分类讨论，是初中从静态几何向动态几何过渡的首个核心模型，也是后续平面直角坐标系动点、几何动点问题的基础。 （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，数轴上A、B表示的数分别为、20，有两条动线段和，点C与点A重合，点M对应的数是4，且点C在点D的左边，点M在点N的左边，，．线段以每秒4个单位的速度向右匀速运动，同时线段以每秒1个单位的速度向右匀速运动．当点D运动到点B时，线段立即返回，并且速度变为原速的一半，同时，线段的速度变为两倍；当点N到达点B时，线段同时停止运动．设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． (1)当时，点D表示的数为______；当时，点D表示的数为______；(2)在线段从A到B的过程中，点E是的中点，点F是的中点，若，求点N在数轴上对应的数；(3)在整个运动过程中，请直接写出时，所对应的t的值． 2．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）【问题背景】大美瓦房店，瓦房店滨海路上风景怡人．在滨海路上和两地之间相距大约5千米，大明骑电动车从地出发，以1千米/分钟的速度向地方向匀速行驶：笑笑骑自行车从地出发，以0.5千米/分钟的速度向地方向匀速行驶．两人同时出发，经过几分钟大明、笑笑之间相距1千米？    【问题解决】小美同学在学习了《有理数》之后，发现运用数形结合的方法建立数轴可以较快地解决上述问题：如图1，将滨海路抽象为一条数轴，将点与数轴的原点重合，点表示数5．大明和笑笑分别用动点、来表示，设运动的时间为分钟． （1）分钟后点在数轴上对应的数是_____，点对应的数是_____；（用含的代数式表示） （2）我们知道，如果数轴上，两点分别对应数，，则．试运用该方法求经过几分钟，之间相距1千米？ 【拓展应用】（3）如图2，点，，为数轴上三点；若点表示的数是，点表示的数是40，点表示数是25，现有两个动点、分别从点，同时开始在线段上运动，点以每分钟2个单位长度的速度向右运动，点以每分钟1个单位长度的速度向左运动，若点与点之间的距离为，点与点之间的距离为.在运动过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出运动的时间；若不存在，请说明理由． 3．（25-26七年级上·湖北荆门·期末）定义：数轴上的三个点A、B、C，若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“奇妙点”．例如数轴上点A、B、C所表示的数分别为5、8、9，此时点B是点A、C的“奇妙点”．若点A表示数，点B表示数15． (1)如图1，若点M表示数25，判断点M是否为点A，B的“奇妙点”，并说明理由； (2)如图2，点N是数轴上位于点A的左侧，且点N是点A、B的“奇妙点”，求点N表示的数； (3)若动点P、Q分别从点A、B位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒．①当点Q运动多少秒时，点Q追上点P？②在运动过程中，求出点P运动多少秒时点A成为点P、Q的“奇妙点”？ 4．（24-25七年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在数轴上有两个长方形和，，，点A、B、E、F都在数轴上．点A、点E表示的数分别为m、n，且满足．长方形以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时长方形以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为t秒，运动后的长方形分别记为长方形与长方形． (1)点B表示的数为 ___________，点F表示的数为 ___________．(2)当时，求t的值． (3)在运动过程中，两个长方形会出现重叠部分，设重叠部分的面积为．①S的最大值为 ___________，持续的时间为 ___________秒；②当时，求t的值． 题型速练 题型1、动态规律（左右跳跃）模型 【例1】（2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 必记结论 运动规律性‌：动点按“左右交替”方向移动，步长呈现递增或周期性变化。 代数表达‌：动点位置需用含时间变量t的代数式表示。 例如，第n次移动后的位置可表示为：xn=xn−1±kn，其中k为步长基数，符号由移动方向决定。 分类讨论‌：根据移动次数、方向变化和步长规律进行分段分析，尤其注意动点是否跨越原点或特定临界点。 常见模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 常见模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 【小试牛刀】 1.（25-26七年级上·河北沧州·阶段练习）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，则该动点运动到第秒时所对应的数是 ． 2.（25-26七年级上·福建漳州·期末）在数轴上，一个动点从初始位置处开始移动：第一次向右移动2个单位长度至，第二次向左移动4个单位长度至，第三次向右移动6个单位长度至，第四次向左移动8个单位长度至，若这个动点在完成第次为正整数移动后恰好落在数轴原点处，则初始位置在数轴上表示的数为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级上·福建厦门·期末）数轴上的一个动点从原点出发，按照以下规则移动： 第1次：向右移动1个单位；第2次：向左移动4个单位；第3次：向右移动7个单位；第4次：向左移动10个单位；．．．记移动次后，动点的位置记为．对任意正整数，点与的距离为_________．（用含的式子表示） 题型2、动态中点与n等分点模型 【例1】（25-26七年级上·河北保定·期末）已知点A，B在数轴上对应的数为a，b，点A与点B之间的距离记为，且．(1)填空：________，________，________． (2)现有点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时，另一点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒．①当时，P，Q两点之间的距离为________． ②求在运动过程中，当线段时，t的值．③在运动过程中，是否在某一时刻t，使得线段？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 必记结论 设动点A和B在时间t的位置分别为xA（t）和xB（t），则动态中点M（t）的坐标：。 该公式适用于任意时刻动态中点计算。 2）动态n等分模型：将线段AB分为n等份时，第k个等分点的坐标为：。 若A和B为动点，则等分点位置随时间变化，需建立动态表达式 【小试牛刀】 1.（25-26七年级上·江西赣州·期末）在数轴上，点在原点，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点距离原点12个单位长度，点距离原点2个单位长度． (1)点对应的数为________，______个单位长度．(2)若点为数轴上一点，且，求的长． (3)点从点以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点从点以每秒3个单位长度的速度也向右运动，在运动过程中，设运动时间为秒，当三个点，其中有一个点与另外两个点的距离相等时，求的值． 2.（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）定义：数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离满足2倍关系，则称该点是其他两个点的“友好点”，这三点满足“友好关系”，已知数轴上点A，B表示的数分别为，点C从点B出发，沿数轴的负方向运动．在运动过程中，使A，B，C三点满足“友好关系”的点C表示的数的和是________． 3.（24-25七年级上·湖南长沙·期中）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为．（1）在一条数轴上，O为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点N所对应的数为_____． 【问题探究】（2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为1？ 【拓展延伸】（3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点，则我们有等分点公式：点M对应的数为_____．（其中n为正整数） 题型3、单（多）动点匀速模型 【例1】（25-26七年级上·山东潍坊·期末）如图，在数轴上，点表示，点表示，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度在数轴上沿某一固定方向运动，设运动时间为秒．当时，运动时间的值为 ． 必记结论 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（2）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 【小试牛刀】 1.（25-26七年级上·福建漳州·期中）如图所示的数轴上，点表示的数为，点表示的数为10．若一动点从点以每秒1个单位长度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒4个单位长度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为秒，当两点之间的距离为5个单位长度时，的值为（    ） A．1 B．3或5 C．3 D．1或5 2.（25-26七年级下·四川眉山·期末）已知数轴上两点A，B对应的数分别为，，点P为数轴上一个动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，则点P对应的数为____________； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；(3)现在点A，点B分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动．当的值为10时，求点P所对应的数是多少？ 题型4、单（多）动点变速模型 【例1】（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示，，．点以每秒个单位的速度从点向右运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向左运动，是线段的中点，设运动时间为． (1)求点与点之间的距离；(2)当为何值时，，并求出此时点表示的数； (3)在，两点开始运动时，点以每秒个单位的速度从点向左运动．点经过原点后，其速度变为原来的倍，点变速后，若线段的长度始终是一个定值，求的值． 必记结论 单个动点在数轴上运动时，速度随时间或位置发生改变，需分段描述其运动轨迹 例如：动点先以速度v1运动t1秒，再以速度v2反向运动t2秒。 其‌位置表达式‌：分段表示为x(t)=x0+v1t（0≤t≤t1）和x(t)=x(t1)−v2(t−t1)（t1<t≤t1+t2）。 上式中为x0初始位置，x(t)为t时刻的位置。 多个动点以不同速度或方向变化协同运动，需分别建模后寻找关联条件（如相遇、距离等）。 动态关系式‌：分别表示各动点位置，再通过相遇条件xP(t)=xQ(t)或距离公式∣xP(t)−xQ(t)∣=L列方程。 上式中xP(t)为动点P在t时刻的位置；xQ(t)为动点Q在t时刻的位置。 数轴上的单（多）动点变速模型用于描述动点在运动中速度发生变化的场景，需结合分段分析（按时间或位置划分运动阶段，确保每个阶段内速度恒定）和动态方程构建解决问题，最后注意检查解是否在对应时间段内，排除超时或重复解。 【小试牛刀】 1.（25-26七年级上·四川成都·期中）已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，如图1，若用分别表示点P与点A、点B、点C之间的距离，试回答以下问题： (1)当点P运动5秒时，______，______，______． (2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示点P与点A、点B、点C之间的距离： ______，______，______． (3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ (4)如图2，当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 2.（25-26七年级上·山东·期中）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示20，点C表示36，我们称点A和点C在数轴上相距56个长度单位．动点P、Q同时开始运动，点P从点A出发，以2单位／秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点C处停止运动；点Q从点C出发，以1单位／秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点A处停止运动．设运动的时间为t秒，问： (1)当点P运动3秒时，点P在数轴上表示的数是 ；当点Q运动12秒时，点Q在数轴上表示的数是 (2)动点P从点A运动至C点需要多少时间？(3)P、Q两点何时相遇？相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少？(4)在整个运动过程中，当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 题型5、动点往返运动模型 【例1】（24-25七年级上·重庆忠县·期末）如果有理数、在数轴上分别表示点、，那么线段的中点在数轴上表示的数为，线段的长度表示为．如图，设，两点在数轴上表示的数，满足，、是数轴上的两个动点，点从点出发，以单位长度秒的速度往右运动，到达点后立即停止，点从点出发，以单位长度秒的速度往左运动，到达点后立即原路原速返回．已知、两点同时出发同时停止，设运动时间为秒． (1)当时，求线段的中点表示的数和线段的长度； (2)在运动过程中，求当为何值时，点恰好是线段的中点； (3)在运动过程中，当为何值时，线段、恰好相差个单位长度，请直接写出的值． 必记结论 数轴上动点往返运动的位置计算需结合‌方向变化、分段累加‌和‌代数建模。 注意事项：1）‌时间范围验证‌：解方程后需检查时间是否在对应运动阶段内。 2）‌多解可能性‌：往返可能导致动点多次经过同一位置，需列绝对值方程并分情况讨论。 3）通过以上方法，可系统计算数轴动点往返后的位置，需重点关注‌方向符号处理‌和‌分段累加规则。 【小试牛刀】 1.（25-26七年级上·福建莆田·期中）如图，点，均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点、是数轴上两个动点． (1)求出点所对应的数；(2)当点到点、的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点、分别同时从点、出发，均沿数轴相向运动，运动时间为，点保持每秒运动个单位长度，点保持每秒运动个单位长度，点到立即折返，点到立即折返，直接写出、距离为时的值． 2.（25-26七年级上·广东广州·期中）如图1，已知数轴上的点A对应的数是a，点B对应的数是b，且与互为相反数．                   (1)， ．(2)动点P、Q分别从点A、B两点出分别以3个单位长度/秒、1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，t秒后P、Q两点之间的距离为6个单位长度，求t的值． (3)如图2，在数轴上的点M和点N处各竖立一个挡板（点M在原点左侧，点N在原点右侧），数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以3个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，乙弹珠以2个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动．当弹珠遇到挡板后立即以原速度向反方向运动，若甲、乙两个弹珠在各自首次遇到挡板返回后首次相遇的位置恰好到点M和点N的距离相等，试探究点M对应的数m与点N对应的数n之间是否满足某种数量关系，请写出它们的关系式，并说明理由． 题型6、动态定值（含参型）模型 【例1】（25-26七年级上·广东佛山·阶段练习）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离． 【问题解决】（1）在数轴上，点表示的数是2，点表示的数是，则点与点之间的距离______． （2）如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为4，点与点之间的距离为5，那么_______．（3）若，则的最小值为________，此时正整数的值为________． 【关联运用】（4）点、、是数轴上的三个点，点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是8，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 必记结论 数轴上的动态定值（无参型）模型描述动点运动过程中某些量（如线段长度、距离差等）保持不变的场景，需通过代数表达和几何关系分析定值的存在性及数值。题目中不引入额外参数（如速度、时间变量），直接通过动点初始位置、运动规则或几何关系推导定值。 1）解题策略与步骤：‌ 步骤1‌：用代数式表示动点位置，例如动点A从x0​出发，以速度v移动，则t秒后位置为x0+vt。 步骤2‌：根据题目条件（如中点、等分点）建立相关量的表达式（如线段长度、差值的绝对值）。 步骤3‌：化简表达式，观察是否消去变量项，验证是否为定值。 2）常见定值类型：线段长度定值‌：两动点或动点与定点间的距离保持恒定。 代数式定值‌：如∣xA−xB∣±kxC的值为固定常数。 位置关系定值‌：如动点始终为中点或特定分点，导致相关表达式不变。 【小试牛刀】 1.（25-26七年级上·四川攀枝花·期中）已知数轴上A，B两点对应的数分别为，6，O为原点，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x， (1)______，______（用含x的式子表示）； (2)在数轴上是否存在点P，使？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由； (3)若点P以每秒1个单位长度的速度从O点向右运动，同时点A以每秒5个单位长度的速度向左运动，点B以每秒20个单位长度的速度向右运动，在运动过程中，M，N分别是的中点，问的值是否发生变化？请说明理由． 2.（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在数轴上，点O为原点，点表示的数为，点表示的数为，且a，b满足． (1) ___________； ___________；(2)动点分别从点，点同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度．①几秒时，点与点距离6个单位长度？②动点分别从点，点出发的同时，动点也从原点O出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒个单位长度．记点与点之间的距离为，点与点Q之间的距离为，点O与点之间的距离为．设运动时间为秒，请问：是否存在的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此值和这个定值；若不存在，请说明理由 3.（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，在数轴上点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且，满足． (1)______；______；(2)动点，分别从点，点同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度．①运动几秒时，点与点距离个单位长度； ②动点，分别从点，点出发的同时，动点也从原点出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒个单位长度．记点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，设运动时间为秒，请问，是否存在的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此值和这个定值． 题型7、动态定值（含参型）模型 【例1】（25-26七年级上·广东江门·阶段练习）唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”．距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知点P，Q在数轴上分别表示有理数p，q，P，Q两点之间的距离表示为．例如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；有理数5与﹣2对应的两点之间的距离为；…；解决问题： 已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足，． (1)分别求a，b，c的值； (2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的4倍时，请求出x的值； (3)点M是AB的中点，O为原点，点N为数轴上一动点y，当取最小时，满足条件的点N对应的y的整数值共有 个． (4)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 必记结论 数轴上动态定值（含参型）模型需分析含参数（如速度、距离比例等）的动点运动过程中某些量的恒定性，通过代数建模和参数消去法验证定值存在性及数值。 线段和差定值‌：如PA+PB或∣PA−PB∣恒为常数，需结合参数化简表达式。 代数式定值‌：如kxA+mxB的值与时间无关，需分离含时项并令其系数为零。 速度参数‌：多个动点以不同速度运动，需联立方程消去时间变量，验证定值。 比例参数‌：如线段比例或代数式含系数m（如mAB−2BC），需通过参数约束条件确定定值。 通过参数化建模、代数式分离与含时项消去，可系统解决含参型动态定值问题，需特别注意参数解的适用范围及多解可能性 【小试牛刀】 1.（24-25七年级下·广东揭阳·开学考试）如图，在数轴上点表示的数，点表示数，和满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为________，点表示的数为________，线段的长为________． (2)若点从点出发，以3个单位长度每秒的速度向点运动，与此同时，点从点出发，以2个单位长度每秒的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动．在两点运动过程中是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由． (3)点、分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 2.（25-26七年级上·甘肃天水·阶段检测）如图，在数轴上有A、B、C三点，所表示的数分别是，2，，有两条动线段和满足，，初始状态点P与点C重合，点N与点B重合，若线段以每秒2个单位的速度从点C开始沿数轴向右匀速运动，同时线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动．    (1)当P、N两点相距4个单位时，运动时间为多少秒？ (2)设运动时间为t秒，当点M运动到点C时，线段、同时停止运动，当C，P，M中某一点为另外两点构成线段的中点时，求时间t的值；(3)当点运动到点B时，线段立即以相同的速度返回，直到点M运动到点C时，线段，同时停止运动，设运动时间为t秒，当时，存在两个常数m，n使得的值与t无关，请直接用等式表示m与n的数量关系． 题型8、数轴折叠（翻折）模型 【例1】（25-26·重庆·七年级期中）已知在纸面上有一数轴（如图）折叠纸面． （1）若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数_____表示的点重合； （2）若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①13表示的点与数_____表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 必记结论 数轴折叠模型通过几何对称性分析折叠前后点的对应关系，解决折痕位置、对称点等问题。 1）若折叠后点a与点b重合，则折痕对应的点m为两点的中点，满足：或b=2m−a； 2）折叠后，对称点到折痕的距离相等，折痕位置可通过线段比例或代数方程求解； 3）若折叠后动点继续运动，需分段分析折叠前后的位置变化及运动轨迹。 【小试牛刀】 1.（25-26·江苏·七年级期中）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ；（2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ；（3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ； （6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 2.（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究： (1)操作1：折叠纸带，若数轴上表示的点与表示的点重合，则与表示的点重合的点表示的数是______． (2)操作2：若点、表示的数分别是、，点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向左匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒， ①在运动过程中，当为______时，点与点重合； ②在运动过程中，当为何值时，点与点之间的距离为； (3)操作3：在数轴上剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点向左对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图），若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是______． 题型9、数轴上的线段移动模型 【例1】（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，点，，，在数轴上对应的数分别为，，，，且，，，，． (1)求线段的长度；(2)若线段以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，线段以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为秒（），点，分别为，的中点． ①在运动过程中，的长度是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由； ②求出线段与重叠部分的长度（用含的代数式表示）． 必记结论 数轴上的线段移动模型研究线段整体平移的动态变化规律，需结合代数表达与几何关系分析线段长度、覆盖范围等核心问题。 线段沿数轴以固定速度单向或往返移动，需用代数式表示端点位置变化（如左移减速度，右移加速度）；动态过程中需关注线段覆盖区域，及与其他线段的交互（如重叠）。部分模型中，线段长度或端点间的代数差保持恒定（如平移速度对称时，两动线段差为定值） 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，在数轴上有两个正方形和，点为原点，点、、、表示的数分别为，，4，14．正方形以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时正方形以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，运动后的正方形分别记为正方形与正方形． (1)点表示的数为______，点表示的数为______．(2)当时，求的值． (3)在运动过程中，两个正方形会出现重叠部分，设重叠部分的面积为． ①当达到最大值时，求持续的时间为几秒；②当时，请直接写出点所表示的数． 2.（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图1，点C是线段上一点，若，我们称为点在线段上的“分割值”，记为．例如点在上，，则；反之当，则． (1)如图2，数轴、两点对应的数为、，且分别满足和． ①求出 ； ；②请在图2的数轴上画出、两点． (2)为数轴上一个动点，从点向终点匀速运动．①若点表示的数为，则 ． ②如图，数轴上另一个点从点出发向点运动，到达点后立即以原速返回点，当点到达点B时，，都停止运动．若点和点的运动速度分别为每秒个单位和每秒个单位，且点和点同时出发，运动秒后，是否存在，若存在，求出的值；不存在，请说明理由． (3)如图4，在四边形中，，，，，点，同时从点出发向终点匀速运动，点沿折线运动，点沿线段运动．设点，的速度分别为和且满足，若，当点运动到线段上时，则 ．（用含有的代数式表示） 3.（25-26七年级上·江苏连云港·期中）伴随着连淮扬镇铁路淮镇段的首发运行，世界首座高速铁路悬索桥——五峰山长江大桥正式开通运营.如图，点O为原点，向右为正方向.甲动车位于处，向右行驶.乙动车位于处，向左行驶.五峰山长江大桥主桥为；甲、乙两动车长度相等，速度均为米/秒.表示的数分别是，且满足. (1)______，间的距离是______米，间的距离是______米；(2)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点C的距离等于米？(3)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于米？(4)两车同时运行，若甲动车A处的乘客记为点M，向右走，速度为2米/秒、乙动车处于中点位置的座位上的乘客记为点N，乘客M从车尾走到车头的过程中是否存在一段时间t，恰好同时在五峰山长江大桥上？如存在，请直接写出t的值. 基础过关 1．（24-25七年级上·河南·期中）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且、满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点、同时出发，当、两点相距个单位长度时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26七年级上·浙江·专题练习）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90．（1）与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ；（2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ； 3．（25-26七年级上·浙江·专题练习）已知有理数a，b满足∶ ．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），且，下列结论：    ①，；②当点B与点O重合时，；③当点C与点A重合时， 若点P是线段延长线上的点， 则；④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N 为线段的中点，则线段的长度不变． 其中正确的有 个． 4．（25-26七年级上·浙江·期末）如图1所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以发现终点表示的数是，已知点A，B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题． (1)如果点A表示数，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是 ，A、B两点间的距离是 ；(2)如果点A表示数5，将点A向左移动9个单位长度，再向右移动11个单位长度，那么终点B表示的数是 ，A、B两点间的距离为 ；(3)一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度，那么，请你猜想终点B表示的数是 ，A、B两点间的距离是 ．(4)如图2，在数轴上从左到右边依次有A，B，C三点，点A与点B之间的距离为3，点B与点C之间的距离为5，如果P，Q两点同时出发，点P以每秒钟2个单位长度的速度从点A向右运动，点Q以每秒钟4个单位长度从点C向左运动，经过 秒后，点P与点B的距离和点Q与点B的距离相等． 5．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，数轴上点为，点为，点是数轴上的一个动点． (1)若点到的距离为，点到的距离为．①当时，求点所表示的数．②当时，求点所表示的数．(2)如图，数轴上动点在动点右侧，并且始终与动点保持个单位长度的距离，四个点中，记其中两个点的距离为，剩余两个点的距离为，当，在点之间运动时，若，求点所表示的数． 6．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，，两点之间的距离表示为，记为．    (1)如图，点在数轴上所对应的数为，，则点对应的数为________． (2)在（1）的条件下，若点在的右侧，同时点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点时，求，两点间的距离． (3)在（2）的条件下，若点运动到后静止不动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，求经过多长时间，． 7．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究宁波地铁的运行． 素材1 宁波轨道交通1号线是宁波第1条建成运营的地铁线路，极大地便利了市民的日常出行．为了研究方便，地铁运行过程中速度看成恒定，每相邻两站的间距都可近似看成相等，且每相邻两站之间地铁的运行时间都为2分钟，每站停靠时间30秒．如图1是1号线部分线路图： 素材2 小明觉得可以用数轴上的动点来刻画地铁的运行过程，他以东门口站为原点，建立了如下图2的数轴．其中数字1代表江厦桥东站，数字2代表舟孟北路站，以此类推． 数轴上的动点P可以用来刻画运动的地铁，动点P每次运动到一个整数点时，都需要暂停30秒，代表地铁到站停靠． 问题解决 探究1 图2中数字5代表______站． 探究2 如图2，动点P从原点出发，运动t分钟到数字3和数字4之间时（不含数字3和数字4），求点P在数轴上表示的数（用含t的代数式表示）． 探究3 如图3，A从江厦桥东站上车，往东环南路方向乘坐地铁，同时B从福庆北路站上车，往东门口方向坐地铁．若两辆地铁恰好同时从江厦桥东和福庆北路出发，则出发多久后两人在数轴上刚好相距2．5个单位长度． 8．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上，两点所对应的数分别是和． (1)则_______，________；，两点之间的距离为_______；(2)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第几次时，点到达点；(3)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第次时，求点所对应的有理数． 9．（25-26·浙江·七年级专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数．(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 10．（25-26·河南洛阳·七年级期末）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则． 问题提出：(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______． (2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0） ①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______； ②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 能力提升 1．（24-25七年级上·福建福州·期末）对于数轴上的三点，给出如下定义：若点P在线段上，且点P与A，B两点的距离恰好满足2倍关系时，即或，则称点P是A，B两点的“2倍点”．如图，若点A以每秒1个单位长度的速度从表示数的点向右运动，点B以每秒4个单位长度的速度从表示数4的点向右运动，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，三个点同时出发，设出发t秒后，若点P恰好是点A，B的“2倍点”，则t的值是（   ） A．2 B．1 C．2或 D．或1 2．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，4． 点A到点C的距离可以用表示，且． (1)应用： ， ；(2)拓展：若点A沿数轴向右以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒时点A表示的数是 ，此时， （用含t的式子表示）；(3)探究：若点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和8个单位长度的速度向左运动，则的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求出的值． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知数轴上两点对应的数分别为和，两点对应的数互为相反数．    (1)求的长；(2)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动．同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点停止，设运动时间为（秒）．①问为何值时，为的中点？②当时，求的值． 4．（23-24七年级上·湖北随州·期中）已知，其中分别为点、点在数轴上表示的数，如图所示． 动点分别从同时开始运动，点以每秒6个单位向左运动，点以每秒2个单位向右运动，设运动时间为秒．(1)直接写出的值； (2)请用含的代数式表示点在数轴上对应的数为：___________，点在数轴上对应的数为___________． (3)当相遇后，点继续保持向左运动，点在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍． 在整个运动过程中，当之间的距离为2个单位时，求运动时间的值（需写出必要的解答过程）．    5．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是14． (1)若点P是数轴上一动点，当动点P到点A的距离与到点D的距离之和等于34时，则点P对应的数是 ； (2)若点M从点A出发向右运动，速度为2个单位长度/秒，点N从点D出发向左运动，速度为4个单位长度/秒，点P从原点出发，速度为3个单位长度/秒．点M，N和P三点同时运动，点P先向右运动，遇到点N立即掉头向左运动，遇到点M再立即掉头向右运动，如此往返，当M，N两点相距12个单位长度时，点P立即停止运动，此时点P移动的路程为 个单位长度； (3)若线段以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动．点P是线段上一点，当B点运动到线段上时，是否存在关系式，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 6．（23-24七年级上·陕西渭南·期中）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．    (1)若，求x的值；(2)若，求x的值；(3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由． 7．（24-25七年级上·浙江·期中）阅读材料并回答问题： 对于数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离之间恰好满足倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点，，表示的数分别为，，，点与点的距离是，点与点的距离是，此时点是点，的“关联点”． (1)若点表示，点表示．，，，对应的点分别是，，，，则其中哪几个点是点，的“关联点”？(2)点表示的数是，点表示的数是，为数轴上一个动点．若点在点的左侧，且点是点，的“关联点”，则点表示的数是____________． 8．（25-26·江苏连云港·七年级校考期中）已知M、N两点在数轴上所装示的数分别为m、n，且m、n满足： (1)则m =  _________ ，n =  _________ ；(2)①情境：有一个玩具汽车如图所示，放置在数轴上，将汽车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具汽车的长为 _________ 个单位长度； ②应用：一天，小阳问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了!”小阳心想：爷爷的年龄到底是多少岁呢?聪明的你能帮小阳求出来吗? (3)在（2）①的条件下，当汽车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动．记汽车运动后对应的位置为．是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关?若存在，请直接写出k的值；若不存在，请说明理由． 挑战一刻 1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒6个单位和每秒3个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（    ） A．4 B．16 C．4或16 D．8或16 2．（25-26七年级上·天津津南·期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化．请思考下列问题： (1)平移运动:①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为 ． A．  C． B．  D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换:①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示的点与表示 的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 ，B点表示 ． ③若数轴上折叠后重合的两点分别表示数a，b，则折叠中间点表示的数为 （用含有a，b的式子表示） 3．（24-25七年级上·浙江·期中）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？ 探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）； 探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 4．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，在点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点和点在数轴上相距个长度单位，动点从点出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点从点出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为个单位/秒，“上坡路段”从到速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从到速度变为“水平路线”速度的倍．设运动的时间为秒，问： (1)动点从点运动至点需要时间为_____秒；(2)、两点到原点的距离相同时，求出动点在数轴上所对应的数． 5．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，A、B两点在数轴上对应的数分别为、40，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个电子小球同时从原点出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变，当两小球第一次相遇时都停止运动．设两个小球运动的时间为t，那么： (1)当时，M在数轴上对应的数可以表示为 ； (2)小杨同学发现：当时，始终为定值．小杨的发现是否正确？若正确，请求出这个定值；若不正确，请说明理由．(3)在整个运动过程中，t为何值时M、N两个小球间的距离为6？请直接写出答案． 6．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）如图1，点C在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)一条线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是“或“不是”） (2)如图2，数轴上A、B两点分别对应数a、b，且a、b满足关系式． ①若C是线段的“巧点”，则C点表示的数是多少？ ②动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒的速度沿向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时两动点同时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段的“巧点”． 34 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 数轴中的动态压轴问题 学习目标 知识储备 数轴中的动态压轴问题属于北师大版七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现动态分析、分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。 要求学生吃透数轴动点的核心模型，掌握动点表示、距离计算、最值、相遇追及推导逻辑，规避高频易错点，熟练套用标准化解题模板，实现所有数轴动态题型全覆盖、解题步骤规范化。 1.数轴的画法，数轴的三要素； 2.能将已知数在数轴上表示出来，能指出数轴上的点所表示的数及数轴上点的运动； 3.能利用绝对值或数轴比较两个有理数的大小. 新知导图 专题精讲 知识点01 数轴上的动态压轴模型 数轴动态压轴模型（动点模型）的核心本质：用代数式子表示数轴上运动的点，将几何点的运动问题，转化为代数方程、不等式、绝对值计算问题。 ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图：在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点：写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离：右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解：根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③核心数学思想：数形结合、动态分析、分类讨论，是初中从静态几何向动态几何过渡的首个核心模型，也是后续平面直角坐标系动点、几何动点问题的基础。 （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，数轴上A、B表示的数分别为、20，有两条动线段和，点C与点A重合，点M对应的数是4，且点C在点D的左边，点M在点N的左边，，．线段以每秒4个单位的速度向右匀速运动，同时线段以每秒1个单位的速度向右匀速运动．当点D运动到点B时，线段立即返回，并且速度变为原速的一半，同时，线段的速度变为两倍；当点N到达点B时，线段同时停止运动．设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． (1)当时，点D表示的数为______；当时，点D表示的数为______；(2)在线段从A到B的过程中，点E是的中点，点F是的中点，若，求点N在数轴上对应的数；(3)在整个运动过程中，请直接写出时，所对应的t的值． 【答案】(1)8；16(2)或(3)或或或7 【详解】（1）解：当点D运动到点B时，运动时间为， 时，点D表示的数为； 当时，此时线段以每秒2个单位的速度向左匀速运动， 点D表示的数为；故答案为：8；16 （2）解：根据题意得：点C对应的数为，点D对应的数为，点M对应的数为，点N对应的数为， ∵点E是的中点，点F是的中点， ∴点E对应的数为，点F对应的数为， ∵，∴，解得：或， 当时，点N在数轴上对应的数为； 当时，点N在数轴上对应的数为； 综上所述，点N在数轴上对应的数为或； （3）解：若线段从A到B的过程，此时，点C对应的数为，点D对应的数为，点M对应的数为，点N对应的数为， ∴，， ∵，∴当，即时，，解得：； 当，即时，，解得：（舍去）； 当，即时，，解得：； 若线段从B到A的过程，此时，线段以每秒2个单位的速度向左匀速运动，线段以每秒2个单位的速度向右匀速运动. 点D对应的数为，点C对应的数为， 点M对应的数为，点N对应的数为， ∴，， ∵，∴当，即时，，解得：； 当，即时，，解得：（舍去）； 当，即时，，解得：； 综上所述，t的值为或或或7． 2．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）【问题背景】大美瓦房店，瓦房店滨海路上风景怡人．在滨海路上和两地之间相距大约5千米，大明骑电动车从地出发，以1千米/分钟的速度向地方向匀速行驶：笑笑骑自行车从地出发，以0.5千米/分钟的速度向地方向匀速行驶．两人同时出发，经过几分钟大明、笑笑之间相距1千米？    【问题解决】小美同学在学习了《有理数》之后，发现运用数形结合的方法建立数轴可以较快地解决上述问题：如图1，将滨海路抽象为一条数轴，将点与数轴的原点重合，点表示数5．大明和笑笑分别用动点、来表示，设运动的时间为分钟． （1）分钟后点在数轴上对应的数是_____，点对应的数是_____；（用含的代数式表示） （2）我们知道，如果数轴上，两点分别对应数，，则．试运用该方法求经过几分钟，之间相距1千米？ 【拓展应用】（3）如图2，点，，为数轴上三点；若点表示的数是，点表示的数是40，点表示数是25，现有两个动点、分别从点，同时开始在线段上运动，点以每分钟2个单位长度的速度向右运动，点以每分钟1个单位长度的速度向左运动，若点与点之间的距离为，点与点之间的距离为.在运动过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）当或时，，之间相距1千米；（3）存在，当或时，使得 【详解】解：（1）依据题意得，分钟后点对应的数是，点对应的数是，故答案为：，； （2）由题意得：，解得：或， 当或时，，之间相距1千米， （3）存在某一时刻，使得， 理由如下：，，， 由题意得：，解得：或，存在，当或时，． 3．（25-26七年级上·湖北荆门·期末）定义：数轴上的三个点A、B、C，若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“奇妙点”．例如数轴上点A、B、C所表示的数分别为5、8、9，此时点B是点A、C的“奇妙点”．若点A表示数，点B表示数15． (1)如图1，若点M表示数25，判断点M是否为点A，B的“奇妙点”，并说明理由； (2)如图2，点N是数轴上位于点A的左侧，且点N是点A、B的“奇妙点”，求点N表示的数； (3)若动点P、Q分别从点A、B位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒．①当点Q运动多少秒时，点Q追上点P？②在运动过程中，求出点P运动多少秒时点A成为点P、Q的“奇妙点”？ 【答案】(1)是，理由见解析(2)(3)①20秒；②4秒或秒或12秒 【详解】（1）解：∵，，∴;∴点M为点A、B的“奇妙点” （2）解：设点N表示的数为x，∴， ∵点N是数轴上位于点A的左侧，且点N是点A、B的“奇妙点”， ∴∴∴∴点N表示的数为； （3）解：运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， ①∵点Q追上点P，∴，解得，∴运动20秒后，点Q追上点P． ②当Q在点A、B之间运动时，，， 当时，，解得， 当时，，解得， 当Q运动到点A左边时，，， 则，，解得， 综上所述，点运动4秒或秒或12秒时点A成为点P、Q的“奇妙点”． 4．（24-25七年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在数轴上有两个长方形和，，，点A、B、E、F都在数轴上．点A、点E表示的数分别为m、n，且满足．长方形以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时长方形以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为t秒，运动后的长方形分别记为长方形与长方形． (1)点B表示的数为 ___________，点F表示的数为 ___________．(2)当时，求t的值． (3)在运动过程中，两个长方形会出现重叠部分，设重叠部分的面积为．①S的最大值为 ___________，持续的时间为 ___________秒；②当时，求t的值． 【答案】(1)，14；(2)或3；(3)①15，；②4或7． 【详解】（1）解：∵，∴，． 解得：，．∴，． ∵，∴，．∴． ∴点B表示的数是，点F表示的数是14．故答案为：，14； （2）t秒后点表示的数为：，点表示的数为：． ∵，∴．∴或．解得：或3． 故答案为：或3； （3）①当长方形全部进入到长方形中时，重合的面积最大，为长方形的面积：； 由图可得：当长方形全部在长方形中时，运动的路程为5， ∵两个长方形相向而行，∴持续的时间为：．故答案为：15，； ②Ⅰ、当时，．∴．解得：． Ⅱ、当时，．∴．∴．∴．解得：． ∴t的值为4或7． 题型速练 题型1、动态规律（左右跳跃）模型 【例1】（2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 【答案】1013 【分析】根据前4个点的运动规律可得：第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是，进而求解． 【详解】解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2，…， 所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013；故答案为：1013. 必记结论 运动规律性‌：动点按“左右交替”方向移动，步长呈现递增或周期性变化。 代数表达‌：动点位置需用含时间变量t的代数式表示。 例如，第n次移动后的位置可表示为：xn=xn−1±kn，其中k为步长基数，符号由移动方向决定。 分类讨论‌：根据移动次数、方向变化和步长规律进行分段分析，尤其注意动点是否跨越原点或特定临界点。 常见模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 常见模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 【小试牛刀】 1.（25-26七年级上·河北沧州·阶段练习）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，则该动点运动到第秒时所对应的数是 ． 【答案】 【详解】解：第个秒，即第一次先向左移动秒，再向右移动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第次先向左移动秒，再向右移动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第次先向左移动秒，再向右移动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第次先向左移动秒，再向右移动秒后，这个点所对应的数为，， ∵，而， 即第次秒后先向左移动秒，再向右移动秒，此时这个点所对应的数为， ∴运动到第秒时所对应的数为，故答案为：． 2.（25-26七年级上·福建漳州·期末）在数轴上，一个动点从初始位置处开始移动：第一次向右移动2个单位长度至，第二次向左移动4个单位长度至，第三次向右移动6个单位长度至，第四次向左移动8个单位长度至，若这个动点在完成第次为正整数移动后恰好落在数轴原点处，则初始位置在数轴上表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设在数轴上表示的数为． ∵第一次移动后位置为;第二次移动后位置为;第三次移动后位置为 第四次移动后位置为……观察规律可知，完成第次移动后，位置为． 又∵第次移动后落在原点处，即位置为;∴;解得 所以初始位置表示的数为．故选：B． 3.（25-26七年级上·福建厦门·期末）数轴上的一个动点从原点出发，按照以下规则移动： 第1次：向右移动1个单位；第2次：向左移动4个单位；第3次：向右移动7个单位；第4次：向左移动10个单位；．．．记移动次后，动点的位置记为．对任意正整数，点与的距离为_________．（用含的式子表示） 【答案】 【详解】解：由题意得，，，， ，，,， ∴当时，； 当时， 当时， 当时， ∴，故答案为：． 题型2、动态中点与n等分点模型 【例1】（25-26七年级上·河北保定·期末）已知点A，B在数轴上对应的数为a，b，点A与点B之间的距离记为，且． (1)填空：________，________，________． (2)现有点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时，另一点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒．①当时，P，Q两点之间的距离为________． ②求在运动过程中，当线段时，t的值．③在运动过程中，是否在某一时刻t，使得线段？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；12；10；(2)①9；②t为2.4或4；③存在．t的值为3或6 【详解】（1）解：∵，∴，，∴，， ∴，故答案为：；12；10； （2）解：①当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴P、Q两点之间的距离为，故答案为：9； ②当时，分以下两种情况： 如图，若B为的中点，则，即，解得； 如图，若P，Q重合，则，即，解得； 综上所述，当线段时，t的值为2.4或4； ③假设存在，分以下两种情况： 如图，若Q为的中点，则，即，解得； 如图，若B，P重合，则，即，解得； 综上所述，存在线段，t的值为3或6． 必记结论 设动点A和B在时间t的位置分别为xA（t）和xB（t），则动态中点M（t）的坐标：。 该公式适用于任意时刻动态中点计算。 2）动态n等分模型：将线段AB分为n等份时，第k个等分点的坐标为：。 若A和B为动点，则等分点位置随时间变化，需建立动态表达式 【小试牛刀】 1.（25-26七年级上·江西赣州·期末）在数轴上，点在原点，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点距离原点12个单位长度，点距离原点2个单位长度． (1)点对应的数为________，______个单位长度．(2)若点为数轴上一点，且，求的长． (3)点从点以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点从点以每秒3个单位长度的速度也向右运动，在运动过程中，设运动时间为秒，当三个点，其中有一个点与另外两个点的距离相等时，求的值． 【答案】(1)，14(2)的长为10或18(3)的值为2或6或26 【详解】（1）解：∵在数轴上，点A在原点的左侧，点B在原点的右侧，点A距离原点12个单位长度，点B距离原点2个单位长度，∴点A对应的数为，点B对应的数为2， ∴A，B两点之间的距离为．故答案为：，14； （2）解：∴①当在左侧时 ②当在右侧时 综上所述，的长为10或18 （3）解：①当时，，解得； ②当时（与重合），，解得； ③当时，，解得， 综上所述，的值为2或6或26 2.（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）定义：数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离满足2倍关系，则称该点是其他两个点的“友好点”，这三点满足“友好关系”，已知数轴上点A，B表示的数分别为，点C从点B出发，沿数轴的负方向运动．在运动过程中，使A，B，C三点满足“友好关系”的点C表示的数的和是________． 【答案】 【详解】解：设点C表示的数为m， 当点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍时，则， ∴或，解得或（舍去）； 当点C到点B的距离是点C到点A的距离的2倍时，则， ∴或，解得或； 当点A到点C的距离是点A到点B的距离的2倍时，则， ∴或，解得或（舍去）； 当点A到点B的距离是点A到点C的距离的2倍时，则， ∴或，解得或； 当点B到点A的距离是点B到点C的距离的2倍时，则， ∴或，解得或（舍去）； 当点B到点C的距离是点B到点A的距离的2倍时，则， ∴或，解得或（舍去）； 综上所述，符合题意的m的值为或或或或或， ∴在运动过程中，使A，B，C三点满足“友好关系”的点C表示的数的和是，故答案为：． 3.（24-25七年级上·湖南长沙·期中）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为．（1）在一条数轴上，O为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点N所对应的数为_____． 【问题探究】（2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为1？ 【拓展延伸】（3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点，则我们有等分点公式：点M对应的数为_____．（其中n为正整数） 【答案】（1）；（2）；（3）； 【详解】解：（1）∵，∴，，解得：，， ∴点对应的数为，点对应的数为，∴的中点N所对应的数为； （2）由（1）知，，，则点所对应的数为，点所对应的数为． 则中点所对应的数为，解得：． （3）∵数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点， ∴点M对应的数为． 题型3、单（多）动点匀速模型 【例1】（25-26七年级上·山东潍坊·期末）如图，在数轴上，点表示，点表示，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度在数轴上沿某一固定方向运动，设运动时间为秒．当时，运动时间的值为 ． 【答案】或 【详解】解：由数轴知，， 当点在点左侧时，由题意得，解得， 当点在点右侧时，由题意得，得， 综上，当时，运动时间的值为或，故答案为：或． 必记结论 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（2）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 【小试牛刀】 1.（25-26七年级上·福建漳州·期中）如图所示的数轴上，点表示的数为，点表示的数为10．若一动点从点以每秒1个单位长度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒4个单位长度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为秒，当两点之间的距离为5个单位长度时，的值为（    ） A．1 B．3或5 C．3 D．1或5 【答案】B 【详解】解：设运动的时间为 秒，∵点表示的数为，点表示的数为10， ∴根据题意可得：点表示的数为；点表示的数为， ∵的距离为5个单位长度，∴，∴或．故选B． 2.（25-26七年级下·四川眉山·期末）已知数轴上两点A，B对应的数分别为，，点P为数轴上一个动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，则点P对应的数为____________； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；(3)现在点A，点B分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动．当的值为10时，求点P所对应的数是多少？ 【答案】(1)1(2)或5(3)点P所对应的数是 【详解】（1）解：∵点P到点A、点B的距离相等，∴点P是线段的中点， ∵点A、B对应的数分别为、3，∴点P对应的数是； （2）解：①当点P在A左边时，解得：； ②点P在B点右边时，，解得：， 综上所述，当或5时，点P到点A、点B的距离之和为8； （3）解：设运动时间为t， 根据题意得，运动后点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为， ∴， ∵的值为10∴ ∴当时， 解得（舍去）； 当时，解得 ∴点P表示的数为； 当时， 解得（舍去）； 综上所述，点P所对应的数是． 题型4、单（多）动点变速模型 【例1】（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示，，．点以每秒个单位的速度从点向右运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向左运动，是线段的中点，设运动时间为． (1)求点与点之间的距离；(2)当为何值时，，并求出此时点表示的数； (3)在，两点开始运动时，点以每秒个单位的速度从点向左运动．点经过原点后，其速度变为原来的倍，点变速后，若线段的长度始终是一个定值，求的值． 【答案】(1)(2)的值为或，点表示的数为或(3) 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴， ∵，∴， ∵点在原点的两侧，∴点表示的数为，∴ ； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得，， 即或， 解得或， 当时，； 当时，； 答：当的值为或时，，此时点表示的数为或； （3）解：若，则， 当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，∴， ∵点变速后，若线段的长度始终是一个定值，∴，∴． 必记结论 单个动点在数轴上运动时，速度随时间或位置发生改变，需分段描述其运动轨迹 例如：动点先以速度v1运动t1秒，再以速度v2反向运动t2秒。 其‌位置表达式‌：分段表示为x(t)=x0+v1t（0≤t≤t1）和x(t)=x(t1)−v2(t−t1)（t1<t≤t1+t2）。 上式中为x0初始位置，x(t)为t时刻的位置。 多个动点以不同速度或方向变化协同运动，需分别建模后寻找关联条件（如相遇、距离等）。 动态关系式‌：分别表示各动点位置，再通过相遇条件xP(t)=xQ(t)或距离公式∣xP(t)−xQ(t)∣=L列方程。 上式中xP(t)为动点P在t时刻的位置；xQ(t)为动点Q在t时刻的位置。 数轴上的单（多）动点变速模型用于描述动点在运动中速度发生变化的场景，需结合分段分析（按时间或位置划分运动阶段，确保每个阶段内速度恒定）和动态方程构建解决问题，最后注意检查解是否在对应时间段内，排除超时或重复解。 【小试牛刀】 1.（25-26七年级上·四川成都·期中）已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，如图1，若用分别表示点P与点A、点B、点C之间的距离，试回答以下问题： (1)当点P运动5秒时，______，______，______． (2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示点P与点A、点B、点C之间的距离： ______，______，______． (3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ (4)如图2，当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，11，22(2) (3)经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4 (4)12或25 【详解】（1）解：当时，点P运动了10个单位长度，则，点P表示的有理数为， ；故答案为：，11，22； （2）解：当点P运动了t秒时，，点P表示的有理数为， ∴；故答案为：； （3）解：设经过t秒后，点P到点A、点C的距离相等，则得：，解得：， 此时点P表示的有理数为； 即经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4； （4）解：点P在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动的时间为（秒）；点Q在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动时间为（秒）； ①当时，如图，则P在线段上，表示的数为；Q在线段上，表示的数为， 由题意得：，解得：， 不合题意，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ②当时，如图，P都在线段上，P表示的数为，Q在线段上，表示的数为， 则，方程无解， 此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ③当时，如图，P、Q都在线段上， 两点重合，P、Q两点到点B的距离相等； 此时P表示的数为，Q表示的数为，所以，得； 符合题意，即不存在P、Q两点到点B的距离相等； ④当时，如图，P仍在线段上，点Q在线段上， 此时点Q在点O的左侧，点P在点O的右侧，同在点B的左侧，且，所以P、Q两点到点B的距离不可能相等； ⑤当时，如图，P在射线上，Q在射线上，P表示的数为，Q表示的数是， 所以，解得； 综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为12秒或25秒，故答案为：12或25． 2.（25-26七年级上·山东·期中）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示20，点C表示36，我们称点A和点C在数轴上相距56个长度单位．动点P、Q同时开始运动，点P从点A出发，以2单位／秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点C处停止运动；点Q从点C出发，以1单位／秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点A处停止运动．设运动的时间为t秒，问： (1)当点P运动3秒时，点P在数轴上表示的数是 ；当点Q运动12秒时，点Q在数轴上表示的数是 (2)动点P从点A运动至C点需要多少时间？(3)P、Q两点何时相遇？相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少？(4)在整个运动过程中，当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 【答案】(1)(2)38(3)(4)4 或 13 或 22 或 34 或 42 【详解】（1）解：当时，，∴点表示的数为：， ∵从到所用时间为：（秒）秒，时，在上， ∴所表示数为：，故答案为：； （2）解：从到所用时间为： （秒）； （3）解：从到所用时间为：（秒）， 从到所用时间为：（秒）， ∴两点在段相遇， 当到达点时，， ∴离开到相遇所用时间为：（秒）， ∴相遇总时间为：（秒），此时，， ∴相遇点所对应的数为：； （4）解：当时，，，解得：，符合题意； 当时，，，解得：，符合题意； 当时，，，解得：，符合题意； 当时，，，∴无解； 当时，，，解得：，符合题意； 当时，，，解得：，符合题意； 综上所述，或 13 或 22 或 34 或 42 时，两点在数轴上相距的长度与两点在数轴上相距的长度相等． 题型5、动点往返运动模型 【例1】（24-25七年级上·重庆忠县·期末）如果有理数、在数轴上分别表示点、，那么线段的中点在数轴上表示的数为，线段的长度表示为．如图，设，两点在数轴上表示的数，满足，、是数轴上的两个动点，点从点出发，以单位长度秒的速度往右运动，到达点后立即停止，点从点出发，以单位长度秒的速度往左运动，到达点后立即原路原速返回．已知、两点同时出发同时停止，设运动时间为秒． (1)当时，求线段的中点表示的数和线段的长度； (2)在运动过程中，求当为何值时，点恰好是线段的中点； (3)在运动过程中，当为何值时，线段、恰好相差个单位长度，请直接写出的值． 【答案】(1)线段的中点表示的数为，线段的长度为；(2)或；(3)或或． 【详解】（1）解：∵，∴，， ∴秒后，两点表示的数为，两点表示的数为， ∴线段的中点表示的数为，线段的长度为； （2）解：（秒），（秒）， 由题意可得，当时，点表示的数为， 当时，点表示的数为， 当时，点表示的数为， 点恰好是线段的中点有两种情况： 当时，，解得，符合题意， 当时，，解得，符合题意， 综上所述，当的值为或时，点恰好是线段的中点； （3）解：由（）可得， 当时，，此时只能，即，解得， 而当时，，此时，即，解得或， ∴的值为或或． 必记结论 数轴上动点往返运动的位置计算需结合‌方向变化、分段累加‌和‌代数建模。 注意事项：1）‌时间范围验证‌：解方程后需检查时间是否在对应运动阶段内。 2）‌多解可能性‌：往返可能导致动点多次经过同一位置，需列绝对值方程并分情况讨论。 3）通过以上方法，可系统计算数轴动点往返后的位置，需重点关注‌方向符号处理‌和‌分段累加规则。 【小试牛刀】 1.（25-26七年级上·福建莆田·期中）如图，点，均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点、是数轴上两个动点． (1)求出点所对应的数；(2)当点到点、的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点、分别同时从点、出发，均沿数轴相向运动，运动时间为，点保持每秒运动个单位长度，点保持每秒运动个单位长度，点到立即折返，点到立即折返，直接写出、距离为时的值． 【答案】(1)点所对应的数是(2)点所对应的数是或(3)或或或 【详解】（1）解：，故点所对应的数是； （2）解：，点在点的左边，， 点在点的右边，，故点所对应的数是或； （3）解：点到达点所需时间为：，点到达点所需时间为：； ①当时，P：；Q：；∴，解得：或， ②时，P：；Q：；∴，解得：（舍去）或（舍去）， ③时，P：；Q：；∴，解得：或， 综上：或或或． 2.（25-26七年级上·广东广州·期中）如图1，已知数轴上的点A对应的数是a，点B对应的数是b，且与互为相反数．                   (1)， ．(2)动点P、Q分别从点A、B两点出分别以3个单位长度/秒、1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，t秒后P、Q两点之间的距离为6个单位长度，求t的值． (3)如图2，在数轴上的点M和点N处各竖立一个挡板（点M在原点左侧，点N在原点右侧），数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以3个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，乙弹珠以2个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动．当弹珠遇到挡板后立即以原速度向反方向运动，若甲、乙两个弹珠在各自首次遇到挡板返回后首次相遇的位置恰好到点M和点N的距离相等，试探究点M对应的数m与点N对应的数n之间是否满足某种数量关系，请写出它们的关系式，并说明理由． 【答案】(1)，8(2)或9(3) 【详解】（1）解：∵与互为相反数，即， 又∵，∴，，∴，，故答案为：，8； （2）由题意得，点对应的数为，点对应的数为， 则、两点之间的距离为， 当时，解得；当时，解得； 综上所述，当或9时，使得、两点之间的距离为6； （3）设点对应的数为，点对应的数为，运动时间为， 甲、乙均反弹之后在的中点相遇，则、的中点对应的数为， ，，，， 化简得；∴与的关系式为． 题型6、动态定值（含参型）模型 【例1】（25-26七年级上·广东佛山·阶段练习）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离． 【问题解决】（1）在数轴上，点表示的数是2，点表示的数是，则点与点之间的距离______． （2）如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为4，点与点之间的距离为5，那么_______．（3）若，则的最小值为________，此时正整数的值为________． 【关联运用】（4）点、、是数轴上的三个点，点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是8，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】（1）5；（2）或9；（3）3，1或2；（4）不会改变，值为5 【详解】（1）解：由题意知，，故答案为：5； （2）解：由题意知，或，故答案为：或9； （3）解：，表示数轴上表示的点到数轴上表示和 2 的点之间的距离和， ∵，∴当表示和 2 之间的点时，有最小值 3 ， ∴此时正整数的值为 1 或 2 ；故答案为：3，1或2． （4）解：不变，理由如下：由题意知，秒钟时，运动后的点表示的数分别为， ，由题意知，， ∴的值不会随着时间的变化而改变，其值为5． 必记结论 数轴上的动态定值（无参型）模型描述动点运动过程中某些量（如线段长度、距离差等）保持不变的场景，需通过代数表达和几何关系分析定值的存在性及数值。题目中不引入额外参数（如速度、时间变量），直接通过动点初始位置、运动规则或几何关系推导定值。 1）解题策略与步骤：‌ 步骤1‌：用代数式表示动点位置，例如动点A从x0​出发，以速度v移动，则t秒后位置为x0+vt。 步骤2‌：根据题目条件（如中点、等分点）建立相关量的表达式（如线段长度、差值的绝对值）。 步骤3‌：化简表达式，观察是否消去变量项，验证是否为定值。 2）常见定值类型：线段长度定值‌：两动点或动点与定点间的距离保持恒定。 代数式定值‌：如∣xA−xB∣±kxC的值为固定常数。 位置关系定值‌：如动点始终为中点或特定分点，导致相关表达式不变。 【小试牛刀】 1.（25-26七年级上·四川攀枝花·期中）已知数轴上A，B两点对应的数分别为，6，O为原点，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x， (1)______，______（用含x的式子表示）； (2)在数轴上是否存在点P，使？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由； (3)若点P以每秒1个单位长度的速度从O点向右运动，同时点A以每秒5个单位长度的速度向左运动，点B以每秒20个单位长度的速度向右运动，在运动过程中，M，N分别是的中点，问的值是否发生变化？请说明理由． 【答案】(1)，；(2)存在，当或7时，；(3)的值不发生变化，理由见详解． 【详解】（1）解：依题意，，；故答案为：；． （2）解：存在，过程如下：依题意，分三种情况：①当点在、之间时，； ②当点在点右边时，，，令，解得； ③当点在点左边时，，，令，解得， 综上，当或7时，； （3）解：的值不发生变化，理由如下：设运动时间为， 根据题意得，，，， ∴，∴，∴， 故，，， ．∴的值不发生变化． 2.（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在数轴上，点O为原点，点表示的数为，点表示的数为，且a，b满足． (1) ___________； ___________；(2)动点分别从点，点同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度．①几秒时，点与点距离6个单位长度？②动点分别从点，点出发的同时，动点也从原点O出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒个单位长度．记点与点之间的距离为，点与点Q之间的距离为，点O与点之间的距离为．设运动时间为秒，请问：是否存在的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此值和这个定值；若不存在，请说明理由 【答案】(1)，6(2)①8秒或20秒时，点P与点Q距离6个单位长度； ②存在，当n的值为4时，使得在运动过程中，的值是定值，定值为34. 【详解】（1）解：，∴，解得：；故答案为：，6； （2）解：①运动时间为t秒，P表示的数为，Q表示的数为， ∵点P与点Q距离6个单位长度，∴，解得：或， ∴8秒或20秒时，点P与点Q距离6个单位长度； ②存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值，由题意可知，R表示的数是， ∵，∴，，，， ∴， 当，即时，的值为34， 即n的值为4时，的值是定值，定值为34； 3.（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，在数轴上点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且，满足． (1)______；______；(2)动点，分别从点，点同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度．①运动几秒时，点与点距离个单位长度； ②动点，分别从点，点出发的同时，动点也从原点出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒个单位长度．记点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，设运动时间为秒，请问，是否存在的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此值和这个定值． 【答案】(1)，；(2)①秒或秒；②存在，的值为，这个定值为． 【详解】（1）解：，，，，，故答案为：，； （2）解：①当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得，，即或，解得：或， 答：运动秒或秒时，点与点距离个单位长度； ②存在，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，，， ， 时，，当时，为定值． 答：存在，的值为，这个定值为． 题型7、动态定值（含参型）模型 【例1】（25-26七年级上·广东江门·阶段练习）唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”．距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知点P，Q在数轴上分别表示有理数p，q，P，Q两点之间的距离表示为．例如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；有理数5与﹣2对应的两点之间的距离为；…；解决问题： 已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足，． (1)分别求a，b，c的值； (2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的4倍时，请求出x的值； (3)点M是AB的中点，O为原点，点N为数轴上一动点y，当取最小时，满足条件的点N对应的y的整数值共有 个． (4)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)或(3)3(4)存在， 【详解】（1）解：∵，∴， ∴，∴； （2）∵，∴点A表示的数为1，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，∵，∴，∴或； （3）∵点A表示的数为1，点B表示的数为，点M是的中点，∴点M表示的数为， 当N在之间时，， 当N在A点右边时，， 当N点在B点左边时，，∴的最小值是4， ∵点N为数轴上一动点y，∴，则， 当时，， 当时，，∴， 当时，，∴的最小值为， ∴只有和都取最小时，才取最小值，也就是当时，取最小值，满足条件的点N对应的整数值有，，共有3个，故答案为：3； （4）存在符合条件的k值，∵点A表示的数为1，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴经过t秒点A表示的数是，点B表示的数是， ∴，， ∴， ∴时，的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变， 即存在符合条件的k值使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变． 必记结论 数轴上动态定值（含参型）模型需分析含参数（如速度、距离比例等）的动点运动过程中某些量的恒定性，通过代数建模和参数消去法验证定值存在性及数值。 线段和差定值‌：如PA+PB或∣PA−PB∣恒为常数，需结合参数化简表达式。 代数式定值‌：如kxA+mxB的值与时间无关，需分离含时项并令其系数为零。 速度参数‌：多个动点以不同速度运动，需联立方程消去时间变量，验证定值。 比例参数‌：如线段比例或代数式含系数m（如mAB−2BC），需通过参数约束条件确定定值。 通过参数化建模、代数式分离与含时项消去，可系统解决含参型动态定值问题，需特别注意参数解的适用范围及多解可能性 【小试牛刀】 1.（24-25七年级下·广东揭阳·开学考试）如图，在数轴上点表示的数，点表示数，和满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为________，点表示的数为________，线段的长为________． (2)若点从点出发，以3个单位长度每秒的速度向点运动，与此同时，点从点出发，以2个单位长度每秒的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动．在两点运动过程中是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由． (3)点、分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，4，(2)存在，或(3)存在，时，定值为28 【详解】（1）解：∵，，∴， ∴，∴，∴点A表示的数为，点B表示的数为， ∴，故答案为：，4，； （2）解：设运动时间为t，∴点P表示的数为，点Q表示的数为， 当P、Q两点相遇前，时，∴，解得，∴此时点Q表示的数为； 当P、Q两点相遇后，时，∴，解得，∴此时点Q表示的数为； ∵，∴当运动时间为2秒时，，此时点Q表示的数为；当运动时间为秒时，，此时点Q表示的数为； （3）解：存在，当点、分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒， 则t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，点表示的数为， ∴， 当，即时，为定值28 2.（25-26七年级上·甘肃天水·阶段检测）如图，在数轴上有A、B、C三点，所表示的数分别是，2，，有两条动线段和满足，，初始状态点P与点C重合，点N与点B重合，若线段以每秒2个单位的速度从点C开始沿数轴向右匀速运动，同时线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动．    (1)当P、N两点相距4个单位时，运动时间为多少秒？ (2)设运动时间为t秒，当点M运动到点C时，线段、同时停止运动，当C，P，M中某一点为另外两点构成线段的中点时，求时间t的值；(3)当点运动到点B时，线段立即以相同的速度返回，直到点M运动到点C时，线段，同时停止运动，设运动时间为t秒，当时，存在两个常数m，n使得的值与t无关，请直接用等式表示m与n的数量关系． 【答案】(1)或(2)或4(3) 【详解】（1）解：设运动时间为秒，得点P表示的数为，点N表示的数为， 由 P、N两点相距4个单位， 得，即，当时，；当时，； 综上所述，P、N两点相距4个单位时，运动时间为或秒； （2）解：秒后点表示的数为，点表示的数为， 当点为的中点时，则：，解得： ； 当点为的中点时，则：，解得：； 综上所述，当中某一点为另外两点构成线段的中点时，时间的值为或4； （3）解：点运动到点需要的时间为：（秒）， ∴当时，线段向左运动，点表示的数为， ，， ， ∵常数使得的值与无关，，即． 题型8、数轴折叠（翻折）模型 【例1】（25-26·重庆·七年级期中）已知在纸面上有一数轴（如图）折叠纸面． （1）若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数_____表示的点重合； （2）若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①13表示的点与数_____表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 【答案】（1）5；（2）①-17；②A点表示的数为-1013，B点表示的数为1009 【详解】解：（1）∵表示1的点与表示-1的点重合， ∴与表示-5的点重合的点表示的数为1+（-1）-（-5）=5．故答案为：5． （2）①∵表示1的点与表示-5的点重合，∴与表示13的点重合的点表示的数为1-5-13=-17．故答案为：-17． ②设A点表示的数为x，则B点表示的数为x+2022， 根据题意得：1-5=x+x+2022，解得：x=-1013，∴x+2022=1009． 答：A点表示的数为-1013，B点表示的数为1009． 必记结论 数轴折叠模型通过几何对称性分析折叠前后点的对应关系，解决折痕位置、对称点等问题。 1）若折叠后点a与点b重合，则折痕对应的点m为两点的中点，满足：或b=2m−a； 2）折叠后，对称点到折痕的距离相等，折痕位置可通过线段比例或代数方程求解； 3）若折叠后动点继续运动，需分段分析折叠前后的位置变化及运动轨迹。 【小试牛刀】 1.（25-26·江苏·七年级期中）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ；（2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ；（3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ； （6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 【答案】（1）；（2）或或；（3）2或10；（4）2；（5）-6；（6）或 【详解】解：（1）笔尖的位置表示的数为故答案为； （2）机器人向右移动两次，则B点表示的数为 机器人向左移动两次，则B点表示的数为 机器人向右移动一次，再向左移动一次，则B点表示的数为 故答案为或或 （3）设点P向左移动个单位，则点P表示的数为，，， 由题意可得：，解得或即向左平移2或10个单位长度 故答案为2或10 （4）由题意可得：对称中心为，则表示−4的点与表示2的点重合 故答案为2 （5）由题意可得，A点在表示−1的点的左侧5个单位长度，则A点表示的数为 故答案为-6 （6）由题意可得：，则， 即之间的距离为8 当在左侧时，，点N表示的数为-4 当在右侧时，，点N表示的数为12 故答案为或 2.（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究： (1)操作1：折叠纸带，若数轴上表示的点与表示的点重合，则与表示的点重合的点表示的数是______． (2)操作2：若点、表示的数分别是、，点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向左匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒， ①在运动过程中，当为______时，点与点重合； ②在运动过程中，当为何值时，点与点之间的距离为； (3)操作3：在数轴上剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点向左对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图），若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是______． 【答案】(1)(2)①；②或(3)或或或 【详解】（1）解：折叠纸带，若数轴上表示的点与表示的点重合，折痕点表示的数是， 表示数的点与它重合的点重表示的数为：，故答案为：； （2）解：由题意得，， 点、表示的数分别是、，点表示的数为，点表示的数为， ①点与点重合，，解得，故答案为：； ②点与点之间的距离为，，解得或； （3）设表示的点是， 表示的点是，，， 当三条线段的比值为时，，，则； 当三条线段的比值为时，，，则； 当三条线段的比值为时，，，则； 当三条线段的比值为时，，，则； 当三条线段的比值为时，，，则； 当三条线段的比值为时，，，则； 折痕处对应的点表示的数可能是或或或，故答案为∶或或或． 题型9、数轴上的线段移动模型 【例1】（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，点，，，在数轴上对应的数分别为，，，，且，，，，． (1)求线段的长度；(2)若线段以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，线段以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为秒（），点，分别为，的中点． ①在运动过程中，的长度是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由； ②求出线段与重叠部分的长度（用含的代数式表示）． 【答案】(1)15(2)①是定值，；②或或． 【详解】（1）解：，，． ，，．． （2）解：的值为定值，理由如下：①记所对应的数为，． 运动秒后，点，，，在数轴上对应的数分别：，，，． ，分别为，的中点，，， ．的值为定值． ②∵，线段和线段的速度和为每秒3个单位长度 ∴当点B和点C重合时的时间为（秒），∴当时，没有重叠部分； 当点B和点D重合时的时间为（秒）， ∴当时，点在点与点之间，∴； 当点A和C重合时的时间为（秒），∴当时，； 当点A和点D重合时的时间为（秒）， ∴当时，点在点与点之间，∴． 当时，没有重叠部分．综上所述，或2或． 必记结论 数轴上的线段移动模型研究线段整体平移的动态变化规律，需结合代数表达与几何关系分析线段长度、覆盖范围等核心问题。 线段沿数轴以固定速度单向或往返移动，需用代数式表示端点位置变化（如左移减速度，右移加速度）；动态过程中需关注线段覆盖区域，及与其他线段的交互（如重叠）。部分模型中，线段长度或端点间的代数差保持恒定（如平移速度对称时，两动线段差为定值） 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，在数轴上有两个正方形和，点为原点，点、、、表示的数分别为，，4，14．正方形以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时正方形以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，运动后的正方形分别记为正方形与正方形． (1)点表示的数为______，点表示的数为______．(2)当时，求的值． (3)在运动过程中，两个正方形会出现重叠部分，设重叠部分的面积为． ①当达到最大值时，求持续的时间为几秒；②当时，请直接写出点所表示的数． 【答案】(1)；(2)1或3；(3)①秒；②3或9． 【详解】（1）解：点表示的数为：，点表示的数为：，故答案为：；； （2）解：，，解得：或，的值为1或3； （3）解：①由题意得：当正方形完全落在正方形内时，重叠部分的面积最大， 秒后，点表示的数为，点表示的数为， 当点与点重合时：，解得：， 秒后，点表示的数为，点表示的数为， 点与点重合时：，解得，（秒），持续的时间为秒； ②根据题意可得正方形的边长为， 当点在线段上，重叠面积为，，，解得， 表示的数为， 当点在线段上，重叠面积为时，，，解得， 表示的数为，故点表示的数为3或9． 2.（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图1，点C是线段上一点，若，我们称为点在线段上的“分割值”，记为．例如点在上，，则；反之当，则． (1)如图2，数轴、两点对应的数为、，且分别满足和． ①求出 ； ；②请在图2的数轴上画出、两点． (2)为数轴上一个动点，从点向终点匀速运动．①若点表示的数为，则 ． ②如图，数轴上另一个点从点出发向点运动，到达点后立即以原速返回点，当点到达点B时，，都停止运动．若点和点的运动速度分别为每秒个单位和每秒个单位，且点和点同时出发，运动秒后，是否存在，若存在，求出的值；不存在，请说明理由． (3)如图4，在四边形中，，，，，点，同时从点出发向终点匀速运动，点沿折线运动，点沿线段运动．设点，的速度分别为和且满足，若，当点运动到线段上时，则 ．（用含有的代数式表示） 【答案】(1)①；；②见解析；(2)①；②或；(3) 【详解】（1）①，， ，，，，故答案为：，； ②点和点如图所示， （2）解：①由（1）可得， 点表示的数为，，，，故答案为：； ②第一种情况：当点到达点之前时， 此时，，，，，，解得； 第二种情况：当点到达点后，返回点时，此时，， ，，，解得；综上，的值为或； （3）解：，∴设点速度为，点速度为， 设运动时间为，则，，即，， （点的运动路程）， ．故答案为：． 3.（25-26七年级上·江苏连云港·期中）伴随着连淮扬镇铁路淮镇段的首发运行，世界首座高速铁路悬索桥——五峰山长江大桥正式开通运营.如图，点O为原点，向右为正方向.甲动车位于处，向右行驶.乙动车位于处，向左行驶.五峰山长江大桥主桥为；甲、乙两动车长度相等，速度均为米/秒.表示的数分别是，且满足. (1)______，间的距离是______米，间的距离是______米；(2)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点C的距离等于米？(3)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于米？(4)两车同时运行，若甲动车A处的乘客记为点M，向右走，速度为2米/秒、乙动车处于中点位置的座位上的乘客记为点N，乘客M从车尾走到车头的过程中是否存在一段时间t，恰好同时在五峰山长江大桥上？如存在，请直接写出t的值. 【答案】(1) ；；(2)秒或秒(3)秒或秒(4) 【详解】（1）解：∵ ∴， ，;∴ ，， ∵甲、乙两动车长度相等;∴ （米） ;（米）故答案为：100，1400，1600； （2）解：（米），（米）（秒）（秒） 答：甲动车行驶秒或秒时，，点M到点C的距离等于米． （3）解：分两种情况，当点M在点B左侧时； （米）;（米）;（米）;（秒） 当点M在点C右侧时； （米）;（米）;（米）;（秒） 答：甲动车行驶秒或秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于米． （4）解：存在；乘客M到达点B的时间为： （秒） 乘客M到达点C的时间为：（秒） 乘客N到达点C的时间为：（秒） 乘客N到达点B的时间为：（秒） ，;（秒）;故的值为：； 基础过关 1．（24-25七年级上·河南·期中）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且、满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点、同时出发，当、两点相距个单位长度时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：，，，解得：，， 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，表示的数是，表示的数是， 根据题意可得：，即：，解得：或，故选：． 2．（25-26七年级上·浙江·专题练习）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90．（1）与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ；（2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ； 【答案】 40 【详解】解：（1）M点对应的数是：；故答案为：40； （2）A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90，， 设t秒后P、Q相遇，，解得， 此时点P走过的路程为，此时C点表示的数为． 即：C点对应的数是．故答案为：． 3．（25-26七年级上·浙江·专题练习）已知有理数a，b满足∶ ．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），且，下列结论：    ①，；②当点B与点O重合时，；③当点C与点A重合时， 若点P是线段延长线上的点， 则；④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N 为线段的中点，则线段的长度不变． 其中正确的有 个． 【答案】3 【详解】解：∵，∴，，∴，，故①正确； ∴，当点B与点O重合时，点B在点C的左侧， ∴C对应的数是2，∴，故②错误； 当点C与点A重合时，点C对应的数是4，点B对应的数是2，设点P对应的数是x， 则，，，∴，故③正确； 设B表示的数为，则C表示的数为， ∵M为线段的中点，∴M表示的数为， ∵N为线段的中点，A表示的数是4，∴N表示的数为 ∴，故④正确，∴正确的是①③④，有3个．故答案为：3． 4．（25-26七年级上·浙江·期末）如图1所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以发现终点表示的数是，已知点A，B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题． (1)如果点A表示数，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是 ，A、B两点间的距离是 ；(2)如果点A表示数5，将点A向左移动9个单位长度，再向右移动11个单位长度，那么终点B表示的数是 ，A、B两点间的距离为 ；(3)一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度，那么，请你猜想终点B表示的数是 ，A、B两点间的距离是 ．(4)如图2，在数轴上从左到右边依次有A，B，C三点，点A与点B之间的距离为3，点B与点C之间的距离为5，如果P，Q两点同时出发，点P以每秒钟2个单位长度的速度从点A向右运动，点Q以每秒钟4个单位长度从点C向左运动，经过 秒后，点P与点B的距离和点Q与点B的距离相等． 【答案】(1) 3 7(2) 7 2(3) /(4)或4 【详解】（1）解： 点A表示数，点A向右移动7个单位长度，终点B表示的数是． A，B两点间的距离是．故答案为：3；7． （2）解：点A表示数5，将A点向左移动9个单位长度，再向右移动11个单位长度． 终点B表示的数是，A，B两点间的距离．故答案为：7；2． （3）解：点A表示数m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度， 那么终点B表示的数是， A、B两点间的距离是；故答案为：，． （4）解：如图，，，．令B对应的数为0，A对应的数为3，C对应的数为5． 由题意，设t秒后点P与点B的距离和点Q与点B的距离相等， ①当Q在B右侧时，t秒后，，，．（秒）． ②当Q在B左侧时，t秒后，，，．（秒）．故答案为：或4． 5．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，数轴上点为，点为，点是数轴上的一个动点． (1)若点到的距离为，点到的距离为．①当时，求点所表示的数．②当时，求点所表示的数．(2)如图，数轴上动点在动点右侧，并且始终与动点保持个单位长度的距离，四个点中，记其中两个点的距离为，剩余两个点的距离为，当，在点之间运动时，若，求点所表示的数． 【答案】(1)①；②点所表示的数为或；(2)点所表示的数为或或或 【详解】（1）解：①， 当时，点是的中点，点所表示的数． ②当时，若在左侧，，点所表示的数 若在之间，，点所表示的数点所表示的数为或． （2）解：，，点所表示的数 ，，点所表示的数 ，，点所表示的数 ，,点所表示的数 点所表示的数为或或或． 6．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，，两点之间的距离表示为，记为．    (1)如图，点在数轴上所对应的数为，，则点对应的数为________． (2)在（1）的条件下，若点在的右侧，同时点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点时，求，两点间的距离． (3)在（2）的条件下，若点运动到后静止不动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，求经过多长时间，． 【答案】(1)2或(2)10(3)8或12 【详解】（1）设点B对应的数是b， 因为，所以，解得或．故答案为：2或； （2）由（1）知点B对应的数是2，点A运动了（单位长度）， ∴（秒），∴点B向左运动了（单位长度）， 则点B运动到了点，所以A，B之间的距离是； （3）因为，解得或，，所以经过8秒或12秒． 7．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究宁波地铁的运行． 素材1 宁波轨道交通1号线是宁波第1条建成运营的地铁线路，极大地便利了市民的日常出行．为了研究方便，地铁运行过程中速度看成恒定，每相邻两站的间距都可近似看成相等，且每相邻两站之间地铁的运行时间都为2分钟，每站停靠时间30秒．如图1是1号线部分线路图： 素材2 小明觉得可以用数轴上的动点来刻画地铁的运行过程，他以东门口站为原点，建立了如下图2的数轴．其中数字1代表江厦桥东站，数字2代表舟孟北路站，以此类推． 数轴上的动点P可以用来刻画运动的地铁，动点P每次运动到一个整数点时，都需要暂停30秒，代表地铁到站停靠． 问题解决 探究1 图2中数字5代表______站． 探究2 如图2，动点P从原点出发，运动t分钟到数字3和数字4之间时（不含数字3和数字4），求点P在数轴上表示的数（用含t的代数式表示）． 探究3 如图3，A从江厦桥东站上车，往东环南路方向乘坐地铁，同时B从福庆北路站上车，往东门口方向坐地铁．若两辆地铁恰好同时从江厦桥东和福庆北路出发，则出发多久后两人在数轴上刚好相距2．5个单位长度． 【答案】探究1：世纪大道；探究2：；探究3：出发4分钟或分钟后两人相距个单位长度 【详解】解：（1）∵以东门口站为原点，∴图2中数字5代表世纪大道站． （2）点在数轴上表示的数为． （3）设A运动分钟后在数轴上表示的数为， ①当两辆地铁相遇前相距个单位长度时，，则（分钟）； ②当两辆地铁相遇后相距个单位长度时，   则（分钟）． 综上所述，出发4分钟或分钟后两人相距个单位长度． 8．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上，两点所对应的数分别是和． (1)则_______，________；，两点之间的距离为_______；(2)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第几次时，点到达点；(3)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第次时，求点所对应的有理数． 【答案】(1)，，；(2)当运动到第次时，点到达点；(3)第次运动点对应的数为． 【详解】（1）解：∵是关于的二次多项式，且二次项系数为， ∴，，∴，∴，两点之间的距离为，故答案为：，，； （2）解：第次运动点对应的数为；第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为；第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为；第次运动点对应的数为；， ∴当第次运动时，点对应的数为，且奇数次逐项递减，偶数次逐项递增， ∵点在点A的右边，则点P需要经过偶数次运动，又点B对应的数为， ∴，∴，∴；∴当运动到第次时，点到达点； （3）解：由（）中的规律点对应的数为，且奇数次逐项递减，偶数次逐项递增， ∴第次运动点对应的数为． 9．（25-26·浙江·七年级专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数．(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 【答案】(1)(2)存在，x的值为2或(3)24 【详解】（1）解：∵A、B两点之间的距离为，P到A、B两点的距离相等， ∴，∴点P对应的数为； （2）解：①当P在AB之间时，． ②当P在A点左侧时，，解得：； ③当P在B点右侧时，，解得：， 故当点P对应数x的值为2或时，点P到A、B两点距离之和为6； （3）解：设经过x分钟点A与点B重合，由题意可得，点P运动的时间即为点A追上点B的时间， ∴，解得，∴， 故当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是24． 10．（25-26·河南洛阳·七年级期末）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则． 问题提出：(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______． (2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0） ①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______； ②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 【答案】(1)；(2)①；；②当t为3时，P、Q两点相遇；相遇点所表示的数是7 (3)所需要的时间为9秒；相遇点所表示的数是1 【解析】(1)∵A表示的数为−2，点B表示的数为13， ∴AB＝|13−（−2）|＝15，线段AB的中点表示的数为；故答案为：15；． (2)①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为13−2t；故答案为：−2＋3t；13−2t． ②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7； 答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7． (3)由已知得：P运动5秒到B，Q运动秒到A， 返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t−）， 根据题意得：13−3（t−5）＝−2＋2（t−），解得t＝9， 第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1， 答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1． 能力提升 1．（24-25七年级上·福建福州·期末）对于数轴上的三点，给出如下定义：若点P在线段上，且点P与A，B两点的距离恰好满足2倍关系时，即或，则称点P是A，B两点的“2倍点”．如图，若点A以每秒1个单位长度的速度从表示数的点向右运动，点B以每秒4个单位长度的速度从表示数4的点向右运动，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，三个点同时出发，设出发t秒后，若点P恰好是点A，B的“2倍点”，则t的值是（   ） A．2 B．1 C．2或 D．或1 【答案】D 【详解】解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：或，解得：或， 的值为或1．故选：D． 2．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，4． 点A到点C的距离可以用表示，且． (1)应用： ， ；(2)拓展：若点A沿数轴向右以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒时点A表示的数是 ，此时， （用含t的式子表示）；(3)探究：若点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和8个单位长度的速度向左运动，则的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求出的值． 【答案】(1)6；10(2)；或；(3)当时的值随着时间t的变化而改变；当时，的值不随着时间t的变化而改变，． 【详解】（1）解：，，故答案为：6；10； （2）解：t秒时点A表示的数是，此时或， 故答案为：；或； （3）解：t秒时点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是， 当点A与点B重合时，，解得， 当时，，， ∴，此时的值随着时间t的变化而改变； 当时，，， ∴，此时的值不随着时间t的变化而改变， 综上，当时的值随着时间t的变化而改变；当时，的值不随着时间t的变化而改变，． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知数轴上两点对应的数分别为和，两点对应的数互为相反数．    (1)求的长；(2)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动．同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点停止，设运动时间为（秒）．①问为何值时，为的中点？②当时，求的值． 【答案】(1)18(2)①2或②4或8或12 【详解】（1）解：∵，两点对应的数分别为和，，两点对应的数互为相反数， ∴点对应的数为，∴； （2）解：设点对应的数为，点对应的数为， 则：，， ①当时，，即：，解得：， 当时，，即：，解得：， 综上所述，的值为2或； ②当时，∵，∴，解得：或， 当时，∵，∴，解得：或（舍）， 综上所述，的值为4或8或12． 4．（23-24七年级上·湖北随州·期中）已知，其中分别为点、点在数轴上表示的数，如图所示． 动点分别从同时开始运动，点以每秒6个单位向左运动，点以每秒2个单位向右运动，设运动时间为秒．(1)直接写出的值； (2)请用含的代数式表示点在数轴上对应的数为：___________，点在数轴上对应的数为___________． (3)当相遇后，点继续保持向左运动，点在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍． 在整个运动过程中，当之间的距离为2个单位时，求运动时间的值（需写出必要的解答过程）．    【答案】(1)(2)，(3)秒或秒或秒或秒 【详解】（1）解：，，，解得：； （2）解：由（1）可得：，点表示的数为12，点表示的数为， 动点分别从同时开始运动，点以每秒6个单位向左运动，点以每秒2个单位向右运动，设运动时间为秒， 点在数轴上对应的数为：；点在数轴上对应的数为：，故答案为：，； （3）解：设当之间的距离为2个单位时，运动时间为秒， 相遇前：，解得： 相遇后：相遇的时间为：（秒）， 相遇点为，点在原地停留4秒时，，解得：； 由题意得：当相遇后，点在数轴上对应的数为：，点在数轴上对应的数为：， 当在左侧时，，解得：， 当在右侧时，，解得：， 故当之间的距离为2个单位时，运动时间为秒或秒或秒或秒． 5．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是14． (1)若点P是数轴上一动点，当动点P到点A的距离与到点D的距离之和等于34时，则点P对应的数是 ； (2)若点M从点A出发向右运动，速度为2个单位长度/秒，点N从点D出发向左运动，速度为4个单位长度/秒，点P从原点出发，速度为3个单位长度/秒．点M，N和P三点同时运动，点P先向右运动，遇到点N立即掉头向左运动，遇到点M再立即掉头向右运动，如此往返，当M，N两点相距12个单位长度时，点P立即停止运动，此时点P移动的路程为 个单位长度； (3)若线段以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动．点P是线段上一点，当B点运动到线段上时，是否存在关系式，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或20(2)9(3)存在，6或 【详解】（1）解：设点P对应的数为x， 当P在A、D两点之间时，，不存在满足条件的P点， 当点P在点A的左侧时，，解得； 当点P在点A的右侧时，，解得．故答案为：或20． （2）设运动t秒时，M，N两点相距12个单位长度， 此时点M所对应的数为：，点N所对应的数为：． 当点M和点N相遇前，则，解得， 又因为点P的速度为3单位每秒，所以点P移动的路程为：个单位长度． 当点M和点N相遇后，因为点N速度比点P速度快，所以此种情况不存在．故答案为：9． （3）设运动的时间为a秒，因为点B运动到线段上，则，解得， ，解得，则． 设点P所对应的数为m，由点P是线段上一点得，． 则，， 或． 当时，，整理得， 又∵，∴． 当时，同理可求得， 又因为，所以．故线段的长为：6或． 6．（23-24七年级上·陕西渭南·期中）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．    (1)若，求x的值；(2)若，求x的值；(3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由． 【答案】(1)(2)或(3)的值不会随着t的变化而变化，定值是2 【详解】（1）解：∵，∴在之间，则，， ∴，解得，，∴x的值为1． （2）解：由题意知，， ∵，∴，即，或，解得或． （3）解：的值不会随着t的变化而变化； 由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴，∴的值不会随着t的变化而变化，定值是2． 7．（24-25七年级上·浙江·期中）阅读材料并回答问题： 对于数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离之间恰好满足倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点，，表示的数分别为，，，点与点的距离是，点与点的距离是，此时点是点，的“关联点”． (1)若点表示，点表示．，，，对应的点分别是，，，，则其中哪几个点是点，的“关联点”？(2)点表示的数是，点表示的数是，为数轴上一个动点．若点在点的左侧，且点是点，的“关联点”，则点表示的数是____________． 【答案】(1)，；(2)或或． 【详解】（1）解：∵，，∴不是点，的“关联点”， ∵，，∴，∴是点，的“关联点”， ∵，，∴∴是点，的“关联点”， ∵，，∴不是点，的“关联点”， 综上可知：，是点，的“关联点”； （2）设表示的数为，则由题意得，∴，， ∵点是点，的“关联点”，∴当时，即， 则或，解得：或； 当时，即，则或， 解得：或（不合题意，舍去）； 综上可知：点表示的数是或或，故答案为：或或． 8．（25-26·江苏连云港·七年级校考期中）已知M、N两点在数轴上所装示的数分别为m、n，且m、n满足： (1)则m =  _________ ，n =  _________ ；(2)①情境：有一个玩具汽车如图所示，放置在数轴上，将汽车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具汽车的长为 _________ 个单位长度； ②应用：一天，小阳问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了!”小阳心想：爷爷的年龄到底是多少岁呢?聪明的你能帮小阳求出来吗? (3)在（2）①的条件下，当汽车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动．记汽车运动后对应的位置为．是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关?若存在，请直接写出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10，(2)①4；②64岁(3)存在，使得的值与它们的运动时间无关 【详解】（1）解：∵，， ∴，∴，∴，故答案为：10，； （2）解：①由题意得：， ∴，∴玩具火车的长为4个单位长度，故答案为：4； ②同①可知爷爷比小阳大岁，设爷爷的年龄为x岁，则小阳的年龄为岁， 由题意得，解得，∴爷爷的年龄是64岁； （3）解：由题意可得， ， ∴， ∵的值与它们的运动时间无关∴，∴， ∴存在，使得的值与它们的运动时间无关； 挑战一刻 1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒6个单位和每秒3个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（    ） A．4 B．16 C．4或16 D．8或16 【答案】D 【详解】解：，且，点、表示的数分别为，10，根据题意得，，， 长分两种情况：①当时，，， 要使的值在某段时间内不随着的变化而变化，则，即， ②当时，，， 要使的值在某段时间内不随着的变化而变化，则，即，故答案为：D． 2．（25-26七年级上·天津津南·期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化．请思考下列问题： (1)平移运动:①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为 ． A．  C． B．  D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换:①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示的点与表示 的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 ，B点表示 ． ③若数轴上折叠后重合的两点分别表示数a，b，则折叠中间点表示的数为 （用含有a，b的式子表示） 【答案】(1)①D；②(2)①2019；②，1010；③． 【详解】（1）①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为，故选：D． ②一机器人从数轴原点处开始，第1次向左跳一个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依此规律跳， 当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是，故答案为：． （2）①对称中心是1，表示的点与表示2019的点重合，故答案为：2019； ②对称中心是1，，则点表示，点表示1010，故答案为：，1010； ③若数轴上折叠重合的两点的数分别为，，折叠中间点表示的数为；故答案为：． 3．（24-25七年级上·浙江·期中）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？ 探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）； 探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 【答案】探索1：从点A运动至点B的时间为秒；探索2：表示的数为；探索3：动点运动的时间是秒或秒． 【详解】解：探索1：点表示，点表示，，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， 在段速度为个单位长度/秒，从点运动至点的时间为：（秒）； 探索2：的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， 在段速度为个单位长度/秒， 由探索1可得：在段运动时间为：秒，， 点表示，表示的数为：； 探索3：设秒后，①当在上时，，， ，，，，（秒）； ②当在上时，，， ，，（秒）． 综上：动点运动的时间为秒或秒． 4．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，在点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点和点在数轴上相距个长度单位，动点从点出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点从点出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为个单位/秒，“上坡路段”从到速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从到速度变为“水平路线”速度的倍．设运动的时间为秒，问： (1)动点从点运动至点需要时间为_____秒；(2)、两点到原点的距离相同时，求出动点在数轴上所对应的数． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：根据题意知：个单位，个单位，个单位，∴“水平路线”速度是个单位/秒，从到速度变为“水平路线”速度的一半， ∴动点从点运动至点需要的时间为秒，故答案为：； （2）解：设运动时间为秒， ①当，即在上，在上，由、两点到原点的距离相同得方程无解，不符合题意； ②当，即在上，在上时，表示的数是，表示的数是， ∴，解得，此时已不在上，不符合题意，这种情况不存在； ③当，即在上，在上时，表示的数是，表示的数是，∴，解得或，∴表示的数是或； ④当，即在上，在上时，表示的数是，表示的数是， ∴，解得不合题意，舍去， ⑤当，即在上，在上时，表示的数是，表示的数是，∴，此方程无解，不符合题意； 综上所述，、两点到原点的距离相同时，动点在数轴上所对应的数是或． 5．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，A、B两点在数轴上对应的数分别为、40，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个电子小球同时从原点出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变，当两小球第一次相遇时都停止运动．设两个小球运动的时间为t，那么： (1)当时，M在数轴上对应的数可以表示为 ； (2)小杨同学发现：当时，始终为定值．小杨的发现是否正确？若正确，请求出这个定值；若不正确，请说明理由．(3)在整个运动过程中，t为何值时M、N两个小球间的距离为6？请直接写出答案． 【答案】(1)(2)为定值，定值为60，理由见解析(3)或时，两个小球间距离为6 【详解】（1）M、N碰到挡板所需时间均为， ∴时M未碰到挡板运动距离为，又M向负轴运动，则M对应数轴上的数为，故答案为． （2）时，设O点在数轴上对应的数为0， 则，， 故为定值，定值为60． （3）时，，令，则； 时，； 令，则． 故或时，两个小球间距离为6． 6．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）如图1，点C在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)一条线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是“或“不是”） (2)如图2，数轴上A、B两点分别对应数a、b，且a、b满足关系式． ①若C是线段的“巧点”，则C点表示的数是多少？ ②动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒的速度沿向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时两动点同时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段的“巧点”． 【答案】(1)是(2)①或或②或或 【详解】（1）解：如图，若点是中点，则有成立，满足“巧点”定义， 一条线段的中点是这条线段的“巧点”，故答案为：是； （2）解：①，，，解得：，， 若C是线段的“巧点”，则分三种情况讨论： ）当时，此时，点表示的数是：； ）当时，此时，点表示的数是：； ）当时，此时，点表示的数是：； 综上，点表示的数是或或，答：点表示的数是或或； ②如图， 当移动的时间为t秒时，点表示的数为，点表示的数为， 当点Q恰好是线段的“巧点”时，分三种情况讨论： ）当时，，解得：； ）当时，，解得：； ）当时，，解得：； 综上，当或或时，点Q恰好是线段的“巧点”． 4 / 59 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $