第06讲 有理数的乘方（讲义，全国通用新教材北师大版）数学小升初衔接

第06讲 有理数的乘方 预习目标 知识回顾 1. 理解并掌握有理数的乘方，幂，底数，指数的概念及意义； 2. 会求有理数的正整数指数幂； 3. 理解科学记数法的的概念；会用科学记数法表示较大的数；能将用科学记数法表示的数变回原数； 4. 感受发现问题的过程中体会到从特殊到一般的思考方法，从而增进学好数学的自信心；体会科学记数法带来的优越性，感受数学中化繁为简的思想方法。 1. 有理数乘、除法的法则，有理数的乘、除法混合运算； 2. 倒数的意义，求已知数的倒数； 3. 有理数乘除运算相关的运算律。 新知导图 预习精讲 想一想 【思考1】手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细|的面条。你能算出拉扣7次后共有多少根面条吗？ 【材料1】2026年初国家金融监督管理总局发布的数据显示，2026年一季度，保险业原保险保费收入达‌2.3万亿元，同比增长约‌6.3%‌；行业总资产突破‌42.5万亿元‌，同比增长‌12.3%‌，整体呈现稳健增长态势 。‌保费与赔付‌：赔款与给付支出合计8893亿元，同比增长7.5%；新增保单件数321亿件，同比增长29% 。 【材料2】宇宙直径有多大？宇宙有多少岁？ 最新的研究认为宇宙的直径为1560亿光年，甚至更大。目前可观测的宇宙年龄大约为138亿年。 42.5万亿元=42 5000 0000 0000元；2.3万亿元= 2 3000 0000 0000元； 8893亿元=8893 0000 0000元； 321亿件=321 0000 0000件； 1560亿光年= 1560 0000 0000光年； 138亿年=138 0000 0000年。 【思考1】像上述两个材料中出现了一些大数，大家感觉它们的读和写是否比较麻烦，容易出错呢？ 大家有没有比较合适的方法来表示这些大数，使得这些大数易读，易写呢？ 知识点01 有理数的乘方 1. 有理数的乘方： 一般地，n个相同因数a相乘，记作；即= 求n个相同因数a的积的运算叫作乘方（power），乘方运算的结果（即）叫作幂（power），a叫作底数（base number），n叫作指数（exponent），读作“a的n次幂”（或“a的n次方”）。 注意：乘方运算本质上是乘法运算，它是同一个因数连乘的简便形式。 2．整数指数幂的符号规律： 1）正数的任何次幂都是正数；2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； 3）0的任何正整数次幂都是0。 注意：①除0以外的任何数的“0次幂”结果为1；②乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有；③在运算时要看清楚底数和指数到底是谁；④带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·河南郑州·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 2．（25-26七年级上·广东肇庆·期中）表示（   ） A．与5相乘的积 B．5个相乘的积 C．3个5相乘的积的相反数 D．5个2相乘的积 【答案】B 【详解】解：A、与5相乘的积：，故选项不符合题意； B、5个相乘的积：，故选项符合题意； C、3个5相乘的积的相反数：，故选项不符合题意； D、5个2相乘的积：，故选项不符合题意．故选： B． 3．（25-26七年级上·广西钦州·期中）下列关于的说法中，错误的是（  　） A．底数是 B．指数是2 C．结果为 D．表示2个相乘 【答案】C 【详解】解：∵，∴结果应为9，而不是． 选项A、B、D均正确，故选：． 4．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列各式的计算结果与相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ， 选项A：，和结果相等，故A选项符合题意； 选项B：，结果不相等，故选项B不符合题意； 选项C：，结果不相等，故选项C不符合题意； 选项D：，结果不相等，故选项D不符合题意． 5．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】解：∵， ∴原式 ，故选：A． 6．（25-26七年级上·安徽宣城·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ， 又∵ （指数2025为奇数），∴ 原式．故选：C 知识点02 科学记数法 1.科学记数法：一个大于的数可以表示成的形式（其中，是正整数），这种记数法称为科学记数法（scientific notation）。 2.科学记数法还原的法则：将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． 注意：将计数单位改写为具体的数，再根据科学计数法表示即可。如：1万=10000；1亿=100000000。 【即学即练】 1．（2026·河南周口·二模）2026年河南文旅市场持续升温，一季度全省文旅总收入约亿元，数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：亿． 2．（25-26七年级上·四川乐山·期末）2026年是中国工农红军二万五千里长征胜利90周年．数据25000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：．故选：C． 3．（2026·河南周口·三模）2026年河南文旅综合收入突破 元， 原数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】中， 将的小数点向右移动位，得到原数为，故选B． 4．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）有一张厚度为毫米的纸，将它对折一次后，厚度为毫米，对折10次后的厚度最接近于（   ） A．数学课本的厚度 B．成人的手掌宽度 C．课桌的高度 D．一层楼的高度 【答案】B 【详解】解；有一张厚度为毫米的纸，将它对折一次后，厚度为毫米，对折10次后的厚度为毫米，即接近成人的手掌宽度，故选：B． 5．（25-26七年级上·广东·期中）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．现在请你来计算：(1)一粒大米重约多少克？(2)按14亿人口，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示）；(3)若我们把一年节约的大米卖成钱，按4元/千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示）；(4)经过以上计算，你有何感想和建议？ 【答案】(1)0.02克(2)千克(3)元(4)答案不唯一，见解析 【详解】（1）解：（克），答：粒大米重约克； （2）解：（千克）， 答：一年大约能节约大米千克； （3）解：（元）， 答：卖得人民币元． （4）解：一粒米虽然微不足道，但是我们一年节约下来的钱数大得惊人．所以提倡节约，杜绝浪费﹐我们要行动起来．（合理即可） 题型速练 题型01 有理数乘方的概念 【例1】（25-26七年级上·广西崇左·期中），，说说它们的意义与读法． ，表示4个相乘，读作____________． 表示4个2相乘的相反数，读作__________或____． 【答案】 负2的4次方 负的2的4次方 2的4次方的相反数 【详解】解：中，括号表示底数是，指数4表示4个相乘，即，读作“负2的4次方”； 中，没有括号，指数运算优先于负号，即4个2相乘的积的相反数，结果为，读作“负的2的4次方”或“2的4次方的相反数”； 故答案为：负2的4次方，负的2的4次方，2的4次方的相反数． 【例2】（25-26七年级上·成都·专题练习）的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 【答案】 3 的3次幂 3个相乘 2 4 【分析】本题考查幂的底数和指数的概念，需注意负号的位置，区分整体底数与运算符号． 根据乘方的相关概念作答即可． 【详解】对于，底数是，指数是3，读作“的3次幂，”，含义是个相乘； 对于，负号是运算符号，底数是2，指数是4，表示2的4次幂的相反数，计算结果为． 故答案为：， 3，的3次幂，3个相乘； 2， 4，． 必记结论 个相同的乘数相乘，记作，读作“的次方”；其中：叫做底数，叫做指数，叫做幂。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）在学习了乘方运算后，对于聪聪和明明有如下讨论： 聪聪：表示有2个k相乘     明明：表示有2个k相加 你认为他们的说法（    ） A．只有聪聪是对的 B．只有明明是对的 C．他们两人都不对 D．他们都有道理 【答案】C 【详解】解：根据乘方的定义可知表示k个2相乘，∴两个人的说法都不正确，故选：C． 2．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）表示的意义是（   ） A．6个相乘的积 B．乘以6的积 C．5个相乘的积 D．6个相加的和 【答案】A 【详解】解：∵表示n个a相乘的积，∴表示6个相乘的积，故选：A． 3．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）在“”中，底数指的是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：表示的相反数，∴“”，底数是2﹒故选：A 4．（25-26七年级下·河北保定·期中）（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据乘法的意义，个相同加数相加，可得 根据乘方的意义，个相同因数相乘，可得原式． 题型02 有理数乘方的运算 【例1】（24-25七年级上·云南德宏·期末）下列算式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ，∴ A错误．∵ ，∴ B错误． ∵ ，∴ C错误．∵ ，等式成立，∴ D正确． 【例2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）比较大小： ________ ． 【答案】 【详解】解：∵，，又∵，∴． 必记结论 有理数乘方的运算：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。 【小试牛刀】 1．（2026·江苏扬州·一模）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、∵2027是奇数，负数的奇次幂为负数，∴，A错误； B、∵表示2的平方的相反数，∴，B错误； C、∵，∴C正确；D、∵，∴D错误． 2．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）若，则的值是（    ） A．1 B． C．0 D．2025 【答案】A 【详解】解：∵任意数的平方和绝对值都是非负数，且， ∴，，解得 ，， 将， 代入 得：. 3．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）有理数的值为（     ） A． B．4 C． D．1 【答案】D 【详解】解：． 4．（2026·山东潍坊·一模）下列说法中正确的是（   ） A．绝对值等于本身的数是0 B．相反数等于本身的数是1 C．平方等于本身的数是0和1 D．立方等于本身的数是0和1 【答案】C 【详解】解：A、绝对值等于本身的数是非负数，原说法错误； B、相反数等于本身的数是0，原说法错误；C、平方等于本身的数是0和1，正确； D、立方等于本身的数是0和，原说法错误. 5．（24-25七年级下·河南周口·阶段检测）已知，则的值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【详解】解：∵，∴，∴，∴，故选：A． 题型03 乘方运算的符号规律 【例1】（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）下列各组数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【详解】解：选项A：，，，符合要求； 选项B：，，，不符合要求； 选项C：，，，不符合要求； 选项D：，，，不符合要求． 【例2】（25-26七年级上·江苏·专题练习）如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 【答案】A 【详解】解：∵正数的任何次幂是正数，负数的奇次幂数负数，0正整数次幂是0 ∴一个有理数的奇次幂是正数，这个数一定是正数．故选：A． 必记结论 乘方的符号规律：1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·四川德阳·期中）当n为正整数时，的值是（ ） A．0 B．2 C． D．2或 【答案】C 【详解】解：∵ n为正整数，∴为偶数，为奇数， ∴ ，，∴ ．故选：C． 2．（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【答案】C 【详解】解：A、当n为偶数时，，而为的相反数，故A不符合题意； B、当n为奇数时，，此时与相等，而非互为相反数，故B不符合题意； C、当n为奇数时，，故C符合题意； D、当n为奇数时，与相等，故D不符合题意.故选：C. 3．（25-26七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴，，，0中，只有0是非负数．故选：A． 题型04 有理数乘方的逆运算（简算） 【例1】（24-25七年级上·福建·期中）（1）计算下面两组算式：①与；    ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）；理由见解析；（4） 【详解】解：（1）①，； ②，； （2）； （3），理由如下：； （4）． 【例2】（2026·河北唐山·二模）已知为正整数，化简：（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴． 必记结论 性质：。 【小试牛刀】 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：．故选：C． 2．（25-26八年级上·江西上饶·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：原式，．故选：． 3．（25-26七年级下·四川成都·期中）_______． 【答案】 【详解】解： ． 4．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵∴∴∴，故选：D． 题型05 偶次方的非负性的运用 【例1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若，则_________． 【答案】 【详解】解：∵，∴，∴，∴． 【例2】（25-26七年级上·成都·期中）如果a是有理数，那么的最小值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【详解】解：∵，∴，∴的最小值为．故选：B． 必记结论 1）常见非负数：≥0；≥0；2）根据非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）若，则（   ） A．3 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，且， ∴且，∴，，解得，，∴．故选：D． 2．（25-26七年级上·河北保定·期中）已知，则的值是（ ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：∵且，且， ∴且，∴，即， ∴，即，∴．故选B． 3．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为______． 【答案】 【详解】解：∵，∴∴， ∴的最大值为：；故答案为：． 4．（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）为有理数，下列说法中正确的是（　　） A．是正数 B．是正数 C．是负数 D．的值不小于 【答案】B 【详解】解：、当时，，此选项说法错误，不符合题意； 、∵，∴，即是正数，此选项说法正确，符合题意； 、当时，，此选项说法错误，不符合题意； 、∵，则，∴，的值不大于，此选项说法错误，不符合题意； 故选：． 题型06 用科学记数法表示大于1的数 【例1】（2026·安徽宿州·一模）2025年，安徽省农业产量再创新高，全年粮食总产量达到亿斤，连续9年稳定在800亿斤以上，居全国第6位．其中数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：亿． 必记结论 科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数。 注意：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n；②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号；③将计数单位改写为具体的数，再根据科学计数法表示即可。如：1万=10000；1亿=100000000。 【小试牛刀】 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）根据西安市文化和旅游局数据统计，某年春节假期，全市3A级以上景区共接待游客超1300万人次，数据“1300万”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】1300万，． 2．（25-26九年级下·河南鹤壁·阶段检测）作为中原粮仓，河南的耕地面积稳定在1.1亿亩以上，居全国第三位，则1.1亿用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵亿，∴亿，故选：A． 3．（25-26七年级上·北京海淀·期末）中国邮政定于年月日发行《丙午年》特种邮票套枚，计划发行套票套，将用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将用科学记数法表示为．故选：B． 题型07 用科学记数法表示大于1的数（含计算） 【例1】（24-25七年级上·山西·期中）献礼新中国成立周年的影片《我和我的祖国》，不仅彰显了中华民族的文化自信，也激发了观众强烈的爱国情怀与观影热情．据某网站统计，国庆期间，此部电影票房收入约亿元，平均每张票约元，估计观影人次约为（用科学记数法表示）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵22亿元= ，∴，故选：B. 必记结论 此类问题需先计算出所需科学记数法表示的原始数据，再根据题型1中的方法求解即可。 【小试牛刀】 1．（2026·河南·校考二模）生物学指出：生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第n个营养级，，2，，5），要使获得50千焦的能量，那么需要．提供的能量用科学记数法表示约为（    ） A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦 【答案】B 【详解】解：根据题意，需要提供千焦的能量，需要提供千焦的能量，需要提供千焦的能量，需要提供千焦的能量，∴，故选：B． 2．（25-26七年级上·广东·专题练习）中国古代涌现包括“铸、钧、镒、铢”等在内的质量单位，而现代的质量单位有：吨（）、千克（）、克（）、毫克（）、微克（）等．其中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，，．故选：A． 3．（24-25九年级上·江苏·期中）我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为8000000吨，则铝、锰元素总量的和约为 吨。 【答案】 【详解】铝、锰元素总量的和约是：吨． 题型08 将用科学记数法表示的数变回原数 【例1】（2026·海南海口·模拟预测）一个整数510…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】解：，数原数可得，原数中0的个数为7．故选：D． 必记结论 解题的关键是掌握将科学记数法还原的法则：将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数就是把a的小数点向右移动n位所得到的数。 【小试牛刀】 1．（2026·山西朔州·二模）中国自主研发建造的“长益号”超大型集装箱船，该舰的最大载重量为吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为（   ） A．24200吨 B．242000吨 C．2420吨 D．2420000吨 【答案】B 【详解】解：∵给定数为，其中， ∴将2.42的小数点向右移动5位，可得原数为242000，即原数为242000吨，对应选项为B． 2．（2026·河南周口·三模）2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 【答案】B 【详解】解：∵题目中给出的科学记数法为，其中， ∴将的小数点向右移动位，得到原数为． 3．（2026·福建厦门·三模）2026年厦门市文旅部门数据显示， “五一”期间鼓浪屿等热门景点累计接待市民游客约为人次，下列选项中与 相等的是（     ） A．67300 B．673000 C．6730000 D．67300000 【答案】C 【详解】∵ ，∴ ． 题型09 有理数乘方的实际应用 【例1】（2026·广东惠州·二模）日常生活中主要运用“十进制”数，而“十六进制”广泛应用于电子技术、计算机编程等领域．十六进制在数学中是一种“逢16进1”的进位制，一般用数字0到9和字母A到F表示，其中用A，B，C，D，E，F分别表示10，11，12，13，14，15．如表示十六进制数，将它转换成十进制形式是，那么将十六进制数转换成十进制数为___． 【答案】2026 【详解】解：由题意可知，表示，表示，可得： ． 必记结论 此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。 【小试牛刀】 1．（24-25七年级上·四川达州·期中）2021年第十四届国际数学教育大会（ICME－14）在上海召开，本次会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的卦“ ”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7 共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，2021表示 ICME－14 的举办年份．【注：】某同学设计了一个n进制数501 ，换算成十进制数是406 ，则n的值为________． 【答案】9/九 【详解】解：501转换成n进制数为：，由题意得：，即； 由于，不考虑负值；故；故答案为：9． 2．（2026·河南周口·二模）我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天． 【答案】38 【详解】解：根据满五进一的计数规则，从右起第位的权重为，因此总天数为： 天． 3．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是___________． 【答案】 【详解】解：根据题意，第1天截取后剩余长度为：，第2天截取后剩余长度为：， 第3天截取后剩余长度为：，第4天截取后剩余长度为：， 第5天截取后剩余长度为：，故第5天截取后木棍剩余长度为． 4．（25-26七年级上·全国·期末）我们知道，3的正整数次幂：，，，，，，，，…，观察归纳，可得的个位数字是_______． 【答案】3 【详解】解：由题意得的个位数字按3、9、7、1顺序循环， ，因此个位数字为3． 故答案为：3． 题型10 有理数乘方的新定义问题 【例1】（24-25七年级上·广东广州·阶段检测）阅读下面材料，然后根据材料中的结论解答三个问题． 材料1：一般地，n个相同因数a相乘，记为，如，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为，即；再如：，则． 材料2：一般地，对于数a和b，（“”不等号），但是对于某些特殊的数a和b，．我们把这些特殊的数a和b，称为“理想数对”，记作．例如当，时，有，那么就是“理想数对”． (1)计算：______；(2)填空：如果是“理想数对”，那么______； (3)若是“理想数对”，求式子的值． 【答案】(1)2(2)(3)4 【详解】（1）解：∵，;故答案为： 2 ； （2）解：∵是“理想数对”，解得：；故答案为： ； （3）解：∵， ∵是＂理想数对＂，整理得：， 把代入得： ． 必记结论 “新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据新运算规则， 可得 ． 2．（24-25七年级上·云南昆明·期末）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算：；； ；； ；． ． (1)______；(2)已知：，其中，a为负数，求a的值； (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)29(2)(3)存在，，理由见详解 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，，∴， ∴，∴，解得或，∵a为负数，∴； （3）解：存在，理由如下，， ∵，，∴，，解得，，． 3．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道，可以求的值．如果知道，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． (1)填空：______；(2)计算：． 【答案】(1)1(2) 【详解】（1）解：因为，所以．故答案为： （2）因为，所以． 又因为，所以．所以． 4．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）材料1：一般地，个相同因数相乘记为，如，此时3叫做以2为底的8的对数，记为（即：） （1）计算： ； ； 材料2：新规定一种运算法则：自然数1到的连乘积用表示，例如：，，，，……，在这种规定下： （2）求出满足该等式的的值；（3）当为 时，． 【答案】（1）3；；（2）或；（3）或 【详解】解：（1）∵，∴； ； （2），， 化简得：，即或，∴或． （3）由得：，即， 当时，可得，当时，可得， 则当时，原方程可化为：，解得：； 当时，原方程可化为：，则此时方程无解； 当时，原方程可化为：，解得； 故当x为或11时，符合题意． 基础过关 1．（25-26七年级上·山西晋中·期末）的4次幂应记为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵求的4次幂，是将作为底数，4作为指数，∴应记为，故选：C． 2．（25-26七年级上·河北沧州·期中）已知和，下列关于甲、乙二人的说法判断正确的是（    ） 甲：二者的底数不同； 乙：二者的计算结果相同． A．只有甲的说法正确 B．只有乙的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都不正确 【答案】A 【详解】解：，底数为3；，底数为．则甲的说法正确，乙的说法错误，故选：A． 3．（25-26七年级上·广东珠海·期中）下列关于的说法中，正确的是（   ） A．计算结果为 B．表示4个相乘 C．结果与相等 D．底数是，指数是4 【答案】A 【详解】解：表示，而非，，，因此， 的底数为2，指数为4，故A正确，B、C、D错误．故选：A． 4．（25-26九年级下·安徽芜湖·阶段检测）下列各组数中，不相等的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【详解】解：A．∵，，∴，两数不相等，故此选项符合题意； B．∵，，∴，两数相等，故此选项不符合题意； C．∵，，∴，两数相等，故此选项不符合题意； D．∵，，∴，两数相等，故此选项不符合题意． 5．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么五天之后，这个“一尺之棰”还剩（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【详解】解：根据题意，第一天后剩尺，两天之后剩（尺）， 第三天后剩（尺），…第n天后剩（尺）， 第五天后这个“一尺之棰”还剩（尺）．故选：D． 6．（2026·河南三门峡·一模）所有的放射性物质都有自己的半衰期，放射性物质的半衰期是其质量缩减为原来一半所用的时间，是一个不变的量．2025年河南核医疗产业发展迅速，某医用放射性物质的初始质量为mg，经历3个半衰期后，剩余质量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 半衰期是放射性物质质量缩减为原来一半所用的时间，初始质量为， ∴ 经过个半衰期后，剩余质量为，经过个半衰期后，剩余质量为， 经过个半衰期后，剩余质量为. 7．（24-25七年级下·四川宜宾·阶段检测）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满八进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（   ） A．64 B．90 C．132 D．210 【答案】B 【详解】解：根据题意得：孩子出生的天数的八进制数为132， 化为十进制数为：． 8．（2026·北京丰台·一模）2025年我国新能源汽车年产量约为辆，比2024年年产量增长约，若按照这个速度增长，则2026年新能源汽车年产量为（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【答案】C 【详解】解：（辆）． 9．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）2025年国庆中秋双节中，各地推出丰富多彩的文化和旅游产品、服务、活动．经文旅局数据中心测算，假日8天，全国国内出游亿人次．将数“亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：亿．故选：B． 10．（2026·重庆秀山·一模）某劳动实践基地2025年第一季度共接待参加劳动实践人数约为人，这个数的原数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 11．（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）若，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意可知，．所以，．所以． 12．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，则______． 【答案】 【详解】解：∵，∴，将代入得． 13．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）的相反数为___________． 【答案】8 【详解】解：由题意得，，∴的相反数为8． 14．（25-26七年级上·成都·阶段练习）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________ (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________ (3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次，请写出两种符合要求的运算式子： ________________________________    ________________________________ 【答案】(1)6(2)(3)； 【详解】（1）解：根据题意得：，故最大值为； （2）解：，故最小值为； （3）解：根据题意得：；， 即符合题意的式子为：；． 能力提升 15．（25-26七年级上·广东东莞·期中）观察下列算式：，，，，，，…通过观察，用你发现的规律写出的末位数字是（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【详解】解：观察算式可得，的末位数字依次为2、4、8、6，以4为循环周期；，余数为2；余数为2对应循环周期中的第2个数字4，即的末位数字是4；故选：C． 16．（24-25·四川成都·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（    ） （1）总是正数；（2）总是正数；（3）的最大值为5；（4）的最大值是3． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】∵，∴>0，即总是正数，(1)正确； ∵， ，∴当即a=0时，，故是正数； 当时，则，即，故是正数；故（2）正确； 的最小值为5，故（3）错误；的最大值是2，故（4）错误．故选：B. 17．（2026·河北唐山·模拟预测）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：． 将二进制数化为三进制数为______________ 【答案】 【详解】解：化为十进制数：， 化为三进制数：． 18．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知满足，那么_____． 【答案】2或6 【详解】解：∵，， ∴， ∴或．故答案为：2或6． 19．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）定义之间一种运算，记作：如果，那么．则__________． 【答案】3 【详解】解：根据新定义，若，则．∵，∴，即．故答案为：3． 20．（25-26七年级上·北京·开学考试）当___________时，有最___________值（填“大”或“小”）是___________． 【答案】 大 2012 【详解】解：∵，∴，∴， ∴当时，有最大值是2012．故答案为：；大；2012． 21．（25-26七年级上·成都·月考）阅读下列各式：解答下列问题： (1)猜想：________．(2)用学过的知识说明（1）中式子成立的理由． (3)计算：． 【答案】(1)(2)理由见解析(3) 【详解】（1）解：根据题干的规律可得：；故答案为：. （2）解：理由如下：． （3）解：原式． 挑战一刻 22．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）某种细菌每分钟由个分裂成个，那么个这样的细菌经过分钟可以分裂成（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵个细菌每分钟由个分裂成个， ∴个细菌经过分钟分裂为个，经过分钟分裂为个， 依此类推，可得个细菌经过分钟分裂为个， 本题中，初始细菌个数为，∴最终总个数为． 23．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）若一个正整数，将其拆分为两半后，两数之和的平方恰好等于原数，则称这个数为雷劈数．如3025，拆分为两半30和25，而，，则称3025为雷劈数．下列哪个数是雷劈数（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【详解】解：A、2023拆分为20和23，，，则此项不是雷劈数； B、2024拆分为20和24，，，则此项不是雷劈数； C、2025拆分为20和25，，，则此项是雷劈数； D、2026拆分为20和26，，，则此项不是雷劈数；故选：C． 24．（24-25七年级上·广东汕头·期中）中学数学中，我们知道加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算，如式子可以变形为，也可以变形为，类似的，表示为______． 【答案】 【详解】解：∵式子可以变形为，也可以变形为， ∴表示为，故答案为：． 25．（25-26七年级上·山东济宁·期中）如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为；… 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 【答案】(1)，见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：， （2）解：设， 则， 因为，所以． （3）解：设， 则， 因为，所以． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 有理数的乘方 预习目标 知识回顾 1. 理解并掌握有理数的乘方，幂，底数，指数的概念及意义； 2. 会求有理数的正整数指数幂； 3. 理解科学记数法的的概念；会用科学记数法表示较大的数；能将用科学记数法表示的数变回原数； 4. 感受发现问题的过程中体会到从特殊到一般的思考方法，从而增进学好数学的自信心；体会科学记数法带来的优越性，感受数学中化繁为简的思想方法。 1. 有理数乘、除法的法则，有理数的乘、除法混合运算； 2. 倒数的意义，求已知数的倒数； 3. 有理数乘除运算相关的运算律。 新知导图 预习精讲 想一想 【思考1】手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细|的面条。你能算出拉扣7次后共有多少根面条吗？ 【材料1】2026年初国家金融监督管理总局发布的数据显示，2026年一季度，保险业原保险保费收入达‌2.3万亿元，同比增长约‌6.3%‌；行业总资产突破‌42.5万亿元‌，同比增长‌12.3%‌，整体呈现稳健增长态势 。‌保费与赔付‌：赔款与给付支出合计8893亿元，同比增长7.5%；新增保单件数321亿件，同比增长29% 。 【材料2】宇宙直径有多大？宇宙有多少岁？ 最新的研究认为宇宙的直径为1560亿光年，甚至更大。目前可观测的宇宙年龄大约为138亿年。 42.5万亿元=42 5000 0000 0000元；2.3万亿元= 2 3000 0000 0000元； 8893亿元=8893 0000 0000元； 321亿件=321 0000 0000件； 1560亿光年= 1560 0000 0000光年； 138亿年=138 0000 0000年。 【思考1】像上述两个材料中出现了一些大数，大家感觉它们的读和写是否比较麻烦，容易出错呢？ 大家有没有比较合适的方法来表示这些大数，使得这些大数易读，易写呢？ 知识点01 有理数的乘方 1. 有理数的乘方： 一般地，n个相同因数a相乘，记作；即= 求n个相同因数a的积的运算叫作乘方（power），乘方运算的结果（即）叫作幂（power），a叫作底数（base number），n叫作指数（exponent），读作“a的n次幂”（或“a的n次方”）。 注意：乘方运算本质上是乘法运算，它是同一个因数连乘的简便形式。 2．整数指数幂的符号规律： 1）正数的任何次幂都是正数；2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； 3）0的任何正整数次幂都是0。 注意：①除0以外的任何数的“0次幂”结果为1；②乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有；③在运算时要看清楚底数和指数到底是谁；④带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·河南郑州·期末）计算（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·广东肇庆·期中）表示（   ） A．与5相乘的积 B．5个相乘的积 C．3个5相乘的积的相反数 D．5个2相乘的积 3．（25-26七年级上·广西钦州·期中）下列关于的说法中，错误的是（  　） A．底数是 B．指数是2 C．结果为 D．表示2个相乘 4．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列各式的计算结果与相等的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 6．（25-26七年级上·安徽宣城·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 知识点02 科学记数法 1.科学记数法：一个大于的数可以表示成的形式（其中，是正整数），这种记数法称为科学记数法（scientific notation）。 2.科学记数法还原的法则：将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． 注意：将计数单位改写为具体的数，再根据科学计数法表示即可。如：1万=10000；1亿=100000000。 【即学即练】 1．（2026·河南周口·二模）2026年河南文旅市场持续升温，一季度全省文旅总收入约亿元，数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·四川乐山·期末）2026年是中国工农红军二万五千里长征胜利90周年．数据25000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河南周口·三模）2026年河南文旅综合收入突破 元， 原数为（     ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）有一张厚度为毫米的纸，将它对折一次后，厚度为毫米，对折10次后的厚度最接近于（   ） A．数学课本的厚度 B．成人的手掌宽度 C．课桌的高度 D．一层楼的高度 5．（25-26七年级上·广东·期中）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．现在请你来计算：(1)一粒大米重约多少克？(2)按14亿人口，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示）；(3)若我们把一年节约的大米卖成钱，按4元/千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示）；(4)经过以上计算，你有何感想和建议？ 题型速练 题型01 有理数乘方的概念 【例1】（25-26七年级上·广西崇左·期中），，说说它们的意义与读法． ，表示4个相乘，读作____________． 表示4个2相乘的相反数，读作__________或____． 【例2】（25-26七年级上·成都·专题练习）的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 必记结论 个相同的乘数相乘，记作，读作“的次方”；其中：叫做底数，叫做指数，叫做幂。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）在学习了乘方运算后，对于聪聪和明明有如下讨论： 聪聪：表示有2个k相乘     明明：表示有2个k相加 你认为他们的说法（    ） A．只有聪聪是对的 B．只有明明是对的 C．他们两人都不对 D．他们都有道理 2．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）表示的意义是（   ） A．6个相乘的积 B．乘以6的积 C．5个相乘的积 D．6个相加的和 3．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）在“”中，底数指的是（　　） A．2 B． C． D． 4．（25-26七年级下·河北保定·期中）（） A． B． C． D． 题型02 有理数乘方的运算 【例1】（24-25七年级上·云南德宏·期末）下列算式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）比较大小： ________ ． 必记结论 有理数乘方的运算：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。 【小试牛刀】 1．（2026·江苏扬州·一模）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）若，则的值是（    ） A．1 B． C．0 D．2025 3．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）有理数的值为（     ） A． B．4 C． D．1 4．（2026·山东潍坊·一模）下列说法中正确的是（   ） A．绝对值等于本身的数是0 B．相反数等于本身的数是1 C．平方等于本身的数是0和1 D．立方等于本身的数是0和1 5．（24-25七年级下·河南周口·阶段检测）已知，则的值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 题型03 乘方运算的符号规律 【例1】（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）下列各组数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【例2】（25-26七年级上·江苏·专题练习）如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 必记结论 乘方的符号规律：1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·四川德阳·期中）当n为正整数时，的值是（ ） A．0 B．2 C． D．2或 2．（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 3．（25-26七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型04 有理数乘方的逆运算（简算） 【例1】（24-25七年级上·福建·期中）（1）计算下面两组算式：①与；    ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【例2】（2026·河北唐山·二模）已知为正整数，化简：（     ） A． B． C． D． 必记结论 性质：。 【小试牛刀】 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江西上饶·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·四川成都·期中）_______． 4．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 题型05 偶次方的非负性的运用 【例1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若，则_________． 【例2】（25-26七年级上·成都·期中）如果a是有理数，那么的最小值为（   ） A． B． C． D．不存在 必记结论 1）常见非负数：≥0；≥0；2）根据非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）若，则（   ） A．3 B．1 C． D． 2．（25-26七年级上·河北保定·期中）已知，则的值是（ ） A． B．1 C．2 D．3 3．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为______． 4．（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）为有理数，下列说法中正确的是（　　） A．是正数 B．是正数 C．是负数 D．的值不小于 题型06 用科学记数法表示大于1的数 【例1】（2026·安徽宿州·一模）2025年，安徽省农业产量再创新高，全年粮食总产量达到亿斤，连续9年稳定在800亿斤以上，居全国第6位．其中数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 必记结论 科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数。 注意：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n；②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号；③将计数单位改写为具体的数，再根据科学计数法表示即可。如：1万=10000；1亿=100000000。 【小试牛刀】 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）根据西安市文化和旅游局数据统计，某年春节假期，全市3A级以上景区共接待游客超1300万人次，数据“1300万”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·河南鹤壁·阶段检测）作为中原粮仓，河南的耕地面积稳定在1.1亿亩以上，居全国第三位，则1.1亿用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·北京海淀·期末）中国邮政定于年月日发行《丙午年》特种邮票套枚，计划发行套票套，将用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 题型07 用科学记数法表示大于1的数（含计算） 【例1】（24-25七年级上·山西·期中）献礼新中国成立周年的影片《我和我的祖国》，不仅彰显了中华民族的文化自信，也激发了观众强烈的爱国情怀与观影热情．据某网站统计，国庆期间，此部电影票房收入约亿元，平均每张票约元，估计观影人次约为（用科学记数法表示）（    ） A． B． C． D． 必记结论 此类问题需先计算出所需科学记数法表示的原始数据，再根据题型1中的方法求解即可。 【小试牛刀】 1．（2026·河南·校考二模）生物学指出：生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第n个营养级，，2，，5），要使获得50千焦的能量，那么需要．提供的能量用科学记数法表示约为（    ） A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦 2．（25-26七年级上·广东·专题练习）中国古代涌现包括“铸、钧、镒、铢”等在内的质量单位，而现代的质量单位有：吨（）、千克（）、克（）、毫克（）、微克（）等．其中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏·期中）我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为8000000吨，则铝、锰元素总量的和约为 吨。 题型08 将用科学记数法表示的数变回原数 【例1】（2026·海南海口·模拟预测）一个整数510…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 必记结论 解题的关键是掌握将科学记数法还原的法则：将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数就是把a的小数点向右移动n位所得到的数。 【小试牛刀】 1．（2026·山西朔州·二模）中国自主研发建造的“长益号”超大型集装箱船，该舰的最大载重量为吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为（   ） A．24200吨 B．242000吨 C．2420吨 D．2420000吨 2．（2026·河南周口·三模）2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 3．（2026·福建厦门·三模）2026年厦门市文旅部门数据显示， “五一”期间鼓浪屿等热门景点累计接待市民游客约为人次，下列选项中与 相等的是（     ） A．67300 B．673000 C．6730000 D．67300000 题型09 有理数乘方的实际应用 【例1】（2026·广东惠州·二模）日常生活中主要运用“十进制”数，而“十六进制”广泛应用于电子技术、计算机编程等领域．十六进制在数学中是一种“逢16进1”的进位制，一般用数字0到9和字母A到F表示，其中用A，B，C，D，E，F分别表示10，11，12，13，14，15．如表示十六进制数，将它转换成十进制形式是，那么将十六进制数转换成十进制数为___． 必记结论 此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。 【小试牛刀】 1．（24-25七年级上·四川达州·期中）2021年第十四届国际数学教育大会（ICME－14）在上海召开，本次会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的卦“ ”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7 共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，2021表示 ICME－14 的举办年份．【注：】某同学设计了一个n进制数501 ，换算成十进制数是406 ，则n的值为________． 2．（2026·河南周口·二模）我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天． 3．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是___________． 4．（25-26七年级上·全国·期末）我们知道，3的正整数次幂：，，，，，，，，…，观察归纳，可得的个位数字是_______． 题型10 有理数乘方的新定义问题 【例1】（24-25七年级上·广东广州·阶段检测）阅读下面材料，然后根据材料中的结论解答三个问题． 材料1：一般地，n个相同因数a相乘，记为，如，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为，即；再如：，则． 材料2：一般地，对于数a和b，（“”不等号），但是对于某些特殊的数a和b，．我们把这些特殊的数a和b，称为“理想数对”，记作．例如当，时，有，那么就是“理想数对”． (1)计算：______；(2)填空：如果是“理想数对”，那么______； (3)若是“理想数对”，求式子的值． 必记结论 “新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·云南昆明·期末）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算：；； ；； ；． ． (1)______；(2)已知：，其中，a为负数，求a的值； (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 3．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道，可以求的值．如果知道，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． (1)填空：______；(2)计算：． 4．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）材料1：一般地，个相同因数相乘记为，如，此时3叫做以2为底的8的对数，记为（即：） （1）计算： ； ； 材料2：新规定一种运算法则：自然数1到的连乘积用表示，例如：，，，，……，在这种规定下： （2）求出满足该等式的的值；（3）当为 时，． 基础过关 1．（25-26七年级上·山西晋中·期末）的4次幂应记为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河北沧州·期中）已知和，下列关于甲、乙二人的说法判断正确的是（    ） 甲：二者的底数不同； 乙：二者的计算结果相同． A．只有甲的说法正确 B．只有乙的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都不正确 3．（25-26七年级上·广东珠海·期中）下列关于的说法中，正确的是（   ） A．计算结果为 B．表示4个相乘 C．结果与相等 D．底数是，指数是4 4．（25-26九年级下·安徽芜湖·阶段检测）下列各组数中，不相等的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么五天之后，这个“一尺之棰”还剩（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 6．（2026·河南三门峡·一模）所有的放射性物质都有自己的半衰期，放射性物质的半衰期是其质量缩减为原来一半所用的时间，是一个不变的量．2025年河南核医疗产业发展迅速，某医用放射性物质的初始质量为mg，经历3个半衰期后，剩余质量为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·四川宜宾·阶段检测）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满八进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（   ） A．64 B．90 C．132 D．210 8．（2026·北京丰台·一模）2025年我国新能源汽车年产量约为辆，比2024年年产量增长约，若按照这个速度增长，则2026年新能源汽车年产量为（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 9．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）2025年国庆中秋双节中，各地推出丰富多彩的文化和旅游产品、服务、活动．经文旅局数据中心测算，假日8天，全国国内出游亿人次．将数“亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·重庆秀山·一模）某劳动实践基地2025年第一季度共接待参加劳动实践人数约为人，这个数的原数是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）若，那么的值是（　　） A． B． C． D． 12．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，则______． 13．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）的相反数为___________． 14．（25-26七年级上·成都·阶段练习）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________ (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________ (3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次，请写出两种符合要求的运算式子： ________________________________    ________________________________ 能力提升 15．（25-26七年级上·广东东莞·期中）观察下列算式：，，，，，，…通过观察，用你发现的规律写出的末位数字是（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 16．（24-25·四川成都·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（    ） （1）总是正数；（2）总是正数；（3）的最大值为5；（4）的最大值是3． A．1 B．2 C．3 D．4 17．（2026·河北唐山·模拟预测）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：． 将二进制数化为三进制数为______________ 18．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知满足，那么_____． 19．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）定义之间一种运算，记作：如果，那么．则__________． 20．（25-26七年级上·北京·开学考试）当___________时，有最___________值（填“大”或“小”）是___________． 21．（25-26七年级上·成都·月考）阅读下列各式：解答下列问题： (1)猜想：________．(2)用学过的知识说明（1）中式子成立的理由． (3)计算：． 挑战一刻 22．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）某种细菌每分钟由个分裂成个，那么个这样的细菌经过分钟可以分裂成（  ） A． B． C． D． 23．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）若一个正整数，将其拆分为两半后，两数之和的平方恰好等于原数，则称这个数为雷劈数．如3025，拆分为两半30和25，而，，则称3025为雷劈数．下列哪个数是雷劈数（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 24．（24-25七年级上·广东汕头·期中）中学数学中，我们知道加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算，如式子可以变形为，也可以变形为，类似的，表示为______． 25．（25-26七年级上·山东济宁·期中）如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为；… 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $