专题27.1 反比例函数的概念 （重难点突破+过关检测）2026-2027学年九年级数学上册人教版

人教版 九上讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题27.1 反比例函数的概念 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 反比例函数的辨析 题型2 求反比例函数解析式 题型3 实际问题中的反比例 1.  理解反比例函数的概念，能判断给定的函数是否为反比例函数； 2.能根据实际问题中的数量关系，写出反比例函数表达式； 3.比较正反比例函数，培养类比、归纳的思维能力. 知识点讲解 1. 反比例函数的概念 一般地，形如y= (k是常数，k≠0)的函数叫作反比例函数，其中非零常数k称为比例系数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 反比例函数的本质是指y与x的乘积是个不为0的常数. 2. 反比例函数解析式的确定 确定了比例系数k,就可以给出反比例函数的表达式，求反比例函数表达式的方法是待定系数法. 3.反比例函数解析式的三种形式 （1）y= (k是常数，k≠0) （2）(k是常数，k≠0) （3） (k是常数，k≠0) 题型归纳 题型1 反比例函数的辨析 【例1】1．物体匀速下落过程中，下落高度与下落时间成函数关系，下列变量对应关系中，属于反比例函数的是（　　）． A．路程一定，速度与时间 B．圆的面积与半径 C．正方形周长与边长 D．匀速行驶路程与时间 【详解】首先明确反比例函数定义，形如（为常数，）的函数是反比例函数， 选项A中，设路程为，为定值且，速度为，时间为，由变形得，符合反比例函数定义，是反比例函数，A符合题意； 选项B中，圆面积，是二次函数，不是反比例函数，B不符合题意； 选项C中，正方形周长，是正比例函数，不是反比例函数，C不符合题意； 选项D中，匀速行驶时，设速度为定值，路程，是正比例函数，不是反比例函数D不符合题意． 【例2】下列函数是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【详解】解： A、是正比例函数，不符合反比例函数定义； B、是一次函数，不符合反比例函数定义； C、中，符合反比例函数定义； D、是正比例函数，不符合反比例函数定义． 【例3】若函数是反比例函数，试求的值． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解，得； 当时，，满足系数不为的条件； 当时，； 故答案为：． 【变式练习】 1．下列函数中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：A选项是正比例函数，不是反比例函数，不符合题意； B选项符合的形式，是反比例函数，符合题意； C选项是一次函数，不是反比例函数，不符合题意； D选项不是反比例函数，不符合题意． 2．下列式子中，是的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：A．是正比例函数，该选项不符合题意； B．是二次函数，该选项不符合题意； C． 变形可得，是反比例函数，该选项符合题意； D． 不符合反比例函数定义，该选项不符合题意． 3．下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是___________（填入序号）． 【详解】解： ，是正比例函数，故不符合反比例函数形式； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，即 ，含有常数项，故不符合反比例函数形式； ，分母是 而非 ，故不符合反比例函数形式． 故答案为：． 4．下列函数：①：②；③；④；⑤．其中是的反比例函数的有______（填序号）． 【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数． ②符合反比例函数定义，是反比例函数． ③是正比例函数，属于一次函数，不是反比例函数． ④分母为，不符合的形式，不是反比例函数． ⑤，符合反比例函数定义，是反比例函数． 符合题意的有②⑤． 5．已知． （1）当的值为________时，是的正比例函数． （2）当的值为_________时，是的二次函数． （3）当的值为________时，是的反比例函数． 【详解】解：（1）根据题意，得 由①，得且， 由②，得， ． 故当的值为1时，是的正比例函数． （2）根据题意，得 由①，得且． 由②，得． 故当的值为时，是的二次函数． （3）根据题意，得 由①，得且． 由②，得， ． 故当的值为时，是的反比例函数． 6．若函数是反比例函数，求m的值． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义列式计算即可求出答案． 【详解】解：∵反比例函数可表示为（），函数是反比例函数， ∴． 解得． 题型2 求反比例函数解析式 【例1】 已知y是x的反比例函数，且当x=4时，y=7. (1)写出y关于x的函数表达式； (2)当x=5时，求y的值. 解：（1）因为y是x的反比例函数，可设其表达式为y= (k≠0). 把x=4，y=7代入， 得：7=,解得k=28. 所以该函数的表达式为y=. （2）当x=5时，y=. 【例2】复合函数表达式的确定 已知y=y₁-y₂, 且 y₁与 x 成正比例，y₂与 x 成反比例，当x=1 时，y=-2; 当 x=4 时，y=7, 求 y 与 x 的函数表达式. 解：设 y₁= y= (k₁≠0)，= (k2≠0) 则 y= - 把 x=1，=-2；x=4，y=7   分别代入，得 解之得k1=2，k2=4 所以，y 与 x 的函数表达式为 y=2x− 【变式练习】 1．已知y是x的反比例函数，当时，，求这个反比例函数的表达式． 【详解】解：设反比例函数的表达式为 将，代入解析式得， 解得 因此这个反比例函数的表达式为． 2．已知与成反比例，且其函数图象经过点． (1)求关于的表达式； (2)当时，求的值． 【详解】（1）解：∵与成反比例 ∴设 ∵函数图象经过点 ∴ 解得 ∴关于的表达式为； （2）解：当时，则， 解得． 3．已知与成反比例，且当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)点在该反比例函数的图象上，则m，n的大小关系为：____________．（用“>”“<”或“=”连接） 【详解】（1）解：与成反比例， ∴设， 将代入解析式得， 解得， ∴关于的函数表达式为； （2）解：∵点在该反比例函数图象上， ∴将代入得，将代入得， ∵， ∴. 4．已知y与成反比例，且其函数图象经过点．求y与x的函数关系式； 【详解】解：y与成反比例， ∴设， ∵函数图象经过点， ∴， 解得， ∴y关于x的函数关系式是． 5．已知与成反比例，并且当时，，求出关于的函数解析式，并计算当时，的值． 【详解】解：设， 将，代入得， ， 所求解析式为， 当时，． 6. 已知函数，其中与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求关于的函数解析式． 【详解】解：∵与成正比例，与成反比例， 不妨设，， ∵， ∴， ∵当时，；当时，． ∴， 解得， 故关于的函数解析式． 题型3 实际问题中的反比例 【例1】我市到杭州的高速公路大约长，一辆轿车从我市出发开往杭州，轿车到达杭州的时间和行驶的平均速度之间有怎样的关系？v是t的反比例函数吗？ 【详解】解：根据题意得，这辆汽车行完全程所需时间与行驶的平均速度之间的函数关系式为，v是t的反比例函数． 故答案为：；v是t的反比例函数． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的定义，解题的关键是求出函数关系式，熟练掌握反比例函数的定义． 【例2】某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输天数之间的关系如下表： 每天运输的吨数 500 250 100 50 …… 运输的天数 1 2 5 …… (1)这批货物共有多少吨？ (2)用表示运输天数，用表示每天运输的吨数，用式子表示它们的关系． (3)与成反比例关系吗？如果成，请求出表格中的值． 【详解】（1）解：（吨）． 答：这批货物共有500吨． （2）解：由，得. （3）解：∵（定值）， ∴与成反比例关系． 当时，． 【变式练习】 1．王老师买了一些糖果分给学生，若每人3颗，可以分给25名学生；若每人颗，可以分给名学生，则用式子表示与之间的关系为_____． 【详解】解：由题意得：，即． 故答案为：． 2．农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是______． 【详解】解：∵阻力阻力臂动力动力臂，阻力和阻力臂分别是和， ∴， 即． 故答案为：． 3．邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数和包数如下表： 每包的本数/本 10 20 40 包数/包 60 30 15 用表示包数，用表示每包的本数，用式子表示与的关系为_______，y与x成_______比例关系． 【详解】解：由表格可知：， ， y与x成反比例关系． 故答案为：，反． 4．如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． (1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； (2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； (3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 【详解】（1）解：∵绳长为，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的一次函数， 故答案为：，一次． （2）解：∵矩形的面积是，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的反比例函数， 故答案为：，反比例． （3）解：∵矩形的周长为，矩形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴是的二次函数， 故答案为：，二次． 5．计算 若长方形的两邻边长度分别为、，面积保持不变，下表给出了与的一些值求长方形的面积． (1)长方形的面积是多少？ (2)与之间是什么关系？用式子表示与之间的关系． (3)根据关系式完成上表． 【详解】（1）解： 长方形的面积为4 （2）x与y是反比例关系，可得 （3）如表所示 6．如图，王大爷准备用栅栏围建一个面积为的矩形养鸡场，其中一边靠墙，墙长为．设的长为，的长为． (1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)现有两种方案，或，试选出合理的设计方案，并求出栅栏的总长． 【详解】（1）解：矩形的面积为， ， 整理得：， 墙的长度是， ， ， 解得：， 自变量的取值范围是； （2）解：当时，， 矩形的长为，宽为， 此时墙的长度恰好够用； 当时，， 矩形的长为， 此时墙的长度不够用， 选比较合理， 当时， 此时栅栏的部总长为：， 答：栅栏的总长为． 7．写出下列各问题中的函数关系式，指出是哪种函数，并确定其中自变量的取值范围： (1)在的匀速运动中，运动路程是时间的函数； (2)某学校要在校园中辟出一块面积为的长方形土地做花圃，这个花圃的长是宽的函数． 【详解】（1）解：根据路程=速度×时间，可得，该式符合正比例函数的形式， 因此是的正比例函数， 运动时间为非负数，因此自变量的取值范围是． （2）解：∵长方形面积=长×宽，可得， 变形得，该式符合反比例函数的形式， 因此是的反比例函数， 长方形的宽为正数，因此自变量的取值范围是． 8．为打造便民宜居的公共空间，某社区启动了口袋公园提质改造项目，现对一块面积为的休闲广场铺装地砖． (1)若每块地砖的面积为（单位：），所需地砖总块数为，请直接写出关于的函数表达式； (2)结合景观设计方案，施工方采用白色、灰色两种同规格的正方形防滑地砖进行交错铺装，每块地砖的边长均为．已知白色地砖的数量比灰色地砖数量的倍少块．求白色和灰色地砖各用了多少块． 【详解】（1）解：由题意得，广场总面积为，故， 整理得，其中． （2）解：已知地砖是边长为的正方形，因此单块地砖面积为：， 所需地砖的总块数为：（块）， 设灰色地砖数量为块，则白色地砖数量为块， 根据题意列方程得：， ， 解得， 故白色地砖数量为：（块）， 故白色地砖用了块，灰色地砖用了块． 过关练习 一、单选题 1．反比例函数中的常数k为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握“形如的函数是反比例函数”是解题的关键． 根据定义直接求解即可． 【详解】解：， ， 故选：D． 2．已知菱形的面积为5，菱形的两条对角线的长分别为，，则关于的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，根据面积公式列出方程，解出y关于x的关系式解答即可． 【详解】解：∵ 菱形的面积 ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 3．下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数． 根据反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：根据反比例函数的定义可知是反比例函数， 故选：B． 4．下列函数不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，形如的函数称为反比例函数． 根据反比例函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，即是反比例函数，不符合题意； B．，即是反比例函数，不符合题意； C．是反比例函数，不符合题意； D．是正比例函数，符合题意. 故选：D． 5．若点，在同一个反比例函数的图象上，则该反比例函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数定义，设解析式为，代入两点坐标得到方程，解出即可． 【详解】解：设反比例函数点 解析式为， 则，， ， 解得， ， 反比例函数的解析式为， 故选：C． 6．如表，当x和y成反比例时，m的值是（   ） x 5 m y 4 A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据反比例函数的定义，设，利用已知点求常数，再代入另一个点求． 【详解】解：∵ 和成反比例， ∴ 设， 当时，，将其代入， ∴解得：， ∴ 反比例函数为， 当时，，即， ∴ ， 故的值为； 故选：C． 7．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂生产x只（x取正整数）玩具熊猫的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数在实际问题中的应用，熟练掌握“总成本、单只成本与数量之间的等量关系”是解题的关键． 根据“总成本每只成本数量”的等量关系，列出与的关系式． 【详解】解：∵总成本为5000元，每只成本为元，数量为只， ∴， ∴， 故选：C． 8．下列各种关系中，成反比例关系的是（   ） A．商品的进价一定，利润与售价的关系 B．同学的年龄一定，他的身高与体重的关系 C．路程一定，速度与时间的关系 D．工作效率一定，工作总量与工作时间的关系 【答案】C 【分析】本题考查反比例关系的判断，需依据“两个相关联的量乘积一定则成反比例关系”的知识点，逐项分析各选项的数量关系即可求解． 【详解】解：A：设进价为定值，售价为，利润为，则，是差的数量关系，乘积非定值，不成反比例关系； B：身高与体重无固定的乘积或比值关系，不成比例关系； C：设路程为定值，速度为，时间为，则，为定值，即与的乘积一定，与成反比例关系； D：设工作效率为定值，工作总量为，工作时间为，则，为定值，即与的比值一定，成正比例关系； 故选：C． 9．下列选项中，两个变量m和n成反比例关系的是（   ） A．长为m，宽为n，周长为1的矩形 B．底面半径为m，高为n，体积为1的圆柱 C．对角线长分别为m、n，面积为1的菱形 D．长为m，宽和高均为n，体积为1的长方体 【答案】C 【分析】本题根据反比例关系的定义：若两个变量m、n的乘积为非零定值，则m与n成反比例关系，结合各选项的几何公式推导出m、n的关系式，即可判断． 【详解】解：选项A：∵矩形周长为1，∴，即，两个变量和为定值，不是乘积为定值，因此m与n不成反比例关系； 选项B：∵圆柱体积为1，圆柱体积公式为，∴，即，是与n乘积为定值，因此m与n不成反比例关系； 选项C：∵菱形面积为1，菱形面积等于对角线乘积的一半，∴，即，乘积为定值，因此m与n成反比例关系，符合题意； 选项D：∵长方体体积为1，长方体体积公式为长宽高，∴，即， 是m与乘积为定值，因此m与n不成反比例关系． 10．有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，是的反比例函数的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，即形如（为常数，）或（为常数，）的函数为反比例函数，逐一分析各函数即可． 【详解】解：∵反比例函数的定义为（为常数，）或可变形为该形式， ①，符合（），是反比例函数； ②，是正比例函数，不是反比例函数； ③，符合（），是反比例函数； ④可变形为，符合（），是反比例函数； ⑤，分母为不是，不符合反比例函数定义，不是反比例函数； ⑥，不是的形式，不是反比例函数； ∴是反比例函数的有①③④，共3个． 故选：B． 二、填空题 11．若函数为反比例函数，则a的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的一般形式为（为常数，且）． 根据反比例函数的定义，比例系数不能为零． 【详解】解：∵函数为反比例函数， ∴， 即． 故答案为：． 12．已知反比例函数，当时，___________． 【答案】2 【分析】此题考查了反比例函数的性质，将已知的值代入反比例函数解析式求解即可． 【详解】解：当时，代入得，， 解得． 故答案为：2． 13．反比例函数中，其比例系数是___________，自变量的取值范围是___________ 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的定义，一般地，形如（k是常数，且）的函数称为反比例函数，其中k是比例系数．据此即可求出k的值，再根据分母不为0求出自变量的取值范围． 【详解】解：反比例函数中，其比例系数是，自变量的取值范围是． 故答案为：；． 14．反比例函数的比例系数_________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，将函数化为标准形式是解题的关键． 将反比例函数化为标准形式，即可找出比例系数的值． 【详解】解：函数可化为， ∴比例系数， 故答案为：． 15．若函数是反比例函数，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如（其中k为常数，且）的函数叫做反比例函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得， 故答案为：． 16．已知函数， （1）当______，______时，该函数是反比例函数； （2）当______，______时，该函数是开口向上的二次函数． 【答案】 2 【分析】本题考查的是二次函数的定义，反比例函数的定义，利用函数的定义建立方程或不等式是解本题的关键． （1）根据反比例函数的定义列出不等式和方程求解即可； （2）根据二次函数的定义列出不等式和方程求解即可； 【详解】（1）∵该函数是反比例函数 ∴，，， ∴，， ∴当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴，； 故答案为：，2； （2）∵该函数是开口向上的二次函数 ∴， ∴，． 故答案为：，． 17．已知y与成反比例，且当时，则y与x之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，由y与成反比例，设函数解析式为，将时，代入求出k，即可得出答案． 【详解】解：设y与的反比例函数关系式为， 当时，，代入得： ， 解得： 因此，y与x之间的函数关系式为． 故答案为：． 18．将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入原反比例函数中，所得函数值记为，再将代入原反比例函数中，所得函数值记为，……，如此继续下去，则的值为______． 【答案】/ 【分析】通过计算前几个函数值，发现序列呈现周期性循环，周期为3，再根据2025除以3的余数确定对应循环中的值． 本题考查了反比例函数中坐标规律问题，根据解析式确定规律是解题的关键． 【详解】解：将代入， 得 ， 将代入， 得 将代入， 得， 将代入， 得， 以此类推，序列为，，，，，，……，周期为3 ， 由于 余 0， 故 ， 故答案为：． 三、解答题 19．已知． (1)当为何值时，是的正比例函数？ (2)当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数的定义： （1）根据正比例函数的定义可得且，即可求解； （2）根据反比例函数的定义可得且，即可求解． 【详解】（1）解：∵是正比例函数， ∴且， 解得：； （2）解：∵是反比例函数， ∴且， 解得：； ∴该反比例函数的解析式为， 当时，， 解得：． 20．已知反比例函数的解析式，当时，． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2)y的值为 【分析】（1）把，代入，进行求解即可； （2）把代入解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得； ∴； （2）解：∵， ∴当时，． 21．已知，并且与x成正比例与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时的函数值． 【答案】(1) (2) 【分析】该题主要考查了正反比例函数的定义，解题的关键是正确理解正反比例函数． （1）设，则，然后利用待定系数法即可求得； （2）把代入（1）求得函数解析式求解． 【详解】（1）解：设， 则， 根据题意得：， 解得：， 则函数解析式是：； （2）解：当时，． 22．将体积为314立方分米的钢锭拉成圆柱体的钢筋条． (1)写出钢筋条的长L（分米）与横截面S（平方分米）的函数关系式； (2)当钢筋条的横截面的直径是分米时，可拉伸出多少米长的钢筋（结果保留）． 【答案】(1) (2)可拉伸出米长的钢筋 【分析】本题考查了圆柱体积公式的应用以及反比例函数的表达式推导，解题的关键是抓住钢锭拉成钢筋条后体积不变这一核心条件，利用圆柱体积公式建立变量间的关系，再结合横截面尺寸计算具体长度． （1）根据圆柱体积公式（为体积，为横截面面积，为长度），因钢锭体积不变（立方分米），将公式变形可得与的函数关系式； （2）先由横截面直径求出半径，再根据圆的面积公式计算横截面面积，最后将代入（1）中函数关系式求出，并将单位换算为米． 【详解】（1）解：∵ 钢锭拉成钢筋条后体积不变，且圆柱体积公式为，已知立方分米， ∴， 变形得函数关系式：（，横截面面积不为0）． 故答案为： （2）解：横截面直径为0.1分米，故半径分米，由圆的面积公式，得平方分米． 将代入，得分米． ∵1米分米， ∴分米米． 答：可拉伸出米长的钢筋． 23．陕西果园总面积多年保持全国第一，其水果产业以产量大、品种全、品质优著称．已知工人采摘完某个苹果园所需的时间y（单位：天）与采摘苹果的速度x（单位：吨/天）之间满足反比例函数关系，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)当工人采摘苹果的速度为4吨/天时，求采摘完这个苹果园所需的时间为多少天？ 【答案】(1) (2)采摘完这个苹果园所需的时间为天 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数，反比例函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设反比例函数为，由题意当时，，代入即可解得； （2）当时，代入反比例函数解析式求得值即可． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 由题意当时，，代入得： ， ∴反比例函数解析式为； （2）解：当时，代入得： ， 答：采摘完这个苹果园所需的时间为天． 24．某工程队承接一项挖管道任务，计划每天所挖的长度与天数如下表所示： 每天所挖的长度（米） 150 200 300 500 … 所挖的天数（天） 20 15 10 6 … (1)这项工程所挖管道共有多少米？ (2)所挖的天数是怎样随着每天所挖的长度的变化而变化的？ (3)用表示所挖的天数，表示每天所挖的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系？ 【答案】(1)3000米 (2)所挖天数随着每天所挖的长度的增加而减少 (3)，反比例关系 【分析】本题主要考查了列式计算、函数的表示、反比例等知识点，理解表格是解题的关键． （1）直接列式计算即可； （2）分析表格即可解答； （3）先根据题意列出函数关系式，再根据函数关系式判断与成什么比例关系即可． 【详解】（1）解：（米）． 答：这项工程所挖管道共有3000米． （2）解：由表格可知：所挖天数随着每天所挖的长度的增加而减少． （3）解：由题意可得：， 所以与成反比例关系． 25．古希腊物理学家阿基米德曾提出：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”．这句话生动揭示了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力阻力臂动力动力臂”（如图所示）．壮壮欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂为．设动力为，动力臂长度为． (1)求动力与动力臂之间的函数表达式． (2)如果壮壮最多能使出的力，要撬动这块石头，他所用撬棍的动力臂长度至少需要多少米？ 【答案】(1) (2)壮壮用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度至少需要 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，理解题意，求出函数解析式，是解题的关键． （1）根据杠杆平衡原理得出函数解析式即可； （2）求出当时，，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据“杠杆原理”，得， ． 答：关于的函数解析式为． （2）解：当时，由得： ， 对于，当时，越小，越大， 壮壮最多能使出的力， ， 所以，壮壮用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度至少需要． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $人教版 九上讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题27.1 反比例函数的概念 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 反比例函数的辨析 题型2 求反比例函数解析式 题型3 实际问题中的反比例 1.  理解反比例函数的概念，能判断给定的函数是否为反比例函数； 2.能根据实际问题中的数量关系，写出反比例函数表达式； 3.比较正反比例函数，培养类比、归纳的思维能力. 知识点讲解 1. 反比例函数的概念 一般地，形如y= (k是常数，k≠0)的函数叫作反比例函数，其中非零常数k称为比例系数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 反比例函数的本质是指y与x的乘积是个不为0的常数. 2. 反比例函数解析式的确定 确定了比例系数k,就可以给出反比例函数的表达式，求反比例函数表达式的方法是待定系数法. 3.反比例函数解析式的三种形式 （1）y= (k是常数，k≠0) （2）(k是常数，k≠0) （3） (k是常数，k≠0) 题型归纳 题型1 反比例函数的辨析 【例1】物体匀速下落过程中，下落高度与下落时间成函数关系，下列变量对应关系中，属于反比例函数的是（　　）． A．路程一定，速度与时间 B．圆的面积与半径 C．正方形周长与边长 D．匀速行驶路程与时间 【例2】下列函数是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【例3】若函数是反比例函数，试求的值． 【变式练习】 1．下列函数中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列式子中，是的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 3．下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是___________（填入序号）． 4．下列函数：①：②；③；④；⑤．其中是的反比例函数的有______（填序号）． 5．已知． （1）当的值为________时，是的正比例函数． （2）当的值为_________时，是的二次函数． （3）当的值为________时，是的反比例函数． 6．若函数是反比例函数，求m的值． 题型2 求反比例函数解析式 【例1】 已知y是x的反比例函数，且当x=4时，y=7. (1)写出y关于x的函数表达式； (2)当x=5时，求y的值. 【例2】复合函数表达式的确定 已知y=y₁-y₂, 且 y₁与 x 成正比例，y₂与 x 成反比例，当x=1 时，y=-2; 当 x=4 时，y=7, 求 y 与 x 的函数表达式. 【变式练习】 1．已知y是x的反比例函数，当时，，求这个反比例函数的表达式． 2．已知与成反比例，且其函数图象经过点． (1)求关于的表达式； (2)当时，求的值． 3．已知与成反比例，且当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)点在该反比例函数的图象上，则m，n的大小关系为：____________．（用“>”“<”或“=”连接） 4．已知y与成反比例，且其函数图象经过点．求y与x的函数关系式； 5．已知与成反比例，并且当时，，求出关于的函数解析式，并计算当时，的值． 6. 已知函数，其中与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求关于的函数解析式． 题型3 实际问题中的反比例 【例1】我市到杭州的高速公路大约长，一辆轿车从我市出发开往杭州，轿车到达杭州的时间和行驶的平均速度之间有怎样的关系？v是t的反比例函数吗？ 【例2】某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输天数之间的关系如下表： 每天运输的吨数 500 250 100 50 …… 运输的天数 1 2 5 …… (1)这批货物共有多少吨？ (2)用表示运输天数，用表示每天运输的吨数，用式子表示它们的关系． (3)与成反比例关系吗？如果成，请求出表格中的值． 【变式练习】 1．王老师买了一些糖果分给学生，若每人3颗，可以分给25名学生；若每人颗，可以分给名学生，则用式子表示与之间的关系为_____． 2．农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是______． 3．邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数和包数如下表： 每包的本数/本 10 20 40 包数/包 60 30 15 用表示包数，用表示每包的本数，用式子表示与的关系为_______，y与x成_______比例关系． 4．如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． (1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； (2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； (3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 5．计算 若长方形的两邻边长度分别为、，面积保持不变，下表给出了与的一些值求长方形的面积． (1)长方形的面积是多少？ (2)与之间是什么关系？用式子表示与之间的关系． (3)根据关系式完成上表． 6．如图，王大爷准备用栅栏围建一个面积为的矩形养鸡场，其中一边靠墙，墙长为．设的长为，的长为． (1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)现有两种方案，或，试选出合理的设计方案，并求出栅栏的总长． 7．写出下列各问题中的函数关系式，指出是哪种函数，并确定其中自变量的取值范围： (1)在的匀速运动中，运动路程是时间的函数； (2)某学校要在校园中辟出一块面积为的长方形土地做花圃，这个花圃的长是宽的函数． 8．为打造便民宜居的公共空间，某社区启动了口袋公园提质改造项目，现对一块面积为的休闲广场铺装地砖． (1)若每块地砖的面积为（单位：），所需地砖总块数为，请直接写出关于的函数表达式； (2)结合景观设计方案，施工方采用白色、灰色两种同规格的正方形防滑地砖进行交错铺装，每块地砖的边长均为．已知白色地砖的数量比灰色地砖数量的倍少块．求白色和灰色地砖各用了多少块． 过关练习 一、单选题 1．反比例函数中的常数k为（    ） A． B．2 C． D． 2．已知菱形的面积为5，菱形的两条对角线的长分别为，，则关于的表达式是（   ） A． B． C． D． 3．下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 4．下列函数不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 5．若点，在同一个反比例函数的图象上，则该反比例函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 6．如表，当x和y成反比例时，m的值是（   ） x 5 m y 4 A． B．0 C． D． 7．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂生产x只（x取正整数）玩具熊猫的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 8．下列各种关系中，成反比例关系的是（   ） A．商品的进价一定，利润与售价的关系 B．同学的年龄一定，他的身高与体重的关系 C．路程一定，速度与时间的关系 D．工作效率一定，工作总量与工作时间的关系 9．下列选项中，两个变量m和n成反比例关系的是（   ） A．长为m，宽为n，周长为1的矩形 B．底面半径为m，高为n，体积为1的圆柱 C．对角线长分别为m、n，面积为1的菱形 D．长为m，宽和高均为n，体积为1的长方体 10．有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，是的反比例函数的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 11．若函数为反比例函数，则a的取值范围为________． 12．已知反比例函数，当时，___________． 13．反比例函数中，其比例系数是___________，自变量的取值范围是___________ 14．反比例函数的比例系数_________． 15．若函数是反比例函数，则的值为__________． 16．已知函数， （1）当______，______时，该函数是反比例函数； （2）当______，______时，该函数是开口向上的二次函数． 17．已知y与成反比例，且当时，则y与x之间的函数关系式为______． 18．将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入原反比例函数中，所得函数值记为，再将代入原反比例函数中，所得函数值记为，……，如此继续下去，则的值为______． 三、解答题 19．已知． (1)当为何值时，是的正比例函数？ (2)当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值． 20．已知反比例函数的解析式，当时，． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求y的值． 21．已知，并且与x成正比例与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时的函数值． 22．将体积为314立方分米的钢锭拉成圆柱体的钢筋条． (1)写出钢筋条的长L（分米）与横截面S（平方分米）的函数关系式； (2)当钢筋条的横截面的直径是分米时，可拉伸出多少米长的钢筋（结果保留）． 23．陕西果园总面积多年保持全国第一，其水果产业以产量大、品种全、品质优著称．已知工人采摘完某个苹果园所需的时间y（单位：天）与采摘苹果的速度x（单位：吨/天）之间满足反比例函数关系，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)当工人采摘苹果的速度为4吨/天时，求采摘完这个苹果园所需的时间为多少天？ 24．某工程队承接一项挖管道任务，计划每天所挖的长度与天数如下表所示： 每天所挖的长度（米） 150 200 300 500 … 所挖的天数（天） 20 15 10 6 … (1)这项工程所挖管道共有多少米？ (2)所挖的天数是怎样随着每天所挖的长度的变化而变化的？ (3)用表示所挖的天数，表示每天所挖的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系？ 25．古希腊物理学家阿基米德曾提出：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”．这句话生动揭示了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力阻力臂动力动力臂”（如图所示）．壮壮欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂为．设动力为，动力臂长度为． (1)求动力与动力臂之间的函数表达式． (2)如果壮壮最多能使出的力，要撬动这块石头，他所用撬棍的动力臂长度至少需要多少米？ 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $