专题27.2 反比例函数的图象和性质（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦反比例函数的图象和性质核心知识点，通过类比一次、二次函数研究路径，系统梳理描点法画双曲线步骤，k>0与k<0时的象限分布及增减性，k的几何意义，解析式确定及与一次函数综合应用，构建完整学习支架。 资料以类比迁移培养数学思维，通过即学即练、分层题型（含中考链接）提升运算能力与应用意识，结合k的几何意义强化几何直观。课中辅助教师高效授课，课后A、B、C组练习帮助学生分层巩固，查漏补缺。

专题27.2 反比例函数的图象和性质 教学目标 1.掌握用描点法画反比例函数图象的基本步骤，理解其图象是双曲线（两支曲线）。 2.理解并熟练记忆当k>0 与k<0时，反比例函数图象所在的象限分布以及增减性。 3.能够运用反比例函数的图象和性质，解决函数值的大小比较、求字母参数取值范围等综合问题。 教学重难点 1.重点 （1）反比例函数图象的形状特征及所在象限与k的关系； （2）在每一个象限内，y 随x 的增减变化规律。 2.难点 （1）理解增减性中“在每一个象限内”的前提条件，避免跨象限直接套用增减性； （2）综合运用反比例函数性质求图象中的参数值或比较函数值大小； （3）反比例函数与一次函数、正比例函数图象在同一坐标系下的识别。 知识点01 反比例函数的研究方法与图象画法 研究方法与图象画法 研究方法：类比一次、二次函数的研究路径，采用 画出图象，结合解析式数形结合进行研究。 图象特征：因为自变量x≠0，且y≠0，所以图象无限接近坐标轴但永远不与坐标轴相交，由两支不连贯的曲线组成（称为双曲线）。 【即学即练】 1．下列图象是反比例函数图象的是（ ） A． B． C． D． 2．在如下图所示的平面直角坐标系中画出函数与的图象． 知识点02 反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象与性质 对于反比例函数 (k为常数,k≠0) 当k>0时：象限：两支曲线分别位于 象限；增减性：在每一个象限内，y随x的增大而 。 当k<0时：象限：两支曲线分别位于 象限；增减性：在每一个象限内，y随x的增大而 。 注意：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号 2.确定反比例函数解析式 核心依然是用待定系数法。已知双曲线上任意一点的坐标，则可直接代入求得。 3.拓展 ①当正比例函数y=kx与反比例函数同处一个坐标系时，它们的图象位置必然关于原点对称且均受到同一个k的控制。若k>0，两者都过一三象限；若k<0，两者都过二四象限。 ②反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积等于∣k∣。 【即学即练】 3．已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（ ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 4．已知反比例函数，下列选项正确的是（ ） A．函数图象在第一、三象限 B．函数图象在第二、四象限 C．y随x的增大而减小 D．y随x的增大而增大 5．若反比例函数的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．点、、在反比例函数的图象上，则有（ ） A． B． C． D． 7．如图为某游乐场电车轨道的一部分的图象，其中为线段．为反比例函数的一部分．已知图象上三点的坐标分别为，，． (1)求和的值； (2)求所在直线的解析式． 8．反比例函数如图，则矩形的面积是________． 9．反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则的值为（ ） A． B． C． D． 题型01 反比例函数的图象 【典例1】反比例函数的图像大致是（ ） A． B． C． D． （1）考查方向：考查对反比例函数定义的识别，能判断函数是否符合 、或的形式。 （2）核心方法：抓住两个关键条件一是变量乘积为非零常数，即 xy=k；二是 x 的指数为 -1，且比例系数k≠0。 【变式1】反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ） A．6 B．10 C． D． 【变式2】如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（ ） A． B． C． D． 【中考链接】在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是____________． 题型02 反比例函数的性质 【典例1】关于反比例函数，说法错误的是（ ） A．图象分布在二、四象限 B．图象关于原点中心对称 C．当时，y随x增大而增大 D．当时， （1）考查方向：考查由反比例函数的形式或图象经过的点求参数，常见于含字母系数或指数的函数表达式。 （2）核心方法：若由表达式判断，则令 x 的指数等于-1，并保证系数不为 0；若由点求参数，则代入点坐标，利用k=xy求解。​ 【变式1】已知反比例函数 的图象分布在第二、四象限，则下列说法正确的是（ ） A．，在每个象限内，y随x增大而减小 B．， 在每个象限内，y随x增大而增大 C．， 在每个象限内，y随x增大而增大 D．， 在每个象限内，y随x增大而减小 【变式2】函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（ ） A． B． C． D． 【变式3】在反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，则二次函数的图象大致是下图中的（ ） A． B． C． D． 【变式4】若三点都在函数的图象上，则的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 【中考链接1】已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________． 【中考链接2】在反比例函数中，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【中考链接3】已知点在函数的图象上，点在函数的图象上，点在函数的图象上，，，均大于0．三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当时，下列大小关系不可能的是（ ） A． B． C． D． 【中考链接4】若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【中考链接5】在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（ ） A．且 B． C．或 D．或 题型03 反比例函数系数k的几何意义 【典例1】反比例函数的图象如图所示，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（ ） A．1 B．2 C．5 D．6 （1）考查方向：考查已知反比例函数解析式和图象上的点，求函数值、自变量或判断点是否在图象上。 （2）核心方法：直接代入，或利用图象上任意一点都满足 xy=k，通过横纵坐标乘积是否等于 k快速判断和计算。 【变式1】如图，点，分别为反比例函数（）与（）图象上的点，轴，点在轴上，连接、，则的面积为（ ）． A．6.5 B．8.5 C．11 D．13 【变式2】如图，已知点A在反比例函数图象上，垂足为点B，轴，若矩形的面积为2，则k的值为（ ） A． B． C．2 D．4 【中考链接】如图，反比例函数在第二象限的图象如图所示，点是图象上的一点，过点作轴，垂足为，若的面积为，则的值为________． 题型04 求反比例函数解析式 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数 为常数，，的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则___________________． （1）考查方向：考查从行程、面积、工作量、压强等实际情境中抽象出反比例函数关系，并写出解析式和自变量取值范围。 （2）核心方法：找准“不变量”，如路程、面积、总量、压力等，利用“一个量 = 定值 ÷另一个量”建立，再结合实际意义确定 x 的取值范围。 【变式1】如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 【变式2】已知反比例函数的图像经过点，那么这个反比例函数的表达式是（ ） A． B． C． D． 【变式3】双曲线经过点，下列各点在此双曲线上的是（ ） A． B． C． D． 【变式4】若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【中考链接】如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，若，则k的值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型05 反比例函数与一次函数的综合 【典例1】11．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为__________． 【变式2】实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（ ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在直角坐标系第一象限内，正方形的边长为2，边在x轴上，C在反比例函数图像上，D在直线上，则b的值为________． 【中考链接1】函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【中考链接2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．在反比例函数图象上有一点，过点作轴于点，连接，． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求四边形的面积． A组·基础过关 1．反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A． B． C． D． 2．如图，某反比例函数的图像过点，则此反比例函数表达式为（ ） A． B． C． D． 3．如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（ ） A． B． C． D． 4．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时， D．当时， 6．已知点，都在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D． 7．在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（ ） A． B． C． D． 8．已知点都在反比例函数的图像上，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 9．如图，点A是反比例函数图象上的一个动点，过点A作轴，轴，垂足分别为B，C，则矩形的面积为________． 10．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（ ） A．或 B．或 C．或 D． B组·能力提升 11．点在函数图象上，下列说法正确的是（ ） A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， 12．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 13．如图，点在反比例函数（）的图象上，点是上一点，作轴于点，连接．若，的面积为，则的值为（ ） A． B． C． D． 14．如图，在矩形中，，，反比例函数的图象经过矩形边的中点D，交边于点E． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上找一点P使的周长最小，求此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，直接写出的面积． 15．在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（）交于、两点，一次函数交轴于点，点在轴正半轴上，满足，连接、． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)计算的面积． C组·拓展延伸 16．记实数，，…，中的最小数为，例如，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 17．已知二次函数的图象如下，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A． B． C． D． 18．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在反比例函数（，）和的图象上，点在轴上，连接、、，轴于点，若，则的值为_____． 19．如图，在菱形中，，，．反比例函数的图像经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)菱形的对角线与相交于点，将菱形沿轴的正方向平移，当点恰好在反比例函数的图像上时，试判断此时点是否也在反比例函数的图像上？请说明理由． 20．在平面直角坐标系中，存在直线和双曲线． (1)当时，直线和双曲线交于，两点（点在点左侧），求，两点坐标； (2)求证：直线必经过点； (3)若直线与双曲线无交点，请直接写出的取值范围． 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.2 反比例函数的图象和性质 教学目标 1.掌握用描点法画反比例函数图象的基本步骤，理解其图象是双曲线（两支曲线）。 2.理解并熟练记忆当k>0 与k<0时，反比例函数图象所在的象限分布以及增减性。 3.能够运用反比例函数的图象和性质，解决函数值的大小比较、求字母参数取值范围等综合问题。 教学重难点 1.重点 （1）反比例函数图象的形状特征及所在象限与k的关系； （2）在每一个象限内，y 随x 的增减变化规律。 2.难点 （1）理解增减性中“在每一个象限内”的前提条件，避免跨象限直接套用增减性； （2）综合运用反比例函数性质求图象中的参数值或比较函数值大小； （3）反比例函数与一次函数、正比例函数图象在同一坐标系下的识别。 知识点01 反比例函数的研究方法与图象画法 研究方法与图象画法 研究方法：类比一次、二次函数的研究路径，采用列表、描点、连线画出图象，结合解析式数形结合进行研究。 图象特征：因为自变量x≠0，且y≠0，所以图象无限接近坐标轴但永远不与坐标轴相交，由两支不连贯的曲线组成（称为双曲线）。 【即学即练】 1．下列图象是反比例函数图象的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象．反比例函数解析式为，由解析式可知，，图象与x轴、y轴都无交点，图象为双曲线． 【详解】解：由反比例函数解析式，可知，， ∴图象与x轴、y轴都无交点， C、B、D的图象都与坐标轴有交点． 故选：A． 2．在如下图所示的平面直角坐标系中画出函数与的图象． 【答案】 【分析】根据表格中的数据，描点，连线，画出函数图象即可. 【详解】解：列表 描点，连线，如图即为两函数图象； 知识点02 反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象与性质 对于反比例函数 (k为常数,k≠0) 当k>0时：象限：两支曲线分别位于第一、第三象限；增减性：在每一个象限内，y随x的增大而减小。 当k<0时：象限：两支曲线分别位于第二、第四象限；增减性：在每一个象限内，y随x的增大而增大。 注意：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号 2.确定反比例函数解析式 核心依然是用待定系数法。已知双曲线上任意一点的坐标，则可直接代入求得。 3.拓展 ①当正比例函数y=kx与反比例函数同处一个坐标系时，它们的图象位置必然关于原点对称且均受到同一个k的控制。若k>0，两者都过一三象限；若k<0，两者都过二四象限。 ②反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积等于∣k∣。 【即学即练】 3．已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（ ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的图象与性质； 先根据反比例函数的图象得到，再根据一次函数的图象与性质解答即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴ ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限； 故选：A. 4．已知反比例函数，下列选项正确的是（ ） A．函数图象在第一、三象限 B．函数图象在第二、四象限 C．y随x的增大而减小 D．y随x的增大而增大 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，正确掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数 的图象和性质，逐一判断即可求解． 【详解】解：反比例函数 中，， 函数图象在第一、三象限，故选项A正确；选项B错误； 又 ， 在每个象限内， 随 的增大而减小，故选项D错误； 但选项C未限定“在每个象限内”，因此表述不准确，故选项C错误． 故选：A． 5．若反比例函数的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握比例系数的符号与增减性的关系是关键．根据反比例函数的性质，当比例系数小于0时，函数图象在每一象限内y随x的增大而增大，由此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大， ∴， 解得：， 故选：B． 6．点、、在反比例函数的图象上，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据反比例函数的系数判断图象位置，再根据各点横坐标判断点所在象限，进而比较，，的大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大 对于点，横坐标，该点在第二象限，故 对于点和，横坐标，，两点都在第四象限，故，， ∵， ∴， ∴． 7．如图为某游乐场电车轨道的一部分的图象，其中为线段．为反比例函数的一部分．已知图象上三点的坐标分别为，，． (1)求和的值； (2)求所在直线的解析式． 【答案】(1)的值为16，的值为8 (2) 【分析】题目主要考查待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，熟练掌握是解题关键． （1）根据待定系数法确定反比例函数解析式，然后将点C代入求解即可； （2）设所在直线的解析式为，利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数经过点，， ，解得， 反比例函数的表达式为， 当时，， 的值为16，的值为8； （2）设所在直线的解析式为， 将，的坐标代入， 得，解得， 所在直线的解析式为． 8．反比例函数如图，则矩形的面积是________． 【答案】6 【分析】直接设点P的坐标，表示出和，再计算矩形的面积即可． 【详解】解：设， ∴，， ∴矩形的面积是． 9．反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，连接，由轴可得，结合得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 题型01 反比例函数的图象 【典例1】反比例函数的图像大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，理解函数与图像的关系是解题的关键； 根据反比例函数的比例系数，得出函数图像是位于第二四象限的双曲线，据此判断即可． 【详解】解：由知，， ∴反比例函数经过第二、四象限， 故选：A． （1）考查方向：考查对反比例函数定义的识别，能判断函数是否符合 、或的形式。 （2）核心方法：抓住两个关键条件一是变量乘积为非零常数，即 xy=k；二是 x 的指数为 -1，且比例系数k≠0。 【变式1】反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ） A．6 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】根据，，且，即可作答． 【详解】解：根据反比例函数的图象性质可知，， 结合图象得， 只有A选项在此范围内． 【变式2】如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数及一次函数图象的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称， ∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称， ∵直线与双曲线的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， 故选：D． 【中考链接】在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是____________． 【答案】0 【分析】根据正比例函数和反比例函数的图像关于原点对称，则交点也关于原点对称，即可求得 【详解】一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 一次函数与反比例函数的图象关于原点对称， 故答案为：0 题型02 反比例函数的性质 【典例1】关于反比例函数，说法错误的是（ ） A．图象分布在二、四象限 B．图象关于原点中心对称 C．当时，y随x增大而增大 D．当时， 【答案】D 【详解】解：∵，∴反比例函数图象分布在第二、四象限，A说法正确； ∵反比例函数的图象关于原点中心对称，∴B说法正确； ∵，当时，图象位于第四象限，随增大而增大，∴C说法正确； 取，，满足，计算得，，此时，不满足，∴D说法错误． （1）考查方向：考查由反比例函数的形式或图象经过的点求参数，常见于含字母系数或指数的函数表达式。 （2）核心方法：若由表达式判断，则令 x 的指数等于-1，并保证系数不为 0；若由点求参数，则代入点坐标，利用k=xy求解。​ 【变式1】已知反比例函数 的图象分布在第二、四象限，则下列说法正确的是（ ） A．，在每个象限内，y随x增大而减小 B．， 在每个象限内，y随x增大而增大 C．， 在每个象限内，y随x增大而增大 D．， 在每个象限内，y随x增大而减小 【答案】B 【分析】先根据图象所在象限确定比例系数的符号，求出m的取值范围，再结合反比例函数的增减性判断选项即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限，比例系数， ∴，在每个象限内，随增大而增大； 解得. 【变式2】函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象经过的象限判断的取值范围，再根据的取值范围判断反比例函数经过的象限是否符合要求． 【详解】解：A选项：一次函数的图象经过第一、二、三象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 故A选项错误； B选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故B选项正确； C选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故C选项错误； D选项：一次函数的图象经过第一、三、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 反比例函数应在第二、四象限， 故D选项错误． 【变式3】在反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，则二次函数的图象大致是下图中的（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意确定a的正负，然后再确定二次函数的开口方向和对称轴即可解答． 【详解】解：∵反比例函数中，当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴二次函数的图像开口向下，对称轴为， 故只有选项C符合题意． 【变式4】若三点都在函数的图象上，则的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据比例系数判断反比例函数图象所在象限和增减性，再根据各点横坐标判断点所在象限，进而比较函数值大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大. ∵， ∴点、在第二象限， ∴. ∵， ∴点在第四象限， ∴. 综上可得． 【中考链接1】已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数图象经过的象限，以及在每个象限内的函数增减性，结合两点的横坐标比较纵坐标的大小即可． 【详解】解：∵在反比例函数 中，， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵点，的横坐标都为正， ∴这两点都在第一象限， 又∵ ， ∴． 【中考链接2】在反比例函数中，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据反比例函数系数的符号判断时的增减性，再代入的端点值得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围为． 【中考链接3】已知点在函数的图象上，点在函数的图象上，点在函数的图象上，，，均大于0．三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当时，下列大小关系不可能的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出三个函数图象在第一象限的交点，再根据图象分情况解答即可； 【详解】解：联立与得，整理得，解得：， 联立与得，解得：或， 联立与得，整理得，解得：或， ∴函数、函数、函数的图象在第一象限交于点， 故三个函数的图象位于第一象限的部分， 当时，，B选项可能； 当时，根据图象可得，，A选项可能； 当时，根据图象可得，，C选项可能； 综上，D选项不可能． 【中考链接4】若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据k的正负判断函数图象所在象限，再结合同一象限内y随x的变化规律，即可比较横坐标的大小． 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随 的增大而减小， ∵点 的纵坐标， ∴点 在第三象限，可得， ∵点 、的纵坐标都大于， ∴点 、都在第一象限， 又∵， ∴ 综上可得 ． 【中考链接5】在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（ ） A．且 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据反比例函数系数的符号判断函数图象位置与增减性，再求出的值，分点在第三象限和第一象限两种情况讨论，即可得到的取值范围． 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，. 将代入，得. 由得，分两种情况讨论： ① 当时，点在第三象限，，结合第三象限内随增大而减小，可得； ② 当时，点在第一象限，，由可知恒成立，即所有都满足条件； 综上，的取值范围是或． 题型03 反比例函数系数k的几何意义 【典例1】反比例函数的图象如图所示，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（ ） A．1 B．2 C．5 D．6 【答案】B 【分析】直接根据值的几何意义，即可得出结果. 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，轴于点， ∴的面积是. （1）考查方向：考查已知反比例函数解析式和图象上的点，求函数值、自变量或判断点是否在图象上。 （2）核心方法：直接代入，或利用图象上任意一点都满足 xy=k，通过横纵坐标乘积是否等于 k快速判断和计算。 【变式1】如图，点，分别为反比例函数（）与（）图象上的点，轴，点在轴上，连接、，则的面积为（ ）． A．6.5 B．8.5 C．11 D．13 【答案】A 【分析】连接，，设与轴交于点，将 面积转化为 的面积，然后结合反比例函数系数 的几何意义求解． 【详解】解：如图，连接 ，，设 与 轴交于点 ， 轴， ， 点 ， 分别为反比例函数 ，的图象上的点， ，， ． 【变式2】如图，已知点A在反比例函数图象上，垂足为点B，轴，若矩形的面积为2，则k的值为（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】直接根据值的几何意义，即可得出结果. 【详解】解：由题意，矩形的面积为， ∵反比例函数过二，四象限， ∴， ∴. 【中考链接】如图，反比例函数在第二象限的图象如图所示，点是图象上的一点，过点作轴，垂足为，若的面积为，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数图象所在的象限判断出的符号，再根据反比例函数系数的几何意义即可得出结论． 【详解】反比例函数的图象的一支在第二象限， ， 轴，垂足为，的面积为5， ， ． 题型04 求反比例函数解析式 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数 为常数，，的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则___________________． 【答案】/ 【分析】由的几何意义可得，从而可求出的值． 【详解】解：的面积为， 所以 ． 故答案为：． （1）考查方向：考查从行程、面积、工作量、压强等实际情境中抽象出反比例函数关系，并写出解析式和自变量取值范围。 （2）核心方法：找准“不变量”，如路程、面积、总量、压力等，利用“一个量 = 定值 ÷另一个量”建立，再结合实际意义确定 x 的取值范围。 【变式1】如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可． 【详解】是平行四边形 纵坐标相同 的纵坐标是 在反比例函数图象上 将代入函数中，得到 的纵坐标为 即： 解得： 故答案为：． 【变式2】已知反比例函数的图像经过点，那么这个反比例函数的表达式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知点的坐标代入反比例函数一般式，求出系数k即可得到函数表达式． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 解得， ∴反比例函数的表达式为． 【变式3】双曲线经过点，下列各点在此双曲线上的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知点坐标求出反比例函数的值，再利用反比例函数的性质：双曲线上点的横纵坐标乘积等于，验证各选项即可得到答案． 【详解】解：∵ 双曲线经过点， ∴ ， ∴ 双曲线上任意点满足横纵坐标乘积为， 逐一验证选项： 选项，，不在双曲线上； 选项，，在此双曲线上； 选项，，不在双曲线上； 选项，，不在双曲线上； 【变式4】若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键． 将已知点的坐标代入反比例函数解析式，直接计算即可求出k的值． 【详解】解：∵点在反比例函数（为常数，且）的图象上， ∴将，代入，得： 解得：， 故选：B． 【中考链接】如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，若，则k的值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由正方形的性质得，可设，，根据可求出的值． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∵ ∵点为的中点， ∴ 设点C的坐标为，则, ∴， ∵点C，E在反比例函数的图象上， ∴， 解得，， 故选：B． 题型05 反比例函数与一次函数的综合 【典例1】11．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，进行讨论，判断即可. 【详解】解：当时，则，则双曲线过一、三象限， ∵，，则直线过一、二、四象限； 当时，则，则双曲线过二、四象限， ∵，，则直线过一、二、三象限； 观察可知，只有选项C的图象符合题意. 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为__________． 【答案】/ 【分析】由题意，得到，对代数式恒等变形后代入已知代数式计算即可． 【详解】解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ，则， ． 【变式2】实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． 首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，得到求解反比例函数的解析式；把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【详解】解：设直线的解析式为， 直线过， ， ， 直线的解析式为， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入得：， ； 当时，， 从晚上经过9小时到第二天早上，即可以上班． 故选B． 【变式3】如图，在直角坐标系第一象限内，正方形的边长为2，边在x轴上，C在反比例函数图像上，D在直线上，则b的值为________． 【答案】 【分析】设，先求出点的坐标分别为，，再根据反比例函数的解析式可得的值，进而可得点的坐标，然后代入一次函数的解析式求解即可． 【详解】解：设， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∴，， ∴， 将点代入反比例函数得：， 解得， ∴， 将点代入直线得：， 解得． 【中考链接1】函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的符号分两种情况讨论，结合函数图象经过的象限进行判断即可． 【详解】解：分两种情况讨论：①当时，则， 反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 观察选项A、B，图象均不符合； ②当时，则， 反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 观察选项C，直线经过第一、三、四象限，不符合； 观察选项D，双曲线在第二、四象限，直线经过第一、二、四象限，符合． 【中考链接2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．在反比例函数图象上有一点，过点作轴于点，连接，． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将点分别代入一次函数和反比例函数，可求出和． （2）由反比例函数的表达式求出点的坐标，再分别求一次函数与轴交点和点的坐标，将四边形分割为两个三角形求面积即可． 【详解】（1）解：由题意，点在一次函数上， ，解得； 一次函数的表达式为． 点在反比例函数上， ，解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：点 在反比例函数 上， ∴点 的坐标为， 轴，垂足 在 轴上， 点的坐标为， 直线 与 轴交点 ， 令 ，则，解得， ∴ 点的坐标为， ， 四边形的面积为． A组·基础过关 1．反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项点的坐标代入解析式验证即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， 对选项A，点，当时，， ∴点不在函数图象上，A不符合题意； 对选项B，点，当时，，等式成立， ∴点在函数图象上，B符合题意； 对选项C，点，当时，， ∴点不在函数图象上，C不符合题意； 对选项D，点，当时，， ∴点不在函数图象上，D不符合题意． 2．如图，某反比例函数的图像过点，则此反比例函数表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设反比例函数的一般形式，再将已知点的坐标代入求出系数，从而确定函数表达式． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 反比例函数图像过点， ， 反比例函数的表达式为． 3．如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图像的对称性求解即可． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的坐标是， 点B的坐标为． 4．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象所在象限判断比例系数的符号，解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴比例系数， 解得． 5．已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】反比例函数中，根据点在函数图象上的判定，反比例函数的象限分布和增减性，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、∵反比例函数， ∴当时，，故A错误； B、∵， ∴反比例函数图象位于第一、第三象限，故B错误； C、∴在每一象限内，随的增大而减小， ∵，两点都在第三象限， ∴，故C正确； D、若，，满足， 此时，， ∴，不符合，故D错误． 6．已知点，都在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定反比例函数的比例系数符号，再根据x的取值范围判断两点所在象限，结合反比例函数的增减性即可比较与的大小． 【详解】解：将反比例函数整理为的形式，可得． ∵， ∴反比例函数图象在第二，四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． 又∵， ∴点，都位于第四象限，根据增减性可得． 7．在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质，利用反比例函数的增减性得到系数的取值范围，对于反比例函数，当时，图象任意一支上都随的增大而减小，进行解答；即可． 【详解】∵ 反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小， ∴ ， 解得 ， 上述四个选项中只有，符合条件． 8．已知点都在反比例函数的图像上，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知三个点都在给定的反比例函数图象上，只需将各点横坐标代入函数解析式，求出对应的y值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上 ∴将各点横坐标分别代入解析式得 ，， ∵ ∴． 9．如图，点A是反比例函数图象上的一个动点，过点A作轴，轴，垂足分别为B，C，则矩形的面积为________． 【答案】4 【分析】由于点A是反比例函数上一点，矩形的面积． 【详解】解：由题意得：． 10．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（ ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据函数图象得到当或时在上方，即可得到答案． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 根据函数图象可知当或时在上方， 关于的不等式解集是或． B组·能力提升 11．点在函数图象上，下列说法正确的是（ ） A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， 【答案】C 【分析】根据反比例函数的图象与性质，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：由题知， 因为反比例函数解析式为， 所以该反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， 故A选项不符合题意； 因为反比例函数的图象不关于y轴对称， 故B选项不符合题意； 因为点在函数图象上， 则， 所以， 所以点和点都在图象上， 故C选项符合题意； 当时，， 故D选项 不符合题意． 12．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，分别求出横坐标的值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别代入解析式得： ，，， ∵， ∴． 13．如图，点在反比例函数（）的图象上，点是上一点，作轴于点，连接．若，的面积为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据和同高，求出的面积，再根据反比例函数系数的几何意义求出的值，最后结合反比例函数图象在第二象限求解即可． 【详解】点在上，， 和同高， ， 的面积为， ， 轴， ， 解得， 点所在的反比例函数图象在第二象限， ， ． 14．如图，在矩形中，，，反比例函数的图象经过矩形边的中点D，交边于点E． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上找一点P使的周长最小，求此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）先求解，再进一步求解即可； （2）作点D关于轴的对称点F，连接交轴于点P，则点P就是所求点，再进一步求解即可． （3）利用，进一步计算即可． 【详解】（1）解：依题意，在矩形中，，， ∴， ∵为的中点， ∴ 反比例函数的图象经过点D， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：连接，作点D关于轴的对称点F，连接交轴于点P，则点P就是所求点． ∴， 把代入， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得： ， 解这个方程组，得， 当时，，， ． （3）解：如图，∵，，， ． 15．在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（）交于、两点，一次函数交轴于点，点在轴正半轴上，满足，连接、． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)计算的面积． 【答案】(1)一次函数：，反比例函数： (2)的面积为 【分析】（1）将B点坐标代入​​即可求出，再将A点横坐标代入反比例函数解析式求出m，得到A点坐标．将A、B两点坐标代入，解二元一次方程组得到​和b，即可得到答案． （2）因为一次函数与y轴交点的横坐标为0，所以令一次函数中得到C点坐标，进而得到长度，结合且D在x轴正半轴，得到D点坐标．可知垂直于轴，长度为．求出点到直线（直线）的水平距离代入三角形面积公式，计算即得答案． 【详解】（1）解：已知点在反比例函数上， ∴， 解得， ∴反比例函数解析式为：． ∵点在反比例函数上， ∴， ∴． 将、代入一次函数，得方程组， 解得， ∴一次函数解析式为：． （2）解：∵一次函数交轴于，令，得， ∴， ∴． ∵，且在轴正半轴， ∴， ∴． ∵、， 可知垂直于轴， 长度为． 点到直线（直线）的水平距离设为h， ∴， ∴． C组·拓展延伸 16．记实数，，…，中的最小数为，例如，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出三个函数 ，， 的交点，确定在不同 取值范围内哪个函数值最小，从而确定分段函数的解析式及图象走势． 【详解】解：令 ，， 联立， ，即 ， 解得 ， 当 时， ，且 ， 此时 ，图象为从 出发的线段， 联立 ，即 ，解得 （约等于2.8）， 当 时， 且 ， 此时 ，图象为上升线段 ， 当 时，， 此时 ，图象为下降的双曲线分支 综上所述， 图象先从 快速上升，转折后缓慢上升，最后下降，只有A选项符合． 17．已知二次函数的图象如下，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数图象的性质得到，，，由此得到一次函数、反比例函数图象经过的象限，把代入得到，联立方程组得到一次函数与反比例函数的交点坐标，由此即可求解． 【详解】解：根据二次函数图象得到，开口向下，对称轴直线为，二次函数图象与x轴交于点，二次函数与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 反比例函数经过第一、三象限， 当时，， ∴， ∴， 解得，或， ∴一次函数与反比例函数的交点坐标为，， ∴符合题意的函数图象是A选项 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在反比例函数（，）和的图象上，点在轴上，连接、、，轴于点，若，则的值为_____． 【答案】 【分析】设点的坐标为，根据轴可知点、的横坐标均为，分别代入两个反比例函数解析式表示出和的长度，利用建立关于的方程求解即可． 【详解】解：设点的坐标为，其中， 轴于点， 点、的横坐标均为 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ，， 由图象可知，点在第一象限，点在第四象限， ，， ， ， ， ． 19．如图，在菱形中，，，．反比例函数的图像经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)菱形的对角线与相交于点，将菱形沿轴的正方向平移，当点恰好在反比例函数的图像上时，试判断此时点是否也在反比例函数的图像上？请说明理由． 【答案】(1) (2)解：平移后点E不在反比例函数的图像上，理由如下： ∵，，，菱形沿轴的正方向平移，点恰好在反比例函数的图像上， ∴菱形沿轴的正方向平移，此时点D和点C重合， 即菱形沿轴的正方向平移8个单位，点恰好在反比例函数的图像上， ∵菱形中， ∴点E是的中点， ∵，， ∴，即， ∴平移后点的坐标为，即， 当时，反比例函数值为，而． ∴平移后点E不在反比例函数的图像上． 【分析】（1）如图：过点C作轴于点Q，根据两点间的距离公式得到，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，得到，把点C代入即可解答； （2）先说明菱形沿轴的正方向平移8个单位，点恰好在反比例函数的图像上，然后求出平移后点的坐标为，再判断其是否在反比例函数图像即可解答． 【详解】（1）解：如图：过点C作轴于点Q， ∵，， ∴， ∵菱形中，， ∴，，， ， ， ，， ∴， ∵点C在反比例函数的图像上． ， ∴反比例函数的表达式为； （2）略 20．在平面直角坐标系中，存在直线和双曲线． (1)当时，直线和双曲线交于，两点（点在点左侧），求，两点坐标； (2)求证：直线必经过点； (3)若直线与双曲线无交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)证明：将代入直线， 即当时，恒成立． ∴ 直线必经过点． (3) 【分析】（1）将代入直线解析式，联立直线与反比例函数解析式，解方程组得交点坐标； （2）将点代入直线解析式验证等式成立，证明直线恒过该点； （3）联立直线与反比例函数解析式，转化为一元二次方程，利用根的判别式小于0，求解的取值范围． 【详解】（1）解：当时，直线解析式为，且与双曲线交于两点． 联立直线与双曲线方程：， 消去得：， 两边同乘（）并整理：， 因式分解：， 解得，． 当时，；当时，． ∵点在点左侧， ∴，． （2）略 （3）解：联立直线与双曲线方程：， 消去得：， 两边同乘（）并整理：． ∵ 直线与双曲线无交点， ∴ 该一元二次方程无实数根，且． ∴ ， 即， 因式分解：， 解得：． 故的取值范围是． 2 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $