1.2.3 二次函数的图象（第3课时）（教学课件）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数一般式转化为顶点式、对称轴与顶点坐标公式及图像平移，通过表格回顾顶点式性质，问题导入巩固旧知，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点是以配方法分步讲解为核心，结合合作学习与典例分析，培养数学思维（运算能力、推理意识）和数学眼光（几何直观）。如“五点绘图法”和“平移口诀”帮助学生系统掌握图像绘制，提升转化思想与应用能力，教师可借助结构化流程与多样化练习提高教学效率。

1.2.3 二次函数的图象 （第3课时） 第一章 二次函数 浙教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 1.熟练掌握对二次函数一般式y=ax2+bx+c(a≠0)的配方法完整步骤：提取二次项系数、括号内配完全平方 去括号台并常数项。自能独立将般式佳确转化力顶点式 1牢记二次函数一般式两大核心公式 对称轴直线=-2a顶点坐标()；给出任意y=ax²+bx+c，能准确识别a、b、c的数值（包含正负符号 1.理解y=ax²+bx+c与基础抛物线y=ax²的关系：二者形状、开口宽窄、开口方向完全一致，仅图像位置不同，可通过平移y=ax得到一般式图像 复习导入 前面我们学习了4种顶点式二次函数，谁能快速说出y=a(x-h)2+k的顶点、对称轴、开口、增减性? 顶点坐标 对称轴 图像平移来源 开口与最值 y=ax2 (0，0) 直线x=0 基础抛物线 (a>0)：开口向上，最小值0 (a<0)：开口向下，最大值0 y=ax2+k (0，k) 直线x=0 y=ax2上下平移 (a>0)：开口向上，最小值k (a<0)：开口向下，最大值k y=a(x−h)2 (h，0) 直线x=h y=ax2左右平移 (a>0)：开口向上，最小值0 (a<0)：开口向下，最大值0 y=a(x−h)2+k (h，k) 直线x=h y=ax2先左右移 再上下移 (a>0)：开口向上，最小值k (a<0)：开口向下，最大值k 复习导入 指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，画草图进行验证： (1)y=2(x-3)²-5；(2)y=-0.5(x+1)²；(3)y=2x²-1。 分别说出上面三个函数是如何从基础函数y=ax2平移得到的 新课探究 平时做题遇到的函数大多是y=2x2-4x+1、y=-x2+3x这种形式，没有直接给出顶点，怎么快速找顶点、对称轴？以以y=ax²+bx+c为例， 1.提取二次项系数 2.括号内配完全平方：加、减一次项系数一半的平方 3.整理成完全平方，展开常数项： 4.对比顶点式y=a(x-h)2+k，对应得到：， 合作学习 总结 一般地，函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象有以下特征： 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线顶点坐标是 当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点； 当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。 由此可见，函数y=ax²+bx+c的图象与函数y=ax2的图象的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平y=ax2的图象得到 6 新知探究 合作学习 把y=2x2-4x+3配成顶点式，找顶点、对称轴。 第一步：提取二次项系数 y=2(x2-2x)+3 第二步：括号内配完全平方：加、减一次项系数一半的平方 y=2(x2-2x+1-1)+3 第三步：整理成完全平方，展开常数项 y=2(x-1)2+1 顶点式：y=2(x-1)2+1 顶点：（1，1） 对称轴：x=1 新知探究 做一做 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1） （2） （3） （4） 开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，-5)； 开口向下，对称轴为直线x=3，顶点坐标为(3，10)； 开口向下，对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2，4)； 开口向上，对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2，3). 典例1 画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的最大值或最小值： (1)y=1-3x2; 典例分析 x ... -2 -1 0 1 2 ... y ... ... 列表如图 描点连线 由图象可得：函数最大值为1,无最小值. 典例1 画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的最大值或最小值： (2)y=x2-4x+5; 典例分析 x ... -2 -1 0 1 2 ... y ... ... 列表如图 描点连线 由图象可得：函数最小值为1,无最大值. 典例1 画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的最大值或最小值： (3)y=x2-6x; 典例分析 x ... -2 -1 0 1 2 ... y ... ... 列表如图 描点连线 由图象可得：函数最小值为-9,无最大值. 典例1 画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的最大值或最小值： (4)y= -3x2+6x-1. 典例分析 x ... -2 -1 0 1 2 ... y ... ... 列表如图 描点连线 由图象可得：函数最大值为2,无最小值. 练一练 已知函数y=2x2-3x-2,解答下列问题: (1)画出函数的图象； (2)观察图象，说出x取哪些值时，函数的值为0. 典例分析 （1）如图所示 （2）x=2或x=- 典例分析 已知二次函数y=2x2+4x-1，将函数图象沿y轴向上平移1个单位. (1)求平移后的函数表达式 (2)判断A(1，5)是否在平移后的函数图象上，并说明理由 典例2 (1)解：将二次函数y=2x2+4x-1图象沿y轴向上平移1个单位，得到平移后的函数表达式为y=2x2+4x-1+1，即y=2x2+4x； (2)解：点A(1,5)不在这个二次函数图象上,理由如下: 当x=1时，y=2×12+4×1=2+4=6≠5， ∴点A(1,5)不在这个二次函数图象上. 典例分析 已知抛物线y= -x2-4x-3. (1)将抛物线解析式转化为y=a(x-h)2+k的形式; (2)当x取何值时，y随x的增大而增大? 练一练 (1)解：y=-x2-4x-3=-(x2+4x+4)-3+4=-(x+2)2+1; (2)解：a=-1<0,函数图象的开口方向向下，又对称轴x=-2, 当x<-2时，y随x的增大而增大; 典例分析 已知抛物线y= -x2-4x-3. (3)写出将抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度后的抛物线解析式 练一练 (3)解：将抛物线向左平移1个单位长度， 此时解析式为y=-(x+2+1)²+1=-(x+3)²+1, ∵再向下平移2个单位长度， ∴解析式为y=-(x+3)²+1-2=-(x+3)²-1. 核心结论 1. 顶点坐标：，对称轴：直线 2.转化思想:把不熟悉的一般式转化为熟悉的顶点式y=a(x-h)2+k,直接读出顶点、对称轴; 3.图像本质:y=ax2+bx+c与y=ax2形状、开口完全相同,仅位置不同。 知识与技能 课堂小结 画二次函数y=ax²+bx+c的图像(五点绘图法) 1.配方：化成顶点式，求出顶点，对称轴； 2.求与坐标轴交点 y轴交点：令x=0，得(0，c); x轴交点：令y=0，解方程ax²+bx+c=0,得两个交点3.对称找点：利用对称轴，找出交点关于对称轴的对称点； 4.描点连线：描出顶点、4个对称点，平滑画出抛物线。 知识与技能 课堂小结 二次函数图像的平移(通用规则) 平移口诀：左加右减自变量，上加下减常数项 1.左右平移(只改括号内x) 向左平移m个单位：x →x+m；向右平移m个单位：x →x-m; 2.上下平移(只改末尾常数) 向上平移n个单位：整体+n;向下平移n个单位：整体-n; 知识与技能 课堂小结 课堂练习 1.把二次函数y=x2-2x-1配方成y=a(x-h)2+k的形式，结果为（ ） A.y=(x-1)2 B.y=(x-1)2-2 C.y=(x+1)2+1 D.y=(x+1)2-2 8.二次函数y=x²-2x-3的顶点坐标是( ) A.(1，-4) B.(-1，-4) C.(1，4) D.(-1，4) 课堂练习 3.关于二次函数y=2x2-4x+1的图象,下列结论正确的是（ ） A.其图象开口向下 B.其图象的对称轴是直线x=2 C.其最小值为1 D.当x<1时，y随x的增大而减小 4.二次函数y=x2+4x的开口方向及最值分别为（ ） A.向下，最大值2 B.向上，最小值-2 C.向下，最大值4 D.向上，最小值-4 课堂练习 5.将抛物线y=2x2平移，得到抛物线y=2(x+3)2+5,下列平移方式中，正确的是（ ） A.向左平移3个单位，向上平移5个单位 B.向右平移3个单位，向上平移5个单位 C.向左平移5个单位，向下平移3个单位 D.向右平移5个单位，向上平移3个单位 课堂练习 6.已知二次函数y=ax2+2ax的图象经过点(-1，1). (1)求a的值； (2)在所给的坐标系中画出这个函数的图象. (1)解：∵二次函数y=ax2+2ax的图象经过点(-1，1)， ∴1=a-2a，解得a=-1； 课堂练习 7. 将抛物线y=3x²经过怎样的平移可以得到下列函数的图象? （1）; （2） （3） （4） (1)向下平移个单位长度 (2)向右平移个单位长度 (3)向右平移个单位长度，再向上平移4个单位长度 (4)向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 课堂练习 8.已知关于x的二次函数y=x2-2ax+a2+2a. (1)当a=1时，求已知二次函数对应的抛物线的顶点和对称轴； (2)若抛物线y=x2-2ax+a2+2a与直线x=4交于点A，求点A到x轴的最小值. (1)解：把a=1代入y=x²-2ax+a²+2a中， 得y=x²-2x+3=(x-1)²+2, 顶点坐标为(1，2)，对称轴为直线x=1； (2)解：把x=4代入y=x²-2ax+a²+2a中， 得y=a2-6a+16=(a-3)²+7，所以点4的纵坐标为(a-3)²+7， 因为(a-3)²+7≥7，所以点A到x轴最小值为7. $