26.3 二次函数与一元二次方程 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 分层覆盖二次函数与一元二次方程关系，从概念理解到综合应用，梯度适配新授课知识巩固，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|抛物线与轴交点、方程解的直接对应|选择填空考查概念，如判断交点个数、由交点写方程解，强化符号意识| |能力提升|图像与不等式解集、翻折图像交点问题|结合图像分析，如由部分图像求不等式解集，培养几何直观与空间观念| |综合应用|参数讨论、证明与图像平移|解答题含证明（函数与轴无交点）、参数取值范围探究，发展推理能力与模型意识|

26.3 二次函数与一元二次方程 同步练习 1、 选择题： 1.抛物线与轴交点的情况是(    ) A. 有交点 B. 没有交点 C. 有一个交点 D. 有两个不同交点 2.若二次函数的图象与轴交于点，，则关于的方程的解为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 3.如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是(    ) A. B. C. 且 D. 或 4.已知二次函数为常数，如表给出了自变量与函数值的部分对应值． 根据表格，可以估计方程的近似解可能是(    ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 5.已知将二次函数的图像在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图像如图所示．当直线与新函数的图像恰有个公共点时，的值为  (    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6.二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论错误的是(    ) A. B. C. 若且，则 D. 若，两点都在二次函数的图象上，则 二、填空题： 7.若方程的根为，，则抛物线与轴的交点为          ． 8.若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是          ． 9.若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解为，则它的另一个解           ． 10.抛物线的图象如图所示，则： 对称轴是          ； 当           时，； 当          时，； 当          时，． 11.如图，抛物线与直线交于点，． 当           时，； 当          时，； 当          时，． 12.已知抛物线经过点，，三点，则关于的方程的解为          ． 三、解答题： 13.如果抛物线与轴有两个不同的公共点． 求的取值范围； 如果为正整数，且该抛物线与轴的公共点的横坐标都是整数，求的值． 14.已知二次函数是常数． 求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点． 把该函数的图象沿轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数图象与轴只有一个公共点？ 15.如图，抛物线与直线交于，两点． 求，两点的坐标； 求的面积； 直接写出不等式的解集． 16.二次函数的图象如图所示． 写出关于的一元二次方程的两个根； 写出关于的不等式的解集； 若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，求的取值范围． 17.如图，已知二次函数的图象经过点． 求的值和图象的顶点坐标； 点在该二次函数图象上． 当时，求的值； 若点到轴的距离小于，请根据图象直接写出的取值范围． 18.已知二次函数为常数，． 若，求证：该函数的图象与轴有两个公共点． 若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，求的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $26.3二次函数与一元二次方程同步练习 一、选择题： 1.抛物线y=x2+3x-1与x轴交点的情况是() A.有交点 B.没有交点 C.有一个交点 D.有两个不同交点 2.若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(1,0)，(-3,0)，则关于x的方程ax2+bx+c=0的解为 () A.X1=1,x2=3 B.x1=-1,x2=-3 C.x1=-1,X2=3 D.x1=1,x2=-3 3.如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是() A.-1<x<5 B.x>5 C.x<-1且x>5D.x<-1或x>5 4.已知二次函数y=ax2-2ax+c(a≠0，a,c为常数)，如表给出了自变量x与函数值y的部分对应值. 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 y=ax2-2ax+c 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程ax2-2ax+c=5的近似解可能是() A.-0.55和2.55 B.1.45和2.55 C.1.25和2.75 D.-0.75和2.75 5.已知将二次函数y=一x2+2x+3的图像在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图像如图所示.当 直线y=x+b与新函数的图像恰有3个公共点时，b的值为() AO A-24或3 B.-号或-3 c4或-3 D.或-3 第1页，共4页 6.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=2,且图象经过点(6,0)，则下列结论 错误的是() 0 2 6主 A.bc>0 B.4a+b=0 C.若ax1+bx1=ax3+bx2且x1≠x2,则x1+x2=4 D.若(-1，y1),(3,y2)两点都在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，则y2<y1 二、填空题： 7.若方程ax2+bx=0的根为x1=0,x2=1,则抛物线y=ax2+bx与x轴的交点为_. 8.若二次函数y=kx2-4x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 9.若二次函数y=3x2+bx+c的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程3x2+bx+c=0的一个解为 x1=3,则它的另一个解x2= 10.抛物线y=-x2+2x+3的图象如图所示，则： VA 3 (1①)对称轴是； (2)当x=时，y=0: (3)当时，-x2+2x+3>0: (4当时，-x2+2x+3<0. 第2页，共4页 11.如图，抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n交于点A(4,2),B(-1,-3). (1)当x=时，y1=y2: (2)当时，y1>y2: (3)当时，ax2+bx+c<mx+n. 12.已知抛物线y=a(x-h)2+k经过点(-3，m),(1,m),(2,-4)三点，则关于x的方程a(x-h+2)2+k+ 4=0的解为一 三、解答题： 13.如果抛物线y=x2+2x+2k-4与x轴有两个不同的公共点. (1)求k的取值范围； (2)如果k为正整数，且该抛物线与x轴的公共点的横坐标都是整数，求k的值. 14.已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数). (1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点. (2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点？ 15.如图，抛物线y=x2与直线y=x+6交于A,B两点. (1)求A,B两点的坐标； (2)求△A0B的面积： (3)直接写出不等式x2-x>6的解集. 第3页，共4页 16.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示 2 (1)写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根： (2)写出关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集： (3)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=k有两个不等的实数根，求k的取值范围. 17.如图，已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2,3). (1)求a的值和图象的顶点坐标： (2)点Q(m,n)在该二次函数图象上. ①当m=2时，求n的值： ②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围. 18.已知二次函数y=ax2-2ax+3(a为常数，a≠0). (1)若Q<0,求证：该函数的图象与x轴有两个公共点. (2)若该函数的图象与x轴有两个公共点(x1,0),(x2,0),且-1<x1<x2<4,求a的取值范围. 第4页，共4页答案和解析 1.【答案】D 2.【答案】D 3.【答案】D 4.【答案】D 5.【答案】A 6.【答案】D 【解析】解：由题图可知，抛物线开口向下，且与y轴交于正半轴， .a<0'c>0° :抛物线对称轴为直线X=-力=2， 2a ∴.b=-4a>0 ∴.bc>0'4a+b=0' 故选项A,B正确，不符合题意 :ax+bx=ax+bx,且x≠xg ..axi+bx+c=axj+bx,+c' X=X和X=,关于对称轴直线X=2对称。 第1页，共1页 “X1+X,=4故选项C正确，不符合题意. .抛物线开口向下， ·抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小. (-1,y》(3,y)两点都在抛物线 =ax+bx+c上，且-1-21>13-2 ∴.y1<y2 故选项D错误，符合题意，故选D. 7.【答案】0,0,1,0 8.【答案】k≤4且k≠0 9.【答案】-1 10.【答案】【小题1】 直线x=1 【小题2】 -1或3 【小题3】 -1<x<3 【小题4】 x<-1或x>3 11.【答案】【小题1】 -1或4 【小题2】 第2页，共1页 x<-1或x>4 【小题3】 -1<x<4 12.【答案】x1=-6,X2=0 【解析】解：.抛物线经过点(-3，m),(1,m),∴.对称轴为X=-1,∴.点(2，-4)关于直线x=-1的对 称点为(-4，-4即抛物线y=ax-h}+k与直线y=-4的交点为-4，-4(2，-4}：把抛物线 向左平移，个单位后所得抛物线， 线y=ax-h+2+k与直线y=-4的交点为(-6，-4少(0，-4方程 ax-h+2}+k=-4的解为x1=-6'x,=0 13.【答案】解：(1根据题意得4=2-42k-4>0 粥相k5 2k号 :正整数k的值为12 当k=1时，抛物线解析式为y=X+2X-2当y=0时，X2+2X-2=0解得x=-1+V3X=-1-V3 该抛物线与X轴的公共点的横坐标不是整数； 当k=2时，抛物线解析式为y=x+2x,当y=0时，X2+2x=0,解得X1=0,X2=-2,该抛物线与x轴的 公共点的横坐标为0和-2，符合题意. :k的值为2 14.【答案】【小题1】 第3页，共1页 证明：：4=-2m2-4×1×m2+3=4m2-4m-12=-12<0' ∴.方程x2-2mx+m2+3=0没有实数解.∴.不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点。 【小题2】 解：设向下平移k个单位长度，则新函数的解析式为y=x2-2x+m+3-k. 令y=0,则x2-2mx+m2+3-k=0..函数图象与x轴只有一个公共点， 4=2m-4×1×m+3-k=0解得k=3把函数y=X-2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移 3个单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点. 15.【答案】【小题1】 解：令x=X+6,解得X1=-2,X2=3.把x=-2代入y=x2,得y=4,把x=3代入y=x2,得y=9, ∴.A-2,4,B3,9. 【小题2】 把x=0代入y=x+6,得y=6,∴点C的坐标为0,6. Soe=5,ac+5,arc=号0C-k+号0C~Xax6×2+×6×3=15. 【小题3】 .点A横坐标为-2，点B横坐标为3，∴.当x<-2或x>3时，抛物线在直线上方.∴.不等式x2-x>6的解 集为X<-2或x>3. 16.【答案】【小题1】 X1=1,X2=3 【小题2】 x<1或x>3 【小题3】 k<2 第4页，共1页 【解析】1.略 2.略 3略 17.【答案】解：(1)由题意，把P(-2,3)代入y=x2+ax+3中， 得3=(-2}-2a+3°解得a=2 所以y=x2+2x+3=(x+1+2 所以图像的顶点坐标为-1,2). (2)①因为点Q(m,n)在二次函数y=x+2x+3的图像上， 所以把x=m=2代入y=x+2x+3中，解得y=11, 所以当m=2时，n的值为11 ②由题意，得m<2. 当m=2时，n=11:当m=-2时，n=(-22+2×(-2)+3=3 又函数图像的顶点坐标为-1,2). 所以n的取值范围是2≤n<11. 18.【答案】(1证明：因为判别式4=(-2aP-4×a×3=4a2-12a=4a(a-3 又因为a<0, 所以4a<0,a-3<0, 所以4a(a-3)>0,即△>0， 所以该函数的图象与X轴有两个公共点， (2)解：：y=aX2-2ax+3=a(X2-2x+1)-a+3=a(x-1P+3-a :.二次函数对称轴为直线x=1'顶点坐标为(1,3-Q)” 第5页，共1页 抛物线与x轴有两个公共点(X1,0(X,0小且-1<x<x<4 [3-a>0 ∴.当a<0:二次函数图象开口向下时，有a(4-1+3-a<0,解得a<-1; a(-1-12+3-a<0 3-a<0 当a>0:二次函数图象开口向上时，有a(4-1P+3-a>0,解得a>3; a(-1-1}+3-a>0 综上所述，a>3或a<-1. 第6页，共1页