精品解析：江西省临川第一中学2024-2025学年高二下学期期末数学试题

2024—2025学年（下）高二年级数学期末试题 （试卷满分：150分 考试用时：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 计算：（ ） A. 26 B. 325 C. 650 D. 15600 2. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 13 3. 已知函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 为庆祝端午节，某班级组织了一台晚会，有3个唱歌节目、2个小品节目和1个戏曲节目，要求3个唱歌节目互不相邻，则这台晚会节目的不同安排方法种数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义在R上的偶函数，且是奇函数，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 小明和小强两人计划假期到南京游玩，他们分别从“夫子庙”“钟山风景区”“玄武湖”三个景区中随机选择一个游玩．记事件“两人中至少有一人选择夫子庙”，事件“两人选择的景区不同”，则（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的不等式恒成立，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某AI软件的开发团队为迎合市场需求开发了一款手机软件，该软件最近5个月的用户数量如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 用户数量（百万） 0.5 0.7 1.1 1.3 1.7 若关于的线性回归方程为，则（ ） A. 变量，正相关 B. C. 可以预测当时，用户数量首次突破2百万 D. 当时，实际用户数量高于预测值 10. 如图，在正四棱锥中，，点为侧棱的中点，则下列说法正确的有（ ） A. 平面 B. 异面直线与所成的角为 C. 平面截该正四棱锥所得的截面图形的周长为 D. 该正四棱锥外接球的表面积为 11. 已知数列中，，，则（ ） A. 是递增数列 B. ， C. ， D. 数列的前项和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量满足，且，则向量夹角的余弦值为___________． 13. 如图，在三棱台中，平面，，，，，是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为________. 14. 甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，证明：是直角三角形. 16. 已知数列满足，且． （1）证明：数列是等差数列，并求的通项公式； （2）设为数列的前项和，求使不等式成立的正整数的取值集合. 17. 某生物实验系统中初始时刻有一个可分裂细胞，1分钟后这个细胞分裂成两个新细胞，共有三种分裂情况：产生两个可分裂细胞，概率为；产生一个可分裂细胞与一个不可分裂细胞，概率为；产生两个不可分裂细胞，概率为.新产生的每个可分裂细胞在1分钟后又会按照上述概率分裂成两个新细胞.当系统中没有可分裂细胞时实验达到完成状态. （1）求第2分钟末时实验首次达到完成状态的概率； （2）记第2分钟末时的可分裂细胞个数为，求的分布列和数学期望. 18. 已知曲线，直线与交于，两点. （1）若从，，，1，2，3中任选一个数作为，求是椭圆的概率； （2）已知是上与，均不重合的点，设直线，的斜率分别为，，若，求的方程. 19. 已知函数． （1）若，证明：曲线在点处的切线过定点； （2）若是的极值点，且有个不同的零点，求的取值范围； （3）若对任意的，且，恒有，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年（下）高二年级数学期末试题 （试卷满分：150分 考试用时：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 计算：（ ） A. 26 B. 325 C. 650 D. 15600 【答案】C 【解析】 【详解】 2. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 13 【答案】C 【解析】 【详解】因为数列是等差数列，所以， 所以. 3. 已知函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图像的对称性和特殊点的函数值判断. 【详解】因为,因此 是奇函数，图像关于原点对称， 排除选项 C（偶函数图像，关于 轴对称）； 当 时，分子 ，分母 ， 因此 ，选项 B 中 时函数值为负，矛盾，排除 B； 取 ，计算 的值接近 8，说明 附近函数值仍接近 8， 选项 A 中 的函数值和8相差比较大，排除 A； 因此，只有选项 D 符合所有特征. 4. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点间距离公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面积公式即可求解. 【详解】由 可得， 所以，进而可得， 故， 所以四边形的面积为. 5. 为庆祝端午节，某班级组织了一台晚会，有3个唱歌节目、2个小品节目和1个戏曲节目，要求3个唱歌节目互不相邻，则这台晚会节目的不同安排方法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】先排列2个小品和1个戏曲节目，排列数为：， 3个非唱歌节目排好后，形成4个空位，将3个唱歌节目插入4个空位中， 排列数为：， 故总安排方法数为：． 6. 已知是定义在R上的偶函数，且是奇函数，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可得为周期为的偶函数，根据性质求值. 【详解】已知是定义在R上的偶函数，即， 是奇函数，即， 则， 所以， 所以， 则. 7. 小明和小强两人计划假期到南京游玩，他们分别从“夫子庙”“钟山风景区”“玄武湖”三个景区中随机选择一个游玩．记事件“两人中至少有一人选择夫子庙”，事件“两人选择的景区不同”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率公式分别求出和，进而求解即可. 【详解】由题意可得，， 所以. 故选：A. 8. 若关于x的不等式恒成立，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】结合绝对值函数的最小值性质，确定的取值，再根据的区间最值条件求解的值，再代入对数公式计算。 【详解】关于x的不等式恒成立. 1、恒成立， 即当时，恒成立， 所以只需， 所以； 2、恒成立恒成立， 即当时，恒成立，而， 当a=0时，不可能对整个区间成立， 故a>0，恒成立， 所以只需， 所以， 联立即， 计算. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某AI软件的开发团队为迎合市场需求开发了一款手机软件，该软件最近5个月的用户数量如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 用户数量（百万） 0.5 0.7 1.1 1.3 1.7 若关于的线性回归方程为，则（ ） A. 变量，正相关 B. C. 可以预测当时，用户数量首次突破2百万 D. 当时，实际用户数量高于预测值 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由表格数据变化情况可判断；对于B，由回归方程过点可判断选项正误；对于C，由B分析可得回归方程，据此可判断选项正误；对于Ｄ，比较预测值与实际数量大小可判断选项正误． 【详解】对于A，由表格数据可得随着的增大而增大，故变量正相关，故A正确； 对于B，由表格数据可得，，因过点， 则，故B错误； 对于C，由B可得回归方程为：，当时，，故C正确； 对于D，当时，由回归方程可得预测值为，而用户实际数量为，故D错误． 10. 如图，在正四棱锥中，，点为侧棱的中点，则下列说法正确的有（ ） A. 平面 B. 异面直线与所成的角为 C. 平面截该正四棱锥所得的截面图形的周长为 D. 该正四棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理证明线面平行判断A，求出异面直线所成角判断B，作出题设截面求出周长判断C，求出外接球半径，从而求得表面积判断D. 【详解】对于A，连接与交于点，则是中点，连接， 又是中点，所以，因为平面，平面，所以平面，A正确； 对于B，因为，所以（它是等腰三角形的底角为锐角）是异面直线与所成的角， 在等腰中，，所以， 由余弦定理得， 由正弦定理，，显然为锐角，所以， 即异面直线与所成的角不是，B错； 对于C，作交于.连接，则四边形即为截面， 由正四棱锥性质得，，所以截面周长为，C正确； 对于D，由已知，， 所以四棱锥的外接球的球心在线段上， 设外接球半径为，由得，解得， 所以外接球的表面积为，D正确. 11. 已知数列中，，，则（ ） A. 是递增数列 B. ， C. ， D. 数列的前项和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据数列的递推关系式可确定的符号，则可得数列的单调性，从而判断A；计算从而可判断B；由已知可得，根据对数运算可得，结合累加法求和可判断C；根据裂项相消法得数列前项和即可判断D. 【详解】对于A，因为，，所以， 则，所以是递增数列，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，，所以， 所以，变形得， 用累乘法可得，所以，故C正确； 对于D，因为， 所以，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量满足，且，则向量夹角的余弦值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直的数量积表示计算. 【详解】因为，所以， 所以. 13. 如图，在三棱台中，平面，，，，，是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据外接球的性质，确定球心在过中点，且垂直于平面的直线上，再以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，设三棱锥的外接球球心为，利用，求出的值，即可求得答案. 【详解】 由题意得：，,则的外接圆圆心为中点. 则三棱锥的外接球球心在过点且垂直于平面的直线上. 平面，则易得,又， 故可以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系. ,,,,，设， 则， 由，解得. 所以外接球的半径， 三棱锥的外接球的表面积. 14. 甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设出事件，根据题意运用全概率公式求解即可. 【详解】记取到甲盒子为事件，取到乙盒子为事件为，取到丙盒子为事件，取到黑球为事件， 由题意可知：，， 由全概率公式可得 ， 所以摸出的球是黑球的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，证明：是直角三角形. 【答案】（1）； （2）证明：解法一：由及正弦定理可得， 由余弦定理得，即， 化简得，所以， 因此， 所以是直角三角形. 解法二：因为，所以. 所以， 所以，又，故， 即是直角三角形. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合和差公式化简即可得解； （2）法一：利用正弦定理角化边得，代入余弦定理求出关系，然后由勾股定理即可得证；法二：利用内角和消去，结合和差公式展开直接求出即可得证. 【小问1详解】 由条件及正弦定理得， 即，得， 又，所以，所以，解得， 又，所以. 【小问2详解】 略 16. 已知数列满足，且． （1）证明：数列是等差数列，并求的通项公式； （2）设为数列的前项和，求使不等式成立的正整数的取值集合. 【答案】（1）由，得，即， 又，所以数列是首项为、公差为的等差数列， 所以，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）直接由递推关系可得，进而可证明数列是等差数列，并可得通项公式； （2）由裂项相消法求和可得，进而可将所求不等式转化为，再构造函数，用导数判断函数单调性，并结合函数值可得不等式的解集. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以， 故， 代入，整理得． 设，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 又， 所以不等式的正整数解集为. 故使不等式成立的正整数的取值集合为． 17. 某生物实验系统中初始时刻有一个可分裂细胞，1分钟后这个细胞分裂成两个新细胞，共有三种分裂情况：产生两个可分裂细胞，概率为；产生一个可分裂细胞与一个不可分裂细胞，概率为；产生两个不可分裂细胞，概率为.新产生的每个可分裂细胞在1分钟后又会按照上述概率分裂成两个新细胞.当系统中没有可分裂细胞时实验达到完成状态. （1）求第2分钟末时实验首次达到完成状态的概率； （2）记第2分钟末时的可分裂细胞个数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 4 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式求解即可. （2）判断出的取值，根据独立事件的乘法公式及全概率公式求出对应的概率，即可得到分布列，进而求出数学期望. 【小问1详解】 设第2分钟末时实验首次达到完成状态的概率为，有以下两种情况： 第1分钟末系统中有一个可分裂细胞与一个不可分裂细胞；第1分钟末系统中有两个可分裂细胞. 根据题意有. 【小问2详解】 的所有可能取值为0，1，2，3，4， ， ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 4 . 18. 已知曲线，直线与交于，两点. （1）若从，，，1，2，3中任选一个数作为，求是椭圆的概率； （2）已知是上与，均不重合的点，设直线，的斜率分别为，，若，求的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入各值和范围求出判断即可求解； （2）设，求出点坐标，代入曲线，设，代入曲线并联立，求出后再建立方程求解参数即可. 【小问1详解】 当或时，是椭圆，当时，是圆， 当时，是双曲线， 综上，从，，，1，2，3中任选一个数作为，是椭圆的概率为； 【小问2详解】 设，则，记为①， 设，则，记为②， ②-①得，故， 则， 所以，解得，则的方程是. 19. 已知函数． （1）若，证明：曲线在点处的切线过定点； （2）若是的极值点，且有个不同的零点，求的取值范围； （3）若对任意的，且，恒有，求的取值范围． 【答案】（1）已知函数，若，则，， 由于，所以切点为， 切线斜率， 因此切线方程为，化简得，即， 当，即时，， 因此曲线在点处的切线过定点. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用导数的几何意义即可求出切线方程，转化为关于的函数即可求解； （2）根据题意，求出，然后利用导数求出函数的单调性，根据极大值大于且极小值小于即可求解； （3）构造函数，根据题意，得出在上单调递减，利用导数求出单调性即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 已知函数，则， 由于是的极值点，所以，解得，所以，， 令，解得，， 当时，，所以在单调递增； 当时，，所以在单调递减； 当时，，所以在单调递增； 因此在处取得极大值，极大值为， 在处取得极小值，极小值为， 要使有个不同的零点，要满足极大值大于且极小值小于， 即，解得，所以的取值范围是. 【小问3详解】 已知函数，则， 由于对任意的，且，恒有，移项得， 构造函数，上述条件等价于：对任意的，且，恒有， 即在上单调递减，则其导数在上恒成立， 由于，， 当时，，所以大于等于的最大值， 令，，令，解得， 当时，，所以在单调递增； 当时，，所以在单调递减； 因此在处取最大值，最大值为， 所以，解得，所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $