精品解析：四川省射洪中学校贯通班2025-2026学年七年级下学期期末测试数学试题

26级贯通班期末测试题 考试时间：120分钟 满分150分 一、单选题（每个3分，共9分） 1. 已知 是正实数，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将式子转化为按值大小排序排列，观察可发现，取最中间的值就是式子的最小值，即可求出答案. 【详解】解： 当时，有最小值. 故选：B. 【点睛】本题考查了绝对值的化简计算，解题的关键在于明确绝对值的化简法和明确式子中要求取得最小值的意思. 2. 已知a，b，c是三个非负数，且满足，设的最大值为m，最小值为n，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了非负数和不等式组的应用能力．先分别用含有c的式子表示出a，b，再根据非负数的定义和列不等式组并求解出c的取值范围，最后代入s进行求解． 【详解】，， ，， ， ，，是三个非负数， ， 解得， ∴ ∴ ∴ ∴的最大值，最小值为 ∴． 故选：D． 3. (容斥原理)某单位共有240名员工，其中订阅期刊A的有125人，订阅B期刊的有126人，订阅C期刊的有135人，订阅 A，B期刊的有57人，订阅A，C期刊的有73人，订阅三种期刊的有31人，此外，还有17人没有订阅这三种期刊中的任何一种．订阅B，C期刊的有多少人？（ ） A. 57 B. 64 C. 69 D. 78 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了容斥原理，根据容斥原理可知，订阅B，C期刊的人数=订阅A期刊的人数+订阅B期刊的人数+订阅C期刊的人数-(总人数-没有订阅三种期刊的人数)-订阅A，B期刊的人数-订阅A，C期刊的人数+订阅三种期刊的人数，据此代入数据解答． 【详解】解∶ (人) 答∶订阅B，C期刊的有人． 故选∶B． 二、填空题（每个5分，共30分） 4. 已知关于x，y的方程组的解为，（其中a，b，e，d，k，h都是已知数），则关于x，y的方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】如果用一般方法来解答此题，很难达到目标，观察发现，两方程的系数相同，只是未知数的呈现方式不同，如果我们把看作一个整体，则两个方程同解． 【详解】解：方程组的解仅仅与未知数的系数有关，与未知数选用什么字母无关， 因此把与分别看成一个整体当作未知数， 可得， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了类比的方法，解决本题的关键是把其中的和分别看作整体，则第二个方程组与第一个方程组相同，即． 5. 小王和小李玩象棋比赛（每剧必分胜负），七局四胜，已知小李全程没有领先过小王，最终小王获胜，问一共有______种不同情况 【答案】 【解析】 【分析】本题要求小王最终获胜且小李全程未领先，按比赛结束的不同局数分类，计算每类符合条件的情况数再求和即可得到结果． 【详解】解：由题意，小王最终胜4局，小李胜局不超过3局，且任意时刻小李胜场数不超过小王胜场数，分情况讨论： ①比赛4局结束：小王连胜4局，符合条件，共1种情况； ②比赛5局结束：第5局小王胜，前4局小王胜3局，小李胜1局，第一局必须为小王胜（否则小李开局领先），剩余3局选1局小李胜即可，共种，均满足条件，共种情况； ③比赛6局结束：第6局小王胜，前5局小王胜3局，小李胜2局，第一局必须为小王胜，若第二局小李胜，则第三局小王胜，第四、五局小李选1局胜即可，共2种情况；若第二局小王胜，则第三、四、五局小李选2局胜即可，共3种情况；因此，一共有5种情况； ④比赛7局结束：第7局小王胜，前6局小王胜3局，小李胜3局，第一局必须为小王胜，在剩余五局中，小李可以胜第二、四、六局，或第二、五、六局或第三、五、六局或第三、四、六局或第四、五、六局，共5种情况； 综上所述， 总情况数为：． 6. 若，则x的整数部分是 ___________． 【答案】111 【解析】 【分析】本题考查估算的能力，这道题求的整数部分，不必求出的准确值，我们可以用估算的方法解决．将分母中的18个分数都看作，整个分母就比原来大了，求出的分数值就会比原来小；将分母中的18个分数都看作，整个分母就比原来小了，求出的分数值就会比原来大．这样，就可以求出的取值范围，得到的整数部分． 【详解】解：将分母中的18个分数都看作， ，即． 将分母中的18个分数都看作， ，即． 这样，我们就知道了：，的整数部分为111． 故答案为：111． 7. 设为自然数，且，又，则的最大值为______________． 【答案】61 【解析】 【分析】根据自然数的性质，得 ，确定的最大值，依次，确定的最大值，解答即可． 本题考查了自然数的性质，不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据自然数的性质，得 ， 故， 故的最大值为19， 故， 故， 故， 故的最大值为20， 故， 故， 故， 故的最大值为22， 故的最大值为， 故答案为：61． 8. 有一个四位数，它的各位数字之和与它本身的和为2018，则这个四位数是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字与数位上数字的关系，解题的关键是分类讨论思想的应用．设所求的四位数分别为和，运用估算、枚举等方法，分别求出、的值． 【详解】解：当这个四位数为时，，即，无解； 当这个四位数为时，，即，则，这个四位数为． 故答案为：． 9. 一个数被7除余5，被4除余2，被3除余1，这个数最小是__________． 【答案】82 【解析】 【分析】分析可得这个数加上2之后，就是3，4，7的公倍数，据此计算． 【详解】解：∵这个数被7除余5，被4除余2，被3除余1， ∴这个数加上2之后，就是3，4，7的公倍数， 而3，4，7的最小公倍数为84， ∴这个数为84-2=82， 故答案为：82． 【点睛】本题考查了剩余问题，解题的关键是分析出几个数的最小公倍数． 三、解答题（111分） 10. 计算阴影部分的面积 【答案】 【解析】 【分析】阴影部分的面积为半径为的半圆面积加圆心角为，半径为的扇形面积（即的圆形面积）减去等腰直角三角形的面积． 【详解】解： ． 11. 解方程： 【答案】 【解析】 【详解】解：原方程为   移项得   原方程整理为        ， 解得 ． 12. 已知九位数能被72整除，求a，b． 【答案】， 【解析】 【分析】 【详解】，而，则． 根据数的整除特征，有，且b必须是偶数，从而． 又，即，故． 13. 有5种颜色不同的球，分别有、、、、个，现从中随机取一些球，要求保证有种颜色的球分别不少于，，个，那么至少要取多少个球？ 【答案】 【解析】 【分析】本题运用抽屉原理的最不利原则解题，先找出不满足题目要求时最多能取出的球数，再加1即可得到保证满足要求的最少取球数． 【详解】解：要保证取出的球中存在种不同颜色的球分别不少于、、个， 先计算不满足要求时最多能取出的球数． 分情况计算不满足要求的最大取球数： 最多只有种颜色的球数，其余都，最大取球数为． 最多只有种颜色的球数，其余都，最大取球数为． 所有颜色的球数都，即都，最大取球数为． 对比三种情况，可得不满足要求时最多取出个球． 因此至少需要取个球，才能保证满足要求． 14. 解答下列各题 （1）已知， 求的值 （2）已知，求的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先整理原方程组可得，再根据计算即可； （2）可化为，左右两边同时平方可得，然后整理即可解答． 【小问1详解】 解：方程组可化为： ， 得：． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，在中，，于点D，，，求的值. 【答案】3 【解析】 【分析】延长构造等腰三角形，利用等角转化与勾股定理建立关于的方程，通过两个直角三角形中公共高的等量关系，代入线段和差求解即可． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接， 为等腰三角形， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， 解得． 16. 已知n，k均为正整数，且满足不等式．若对于某一给定的正整数n，只有唯一的一个正整数k使不等式成立．求所有符合要求的正整数n中的最大值和最小值． 【答案】最大值是2008，最小值是191 【解析】 【分析】 【详解】解 由已知不等式得． 因为k为正整数，对于给定的n来说，k的值只有一个，所以，， 即． 当时，代入式得． 因此，k的值只能取唯一的值1505. 故n的最大值为2008. 由式得，即，得． 当，253，254时，分别代入式，依次有 ， ， ， 均不符合要求． 当时，． 故有唯一的正整数． 所以，是符合条件的最小值． 因此，所有符合要求的正整数n中的最大值是2008，最小值是191. 17. 甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31 个核桃，三组的核桃总数是365个．求三个小组的总人数． 【答案】 12 【解析】 【分析】设甲组学生人，乙组学生人，丙组学生人，由题意得，求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：设甲组学生人，乙组学生人，丙组学生人， 则由题意得： ， ∵， ∴， ∴ ． ∵， ∴， ∴， ∴或13 ． 当时， 则， ∴， 此方程存在正整数解，符合题意； 当时， 则， 即，此方程无正整数解，舍去； ∴． 答：三个小组共有12名同学． 18. 一本书共有页，顺次编号为，，……，．某人在将这些数相加时，有两个两位数页码都错把个位数和十位数弄反了，结果得到的总和是．那么，书上这两个两位数页码和的最大值是多少? 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了页码问题以及整数问题的综合应用，列代数式表示两个数是解答本题的关键．先求出不加错应得的数据，再求出多加的数据，设原两位数分别为与，列出相应的代数式，计算即可解答． 【详解】解：不加错的结果为： ， 设原两位数分别为与，则出错的两位数为与， 故， 即， 所以 即； 原两位数的页码和为： ， 要使书上这两个两位数页码的和最大，即的值最大， 则的值就要最大； 因为， 所以如果最大，则需要最大，最大是， 此时， 所以， 即书上这两个两位数页码和的最大值是． 19. 先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理．据此，请回答下列问题： 现有60名同学面向老师站成一横排．老师先让同学们从左到右按照1、2、3、4、……、59、60的顺序依次报数，再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转． 请问： （1）填空：报数既是4的倍数又是6的倍数的同学有______名； （2）最终仍然面向老师的学生还有多少名？（要求：请写出较详细的过程） 【答案】（1）5 （2）现在面向老师的学生还有45名 【解析】 【分析】本题考查了公倍数的应用，容斥原理． （1）直接根据4和6的公倍数作答即可； （2）分别求出4的倍数和6的倍数的人数，和减去既是4的倍数又是6的倍数的人数即转身的人数，可知一次都不转的学生，加上既是4的倍数又是6的倍数的人数即可求出仍然面向老师的学生人数． 【小问1详解】 解：4和6的最小公倍数为12， 则4和6的公倍数有（个）， 故答案为：5； 【小问2详解】 解：从1到60中，4的倍数一共有： (个)， 6的倍数一共有：（个）， 既是4的倍数又是6的倍数有： 5个， 一次都不转的学生是：（名）， 转两次的学生有5名，所以面向老师的学生还有（名）， 答：现在面向老师的学生还有45名． 20. “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题． 素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13． （1）任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． （2）任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． （3）任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 【答案】（1） （2）25 （3）x的值为7.2 【解析】 【分析】（1）仿照题干给定的方法进行求解即可； （2）将点A向上平移得到，连接，，则，，得到当三点共线时，此时的最小值为，此时总路程最短，进行求解即可； （3）构造，，垂足为D，，进而得到，勾股定理逆定理结合等积法求出的长即可． 【小问1详解】 解：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，则，， ∴， ∴当三点共线时，最小， 作，则， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为； 【小问2详解】 解：由题意，为总路程， ∵， ∴要求的最小值，只需求得的最小值． 如图1，将点A向上平移得到，连接，，则， ∴， ∴当三点共线时，此时的最小值为． 过点B作射线垂直河岸，过点A向右作水平线，两线交于点D． 由题意，可得，， ∴的最小值为， ∴最短路程为． 【小问3详解】 如图2，构造，，垂足为D，． 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴，解得， ∴x的值为7.2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 26级贯通班期末测试题 考试时间：120分钟 满分150分 一、单选题（每个3分，共9分） 1. 已知 是正实数，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 2. 已知a，b，c是三个非负数，且满足，设的最大值为m，最小值为n，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. (容斥原理)某单位共有240名员工，其中订阅期刊A的有125人，订阅B期刊的有126人，订阅C期刊的有135人，订阅 A，B期刊的有57人，订阅A，C期刊的有73人，订阅三种期刊的有31人，此外，还有17人没有订阅这三种期刊中的任何一种．订阅B，C期刊的有多少人？（ ） A. 57 B. 64 C. 69 D. 78 二、填空题（每个5分，共30分） 4. 已知关于x，y的方程组的解为，（其中a，b，e，d，k，h都是已知数），则关于x，y的方程组的解为______． 5. 小王和小李玩象棋比赛（每剧必分胜负），七局四胜，已知小李全程没有领先过小王，最终小王获胜，问一共有______种不同情况 6. 若，则x的整数部分是 ___________． 7. 设为自然数，且，又，则的最大值为______________． 8. 有一个四位数，它的各位数字之和与它本身的和为2018，则这个四位数是____________． 9. 一个数被7除余5，被4除余2，被3除余1，这个数最小是__________． 三、解答题（111分） 10. 计算阴影部分的面积 11. 解方程： 12. 已知九位数能被72整除，求a，b． 13. 有5种颜色不同的球，分别有、、、、个，现从中随机取一些球，要求保证有种颜色的球分别不少于，，个，那么至少要取多少个球？ 14. 解答下列各题 （1）已知， 求的值 （2）已知，求的值 15. 如图，在中，，于点D，，，求的值. 16. 已知n，k均为正整数，且满足不等式．若对于某一给定的正整数n，只有唯一的一个正整数k使不等式成立．求所有符合要求的正整数n中的最大值和最小值． 17. 甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31 个核桃，三组的核桃总数是365个．求三个小组的总人数． 18. 一本书共有页，顺次编号为，，……，．某人在将这些数相加时，有两个两位数页码都错把个位数和十位数弄反了，结果得到的总和是．那么，书上这两个两位数页码和的最大值是多少? 19. 先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理．据此，请回答下列问题： 现有60名同学面向老师站成一横排．老师先让同学们从左到右按照1、2、3、4、……、59、60的顺序依次报数，再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转． 请问： （1）填空：报数既是4的倍数又是6的倍数的同学有______名； （2）最终仍然面向老师的学生还有多少名？（要求：请写出较详细的过程） 20. “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题． 素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13． （1）任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． （2）任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． （3）任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $