精品解析：四川省四川师范大学附属中学等校2025-2026学年下学期数学半期考试七年级试题

初2025级（七下）数学半期考试 A卷（100分） 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用，已知每个光量子的波长约为0.000688毫米，则每个光量子的波长可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 一个三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形第三边长可能是（　　） A. 3cm B. 5cm C. 7cm D. 11cm 4. 如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，要使得，不能添加的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直角三角板的直角顶点C在上，角的顶点A在上，平分，则图中等于（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，一个均匀的转盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．小凯转动转盘做频率估计概率的实验，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为实验转出的数字，图2，是小凯记录下的实验结果情况，那么小凯记录的实验是（ ） A. 转动转盘后，出现偶数 B. 转动转盘后，出现能被3整除的数 C. 转动转盘后，出现比5大的数 D. 转动转盘后，出现能被5整除的数 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 若，则________________． 10. 如图，在中，，，垂足为．，则________度． 11. 已知，，则________． 12. 如图，中，点、分别是，的中点，若阴影部分即的面积为3，则的面积是________． 13. 如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点； ④过点作射线交于点； 已知，，则________度． 三、解答题（48分） 14. 计算： （1）； （2）； （3） 15. 先化简再求值：，其中． 16. 如图，，，，在同一条直线上，，，．求证：． 证明：， ________，（________） ， ________________，（等量代换） 在和中 （________） ．（________） ．（________） 17. “代数推理”是初中数学核心素养关于推理能力的重要体现，其核心是用符号表达规律、基于运算进行论证，强调“从特殊到一般归纳、从一般到特殊演绎”．观察下列等式： ；； ； 你能发现什么? （1）利用以上规律直接写出结果：________； （2）我们观察上述等式，猜想一般结论：对任意两个相邻整数，不妨设为和，则这两个整数的“平方的平均数”与这两个整数的“平均数的平方”的差为定值吗？如果是，请你通过计算推理，求出这个定值：如果不是，请说明理由； （3）通过上述研究，我们猜想：“三个连续整数的‘平方的平均数’与这三个整数的‘平均数的平方’的差是一个定值”．为了探究该结论的一般性，不妨设三个连续整数中最小的整数为，请你通过计算推理，求出这个定值． 18. 如图，直线，射线，交于点．已知，平分． （1）请判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的度数（用含的代数式表示）： （3）若，点为射线上一点，点为线段上一点，连接，，且，随着P、Q两点的运动，和的大小随之发生变化，若在、运动过程中的值始终为定值，求的值及的度数． B卷（50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 计算：________． 20. 如图，在中，，，点D，E分别在，上，将沿折叠得，且满足，则________． 21. 如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机埋藏着n颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷，小明先点一个小方格，显示数字2，其意义是2这个小方格没有地雷，但围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷（我们把包含数字2的黑框区域记为）．小明点完第一步之后，小明的第二步随机踩在区域外的某个小方格上，他踩中地雷的概率为，则的值为________． 22. 如图，直角三角形中，，点为边上一点，且，连接交延长线于，且为线段的中点，若，，则面积为______． 23. 我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．若整边三角形三边长为，，且满足，当时，这样的整边有______个；若（为正整数）时，这样的整边有______个（用含的代数式表示）． 二、解答题（30分） 24. 若关于的多项式与的乘积展开式中不含项，且常数项为8， （1）求与的值； （2）化简，并求值． 25. 图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能表现一些代数中的数量关系，运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题． （1）【感悟原理】如图1，是用4块完全相同的长方形拼成一个大正方形，4块长方形的长为，宽为，用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，得到的数学等式是________． （2）【应用实践】四月是锦江师一的艺术活动月，两位同学在美术周活动中自制了两个“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁剪掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形和分别是边长为和的正方形，中间是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3中阴影部分的面积都是90，求裁剪前大正方形红布的面积； （3）【拓展思考】如图4，将两张全等的长方形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在长方形内，中间拼出的四边形也为正方形．设，，若，阴影部分即四边形的面积为20，求长方形的面积． 26. 如图，为等腰直角三角形，，，点为平面内一点，连接． （1）如图1，当点在边上运动时，过点在右侧作，且，连接，求证： ①； ②； （2）如图2，当点在内部，且，以为直角边，在右侧作等腰直角三角形，且，延长交于，证明：为线段的中点； （3）如图3，若点为中点，连接，过点作的平行线，为上一动点，以为直角边，在线段左侧作，，交于，连接，，当线段最短时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2025级（七下）数学半期考试 A卷（100分） 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】选项A： ，正确，符合题意； 选项B：，运算错误，不符合题意； 选项C： ，运算错误，不符合题意； 选项D：与不是同类项，无法合并，运算错误，不符合题意． 2. 绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用，已知每个光量子的波长约为0.000688毫米，则每个光量子的波长可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值小于1的数，将写成的形式即可，其中，n是负整数，解题的关键是注意n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故选：B． 3. 一个三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形第三边长可能是（　　） A. 3cm B. 5cm C. 7cm D. 11cm 【答案】C 【解析】 【详解】设第三边长为xcm， ∴8﹣3＜x＜3+8，即5＜x＜11， 故选：C． 4. 如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定， 根据“内错角相等两直线平行”判断A，B，再根据“同位角相等两直线平行”判断C，然后根据“同旁内角互补两直线平行”判断D即可. 【详解】解：∵， ∴， 所以A符合题意； ∵， ∴， 所以B不符合题意； ∵， ∴， 所以C不符合题意； ∵， ∴， 所以D不符合题意. 故选：A． 5. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，要使得，不能添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．由全等三角形的判定，即可判断． 【详解】解：A、由判定，故A不符合题意； B、和分别是，的对角，不能判定，故B符合题意； C、由，得到，由判定，故C不符合题意； D、由，得到，由判定，故D不符合题意． 故选：B． 6. 如图，直角三角板的直角顶点C在上，角的顶点A在上，平分，则图中等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的意义等知识，先根据角平分线的意义得出，再根据平等线的性质得出，从而可求出． 【详解】解：根据题意得，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又 ∴， 故选：C． 7. 如图，数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据全等三角形的判定定理“”解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴． 故选：A 8. 如图1，一个均匀的转盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．小凯转动转盘做频率估计概率的实验，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为实验转出的数字，图2，是小凯记录下的实验结果情况，那么小凯记录的实验是（ ） A. 转动转盘后，出现偶数 B. 转动转盘后，出现能被3整除的数 C. 转动转盘后，出现比5大的数 D. 转动转盘后，出现能被5整除的数 【答案】B 【解析】 【分析】由频率估计概率可得该实验结果的概率为，据此求出四个选项中对应实验的概率即可得到答案． 【详解】解：由题意得，随着实验次数的增加，该实验的频率逐步稳定在附近，故该实验的概率为， 转动转盘后，出现偶数的概率为，故A选项不符合题意； 转动转盘后，出现能被3整除的数的概率为，故B选项符合题意； 转动转盘后，出现比5大的数的概率为，故C选项不符合题意； 转动转盘后，出现能被5整除的数的概率为，故D选项不符合题意； 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 若，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式把等式左边展开即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如图，在中，，，垂足为．，则________度． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，，，则有． 【详解】解：， ， ， 又有， ． 11. 已知，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵，， ∴． 12. 如图，中，点、分别是，的中点，若阴影部分即的面积为3，则的面积是________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积可得答案． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴， ∵点D是的中点， ∴． 13. 如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点； ④过点作射线交于点； 已知，，则________度． 【答案】 140 【解析】 【分析】根据作图可知，，三角形的内角和定理求出的度数，根据平角的定义，求出的度数即可. 【详解】解：由作图可知，， ∵，， ∴， ∴. 三、解答题（48分） 14. 计算： （1）； （2）； （3） 【答案】（1） 1 （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式； 【小问3详解】 解：原式. 15. 先化简再求值：，其中． 【答案】；1 【解析】 【详解】解：原式 ； ∵ ∴， ∴， ∴原式． 16. 如图，，，，在同一条直线上，，，．求证：． 证明：， ________，（________） ， ________________，（等量代换） 在和中 （________） ．（________） ．（________） 【答案】；两直线平行，同位角相等；；；；；对顶角相等；；全等三角形的对应角相等；内错角相等，两直线平行； 【解析】 【分析】根据平行线的性质与判定定理，全等三角形的性质与判定定理，结合已给推理过程进行证明即可． 【详解】证明：， ，（两直线平行，同位角相等） ， ，（等量代换） 在和中 ．（全等三角形的对应角相等） ．（内错角相等，两直线平行） 17. “代数推理”是初中数学核心素养关于推理能力的重要体现，其核心是用符号表达规律、基于运算进行论证，强调“从特殊到一般归纳、从一般到特殊演绎”．观察下列等式： ；； ； 你能发现什么? （1）利用以上规律直接写出结果：________； （2）我们观察上述等式，猜想一般结论：对任意两个相邻整数，不妨设为和，则这两个整数的“平方的平均数”与这两个整数的“平均数的平方”的差为定值吗？如果是，请你通过计算推理，求出这个定值：如果不是，请说明理由； （3）通过上述研究，我们猜想：“三个连续整数的‘平方的平均数’与这三个整数的‘平均数的平方’的差是一个定值”．为了探究该结论的一般性，不妨设三个连续整数中最小的整数为，请你通过计算推理，求出这个定值． 【答案】（1） （2）是定值，定值为 （3）定值为 【解析】 【分析】（1）根据题干中的规律即可得到答案； （2）根据题意列式，利用完全平方公式和整式的加减法进行计算即可； （3）根据题意列式，利用完全平方公式和整式的加减法进行计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 【小问2详解】 解：是定值，定值为，理由如下： 【小问3详解】 解： 即这个定值为． 18. 如图，直线，射线，交于点．已知，平分． （1）请判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的度数（用含的代数式表示）： （3）若，点为射线上一点，点为线段上一点，连接，，且，随着P、Q两点的运动，和的大小随之发生变化，若在、运动过程中的值始终为定值，求的值及的度数． 【答案】（1），理由见详解 （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，与角平分线有关的计算，等腰三角形的定义，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合平行线的性质得，再结合等边对等角的性质以及三角形内角和性质得，又因为平分，故，最后整理代入数值到计算，即可作答． （2）结合三角形内角和得， 由得出，最后把数值代入计算，即可作答． （3）依题意，得，分别表示出，，代入，得，设，故，，又因为在、运动过程中的值始终为定值，得出，理解该式子的值为定值，与无关，故，解得，此时得出，再解得，即可作答． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴； ∴； ∴； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∵ ∴ ∴ ． 【小问3详解】 解：设， ∵， ∴， 由（1）知 在中，， 在中，， ∴， 设， 则， ∵在、运动过程中的值始终为定值， 即， ∴， 整理得：， ∵ 该式子的值为定值，与无关， ∴， 解得， 将代入得：， ∴， 解得， 由（1）知， ∵， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ． B卷（50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： . 20. 如图，在中，，，点D，E分别在，上，将沿折叠得，且满足，则________． 【答案】##74度 【解析】 【分析】此题主要考查了图形的折叠变换及其性质，三角形的内角和定理，平行线的性质． 先根据三角形的内角和定理求出，根据折叠的性质得，再根据得，然后根据平角的定义得，据此可得的度数． 【详解】解：∵在中，，， ， 由折叠的性质得：， ∵， ， ， ， ． 故答案为：． 21. 如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机埋藏着n颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷，小明先点一个小方格，显示数字2，其意义是2这个小方格没有地雷，但围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷（我们把包含数字2的黑框区域记为）．小明点完第一步之后，小明的第二步随机踩在区域外的某个小方格上，他踩中地雷的概率为，则的值为________． 【答案】14 【解析】 【分析】由概率公式可得小明的第二步随机踩在区域外的某个小方格上，他踩中地雷的概率等于区域外的地雷数除以区域外的方格数，据此建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得． 22. 如图，直角三角形中，，点为边上一点，且，连接交延长线于，且为线段的中点，若，，则面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作的延长线于点，可证，得，，再证，得，，即得，设，则，进而利用列出方程求出的值即可求解． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴． 23. 我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．若整边三角形三边长为，，且满足，当时，这样的整边有______个；若（为正整数）时，这样的整边有______个（用含的代数式表示）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】解：当时，则， 根据三角形三边关系，可得， 当时，代入得， 又∵， ∴， ∴此时无整数解； 当时，代入，即， ∴， ∴， 此时三边为，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∴或， 此时三边为或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∴或或， 此时三边为：或或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴或或， 此时三边为：或或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴或， 此时三边为或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴， 此时三边为，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴此时无整数解； 综上可得当时，满足条件的整边的个数为：（个）； 若（为正整数）时， 同上理可得：满足条件的整边的个数为：（个）． 二、解答题（30分） 24. 若关于的多项式与的乘积展开式中不含项，且常数项为8， （1）求与的值； （2）化简，并求值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的运算法则求出的展开结果，令含项的系数为0，常数项为8，从而建立关于a、b的方程，解方程即可得到答案； （2）根据多项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可． 【小问1详解】 解： ， ∵关于的多项式与的乘积展开式中不含项，且常数项为8， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴原式． 25. 图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能表现一些代数中的数量关系，运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题． （1）【感悟原理】如图1，是用4块完全相同的长方形拼成一个大正方形，4块长方形的长为，宽为，用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，得到的数学等式是________． （2）【应用实践】四月是锦江师一的艺术活动月，两位同学在美术周活动中自制了两个“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁剪掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形和分别是边长为和的正方形，中间是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3中阴影部分的面积都是90，求裁剪前大正方形红布的面积； （3）【拓展思考】如图4，将两张全等的长方形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在长方形内，中间拼出的四边形也为正方形．设，，若，阴影部分即四边形的面积为20，求长方形的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）阴影部分是一个边长为的正方形，其面积为，阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积减去4个长为，宽为的长方形的面积之和，即其面积为，据此可得答案； （2）求出图2中阴影部分的面积为，图3中阴影部分的面积，则可得到，，进而求出，则可得到； （3）根据题意可得，则，由可推出，即，根据求出的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：阴影部分是一个边长为的正方形，其面积为， 阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积减去4个长为，宽为的长方形的面积之和，即其面积为， ∴； 【小问2详解】 解：图2中阴影部分的面积 ， 图3中阴影部分的面积， ∵图2和图3中阴影部分的面积都是90， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴裁剪前大正方形红布的面积为； 【小问3详解】 解：设，， 当时，则， 由题意得，， ∵四边形的面积为20， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 26. 如图，为等腰直角三角形，，，点为平面内一点，连接． （1）如图1，当点在边上运动时，过点在右侧作，且，连接，求证： ①； ②； （2）如图2，当点在内部，且，以为直角边，在右侧作等腰直角三角形，且，延长交于，证明：为线段的中点； （3）如图3，若点为中点，连接，过点作的平行线，为上一动点，以为直角边，在线段左侧作，，交于，连接，，当线段最短时，求的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）①先证明，再利用即可证明；②由直角三角形的性质得到；由全等三角形的性质得到，则可证明，据此可证明结论； （2）连接，证明，得到，则可证明；过点A作，交的延长线于点H，证明是等腰直角三角形，得到，则可证明，推出，则为线段的中点； （3）证明，得到，则可证明，故当时，最短；当时可证明是等腰直角三角形；延长交于点O，过点O作交于点M，连接，证明是等腰直角三角形，得到，则；证明，得到；证明，得到；过点C作交的延长线于点N，证明，得到，则可证明；再证明，得到，则，即． 【小问1详解】 证明：①∵， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴； ②∵在，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图所示，连接， ∵是等腰直角三角形，且， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 如图所示，过点A作，交的延长线于点H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为线段的中点； 【小问3详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点F在射线上运动， ∴当时，最短； 如图所示，当时，则是等腰直角三角形， ∴，； ∴； 如图所示，延长交于点O，过点O作交于点M，连接， ∵点D为的中点，， ∴，， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点C作交的延长线于点N， 同理可证明， ∴， ∴； ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $