精品解析：安徽省宣城市2024-2025学年高一下学期期末调研测试数学试题

宣城市2024—2025学年度第二学期期末调研测试 高一数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算，即可求得答案. 【详解】由于，所以的虚部为2， 故选：B 2. 向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合向量平行的坐标表示，根据“”与“”的相互推出情况判断出属于何种条件即可. 【详解】先讨论充分性，当时，，，此时，，，充分性成立； 再讨论必要性，当时，，即， ，解得或，必要性不成立. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中点线面位置关系的判定定理和性质定理，逐一判断各选项正误，得出结果. 【详解】根据线面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两直线相互平行，所以A正确； 若，则存在一条直线，且，由，所以， 因为，，，所以，B选项正确； 根据面面垂直的判定定理，若，则，所以C正确； 根据面面平行的判断定理，两条相交直线平行于一个面，则经过这两条相交直线的面与这个面平行，所以D错误； 故选：D. 4. 二进制是以2为基数代表系统的二进制，通常用0和1表示.二进制化为十进制的计算公式如下：.若从二进制数，，，，，中任选一个，则二进制数所对应的十进制数大于3的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将二进制转化为十进制，再利用古典概型概率公式计算概率即可. 【详解】，， ，， ，， 可得二进制数所对应的十进制数大于3的有3个， 所以则二进制数所对应的十进制数大于3的概率为. 故选：C. 5. 已知非零向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，两边平方可求得，进而利用投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 又，，所以，的以， 所以在上的投影向量为. 故选：C. 6. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B、C两点间的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】A 【解析】 【分析】如图，由题意可得海里、，结合正弦定理计算即可求解. 【详解】如图，由题意得，海里， 得，在中，由正弦定理， 得海里. 故选：A. 7. 一圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，下列说法不正确的是（ ） A. 圆台的母线长是20cm B. 圆台的高是cm C. 圆台的表面积是 D. 圆台的体积是 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，作出圆台侧面展开图，求出圆台的母线长和高，再利用表面积和体积公式求解判断作答. 【详解】依题意，圆台侧面展开图，如图， 设圆台的上底面周长为，由扇环的圆心角为，得， 又，则，同理， 于是圆台的母线cm，高cm， 表面积， 体积，ABC正确，D错误. 故选：D. 8. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的平分线的长为1，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理的边角互化可得，再由，根据三角形的面积公式可得，即，再由基本不等式即可求解. 【详解】由及正弦定理，得， 所以，所以 因为，， 所以，即. ， 所以， 所以，即，所以， 所以，， 当且仅当，，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 先后抛掷质地均匀的硬币两次，下列说法正确的是（ ） A. 样本空间中一共含有4个样本点 B. 事件“两次正面向上”发生的概率是 C. 事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”是互斥事件 D. 事件“至少一次正面向上”与事件“两次反面向上”是对立事件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据列举法判断选项A；根据古典概型判断计算判断选项B；根据互斥事件、对立事件的概念判断选项C、D.. 【详解】对于A：样本空间中一共含有：正正，正反，反正，反反共4个样本点，故A正确； 对于B，两次正面向上含有一个样本点，故事件“两次正面向上”发生的概率是，故B正确； 对于C：当恰好一次正面向上，一次反面向上时， 事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”同时发生， 故不是互斥事件，故C错误； 对于D：事件“至少一次正面向上”与事件“两次背面向上”是对立事件，故D正确. 故选：ABD. 10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则只有一解 B. 若，则为钝角三角形 C. 若的外心为O，，，则 D. 若，则的形状是直角三角形 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据三角形解的个数得判定即可判断；对于B，由向量数量积的定义可得即可判断；对于C，根据的外心为，所以为垂直平分线的交点，再利用数量积的定义即可求；对于D，由正弦定理及正弦和角公式化简可得，即可得判定的形状是直角三角形或等腰三角形. 【详解】对于A，因为，所以只有一解，故A正确； 对于B，， 又，所以，则为钝角三角形，故B正确； 对于C，的外心为，所以为垂直平分线的交点， ，故C错误； 由正弦定理得， ， 即， 所以或， 所以的形状是直角三角形或等腰三角形，故D错误. 故选：AB. 11. 如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是的，中点，G是的中点，现在沿，及把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的外接球的体积为 C. 点H到平面的距离为 D. 二面角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由线面垂直的判定定理证明平面，即可得证；对B，由两两互相垂直，可得三棱锥的外接球即所在长方体的外接球，运算得解；对C，由三棱锥等体积，运算得解；对D，由题可得就是二面角的平面角，在中，运算得解. 【详解】对于A，，，，平面， 平面，又平面，，故A正确； 对于B，因为两两互相垂直，，， 所以三棱锥的外接球即所在长方体的外接球，如图， 所以外接球直径，则， 所以三棱锥的外接球的体积为，故B错误； 对于C，因为分别是的中点，可得，， 且，，，，， 设点到平面的距离为，则， ，解得，即点到平面的距离为，故C正确； 对于D，由，所以就是二面角的平面角， 在中，由，， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组从小到大排列的数据：a，2，2，4，4，5，6，b，8，8，若其第70百分位数等于其极差，则__________. 【答案】10 【解析】 【分析】由百分位数、极差的定义求解即可. 【详解】因为， 所以a，2，2，4，4，5，6，b，8，8的第70百分位数为， 其极差为，所以，解得. 故答案为：10. 13. 已知一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用斜二测画法还原直观图求解. 【详解】由题可知，则， 从而，所以， 还原直观图可得原平面图形为平行四边形，如图所示， 则， 所以， 所以原平面图形的周长为. 故答案为：. 14. 已知复数，，为虚数单位.若，复数，在复平面内对应的向量分别为，，存在使得等式成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题得出，，化简，得出，要使成立，即使成立，求出的范围，即可求出的范围. 【详解】因为复数，， 复数，在复平面内对应的向量分别为，， 所以，， 所以， ，， 由，得， 所以， 化简得， 因为，所以，， 因为存在使得等式成立， 所以存在使得成立，所以， 所以，因为恒成立， 故只需，则， 解得，则实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，且的周长为. （1）求角； （2）若外接圆的面积为，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形周长公式和正弦定理表示已知条件，对等式进行变形，根据余弦定理得到，即可求； （2）根据外接圆面积求外接圆半径，利用正弦定理求的值，结合余弦定理和基本不等式求得最大值，进而求得面积的最大值. 【小问1详解】 的周长为， 根据正弦定理，， 依题意，，即，， ，，， 根据余弦定理，，且， 故. 【小问2详解】 设外接圆的半径为，依题意，解得， 根据正弦定理，，即， 根据余弦定理，， 即，， 根据基本不等式，，当且仅当时取等， 即，解得，当且仅当时取等， 因此，面积，当且仅当时取等， 综上，当时，面积取最大值. 16. 如图，在正三棱柱中，，，点M为的中点. （1）求点A到平面的距离； （2）在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）过点作交于点，交于点，说明点A到平面的距离为的长度，结合几何性质求出的长度即可； （2）根据给定条件，证明平面平面，过点作交于点，利用面面垂直的性质推理作答. 【小问1详解】 如图所示，过点作交于点，交于点， 因为与互余，与互余， 所以， 又因为， 所以，所以， 因为在正三棱柱中，，，点M为的中点， 所以即为，解得， 所以， 由等面积法有，即，解得， 所以， 由正棱柱性质可知，平面，而平面， 从而， 因为三角形是正三角形且点为的中点， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以点A到平面的距离为； 【小问2详解】 在正三棱柱中，因为点为的中点，则， 又平面， 平面，则有， 而平面，于是平面， 平面，则平面平面，在平面内过点作交于点， 平面平面，因此平面，于是点即为所要找的点， 显然，因此，即有，于是，， 所以. 17. 为普及消防安全知识，某校开展了“消防知识竞赛”活动，共有1000名学生参加此次竞赛活动，现从参加该竞赛学生中随机抽取了100名，统计他们的成绩，其中成绩不低于80分的学生被评为“消防达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）估计参加这次竞赛的学生成绩的平均数和中位数（结果保留小数点后一位）； （2）若在抽取的100名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为消防达人的概率； （3）已知组的方差为9，组的方差为6，试估计参加此次竞赛的学生不低于80分的成绩方差（每个分组区间内平均数取区间中点，结果保留小数点后一位）. 【答案】（1）平均数为，中位数为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图估算平均数、中位数公式计算得解； （2）先按照分层抽样求出各层人数，再利用列举法结合古典概型即可得解； （3）利用分层抽样的方差公式计算可求方差. 【小问1详解】 平均数为， 由频率分布直方图可知，成绩在内的频率为， 在内的频率为，所以中位数在内， ，所以估计参加这次竞赛的学生成绩的中位数为. 【小问2详解】 因为，，， 所以从成绩在内的学生中分别抽取了人，2人，1人， 其中有3人为消防达人，设为，有3人不是消防达人，设为， 则从6人中选择2人作为学生代表， 有， ，共15种，其中2人均为消防达人为，共3种， 所以被选中的2人均为消防达人的概率为. 【小问3详解】 内的频率为，内的频率为， 内的平均数为85，内的平均数为95， 所以内的平均数为， 所以此次竞赛的学生不低于80分的成绩方差为 . 18. 在直角梯形中，已知，，，，，动点E、F分别在线段和上，和交于点M，且，，. （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）的取值范围是 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算可得，，结合数量积的定义运算求解即可； （2）根据题意整理可得，，利用三点共线求得，可求； （3）整理可得，两边平方，结合数量积运算律运算求解即可. 【小问1详解】 当时，，所以， 所以， ， 又， 所以 ； 【小问2详解】 当时，，所以， 所以， ， 因为三点共线，所以存在，使， 又因为三点共线，所以，解得， 所以，所以； 【小问3详解】 因为， ， 所以， ， 所以， ， ， 由题意知， 所以当时，取到最小值， 当时，取到最大值， 所以的取值范围是. 19. 如图，四边形是边长为2的正方形，，平面平面，平面平面. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）点M在正方形内（包括边界），若平面平面，且，求点M的轨迹长度. 【答案】（1）证明：四边形是边长为2的正方形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质可证平面，进而利用线面垂直的性质可证，可理可证，进而可证结论； （2）过作于，连接，可得为二面角的平面角，求解即可； （3）以为直径在正方形内作一个半圆，在该半圆圆上任取点，连接，可证点M的运动轨迹为一个半圆，据此求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作于，连接， 由（1）可知平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面，平面， 所以，所以为二面角的平面角， 因为，，所以， 又，所以，解得， 在中，， 所以， 所以二面角的余弦值为； 【小问3详解】 以为直径在正方形内作一个半圆，在该半圆圆上任取点，连接， 则，又因为平面；平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 所以点M的运动轨迹为此半圆， 设的中点为，连接，因为，所以， 所以根据扇形的弧长公式得点M的运动轨迹长度为. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宣城市2024—2025学年度第二学期期末调研测试 高一数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 二进制是以2为基数代表系统的二进制，通常用0和1表示.二进制化为十进制的计算公式如下：.若从二进制数，，，，，中任选一个，则二进制数所对应的十进制数大于3的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知非零向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B、C两点间的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 7. 一圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，下列说法不正确的是（ ） A. 圆台的母线长是20cm B. 圆台的高是cm C. 圆台的表面积是 D. 圆台的体积是 8. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的平分线的长为1，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 先后抛掷质地均匀的硬币两次，下列说法正确的是（ ） A. 样本空间中一共含有4个样本点 B. 事件“两次正面向上”发生的概率是 C. 事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”是互斥事件 D. 事件“至少一次正面向上”与事件“两次反面向上”是对立事件 10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则只有一解 B. 若，则为钝角三角形 C. 若的外心为O，，，则 D. 若，则的形状是直角三角形 11. 如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是的，中点，G是的中点，现在沿，及把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的外接球的体积为 C. 点H到平面的距离为 D. 二面角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组从小到大排列的数据：a，2，2，4，4，5，6，b，8，8，若其第70百分位数等于其极差，则__________. 13. 已知一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为__________. 14. 已知复数，，为虚数单位.若，复数，在复平面内对应的向量分别为，，存在使得等式成立，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，且的周长为. （1）求角； （2）若外接圆的面积为，求面积的最大值. 16. 如图，在正三棱柱中，，，点M为的中点. （1）求点A到平面的距离； （2）在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17. 为普及消防安全知识，某校开展了“消防知识竞赛”活动，共有1000名学生参加此次竞赛活动，现从参加该竞赛学生中随机抽取了100名，统计他们的成绩，其中成绩不低于80分的学生被评为“消防达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）估计参加这次竞赛的学生成绩的平均数和中位数（结果保留小数点后一位）； （2）若在抽取的100名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为消防达人的概率； （3）已知组的方差为9，组的方差为6，试估计参加此次竞赛的学生不低于80分的成绩方差（每个分组区间内平均数取区间中点，结果保留小数点后一位）. 18. 在直角梯形中，已知，，，，，动点E、F分别在线段和上，和交于点M，且，，. （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）求的取值范围. 19. 如图，四边形是边长为2的正方形，，平面平面，平面平面. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）点M在正方形内（包括边界），若平面平面，且，求点M的轨迹长度. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $