第04讲25.2.3因式分解法暑假预习讲义同步训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以因式分解法为核心，通过基础计算、几何应用到创新探究的三层设计，构建从单一知识点到综合能力的巩固路径，适配暑假预习的分层需求，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|因式分解法直接应用|解答题13直接考查方程求解，强化概念理解| |进阶层|代数几何综合应用|选择题2结合三角形边长，培养模型意识| |提高层|创新方法与新定义|解答题17引入"关联方程"，发展推理能力|

第04讲25.2.3因式分解法暑假预习讲义同步训练新人教版九年级数学上册 一、选择题 1．关于的一元二次方程的一个根为，那么它的另一个根为（     ） A． B．1 C．3 D． 2．已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 3．关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B． C． D．， 4．已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 5．若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点所在象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．若关于的一元二次方程有解，则该方程的解是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 7．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 8．如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第（   ）个图形共有45个小球． A．9 B．10 C．11 D．12 二、填空题 9．一元二次方程的解为_________． 10．若，其中为实数且，，则____________． 11．关于x的方程如果是一元二次方程，则其解为________． 12．已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 三、解答题 13．解下列方程： (1)； (2)． 14．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 15．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． 16．换元法是数学中重要的解题方法，通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使问题易于解决． 例：把因式分解． 方法一：整体换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式． 方法二：均值换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式． (1)例题中两种方法对多项式因式分解的结果均不彻底，其因式分解的正确结果为 ； (2)请利用“换元法”将多项式因式分解； (3)当式子取得最小值时，求的值． 17．定义：如果关于的一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“关联方程”． (1)若关于的一元二次方程为“关联方程”，证明：为“关联方程”的根； (2)已知是关于的“关联方程”，若是该“关联方程”的一个根，求的值． 18．解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 参考答案 1．B 2．A 3．B 4．D 5．B 6．B 7．C 8．A 9．， 10． 11．， 12．， 13．【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得，； （2）解：， 整理得， 因式分解得， ∴或， 解得，． 14．(1)证明：当时，原方程为，解得，原方程有实数根； 当时， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； （2）解：当时，由（1）知为正整数，符合题意； 当时，解方程，得，， ∵原方程的根均为正整数，m为整数， ∴或2，对应的或均符合题意， 综上，整数的值为或或． 15．【详解】（1）证明： 将原方程整理为一般形式得 ， ∵无论取何实数， ∴，即 ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：把代入原方程得， 整理得， 解得， 把代入原方程得， 整理得， 解得， ∴的值为，方程的另一个根为． 16．【详解】（1）解：； （2）解：令，则 原式 ． （3）解：令，则原式， 当，即时原式取得最小值， 可得， 解得：，． 17．(1)证明：∵ 一元二次方程为“关联方程” ， ∴，即， 把代入方程左边，得左边， ∴ 左边右边， ∴为“关联方程”的根； （2）解：∵是关于的“关联方程”， ∴， ∴， ∵是该方程的一个根， ∴， 整理得， 把代入，得， 因式分解，得， 解得或． 18．【详解】（1）解：设， 则原方程可变为：， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； ∴原方程的解为：，； (2)是直角三角形；理由如下： 是的三边， ， ， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $