精品解析：云南昭通一中教研联盟2025-2026学年高一下学期期末考试数学（A卷）

昭通一中教研联盟2026年春季学期高一年级期末考试 数学（A卷） 命题单位：昭通市第一中学高二数学备课组 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数的实部是（ ） A. B. C. D. 2. 某商场顾客购买生活物品时只用现金支付的概率为0.48，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.12，则不用现金支付的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 3. 已知平面向量与的夹角为60°，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 某工厂有退休工人200人，中年职工400人，青年职工400人，为了解该工厂的职工健康情况，计划采用按比例分层抽样的方法从该工厂所有职工中抽取一个容量为50的样本，则应从中年职工抽取的人数为（ ） A. 10 B. 12 C. 18 D. 20 5. 若一个圆锥的轴截面是一个等边三角形，则该圆锥的表面积与轴截面面积之比是（ ） A. B. C. D. 6. 若事件A、B发生的概率分别为，，则下列说法不正确的是（ ） A. 若A与B相互独立，则 B. 若A与B互斥，则 C. 若，则事件A与相互独立 D. 若，则 7. 如图，已知为正方体，则异面直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 8. 记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是两条不重合的直线，，，是三个两两不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 10. 已知单位向量，及平面向量，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，且，则 C. D. 若，则向量在向量上的投影向量是 11. 随着人们生活水平的提高，给自己买保险是一种新趋势，因此某保险公司为客户定制了5个健康险种供顾客购买：甲，一年期短险；乙，长期医疗保险；丙，e生保；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.5个健康险种推出一定时间后，该保险公司对5个险种的购买客户进行抽样调查，经数据处理得出统计图如图： 若用该样本估计总体，则以下四个选项正确的是（ ） A. 周岁人群的人均参保费用最少且不同年龄人均参保费用随年龄增大而增加 B. 30周岁以上人群占参保人群的79% C. 甲、乙、丙三种参保险种的比例和比参保险种戊的大 D. 丁险种更受参保人喜爱 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，在中，P为线段上的一点，，且，则________. 13. 某厂新购买生产高精产品的新设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品某项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和，则__________. 14. 已知为锐角三角形，内角A满足向量，，且，则__________；设，（，），当时，则面积的最大值为__________. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某海鲜养殖场创新某种海鲜水产品养殖，现就养殖的新、旧网箱养殖方法的收获产量进行对比，各随机抽取了100个网箱，称重各箱水产品的产量（单位：），其频率分布直方图如图： （1）根据箱产量的频率分布直方图，求旧养殖法的众数和新养殖法箱产量的50%分位数的估计值（精确到0.01）； （2）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量不低于50，新养殖法的箱产量低于50”，估计A的概率. 16. 如图，在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，且. （1）证明：平面； （2）若底面是边长为2的等边三角形且直线与平面所成的角为45°，求的长及三棱锥的体积. 17. 某学校举办文体艺术周有体育竞技类和文艺艺术类两类参赛活动，其中体育竞技类有4项活动，文艺艺术类有6项活动，每位参赛同学从中随机抽取一项参赛活动. （1）若甲、乙两人只参加文艺艺术类活动，求甲、乙两人抽到不同文艺艺术类活动的概率； （2）若丙同学采用不放回方式随机地从文体艺术周的体育竞技类和文艺艺术类两类参赛活动中抽取两项参赛活动. ①求丙同学第二次抽到体育竞技类参赛活动的概率； ②若体育竞技类有4项活动，文艺艺术类有m项活动，如果丙同学抽到的2项参赛活动都是体育竞技类项的参赛活动概率不超过，那么m的最小值是多少？ 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，E为的中点. （1）求证：平面； （2）设平面平面，求证：平面； （3）求二面角的余弦值. 19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求a的值； （2）若于，且， ①证明：； ②求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昭通一中教研联盟2026年春季学期高一年级期末考试 数学（A卷） 命题单位：昭通市第一中学高二数学备课组 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数的实部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以复数的实部为． 2. 某商场顾客购买生活物品时只用现金支付的概率为0.48，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.12，则不用现金支付的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【分析】使用互斥事件概率公式求解. 【详解】设事件A为不用现金支付，则． 3. 已知平面向量与的夹角为60°，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，， 所以． 4. 某工厂有退休工人200人，中年职工400人，青年职工400人，为了解该工厂的职工健康情况，计划采用按比例分层抽样的方法从该工厂所有职工中抽取一个容量为50的样本，则应从中年职工抽取的人数为（ ） A. 10 B. 12 C. 18 D. 20 【答案】D 【解析】 【详解】由题设，应从中年职工中抽取的人数为人. 5. 若一个圆锥的轴截面是一个等边三角形，则该圆锥的表面积与轴截面面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设底面圆的半径为r，分别表示出圆锥的表面积与轴截面面积即可得. 【详解】设底面圆的半径为r，则母线长为2r，得侧面积是， 所以圆锥的表面积为， 轴截面是一个正三角形，边长为2r， 则其面积为， 所以面积之比是. 6. 若事件A、B发生的概率分别为，，则下列说法不正确的是（ ） A. 若A与B相互独立，则 B. 若A与B互斥，则 C. 若，则事件A与相互独立 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】A，若A与B相互独立，则，正确； B，若A与B互斥，则，正确； C，由，显然，故事件A与相互独立，正确； D，若，则，错误． 7. 如图，已知为正方体，则异面直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，则可得为异面直线与所成角，然后在中求解即可. 【详解】连接， 因为在中，∥， 所以为异面直线与所成角， 因为在中，， 所以为等边三角形， 所以， 所以异面直线与所成角为， 故选：C 8. 记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】借助余弦定理可得，再借助三角恒等变换公式将化简，结合正弦定理将角化为边计算即可得. 【详解】∵，得， 又∵，∴，即， ∵，∴， 从而有 . 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是两条不重合的直线，，，是三个两两不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线与平面、平面与平面之间的位置关系，逐个选项判断即可. 【详解】对于A，由平面与平面垂直的判定， 可得若，，则，故A正确； 对于B，若，，则平行或异面或相交，故B错误； 对于C，由，，，若与相交，则， 若，则可能平行，也可能与相交，故C错误； 对于，，，则，又，则，故D正确． 10. 已知单位向量，及平面向量，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，且，则 C. D. 若，则向量在向量上的投影向量是 【答案】ABC 【解析】 【详解】因为，是单位向量，，，所以一定有，选项正确； ∵，，∴，又， 当时，或， 当时，或，且， ∴或或或 ∴，选项B正确； ， 因为，，选项C正确； ∵， ∴在上的投影向量为，选项D错误． 11. 随着人们生活水平的提高，给自己买保险是一种新趋势，因此某保险公司为客户定制了5个健康险种供顾客购买：甲，一年期短险；乙，长期医疗保险；丙，e生保；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.5个健康险种推出一定时间后，该保险公司对5个险种的购买客户进行抽样调查，经数据处理得出统计图如图： 若用该样本估计总体，则以下四个选项正确的是（ ） A. 周岁人群的人均参保费用最少且不同年龄人均参保费用随年龄增大而增加 B. 30周岁以上人群占参保人群的79% C. 甲、乙、丙三种参保险种的比例和比参保险种戊的大 D. 丁险种更受参保人喜爱 【答案】ABD 【解析】 【详解】A，由不同年龄人均参保费用可知，周岁人群的人均参保费用最少且不同年龄人均参保费用随年龄增大而增大，A正确； B，由参保人数比例可知，30周岁以上人群占参保人群的，B正确； C，由参保险种比例可知：甲、乙、丙三种参保险种的比例和，C错误； D，由参保险种比例可知，丁险种参保比例最高，即丁险种更受参保人喜爱，D正确． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，在中，P为线段上的一点，，且，则________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用向量减法将线段比例转化为含,,的等式，整理得到的线性分解式，对比系数求出、后相加得结果. 【详解】如图，∵，∴，化为. 又，∴，，故. 13. 某厂新购买生产高精产品的新设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品某项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和，则__________. 【答案】0.076 【解析】 【详解】，则， ，则， 所以. 14. 已知为锐角三角形，内角A满足向量，，且，则__________；设，（，），当时，则面积的最大值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由向量垂直关系的坐标表示列方程，且求得，即可得，根据已知及，结合基本不等式求面积的最大值即可. 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∴. 而，则，当且仅当时取等号， ∴面积的最大值为． 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某海鲜养殖场创新某种海鲜水产品养殖，现就养殖的新、旧网箱养殖方法的收获产量进行对比，各随机抽取了100个网箱，称重各箱水产品的产量（单位：），其频率分布直方图如图： （1）根据箱产量的频率分布直方图，求旧养殖法的众数和新养殖法箱产量的50%分位数的估计值（精确到0.01）； （2）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量不低于50，新养殖法的箱产量低于50”，估计A的概率. 【答案】（1）众数为47.50，中位数52.35kg （2）0.1292 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图求解即可； （2）记B表示事件“旧养殖法的箱产量不低于50”，C表示事件“新养殖法的箱产量低于50”，求出，再根据独立事件概率公式求解. 【小问1详解】 由题意可知旧养殖法的直方图的众数为47.50. 因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50的直方图面积为 ， 箱产量低于55的直方图面积为， 所以新养殖法箱产量的中位数的估计值为. 【小问2详解】 记B表示事件“旧养殖法的箱产量不低于50”，C表示事件“新养殖法的箱产量低于50”， 旧养殖法的箱产量低于50的频率为， 旧养殖法的箱产量不低于50，即的估计值为0.38， 新养殖法的箱产量不低于50的频率为， 新养殖法的箱产量低于50，即的估计值为0.34. 因此事件A的概率估计值为. 16. 如图，在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，且. （1）证明：平面； （2）若底面是边长为2的等边三角形且直线与平面所成的角为45°，求的长及三棱锥的体积. 【答案】（1）证明：如图，因为三棱柱是直三棱柱，所以. 又因，所以是等腰三角形. 因E是边的中点，所以. 又，且两直线在平面内. 因此平面. （2），. 【解析】 【分析】（1）先由直三棱柱得侧棱，等腰三角形三线合一得，再利用线面垂直判定定理证平面； （2）先通过线面垂直判定找到线面角并利用角求出直三棱柱侧棱长度，再用等体积法转换顶点计算三棱锥体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设的中点为D，连接，， 因为是正三角形，所以. 又三棱柱是直三棱柱，所以. 因此平面，于是为直线与平面所成的角， 由题设，，所以， 在中，， 所以. ， 故三棱锥的体积为. 17. 某学校举办文体艺术周有体育竞技类和文艺艺术类两类参赛活动，其中体育竞技类有4项活动，文艺艺术类有6项活动，每位参赛同学从中随机抽取一项参赛活动. （1）若甲、乙两人只参加文艺艺术类活动，求甲、乙两人抽到不同文艺艺术类活动的概率； （2）若丙同学采用不放回方式随机地从文体艺术周的体育竞技类和文艺艺术类两类参赛活动中抽取两项参赛活动. ①求丙同学第二次抽到体育竞技类参赛活动的概率； ②若体育竞技类有4项活动，文艺艺术类有m项活动，如果丙同学抽到的2项参赛活动都是体育竞技类项的参赛活动概率不超过，那么m的最小值是多少？ 【答案】（1） （2）①；②5 【解析】 【分析】（1）根据题意，应用列举法求甲、乙两人抽到不同文艺艺术类活动的概率； （2）写出不放回方式对应的抽取情况数，丙同学两次抽到的参赛活动都是体育竞技类项的参赛活动、丙同学第一次抽到文艺艺术类的项参赛活动，第二次抽到体育竞技类项的参赛活动的情况数，①应用古典概型的概率求法求概率；②根据题设得求解即可得. 【小问1详解】 用1，2，3，4，5，6表示6个文艺艺术活动，甲、乙二人每人抽取1个活动的所有结果如下表： 乙 甲 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共有36个不同结果，它们等可能， 其中甲乙抽到相同文艺艺术项活动结果有，，，，，共6个， 因此甲、乙两位参赛同学抽到不同文艺艺术项活动的结果有30个，概率； 【小问2详解】 ①从文体艺术周的体育竞技类和文艺艺术类两类参赛活动中抽取两项参赛活动共有种，即， 设“丙同学两次抽到的参赛活动都是体育竞技类项的参赛活动”，则， 设“丙同学第一次抽到文艺艺术类的项参赛活动，第二次抽到体育竞技类项的参赛活动”，， 所以P(丙同学第二次抽到体育竞技类项的参赛活动). ②∵， ∴. ∵，且为正整数， ∴，解得（舍）或， 所以的最小值是5. 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，E为的中点. （1）求证：平面； （2）设平面平面，求证：平面； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：连接，交于M，如图所示： 因为底面是正方形，故M为的中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面. （2）证明：在正方形中，有， 因为平面，平面，所以平面. 因为平面，平面平面，所以， 因为平面，平面，所以平面． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，交于M，从而有，根据线面平行的判定定理证明结论； （2）由线面平行的判定定理和性质定理得，再由线面平行的判定定理证明结论； （3）由线面垂直的性质定理和判定定理证得，，再根据二面角的定义确定二面角的平面角，进而求其余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵平面，平面， ∴. ∵在正方形中，且，、平面， ∴平面，平面， ∴. ∵，E为的中点，故. 又，且平面，平面， ∴平面，、平面， 所以，. 由二面角的定义知为二面角的平面角， 在中， 所以二面角的平面角的余弦值为. 19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求a的值； （2）若于，且， ①证明：； ②求的最小值. 【答案】（1） （2）①证明：由余弦定理可知：， 即，所以， 当且仅当时，等号成立， 又因，即， 所以， 故，即，得证. ②8 【解析】 【分析】（1）借助余弦定理计算即可得； （2）①借助余弦定理结合基本不等式可得，利用面积公式计算可得，从而可得，再利用二倍角公式计算可得，从而可得的范围；②借助完全平方公式计算可得，结合，可得的最小值，即可得的最小值. 【小问1详解】 由余弦定理可知，， 又因， 所以，解得：； 【小问2详解】 ①略 ②因 ， 即， 因，故， 所以，即， 的最小值为8. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $