2026年人教版八升九数学暑期预习讲义（第9讲）——图形的旋转与对称（知识梳理+题型精析+同步自测）

暑期预习讲义（第9讲）——图形的旋转与对称 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】图形的旋转 1 【知识点二】中心对称 2 【知识点三】中心对称图形 2 【知识点四】核心易混辨析（考试高频陷阱） 3 【知识点五】旋转作图步骤 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】旋转三要素与性质基础判断 3 【题型 2】利用旋转性质求角度、线段长 4 【题型 3】坐标系点的旋转计算 5 【题型 4】中心对称与轴对称图形辨析 7 三.经典题型精析（综合提升） 7 【题型 5】旋转与面积问题 8 【题型 6】旋转与规律问题 9 四.同步自测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 一.教材知识梳理 【知识点一】图形的旋转 1. 旋转的定义 在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。 三大核心要素（缺一不可）： ① 旋转中心（定点）；② 旋转方向（顺时针/逆时针）；③ 旋转角（转动的角度）。 2. 旋转的基本性质（必考） 1. 旋转前后的图形全等，形状、大小完全不变，仅位置改变； 2. 对应点到旋转中心的距离相等； 3. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 4. 所有旋转角都相等。 3. 坐标系中点的旋转规律 设点坐标为，绕原点旋转： 1. 逆时针旋转90°： 2. 逆时针旋转180°： 3. 顺时针旋转90°： 4. 顺时针/逆时针旋转180°结果一致。 【知识点二】中心对称 1. 中心对称的定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么称这两个图形关于这个点中心对称。这个点叫做对称中心。 2. 中心对称性质 1. 中心对称的两个图形全等； 2. 对称点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分； 3. 对应线段平行（或共线）且相等。 【知识点三】中心对称图形 1. 定义：把一个图形绕自身某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原图形重合，这个图形就是中心对称图形。 2. 常见中心对称图形（必记） 线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、正偶数边形。 易错区分：等腰三角形、等腰梯形、正奇数边形是轴对称图形，不是中心对称图形。 【知识点四】核心易混辨析（考试高频陷阱） 概念 对象 核心特征 中心对称 两个图形 两个图形位置关系，旋转180°互相重合 中心对称图形 一个图形 自身旋转180°与自身重合 轴对称 一个/两个图形 沿直线折叠重合，翻折变换 【知识点五】旋转作图步骤 1. 定：确定旋转中心、旋转方向、旋转角度； 2. 找：找出图形的关键点； 3. 转：将每个关键点绕旋转中心按要求旋转，得到对应点； 4. 连：按原图形顺序连接对应点，得到旋转后的图形。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】旋转三要素与性质基础判断 【例题1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，将顺时针旋转一定角度后与重合，且点D恰好为的中点． （1）旋转中心是点___________；旋转角=___________°； （2）求出线段的长． 【变式1】（24-25九年级上·湖北黄冈·期末）如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一直线上时，则旋转角的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，在方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点________（填M、N、P、Q中的一个）． 【变式3】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，如果把钟表的指针看作四边形，它绕点O旋转得到四边形，在这个旋转过程中． （1）旋转角是什么？旋转中心是什么？ （2）经过旋转，分别转到什么位置？ （3）与的长有什么关系？与呢？ （4）与有什么关系？ 【题型 2】利用旋转性质求角度、线段长 【例题2】（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，中，，，，将绕点逆时针旋转得，若点在上，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，若，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，的对应边正好过点，此时与交于点，则的长为______． 【变式3】（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，已知等边和线段，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、和． （1）补全图形 （2）求证： 方法总结：遇旋转，先找旋转角相等、对应边相等、对应角相等。 【题型 3】坐标系点的旋转计算 【例题3】（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为．点的坐标为，且满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的线路移动． （1）___________，___________，点的坐标为___________． （2）当点移动秒时，求出点的坐标； 【变式1】（24-25九年级上·河北唐山·期中）已知点的坐标为，点的坐标为，则点绕点顺时针旋转后的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·河南南阳·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为____． 【变式3】（25-26九年级上·河南三门峡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为．请解答下列问题： （1）画出关于 轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）求的面积． 【题型 4】中心对称与轴对称图形辨析 【例题4】（2025九年级·全国·专题练习）下列图形中，哪些是中心对称图形？哪些是轴对称图形？请画出它们的对称中心或所有的对称轴． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期末）“福禄寿喜”是中国传统文化中极具代表性的吉祥符号，寄托了人们对幸福、成功、健康、快乐的全面期盼，是中国民间文化永恒的主题．下图是“福禄寿喜”变形设计图，其中是轴对称，但不是中心对称的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·甘肃白银·期中）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是___________.（填序号） ①线段；  ②角；  ③等边三角形；  ④平行四边形.  ⑤正六边形． 【变式3】（23-24九年级上·全国·单元测试）请用两种方法以为位似中心将放大为原来的倍．并判断所得的两个三角形有什么位置关系？ 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 5】旋转与面积问题 【例题5】（2026·江西吉安·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，轴，的面积是面积的3倍． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）若点A关于原点的对称点是点，请判断点是否在反比例函数图象上．若将一次函数图象向上平移，使其经过点，求平移的距离． 【变式1】（25-26九年级上·重庆綦江·期末）如图，点是正方形的边上一动点（点不与点，重合），连接，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连接，，若，则面积的最大值为（　　）    A． B． C．3 D． 【变式2】（2024·甘肃陇南·模拟预测）如图，在中，，，将绕点B沿逆时针方向旋转得到，此时恰好点C在上，交于点E，则与的面积之比为______． 【变式3】（23-24七年级下·四川广安·期末）如图所示，在轴上，点在轴上，将三角形沿轴负方向平移，平移后的图形为三角形，且点的坐标为． （1）点的坐标是__________； （2）在四边形中，动点以每秒2个单位长度的速度匀速从点出发，沿着“”的方向向终点移动．设运动时间为秒，回答下列问题： ①当点出发4秒时，点的坐标是__________，当点的横坐标与纵坐标互为相反数时，点的运动时间是__________秒； ②求在运动过程中是否存在点，使得三角形的面积是三角形面积的一半，若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由． 【题型 6】旋转与规律问题 【例题6】（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，，在直线上，将绕点按顺时针方向旋转到位置①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点，此时；…，按此规律继续旋转．根据以上规律，解决下列问题： （1）______； （2）猜想：______． （3）连接，求的面积． 【变式1】（25-26八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与轴正半轴重合，将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点逆时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是（     ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图，在直角坐标平面中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的运动规律，动点第2020次运动到点______． 【变式3】（24-25九年级上·河北邯郸·期末）探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分． 我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形， 的直线将它分成面积相等的两部分． 应用1 ：如图2，若矩形 是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井 P 相邻． 请你帮老林家设计一下，画出图形，并说明理由． 应用2 ：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线 将图3的阴影部分分成面积相等的两部分． （不写作图过程，保留作图痕迹） 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）国产人工智能大模型DeepSeek不断迭代进化，其技术实力始终是全球AI领域的关注焦点．以下四款常用的人工智能大模型的图标中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（2024·福建厦门·二模）如图，将绕点顺时针旋转至．下列角中，是旋转角的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·贵州黔西南·期中）如图，将绕点A按逆时针方向旋转α，得到，若点恰好在线段的延长线上，且，则旋转角α的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）若点绕原点O逆时针旋转，点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，与是成中心对称的两个图形，则下列说法不正确的是（ ） A．， B． C． D． 6．（2026·浙江绍兴·一模）一个反比例函数的图象经过点和点．若A与B关于坐标原点对称，则这个反比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·广东·中考真题）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（     ） A． B．18 C． D．24 8．（25-26八年级下·重庆奉节·期末）如图，将绕点C顺时针旋转得到，此时点B的对应点E恰好在的延长线上．若A，B，D三点共线，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，将绕点按顺时针方向旋转一定角度后得到，点落在上，延长交于点，若，，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 10．（2025·浙江温州·三模）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，使点落在正方形内部，延长交的平分线于点，连接交于点，则下列比值是定值的是（　　） A． B． C． D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是_____． 12．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，使点落在边上的处，点落在处，连接．则的长为______． 13．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点O按顺时针方向旋转，得，则点的对应点的坐标为_____．    14．（25-26九年级上·北京大兴·期中）我国数学家赵爽用4个全等的直角三角形拼成如图所示的大正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“赵爽弦图”．这一证法是中国古代数学家以形证数、形数结合的典范，对后世数学发展产生了深远影响．已知点O是大正方形对角线的交点，以点O为旋转中心，将顺时针旋转得到，则______． 15．（25-26七年级下·海南儋州·期末）如图，是等边三角形，D是边上任意一点（与点B、C不重合），绕点A顺时针旋转后与重合．连接，则________度；设，则的度数为________度（用含有m的代数式表示）． 16．（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，等边的边长为2，点P沿射线方向从点B向右平移至点（平移距离不超过2），再绕点A逆时针旋转至点，则线段长度的最小值为______． 17．（25-26八年级下·河南南阳·期末）在平面直角坐标系中，按如图所示的方式放置正方形，点的坐标为．将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转2026秒后，点的对应点的坐标为__________． 18．（2026·陕西·中考真题）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过矩形的对称中心．若矩形的面积为12，则的值为_________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，以的中点为旋转中心，将旋转，点、、的对称点分别是、、． （1）请画出旋转后的 （2）求出的长 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·山西阳泉·阶段检测）如图，在中，，，M为的中点，点D在上，以点A为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，． （1）比较与的大小，并说明理由； （2）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 21．（本小题满分10分）（23-24八年级下·广东清远·期中）如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形． （1）写出各顶点的坐标； （2）以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，写出，的坐标． 22．（本小题满分10分）（2026·河南平顶山·三模）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是，点A的坐标是，连接．将绕点A逆时针旋转得到，反比例函数的图象经过点D，与 交于点E，连接，，． （1）求反比例函数的表达式． （2）求的面积． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在等边中，为边上任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． （1）求证：． （2）若等边的边长为10，且为的中点，求四边形的面积． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图1，将一副直角三角板按如图1方式摆放，其中，，三点在同一条直线上，，． （1）观察猜想 将图1中的三角尺沿的方向平移至图2的位置，使得点在上．则__________． （2）操作探究 将图1中的三角尺绕点按顺时针方向旋转，使边落在的内部，如图3，且恰好平分，与相交于点，求的度数； （3）深化拓展 将图1中的三角尺绕点沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边旋转的度数为__________时，直线（直接写出结果）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第9讲）——图形的旋转与对称 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】图形的旋转 1 【知识点二】中心对称 2 【知识点三】中心对称图形 2 【知识点四】核心易混辨析（考试高频陷阱） 3 【知识点五】旋转作图步骤 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】旋转三要素与性质基础判断 3 【题型 2】利用旋转性质求角度、线段长 6 【题型 3】坐标系点的旋转计算 9 【题型 4】中心对称与轴对称图形辨析 13 三.经典题型精析（综合提升） 15 【题型 5】旋转与面积问题 15 【题型 6】旋转与规律问题 21 四.同步自测 25 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 25 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 31 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 37 一.教材知识梳理 【知识点一】图形的旋转 1. 旋转的定义 在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。 三大核心要素（缺一不可）： ① 旋转中心（定点）；② 旋转方向（顺时针/逆时针）；③ 旋转角（转动的角度）。 2. 旋转的基本性质（必考） 1. 旋转前后的图形全等，形状、大小完全不变，仅位置改变； 2. 对应点到旋转中心的距离相等； 3. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 4. 所有旋转角都相等。 3. 坐标系中点的旋转规律 设点坐标为，绕原点旋转： 1. 逆时针旋转90°： 2. 逆时针旋转180°： 3. 顺时针旋转90°： 4. 顺时针/逆时针旋转180°结果一致。 【知识点二】中心对称 1. 中心对称的定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么称这两个图形关于这个点中心对称。这个点叫做对称中心。 2. 中心对称性质 1. 中心对称的两个图形全等； 2. 对称点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分； 3. 对应线段平行（或共线）且相等。 【知识点三】中心对称图形 1. 定义：把一个图形绕自身某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原图形重合，这个图形就是中心对称图形。 2. 常见中心对称图形（必记） 线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、正偶数边形。 易错区分：等腰三角形、等腰梯形、正奇数边形是轴对称图形，不是中心对称图形。 【知识点四】核心易混辨析（考试高频陷阱） 概念 对象 核心特征 中心对称 两个图形 两个图形位置关系，旋转180°互相重合 中心对称图形 一个图形 自身旋转180°与自身重合 轴对称 一个/两个图形 沿直线折叠重合，翻折变换 【知识点五】旋转作图步骤 1. 定：确定旋转中心、旋转方向、旋转角度； 2. 找：找出图形的关键点； 3. 转：将每个关键点绕旋转中心按要求旋转，得到对应点； 4. 连：按原图形顺序连接对应点，得到旋转后的图形。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】旋转三要素与性质基础判断 【例题1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，将顺时针旋转一定角度后与重合，且点D恰好为的中点． （1）旋转中心是点___________；旋转角=___________°； （2）求出线段的长． 【答案】（1）A；120；（2）6 【分析】本题考查了旋转的相关知识点．熟记相关结论进行几何推理是解题关键． （1）由“顺时针旋转一定角度后与重合”可得旋转中心点，求出即可得旋转角； （2）根据旋转的性质得出，，根据线段中点的定义求出，即可求解． 解：（1）解：在中，，， ∴， 即， ∵顺时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心为点A，旋转的度数为； 故答案为：A；120； （2）解：∵顺时针旋转一定角度后与重合， ∴，， ∵点D恰好成为的中点， ∴， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·湖北黄冈·期末）如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一直线上时，则旋转角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转角的求解，由旋转可知：，求出即可求解； 解：由旋转可知：， ∴， ∴， ∴， 故选：A 【变式2】（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，在方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点________（填M、N、P、Q中的一个）． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在． 根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心． 解：如图，连接N和两个三角形的对应点； 发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，且夹角都是， 因此格点N就是所求的旋转中心． 故答案为：． 【变式3】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，如果把钟表的指针看作四边形，它绕点O旋转得到四边形，在这个旋转过程中． （1）旋转角是什么？旋转中心是什么？ （2）经过旋转，分别转到什么位置？ （3）与的长有什么关系？与呢？ （4）与有什么关系？ 【答案】（1）或，旋转中心是点O；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了旋转．熟练掌握旋转的定义和性质是解决问题的关键．旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角． （1）根据旋转角的定义和旋转中心的定义回答； （2）根据旋转的定义回答； （3）根据旋转的性质回答； （4）根据旋转的性质回答． 解：（1）旋转角是或，旋转中心是点O； （2）经过旋转，分别转到D、E、F的位置； （3）与长的关系，，与长的关系，； （4）与的关系：． 【题型 2】利用旋转性质求角度、线段长 【例题2】（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，中，，，，将绕点逆时针旋转得，若点在上，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理和旋转的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出，再根据旋转的性质得，，，则，最后由勾股定理进行列式计算，即可作答． 解：∵， ∴在中，由勾股定理得， ∵将绕点逆时针旋转得， ，，， ，， 在中，由勾股定理得：． 【变式1】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，若，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据旋转的性质找出对应角和旋转角，再运用平行线的性质求解即可． 解：∵绕点逆时针旋转得到，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，的对应边正好过点，此时与交于点，则的长为______． 【答案】 【分析】根据含的直角三角形的性质求出和的长，利用旋转的性质得到，，从而判定是等边三角形，求出旋转角的度数，最后在中利用的直角三角形的性质求出的长． 解：在中，，，， ，， ， 由旋转可得，，，， 是等边三角形， ， 旋转角， 在中，，， ， 是直角三角形， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，已知等边和线段，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、和． （1）补全图形 （2）求证： 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查作图-旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）证明可得结论． 解：（1）解：图形如图所示： ； （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 方法总结：遇旋转，先找旋转角相等、对应边相等、对应角相等。 【题型 3】坐标系点的旋转计算 【例题3】（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为．点的坐标为，且满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的线路移动． （1）___________，___________，点的坐标为___________． （2）当点移动秒时，求出点的坐标； 【答案】（1）, ；（2） 【分析】本题考查非负数的性质、长方形的坐标特征与点的运动问题； （1）利用非负数的性质求，结合长方形坐标特征得点坐标； （2）通过路程计算与分段分析确定点位置进而确定坐标，关键是掌握非负数的性质和点的运动路径分析，易错点是点运动分段时的路程计算错误． 解：（1）解：因为，所以； 在长方形中，，所以点的坐标为； 故答案为； ； （2）点的移动速度是每秒个单位长度，移动秒时路程为个单位长度；先沿移动，因为，则剩余路程；再沿移动个单位长度后，横坐标为，纵坐标为，所以点的坐标． 故答案为． 【变式1】（24-25九年级上·河北唐山·期中）已知点的坐标为，点的坐标为，则点绕点顺时针旋转后的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点绕非原点旋转后的坐标，解题的关键在于能够熟练掌握关于旋转点对称点的坐标特征．根据A点绕点旋转180度得到点C，即点C与点A关于点中心对称，由此进行求解即可． 解：∵点绕旋转180度得到点C， ∴点C与点A关于点中心对称， 设点C的坐标为， ∴， 解得：， ∴点C的坐标为， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级下·河南南阳·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为____． 【答案】 【分析】由旋转得到，进一步通过角的关系得到，得到，进一步得到坐标． 解：点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段， 过点作轴，过作轴， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【变式3】（25-26九年级上·河南三门峡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为．请解答下列问题： （1）画出关于 轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）见详解图，点的坐标为；；（2）见详解图，点的坐标为；（3）3.5 【分析】本题考查图形的变换与坐标中的轴对称变换与旋转变换． （1）根据轴对称的性质得到的位置，再顺次连接即可； （2）根据轴旋转的性质得到的位置，再顺次连接即可； （3）利用割补法求解即可． 解：（1）解：如图所示， 点的坐标为； （2）解：如图所示， 点的坐标为． （3）解：的面积． 【题型 4】中心对称与轴对称图形辨析 【例题4】（2025九年级·全国·专题练习）下列图形中，哪些是中心对称图形？哪些是轴对称图形？请画出它们的对称中心或所有的对称轴． 【答案】见分析 【分析】本题考查了作图-旋转变换、轴对称变换，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于且等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．解题的关键是熟练掌握基本知识． 利用中心对称图形和轴对称图形的定义对个图形进行判断；然后画出对应的对称轴和对称中心． 解：中心对称图形：①②③④． 轴对称图形：①②③． 如图，点O即为对称中心，图中的虚线即为对称轴． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期末）“福禄寿喜”是中国传统文化中极具代表性的吉祥符号，寄托了人们对幸福、成功、健康、快乐的全面期盼，是中国民间文化永恒的主题．下图是“福禄寿喜”变形设计图，其中是轴对称，但不是中心对称的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可． 解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； 【变式2】（25-26八年级下·甘肃白银·期中）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是___________.（填序号） ①线段；  ②角；  ③等边三角形；  ④平行四边形.  ⑤正六边形． 【答案】①⑤ 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念. 在平面内，若一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形；在平面内，若把一个图形绕着某个点旋转，旋转后的图形能和原来的图形重合，则这个图形是中心对称图形；根据两个概念逐一判断各图形即可． 解：①线段，沿线段的垂直平分线或线段所在直线折叠都能重合，是轴对称图形，绕线段中点旋转能与原图形重合，是中心对称图形，符合要求； ②角，沿角平分线所在直线折叠能重合，是轴对称图形，绕任意点旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求； ③等边三角形，是轴对称图形，旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求； ④平行四边形，绕对角线交点旋转能与原图形重合，是中心对称图形，不存在直线使折叠后重合，不是轴对称图形，不符合要求； ⑤正六边形，有多条对称轴，是轴对称图形，绕中心旋转能与原图形重合，是中心对称图形，符合要求． 故答案为①⑤． 【变式3】（23-24九年级上·全国·单元测试）请用两种方法以为位似中心将放大为原来的倍．并判断所得的两个三角形有什么位置关系？ 【答案】画图见分析，两个三角形关于点P成中心对称 【分析】本题主要考查了画位似图形，中心对称图形的识别，如图所示，连接并延长到，使得，则点是点A的对应点，同理作出B、C的对应点，并顺次连接，则即为所求； 如图所示，连接并延长到，使得，则点是点A的对应点，同理作出B、C的对应点，并顺次连接，则即为所求；再根据位似图形的性质和中心对称图形的定义即可得到结论． 解：如图所示，连接并延长到，使得，则点是点A的对应点，同理作出B、C的对应点，并顺次连接，则即为所求； 如图所示，连接并延长到，使得，则点是点A的对应点，同理作出B、C的对应点，并顺次连接，则即为所求； 由位似图形的性质可得，且点P是的交点， ∴与关于点P成中心对称． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 5】旋转与面积问题 【例题5】（2026·江西吉安·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，轴，的面积是面积的3倍． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）若点A关于原点的对称点是点，请判断点是否在反比例函数图象上．若将一次函数图象向上平移，使其经过点，求平移的距离． 【答案】（1）一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为：；（2）平移的距离为． 【分析】（1）先求解，结合三角形的面积可得，再进一步求解函数解析式即可． （2）先求解，进一步代入解析式判断，设平移后的解析式为，进一步求解即可． 解：（1）解：∵一次函数， 当，则， ∴， ∵轴，的面积是面积的3倍． ∴， ∴，， 把代入，得： ∴，， 解得：， 一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为：． （2）解：∵点关于原点的对称点是点， ∴， ∵反比例函数的解析式为：． 当时，， ∴在反比例函数的图象上． 设平移后的解析式为， ∴， 解得：， ∴平移的距离为． 【变式1】（25-26九年级上·重庆綦江·期末）如图，点是正方形的边上一动点（点不与点，重合），连接，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连接，，若，则面积的最大值为（　　）    A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形判定与性质及二次函数求最值．先过点作，先通过证明与全等，得到对应边相等，再用和表示的面积，最后通过二次函数求面积的最大值． 解：如图，过点作，则．    设（）． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，． ∴． 又， ∴． 在和中：， ∴． ∴， ∴， ∴的面积， ∵是关于的二次函数，图象开口向下，， ∴当时，面积取得最大值：， 故选：A． 【变式2】（2024·甘肃陇南·模拟预测）如图，在中，，，将绕点B沿逆时针方向旋转得到，此时恰好点C在上，交于点E，则与的面积之比为______． 【答案】 【分析】由旋转的性质得出，，则是等边三角形，，得出，设，则，，求出，可求出答案． 解：∵， ∴， 由旋转得：，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∴由勾股定理得，， ∴， ∵与同高， ∴与的面积之比为． 【变式3】（23-24七年级下·四川广安·期末）如图所示，在轴上，点在轴上，将三角形沿轴负方向平移，平移后的图形为三角形，且点的坐标为． （1）点的坐标是__________； （2）在四边形中，动点以每秒2个单位长度的速度匀速从点出发，沿着“”的方向向终点移动．设运动时间为秒，回答下列问题： ①当点出发4秒时，点的坐标是__________，当点的横坐标与纵坐标互为相反数时，点的运动时间是__________秒； ②求在运动过程中是否存在点，使得三角形的面积是三角形面积的一半，若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】（1）①；②；；（2）或 【分析】（1）根据平移的性质即可得到结论； （2）①根据得出点在线段上，结合图形，即可得出点的坐标，当点在线段上时，点的坐标，当点在线段上时，点的坐标； （3）先求得三角形面积，根据题意得出三角形的面积为，进而分类讨论，即可求解． 解：（1）解：根据题意得：三角形沿轴负方向平移个单位得到三角形， ， 点的坐标是， ， ， 点的坐标是 （2）①当时，路程为 又， 当时， 当时，点在线段上， 点的坐标为， 当点的横坐标与纵坐标互为相反数时，即，解得： 当时，点在线段上， 点的坐标； 当点的横坐标与纵坐标互为相反数时，即，解得：舍去 ②∵， ∴ ∵三角形的面积是三角形面积的一半 ∴ 如图，当时，点在线段上，点的坐标为 ∴ 解得： ∴ 如图，当时，点在线段上，点的坐标； ∴ 解得： ∴ 综上所述，或 【题型 6】旋转与规律问题 【例题6】（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，，在直线上，将绕点按顺时针方向旋转到位置①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点，此时；…，按此规律继续旋转．根据以上规律，解决下列问题： （1）______； （2）猜想：______． （3）连接，求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）利用直角三角形性质和勾股定理求出，，再结合旋转的性质求解，即可解题； （2）结合题意得到其规律为从开始，每3个增加的一个周长，根据规律求解，即可解题； （3）同（2）先算出，进而得到，根据的面积的面积的面积列式求解，即可解题． 解：（1）解：由题知，，，， ， ， 结合旋转的性质，以及，，， ， 故答案为：． （2）解：由题知，从开始，每3个增加的一个周长， ， ； 故答案为：． （3）解：， ， ， 的面积的面积的面积 ． 【点拨】本题考查直角三角形性质，勾股定理，旋转的性质，图形的规律，解题的关键在于结合旋转的性质得到图形的规律． 【变式1】（25-26八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与轴正半轴重合，将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点逆时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 解：作轴，轴，垂足分别为， 由题意得，， ， ，， ，， ，， 如图，与关于原点对称，，，，，，，……， 观察可知，点到点为一个变换周期，，即点的坐标为． 【变式2】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图，在直角坐标平面中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的运动规律，动点第2020次运动到点______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的运动规律， 先确定点的横，纵坐标的变化规律，每4次一个循环，再求出第2020次是循环中最后一次，即可得出答案. 解：由图可知，动点P的纵坐标依次按照，每四个一循环，横坐标运动次数减1， ∵， ∴动点P第2020次运动后的纵坐标为0，横坐标为， ∴动点[P的运动到点. 故答案为：. 【变式3】（24-25九年级上·河北邯郸·期末）探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分． 我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形， 的直线将它分成面积相等的两部分． 应用1 ：如图2，若矩形 是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井 P 相邻． 请你帮老林家设计一下，画出图形，并说明理由． 应用2 ：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线 将图3的阴影部分分成面积相等的两部分． （不写作图过程，保留作图痕迹） 【答案】探究：经过对称中心；应用1：见详解；应用2：见详解 【分析】本题考查作图中心对称设计图案，中心对称图形的性质，正方形和矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 探究：根据中心对称图形的性质解答即可； 应用1：连接，交于点，作直线即可； 应用2：连接，交于点，作直线分别交于点即可； 解：探究：根据图1可总结规律：一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过对称中心； 应用1：如图： 理由：矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点O，过O、P的直线满足把矩形面积等分，且都与水井P相邻； 应用2： 理由：正方形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，过O、的直线满足把正方形面积和圆面积等分，直线 将图3的阴影部分分成面积相等的两部分． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）国产人工智能大模型DeepSeek不断迭代进化，其技术实力始终是全球AI领域的关注焦点．以下四款常用的人工智能大模型的图标中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合． 解：根据中心对称图形的定义，A选项、B选项、D选项的图形绕着某一个点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形不重合，C选项的图形绕着中心点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合． 2．（2024·福建厦门·二模）如图，将绕点顺时针旋转至．下列角中，是旋转角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形旋转，旋转角，根据旋转角定义，对应点与旋转中心连线所夹的角是旋转角，可得旋转角为，即可． 解：∵将绕点顺时针旋转至， ∴旋转角为，． 故选：A． 3．（24-25九年级上·贵州黔西南·期中）如图，将绕点A按逆时针方向旋转α，得到，若点恰好在线段的延长线上，且，则旋转角α的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的内角和即可求解． 解：绕点A按逆时针方向旋转α，得到， ， ，， ， ， ， 故选：D ． 【点拨】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 4．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）若点绕原点O逆时针旋转，点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变换-旋转，根据点绕原点逆时针旋转，坐标变换规则为求解即可． 解：∵点绕原点O逆时针旋转， ∴对应点的坐标为． 故选：B． 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，与是成中心对称的两个图形，则下列说法不正确的是（ ） A．， B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称的基本性质“1、中心对称的两个图形是全等图形；2、中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；3、中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，熟练掌握中心对称的基本性质是解题关键．根据中心对称的基本性质、平行线的性质逐项判断即可得． 解：∵与是成中心对称的两个图形， ∴，，，，， 无法得到， 故选：D． 6．（2026·浙江绍兴·一模）一个反比例函数的图象经过点和点．若A与B关于坐标原点对称，则这个反比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点，关于原点对称，可求出的值，即可求出反比例函数的表达式． 解：A与B关于坐标原点对称， ， 解得， ， 设这个反比例函数的表达式为， 把代入可得， ， 解得， 所以这个反比例函数的表达式为． 7．（2026·广东·中考真题）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（     ） A． B．18 C． D．24 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出的长，根据旋转的性质得到及，进而证得，通过构造直角三角形求出的长，最后计算周长即可． 解：在中，，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的周长为． 8．（25-26八年级下·重庆奉节·期末）如图，将绕点C顺时针旋转得到，此时点B的对应点E恰好在的延长线上．若A，B，D三点共线，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转得到，，根据等边对等角得到，从而根据三角形的内角和定理求出，再由旋转得到，最后由邻补角互补即可求解． 解：由旋转可得，， ∴， ∴， ∴， 由旋转可得， ∴． 9．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，将绕点按顺时针方向旋转一定角度后得到，点落在上，延长交于点，若，，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由旋转的性质可得，的度数，进而可得的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 解：由旋转的性质可得，， ， ． 10．（2025·浙江温州·三模）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，使点落在正方形内部，延长交的平分线于点，连接交于点，则下列比值是定值的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质，设，由正方形的性质可得，则，由旋转的性质可得，则，由三线合一定理得到，，，则可证明，则是等腰直角三角形，进而得到，据此可得答案． 解：设， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∵交的平分线于点， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：B． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是_____． 【答案】 【分析】首先根据旋转变换的性质求出的度数，结合即可解决问题． 解：由题意及旋转变换的性质得， 又 ∵， ． 12．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，使点落在边上的处，点落在处，连接．则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理．掌握旋转的性质是解题的关键． 由勾股定理可求，由旋转的性质可得，，由勾股定理可求出，即可得出答案． 解：∵，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转，使点落在边上的处，点落在处， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点O按顺时针方向旋转，得，则点的对应点的坐标为_____．    【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转． 根据旋转的性质可得答案． 解：∵绕点O按顺时针方向旋转得到，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·北京大兴·期中）我国数学家赵爽用4个全等的直角三角形拼成如图所示的大正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“赵爽弦图”．这一证法是中国古代数学家以形证数、形数结合的典范，对后世数学发展产生了深远影响．已知点O是大正方形对角线的交点，以点O为旋转中心，将顺时针旋转得到，则______． 【答案】90 【分析】本题考查了图形旋转的性质，解决本题的关键是熟练掌握图形的旋转角度． 根据图形的旋转性质，可知顺时针旋转得到，点D的对应点为点C，点E的对应点为点H，点A的对应点为点D，由此可求解． 解：连接，如图， ∵顺时针旋转得到， ∴可知点D的对应点为点C，点E的对应点为点H，点A的对应点为点D， ∵点O是大正方形对角线的交点， ∴， ∴． 故答案为： ． 15．（25-26七年级下·海南儋州·期末）如图，是等边三角形，D是边上任意一点（与点B、C不重合），绕点A顺时针旋转后与重合．连接，则________度；设，则的度数为________度（用含有m的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质及旋转的性质可得，判定是等边三角形，即可求出的度数；在中利用三角形内角和定理表示出，结合即可求解． 解：∵是等边三角形， ∴， ∵绕点A顺时针旋转后与重合， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 在中，， ∴， ∵， ∴． 16．（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，等边的边长为2，点P沿射线方向从点B向右平移至点（平移距离不超过2），再绕点A逆时针旋转至点，则线段长度的最小值为______． 【答案】 【分析】过点作于点，先求出的长，再得出是等边三角形，则，然后根据垂线段最短可得当点与点重合时，的长度最小，由此即可得． 解：如图，过点作于点， ∵等边的边长为2，， ∴，， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∴是等边三角形， ∴， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，的长度最小，最小值为， 即线段长度的最小值为． 17．（25-26八年级下·河南南阳·期末）在平面直角坐标系中，按如图所示的方式放置正方形，点的坐标为．将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转2026秒后，点的对应点的坐标为__________． 【答案】 【分析】由题意可先求出点的坐标，然后可得旋转2026秒后与旋转2秒后点的对应点位置相同，进而问题可求解． 解：过A作轴于E，过C作轴于F， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 因为， 所以每旋转四次点的位置循环出现． 因为余2， 所以旋转2026秒后与旋转2秒后点的对应点位置相同． 因为点且旋转2秒后的对应点与点关于原点对称， 所以旋转2秒后的对应点的坐标为， 则旋转2026秒后，点的对应点的坐标为． 18．（2026·陕西·中考真题）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过矩形的对称中心．若矩形的面积为12，则的值为_________． 【答案】3 【分析】设矩形边长，表示出对称中心D的坐标，利用点D在反比例函数图象上建立k与边长的关系，结合矩形面积求解． 解：设矩形的边，， 则点B的坐标为，， ∵点D是矩形的对称中心， ∴点D是对角线的中点， ∴点D的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，以的中点为旋转中心，将旋转，点、、的对称点分别是、、． （1）请画出旋转后的 （2）求出的长 【答案】（1）如图，即为所求； （2） 【分析】本题考查作图-旋转变换，勾股定理，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，中心对称变换的性质； （1）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可． （2）根据，利用勾股定理求出即可． 解：（1）略 （2） 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·山西阳泉·阶段检测）如图，在中，，，M为的中点，点D在上，以点A为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，． （1）比较与的大小，并说明理由； （2）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1），见分析；（2），见分析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、旋转的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、旋转的性质是解题的关键． （1）由题意旋转的性质得，，即可得到； （2）利用证明，得到，进而求解即可． 解：（1）． 理由：由旋转可知，， ， 即． （2）． 证明：，，， ， ． M是的中点， ． 21．（本小题满分10分）（23-24八年级下·广东清远·期中）如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形． （1）写出各顶点的坐标； （2）以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，写出，的坐标． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）过B作于C，根据三线合一可得，再根据勾股定理求出的长度，即可得出点B的坐标； （2）先根据图象，画出图形，可得与B重合，求出点的坐标即可． 解：（1）如图1，过B作于C， ∵是等边三角形，且， ∴， 由勾股定理得：， ∴； （2）如图2，∵， ∴与B重合， ∴， 由旋转得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了坐标与图形变换、等边三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握旋转和等边三角形的性质是关键，并注意点所在象限的符号问题． 22．（本小题满分10分）（2026·河南平顶山·三模）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是，点A的坐标是，连接．将绕点A逆时针旋转得到，反比例函数的图象经过点D，与 交于点E，连接，，． （1）求反比例函数的表达式． （2）求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）延长 交x轴正半轴于点F，证明四边形为正方形，求解即可． （2）根据，求解即可； 解：（1）解：由题意，得，． 由旋转的性质，可知，，． 延长 交x轴正半轴于点F，如图，则四边形为正方形． ∴点D的坐标为，即． ∵反比例函数的图象经过点D， ∴． ∴反比例函数的表达式为． （2）解：将代入，得， ∴点E的坐标为． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ， ∴； 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在等边中，为边上任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． （1）求证：． （2）若等边的边长为10，且为的中点，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ， ∴； （2） 【分析】（1）根据等边三角形的性质和旋转的性质得到，从而得到同旁内角互补，进而证明结论； （2）根据等边三角形的性质和勾股定理得到长，根据面积公式得到和，由（1）知，进而得到，求出四边形的面积． 解：（1）略 （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵为的中点， ∴，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ， 由（1）知，， ∴， ∴， 答：四边形的面积为． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图1，将一副直角三角板按如图1方式摆放，其中，，三点在同一条直线上，，． （1）观察猜想 将图1中的三角尺沿的方向平移至图2的位置，使得点在上．则__________． （2）操作探究 将图1中的三角尺绕点按顺时针方向旋转，使边落在的内部，如图3，且恰好平分，与相交于点，求的度数； （3）深化拓展 将图1中的三角尺绕点沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边旋转的度数为__________时，直线（直接写出结果）． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）由题意得，故，同旁内角互补得．由，，，代入计算得． （2）由平分得，又，内错角相等得．根据两直线平行同旁内角互补得，代入得． （3）分两种情况讨论：第一次垂直时，延长交于，由得，而，故；第二次垂直时，延长交于，由四边形内角和得，故． 解：（1）解：由题意，，，三点在同一条直线上，三角尺沿的方向平移，使得点在上， ， ， ， ， ， ． （2）解：平分，， ， 又， ， ， ． （3）解：根据旋转的特征，图形中每一点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度， 边旋转的度数和边旋转的度数相同， 如图，当第一次与垂直时，延长交于点， ，， ， ，且， ， 当边旋转的度数为时，直线； 如图，当第二次与垂直时，延长交于点， ，，， ， ， 当边旋转的度数为时，直线； 综上，当边旋转的度数为或时，直线． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $