2026年人教版八升九数学暑期预习讲义（第8讲）——反比例函数与一次函数综合（知识梳理+题型精析+同步自测）

暑期预习讲义（第8讲）——反比例函数与一次函数综合 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】一次函数与反比例函数核心性质 1 【知识点二】求两个函数的交点坐标 2 【知识点三】函数值大小比较（数形结合必考） 2 【知识点四】综合图形面积计算（高频压轴基础） 2 【知识点五】常见隐含条件与易错点 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】联立方程求交点坐标（基础必考） 3 【题型 2】函数值大小比较（数形结合） 4 【题型 3】函数综合求三角形面积（中档核心） 5 【题型 4】待定系数法求双函数解析式（基础综合） 6 三.经典题型精析（综合提升） 7 【题型 5】一次函数与反比例函数图象综合 7 【题型 6】一次函数与反比例函数与动点问题 9 【题型 7】一次函数与反比例函数存在性问题 10 三.同步自测 12 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 12 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 15 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 17 一.教材知识梳理 【知识点一】一次函数与反比例函数核心性质 一次函数与反比例函数综合题，核心依托两类函数的基础性质，做题优先通过参数符号判断图象位置与增减性。 函数类型 解析式 图象形状 核心性质 一次函数 直线，与x轴、y轴均有交点 递增，递减；决定与y轴交点位置 反比例函数 双曲线，永不与坐标轴相交 一三象限、象限内递减；二四象限、象限内递增 【知识点二】求两个函数的交点坐标 交点坐标同时满足一次函数和反比例函数解析式，解题核心为联立方程组求解。 解题步骤： 1. 联立解析式：将 与 联立，得方程 ； 2. 整理方程：两边同乘，化为一元二次方程 ； 3. 解方程：求出的解，代入任意一个函数解析式求出对应； 4. 写交点：两组对应两组交点坐标（最多2个交点，可1个或无）。 关键结论：联立方程有两个不同解，两图象有2个交点；有唯一解，1个交点；无解，无交点。 【知识点三】函数值大小比较（数形结合必考） 已知一次函数、反比例函数图象及交点，判断自变量取值范围内，哪个函数值更大。 解题方法： 1. 先找到两个函数的所有交点横坐标，将数轴分为若干区间； 2. 逐个区间观察图象位置，上方图象对应函数值更大； 3. 注意：反比例函数，x=0处为间断点，必须单独排除。 【知识点四】综合图形面积计算（高频压轴基础） 两函数综合题中，常见求两交点与原点围成三角形面积、直线与坐标轴、双曲线围成图形面积。 通用解题方法：割补法 1. 求直线与y轴或x轴交点坐标，分割不规则图形为多个直角三角形、直角梯形； 2. 利用坐标求底和高，分别计算面积再求和/求差； 3. 结合反比例函数几何意义，简化部分三角形面积计算。 【知识点五】常见隐含条件与易错点 1. 一次函数、反比例函数参数均不能为0：； 2. 比较函数值大小时，必须拆分正负区间，不能跨区间笼统判断； 3. 双曲线不与坐标轴相交，图形边界不含坐标轴原点及坐标轴； 4. 面积计算结果恒为正数，坐标正负仅用于判断位置，需取绝对值计算边长。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】联立方程求交点坐标（基础必考） 【例题1】（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知直线与双曲线相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·广东广州·三模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则函数的图象与函数的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（2026·广东深圳·三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为__________． 【变式3】（专题09多结论、多空类问题（针对第10、14题）（真题6题模拟60题）-学易金卷：5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（安徽专用））已知直线交y轴于点A，并与双曲线交于点B，连接、． （1）当时，点B的坐标为___________； （2）若的面积为，则___________． 方法总结：联立消元→解一元二次方程→回代求，步骤固定，零失误解题。 【题型 2】函数值大小比较（数形结合） 【例题2】（25-26八年级下·河南周口·期末）一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 【变式1】（25-26八年级下·山西长治·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 【变式2】（2026·广东清远·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【变式3】（25-26九年级上·浙江·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为_______． 【题型 3】函数综合求三角形面积（中档核心） 【例题3】（2026·浙江·模拟预测）在坐标系中有函数与函数相交于A、B两点，分别连接坐标原点C，则的面积为（     ） A．4 B． C．3 D． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点．连接，，则______． 【变式2】（2026·山东烟台·中考真题）如图，直线与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于 ，两点，轴，垂足为，连接．若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级下·福建龙岩·阶段检测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，若把直线向上平移3个单位长度与交于点B，连接、，则的面积为______． 方法总结：无坐标轴直角边的三角形，优先找直线与坐标轴交点，分割为两个直角三角形求和。 【题型 4】待定系数法求双函数解析式（基础综合） 【例题4】（2025·贵州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图像交于A、B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求反比例函数的解析式和一次函数解析式； （2）由图像直接写出：当时，自变量x的取值范围． 【变式1】（24-25九年级上·广西贺州·期中）若反比例函数y＝与一次函数y＝kx+b的图象都经过点（﹣2，﹣1），且当x＝1时，这两个函数值相等． （1）求反比例函数的解析式； （2）求一次函数的解析式． 【变式2】（24-25九年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知，点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）求一次函数的解析式． 【变式3】（2025·甘肃·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 5】一次函数与反比例函数图象综合 【例题5】（25-26八年级下·山东东营·期末）已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·河南洛阳·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山东济南·期末）函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级下·山东济南·期中）函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【题型 6】一次函数与反比例函数与动点问题 【例题6】（23-24八年级下·重庆北碚·期末）如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数交于和两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）如图，点是轴上一动点，连接，，当的面积为6时，求点的坐标； （3）将一次函数向右平移1个单位得到新的一次函数，点是新的一次函数与轴的交点，点是轴上一动点，请直接写出取最小值时点的坐标． 【变式1】（2024·湖南长沙·三模）如图，已知为反比例函数图象上的两点，动点在x轴的正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江西抚州·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点．若P为x轴上一动点，当是以为腰的等腰三角形时，点P的坐标为_____． 【变式3】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与 轴交于点． （1）求的值以及点坐标； （2）为轴上的一动点， 的面积时，求点坐标． （3）为轴上的一动点，连接和，当的值最小时， 求点的坐标． 【题型 7】一次函数与反比例函数存在性问题 【例题7】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，一次函数与轴交于点，与反比例函数分别交于点，，连接．作轴于点，且． （1）求一次函数关系式和的值； （2）求的面积； （3）点是轴上一点，是否存在点M，使点M，O，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（23-24九年级下·山东日照·开学考试）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在直线上取点，过点作反比例函数的图象． （1）求反比例函数的表达式； （2）点为反比例函数图象上的一点，若，求点的坐标； （3）在轴是否存在点，使得，若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由． 【变式2】（24-25九年级上·四川雅安·期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，一次函数图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）观察图象，写出时自变量的取值范围； （3）连接，在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】（2024·江苏镇江·二模）一次函数与x轴交于C点，与y轴交于B点，点在直线上，反比例函数过点A． （1）求a与k的值； （2）在x轴上是否存在点D，使得，若存在，请直接写出点D坐标；若不存在，请说明理由． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25八年级下·四川乐山·阶段检测）在同一直角坐标系内，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为1和3，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D．或 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点．若点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽合肥·三模）已知一次函数与函数的图象有两个交点，则关于的一元二次方程根的情况是（　　） A．无实数根 B．有2个相等的实数根 C．有2个不相等的实数根 D．无法确定 6．（2025·安徽蚌埠·三模）已知反比例函数与直线的图象在第一象限内相交于点，点的坐标为．若，则的值为（    ） A．3 B．4.5 C．6 D．9 7．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，正比例函数与反比例函数相交于点，若，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是（     ） A．两图象的交点的坐标为 B．若，则的取值范围是或 C．一次函数与反比例函数都随的增大而增大 D．连接，，则的面积是 9．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2026·山东济宁·一模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，点和都在轴上，是等腰直角三角形，，，则的值为（    ） A． B． C． D．4 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2024九年级上·全国·专题练习）直线与双曲线有两个交点和，其中点的坐标是，则点的坐标________． 12．（2025·浙江台州·二模）若正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则的值为______． 13．（24-25八年级下·河南南阳·期中）在描述同一反比例函数的图象时，小乐说：“这个反比例函数图象上任意一点到两坐标轴的距离之积是24”，小丽说：“这个反比例函数图象与直线有两个交点”．你认为这两个同学所描绘的反比例函数对应的表达式是_______． 14．（24-25九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限．若反比例函数的图象经过其中两点，且与过点的正比例函数图象交于点（点不在同一象限），则点的坐标为___________． 15．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是______． 16．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，P是第一象限内一次函数图象上一动点，反比例函数经过点P，则k的取值范围是______． 17．（2025·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为________． 18．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，点为上一点且是的中位线，的延长线交反比例函数的图象于，若，则的值为______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，，是一次函数的图象和反比例函数图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）观察图象，直接写出不等式的解集． 20．（本小题满分8分）（2025·青海海东·二模）如图，已知一次函数的图象交反比例函数的图象于点、，交轴于点． （1）求的值和点的坐标； （2）请根据图象，在时，直接写出不等式的解集． 21．（本小题满分10分）（23-24九年级上·湖南娄底·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）试求m的值和一次函数的解析式； （2）求的面积． 22．（本小题满分10分）（2026·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，并与反比例函数的图象交于横坐标为的点，过点作轴于点已知． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若是点关于轴的对称点，、分别是轴和线段上的动点，求周长的最小值． 23．（本小题满分10分）（2026·河南开封·模拟预测）如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于点，交x轴的正半轴于点B，交y轴的正半轴于点C． （1）分别求k和b的值； （2）点D为反比例函数图象上的一点，连接，，．若，求点D的坐标． 24．（本小题满分12分）（26-27九年级·全国·暑假作业）已知正比例函数与反比例函数的图象在第一象限交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点， ①求的面积； ②直接写出不等式的解集． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第8讲）——反比例函数与一次函数综合 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】一次函数与反比例函数核心性质 1 【知识点二】求两个函数的交点坐标 2 【知识点三】函数值大小比较（数形结合必考） 2 【知识点四】综合图形面积计算（高频压轴基础） 2 【知识点五】常见隐含条件与易错点 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】联立方程求交点坐标（基础必考） 3 【题型 2】函数值大小比较（数形结合） 5 【题型 3】函数综合求三角形面积（中档核心） 7 【题型 4】待定系数法求双函数解析式（基础综合） 12 三.经典题型精析（综合提升） 16 【题型 5】一次函数与反比例函数图象综合 16 【题型 6】一次函数与反比例函数与动点问题 19 【题型 7】一次函数与反比例函数存在性问题 26 四.同步自测 34 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 34 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 41 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 48 一.教材知识梳理 【知识点一】一次函数与反比例函数核心性质 一次函数与反比例函数综合题，核心依托两类函数的基础性质，做题优先通过参数符号判断图象位置与增减性。 函数类型 解析式 图象形状 核心性质 一次函数 直线，与x轴、y轴均有交点 递增，递减；决定与y轴交点位置 反比例函数 双曲线，永不与坐标轴相交 一三象限、象限内递减；二四象限、象限内递增 【知识点二】求两个函数的交点坐标 交点坐标同时满足一次函数和反比例函数解析式，解题核心为联立方程组求解。 解题步骤： 1. 联立解析式：将 与 联立，得方程 ； 2. 整理方程：两边同乘，化为一元二次方程 ； 3. 解方程：求出的解，代入任意一个函数解析式求出对应； 4. 写交点：两组对应两组交点坐标（最多2个交点，可1个或无）。 关键结论：联立方程有两个不同解，两图象有2个交点；有唯一解，1个交点；无解，无交点。 【知识点三】函数值大小比较（数形结合必考） 已知一次函数、反比例函数图象及交点，判断自变量取值范围内，哪个函数值更大。 解题方法： 1. 先找到两个函数的所有交点横坐标，将数轴分为若干区间； 2. 逐个区间观察图象位置，上方图象对应函数值更大； 3. 注意：反比例函数，x=0处为间断点，必须单独排除。 【知识点四】综合图形面积计算（高频压轴基础） 两函数综合题中，常见求两交点与原点围成三角形面积、直线与坐标轴、双曲线围成图形面积。 通用解题方法：割补法 1. 求直线与y轴或x轴交点坐标，分割不规则图形为多个直角三角形、直角梯形； 2. 利用坐标求底和高，分别计算面积再求和/求差； 3. 结合反比例函数几何意义，简化部分三角形面积计算。 【知识点五】常见隐含条件与易错点 1. 一次函数、反比例函数参数均不能为0：； 2. 比较函数值大小时，必须拆分正负区间，不能跨区间笼统判断； 3. 双曲线不与坐标轴相交，图形边界不含坐标轴原点及坐标轴； 4. 面积计算结果恒为正数，坐标正负仅用于判断位置，需取绝对值计算边长。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】联立方程求交点坐标（基础必考） 【例题1】（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知直线与双曲线相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先把点A坐标代入，求出k的值，再联立方程组求解即可 解：把A代入，得： ∴k=4 ∴ 联立方程组 解得， ∴点B坐标为（-2，-2） 故选：A 【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是正确掌握代入法． 【变式1】（2026·广东广州·三模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则函数的图象与函数的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】先利用根的判别式求出的取值范围，再联立两个函数得到一元二次方程，结合的取值范围与非负数的性质判断方程根的个数即可． 解：∵ 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 根的判别式， 解得 ， 联立反比例函数与一次函数可得， ， 整理，得， ∵，， ∴，即该方程没有实数根， ∴两个函数无交点． 【变式2】（2026·广东深圳·三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为__________． 【答案】/ 【分析】由题意，得到，对代数式恒等变形后代入已知代数式计算即可． 解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ，则， ． 【变式3】（专题09多结论、多空类问题（针对第10、14题）（真题6题模拟60题）-学易金卷：5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（安徽专用））已知直线交y轴于点A，并与双曲线交于点B，连接、． （1）当时，点B的坐标为___________； （2）若的面积为，则___________． 【答案】 7.5 【分析】（1）联立直线解析式与反比例函数解析式求出交点坐标即可得到答案； （2）先求出点A的坐标，进而得到，再根据三角形面积公式求出，进而求出，则． 解：（1）联立，解得， ∴点B的坐标为， 故答案为：； （2）在中，当时，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴，即， ∴， 在中，当时，， ∴， ∴， 故答案为：7.5． 【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，灵活运用所学知识是解题的关键． 方法总结：联立消元→解一元二次方程→回代求，步骤固定，零失误解题。 【题型 2】函数值大小比较（数形结合） 【例题2】（25-26八年级下·河南周口·期末）一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 解：由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， 则时，的取值范围是或． 【变式1】（25-26八年级下·山西长治·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】找出一次函数图象在反比例函数图象上方的部分即可得出结果． 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴结合函数图象得关于x的不等式的解集是或． 【变式2】（2026·广东清远·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】找到直线在双曲线上方时的自变量的取值范围即可. 解：由图象可知，当时，的取值范围为或. 【变式3】（25-26九年级上·浙江·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为_______． 【答案】或 【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是正确理解函数图象和性质． 先求得n的值，然后观察函数图象即可求解． 解：由题意可得， 解得， ∴， 观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 【题型 3】函数综合求三角形面积（中档核心） 【例题3】（2026·浙江·模拟预测）在坐标系中有函数与函数相交于A、B两点，分别连接坐标原点C，则的面积为（     ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】首先，设函数的图象与y轴交于点D，根据函数与函数相交于A、B两点，联立两个函数的表达式组成方程组，解方程组即可得出点的坐标，然后求得的长，最后，由即可求得结果． 解：如图，设函数的图象与y轴交于点D， ∵函数与函数相交于A、B两点， ∴， 解得，， ∴，， 将代入函数，得， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点．连接，，则______． 【答案】 【分析】先把代入得，求得反比例函数的表达式，再通过反比例函数的表达式求出点的坐标，再将点和点的坐标求出一次函数的表达式，当时，求出点，得到的值，再由即可得到答案． 解：如图，连接，， ∵把代入得， ∴， 把代入得， ∴， 把的坐标代入得， 解得：， ∴， 当时，，得， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（2026·山东烟台·中考真题）如图，直线与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于 ，两点，轴，垂足为，连接．若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用一次函数求出点的坐标，由推出点的坐标，再次利用一次函数求出点的坐标，进而求得反比例函数的解析式，联立一次函数与反比例函数求出点的坐标，最后利用割补法求出的面积． 解：将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴，， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ∴反比例函数的解析式为， 联立一次函数与反比例函数得， ， 解得或， ∴点的坐标为， ． 【变式3】（24-25九年级下·福建龙岩·阶段检测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，若把直线向上平移3个单位长度与交于点B，连接、，则的面积为______． 【答案】6 【分析】本题考查一次函数图象的平移，一次函数与反比例函数的交点问题，把代入，求出点坐标，进而求出反比例函数的解析式，求出平移后的直线的解析式，进而求出点的坐标，作轴，轴，推出的面积等于梯形的面积，进行求解即可． 解：把代入，得：， ∴， ∴， ∴， ∵把直线向上平移3个单位长度，得到， ∴联立，解得：或， ∴， 作轴，轴，则：， 则：， ∴ ； 故答案为：6． 方法总结：无坐标轴直角边的三角形，优先找直线与坐标轴交点，分割为两个直角三角形求和。 【题型 4】待定系数法求双函数解析式（基础综合） 【例题4】（2025·贵州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图像交于A、B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求反比例函数的解析式和一次函数解析式； （2）由图像直接写出：当时，自变量x的取值范围． 【答案】（1），；（2）或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式是解题的关键， （1）根据待定系数法就可以求出函数的解析式； （2）由得，一次函数图象高于反比例函数图象，再结合A、B的坐标即可得解． 解：（1）解：点在反比例函数的图像上， ， 反比例函数的解析式为， 点在反比例函数的图象上， 点的坐标为， 点和点在一次函数的图象上， ， ， 一次函数的解析式为； （2）解：由图象可知，当时，自变量的取值范围为或． 【变式1】（24-25九年级上·广西贺州·期中）若反比例函数y＝与一次函数y＝kx+b的图象都经过点（﹣2，﹣1），且当x＝1时，这两个函数值相等． （1）求反比例函数的解析式； （2）求一次函数的解析式． 【答案】（1）；（2）y＝x+1 【分析】（1）先把点（-2，-1）代入y=，求出反比例函数解析式； （2）把x=1代入求出y的值，把点（-2，-1）和x=1时y的值代入一次函数解析式即可求出一次函数的解析式． 解：（1）∵反比例函数y=的图象经过点（-2，-1）， ∴-1=， 解得：m=2， ∴反比例函数的解析式：y=； （2）当x=1时，y==2， ∴一次函数y=kx+b的图象经过点（1，2）（-2，-1）， ∴，解得， ∴一次函数的解析式：y=x+1． 【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，正确求出两个函数的解析式是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知，点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）求一次函数的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把代入反比例解析式即可求得； （2）先求得点的坐标，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式． 解：（1）解：把代入反比例解析式得：，即， 则反比例解析式为； （2）解：∵在反比例函数上， ∴，即，即， 把与坐标代入一次函数解析式得：， 解得：， 则一次函数解析式为． 【点拨】本题考查的是反比例函数和一次函数的综合，难度适中，需要熟练掌握待定系数法求函数解析式． 【变式3】（2025·甘肃·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数的解析式为；（2） 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的解析式是解题的关键． （1）先把点B坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点A坐标，再把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）先求出点C坐标，再根据计算求解即可． 解：（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴， 把、的坐标代入得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 5】一次函数与反比例函数图象综合 【例题5】（25-26八年级下·山东东营·期末）已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，进行讨论，判断即可. 解：当时，则，则双曲线过一、三象限， ∵，，则直线过一、二、四象限； 当时，则，则双曲线过二、四象限， ∵，，则直线过一、二、三象限； 观察可知，只有选项C的图象符合题意. 【变式1】（25-26八年级下·河南洛阳·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可． 解：A、由反比例函数的图象在二、四象限可知，由一次函数的图象与轴交点在轴的正半轴可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； B、由反比例函数的图象在二、四象限可知，由一次函数的图象与轴交点在轴的正半轴可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； C、由反比例函数的图象在一、三象限可知，由一次函数的图象交y轴的负半轴可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； D、由反比例函数的图象在一、三象限可知，由一次函数的图象过一、二、三象限可知，两结论一致，故本选项符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·山东济南·期末）函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象经过的象限判断的取值范围，再根据的取值范围判断反比例函数经过的象限是否符合要求． 解：A选项：一次函数的图象经过第一、二、三象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 故A选项错误； B选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故B选项正确； C选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故C选项错误； D选项：一次函数的图象经过第一、三、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 反比例函数应在第二、四象限， 故D选项错误． 【变式3】（25-26八年级下·山东济南·期中）函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可得答案． 解：对于，当时，，观察图象可排除B和D； ∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过二、三、四象限； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、三、四象限， 观察A、C选项，选项A符合题意． 【题型 6】一次函数与反比例函数与动点问题 【例题6】（23-24八年级下·重庆北碚·期末）如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数交于和两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）如图，点是轴上一动点，连接，，当的面积为6时，求点的坐标； （3）将一次函数向右平移1个单位得到新的一次函数，点是新的一次函数与轴的交点，点是轴上一动点，请直接写出取最小值时点的坐标． 【答案】（1），；（2）或；（3） 【分析】此题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，轴对称最短路线问题等，解答（1）的关键是熟练掌握待定系数法求函数的表达式，解答（3）的关键是利用轴对称求最短路线． （1）将点和代入反比例函数可得、的值，再将点、的坐标代入一次函数解析式可得答案； （2）根据求得，进一步求得的坐标即可； （3）先求出点，作点关于轴的对称点，则点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为线段的长，可根据待定系数法求得直线的解析式，进而求得的坐标即可． 解：（1）解：点和都在反比例函数的图象上， ， ， ， 将点和代入得，， ， ， 反比例函数解析式为，一次函数解析式为； （2）解：令，则，解得， 令，则， ，， ， ， ， 或； （3）解：将一次函数向右平移1个单位得到新的一次函数， 点是新的一次函数与轴的交点， ， 作点关于轴的对称点，则点，连接交轴于点，此时的值最小， 设直线的解析式为， 代入得，解得， 直线的解析式为， 当时，， ． 【变式1】（2024·湖南长沙·三模）如图，已知为反比例函数图象上的两点，动点在x轴的正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可以求得点A和点B的坐标，然后根据三角形三边关系，可以得到线段AP与线段BP之差的绝对值与线段AB的关系，然后根据图形作出合适的辅助线，即可求得满足条件的点P的坐标． 解：∵A（，y1），B（2，y2）为反比例函数图象上的两点， ∴y1＝2，y2＝， ∵动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，|AP−BP|≤AB， ∴延长AB交x轴于点P’，当点P在点P’时，PA−PB＝AB达到最大值， 设直线AB的函数解析式为y＝kx＋b， ，得， ∴直线AB的函数解析式为y＝−x＋， 当y＝0时，x＝， ∴当线段AP与线段BP之差达到最大时点P的坐标是（，0）， 故选：D． 【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形三边长关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式2】（24-25九年级上·江西抚州·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点．若P为x轴上一动点，当是以为腰的等腰三角形时，点P的坐标为_____． 【答案】或或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、等腰三角形的定义、勾股定理，先求出，，过点A作轴，则由勾股定理可得，再分三种情况：当P在x轴正半轴时；当P在x轴负半轴时；当P在x轴正半轴时；分别求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 解：由，解得或． 根据图象可知，，， 如图，过点A作轴， ∵点， ∴， ∵P为x轴上一动点，是以为腰的等腰三角形， ∴可分为以下三种情况： ①当P在x轴正半轴时，， ∴，即， ②当P在x轴负半轴时，， ∴， ③当P在x轴正半轴时，， ∴， 综上所述：点P的坐标为或或， 故答案为：或或． 【变式3】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与 轴交于点． （1）求的值以及点坐标； （2）为轴上的一动点， 的面积时，求点坐标． （3）为轴上的一动点，连接和，当的值最小时， 求点的坐标． 【答案】（1），；（2）或；（3） 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，一元二次方程，直角坐标系中的面积，轴对称将军饮马问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题是解题的关键． （1）将代入即可求出，联立反比例函数与直线解析式即可求出的坐标； （2）利用一次函数求出，，设，则，利用列式求解即可； （3）作点作轴的对称点，连接，则，当且仅当，，依次共线时，取得最小值，此时与轴的交点即为点，求出直线的解析式，令，即可得． 解：（1）解：将代入， 得， 解得：， ∴反比例函数解析式为， 由， 解得：或， 故； （2）解：令， 解得：， 则，， 令，得， 则，， 设， 则， 则， 解得：或， ∴点的坐标为或； （3）解：作点作轴的对称点，连接， 则，当且仅当，，依次共线时，取得最小值， 此时与轴的交点即为点， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 则． 【题型 7】一次函数与反比例函数存在性问题 【例题7】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，一次函数与轴交于点，与反比例函数分别交于点，，连接．作轴于点，且． （1）求一次函数关系式和的值； （2）求的面积； （3）点是轴上一点，是否存在点M，使点M，O，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）一次函数关系式为，；（2）；（3）、、、． 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）将一次函数与反比例函数关系式联立，求出点C的坐标，根据即可求解； （3）分，，三种情况，根据等腰三角形的性质分别求解即可． 解：（1）解：将代入中，得：， 一次函数关系式为， 在一次函数图象上， ， ， 将代入， 得：； （2）解：将与联立，得：， 解得，， 将代入，得 ， ， ， ， ； （3）解：， ． 当时，如图： 点M的坐标为：、； 当时，作轴于点H， 则， ， 点M的坐标为：； 当时，设点M的坐标为， 则， 解得， 点M的坐标为：； 综上可知，存在点M，使点M、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，、、、． 【点拨】本题考查一次函数与反比例函数的综合，勾股定理，等腰三角形的存在性问题，熟练运用数形结合、分类讨论思想是解题的关键． 【变式1】（23-24九年级下·山东日照·开学考试）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在直线上取点，过点作反比例函数的图象． （1）求反比例函数的表达式； （2）点为反比例函数图象上的一点，若，求点的坐标； （3）在轴是否存在点，使得，若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，等角对等边和勾股定理等知识． （1）先把点A坐标代入一次函数解析式求出a的值，即求出点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可； （2）设，根据列方程求解； （3）分点Q在x轴的负半轴上和点Q在x轴的正半轴上两种情况求解即可． 解：（1）把代入中得：， ∴， 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）设， 把代入得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ （3）当点Q在x轴的负半轴上时，如图，设交y轴于D，，    ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 当点Q在x轴的正半轴上时，如图，作    ∴ ∴． 综上可知，点的坐标或． 【变式2】（24-25九年级上·四川雅安·期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，一次函数图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）观察图象，写出时自变量的取值范围； （3）连接，在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）一次函数的解析式为；（2）或；（3）存在， 【分析】（1）先求得、的坐标，然后根据待定系数法即可求得； （2）根据图象即可求得； （3）构建方程即可解决问题． 解：（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，两点， ∴， ，， 把、的坐标代入，得：， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：由图象得知：时，自变量的取值范围是：或； （3）解：存在．理由如下： 设，由题意得，， ， 解得， ． 【点拨】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，其中涉及到运用待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，三角形的面积的求法，学会构建方程解决问题是解题关键． 【变式3】（2024·江苏镇江·二模）一次函数与x轴交于C点，与y轴交于B点，点在直线上，反比例函数过点A． （1）求a与k的值； （2）在x轴上是否存在点D，使得，若存在，请直接写出点D坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）存在， 点D坐标为或 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）在轴上存在点，使得．分两种情况：当点在轴正半轴上时，当点在轴负半轴上时，分别求得点的坐标即可． 解：（1）解： 点在直线上， ， ， 反比例函数经过点， ， 解得：； （2）解：在轴上存在点，使得． 当点在轴正半轴上时，如图，过点作轴交轴于点， 则， 此时点； 当点在轴负半轴上时，如图，设与轴交于点， ， ， ， 解得：， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 令，得， 解得：， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点拨】本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数和反比例函数图象上点的坐标的特征，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，待定系数法求函数解析式，得出，利用设坐标表示出点是解题的关键． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25八年级下·四川乐山·阶段检测）在同一直角坐标系内，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数的性质是解题的关键．根据函数解析式分别讨论正比例函数与反比例函数图象所经过的象限即可解答． 解：函数中，，则函数图象经过一、三象限， 函数中，，则函数图象经过二、四象限， 可见，符合条件的只有A． 故选：A． 2．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数及一次函数图象的对称性即可解决问题． 解：由题意知， ∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称， ∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称， ∵直线与双曲线的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， 故选：D． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为1和3，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握数形结合是关键． 所求不等式的解集为双曲线在直线上方对于的自变量x的取值范围，根据两个函数图象及交点横坐标直接写出不等式解集即可． 解：由题意可知，，两点的横坐标分别为1和3， 不等式的解集为：或． 故选：C． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点．若点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，利用反比例函数对称性求点坐标等．根据题意可知点A，B关于原点中心对称，继而求出本题答案． 解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标为， ∴A，B两点关于原点中心对称， ∴点B的坐标为， 故选：B． 5．（2025·安徽合肥·三模）已知一次函数与函数的图象有两个交点，则关于的一元二次方程根的情况是（　　） A．无实数根 B．有2个相等的实数根 C．有2个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题；联立两个函数解析式，根据有两个交点可知联立得到的方程有2个不相等的实数根． 解：∵一次函数与函数的图象有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， 方程整理得， ∵一次函数中， ∴关于的一元二次方程根的情况是有2个不相等的实数根， 故选：C． 6．（2025·安徽蚌埠·三模）已知反比例函数与直线的图象在第一象限内相交于点，点的坐标为．若，则的值为（    ） A．3 B．4.5 C．6 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，等腰三角形的性质等知识；由点A在直线上，则设点的坐标为，由得为等腰三角形，由等腰三角形的性质知，的中点的横坐标等于点A的横坐标，由此求得a的值，得到点A的坐标，代入反比例函数解析式中即可求得k的值． 解：由题意，设点的坐标为， ， 为等腰三角形； ， ， ， 把点A的坐标代入中，得． 故选：D． 7．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，正比例函数与反比例函数相交于点，若，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题和在数轴上表示不等式的解集的应用，关键是求出的范围．根据两函数的交点坐标，结合图象即可求出的范围，再在数轴上表示出来，即可得出选项． 解：正比例函数与反比例函数相交于点， 根据图象可知当时的取值范围是， 在数轴上表示为：， 故选：A 8．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是（     ） A．两图象的交点的坐标为 B．若，则的取值范围是或 C．一次函数与反比例函数都随的增大而增大 D．连接，，则的面积是 【答案】C 【分析】由题意易得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，然后根据一次函数及反比例函数的图象与性质进行排除选项即可． 解：由题意可把代入一次函数得：，解得：， ∴一次函数的解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵在一次函数上， ∴， ∴点的坐标为，故A正确； 由图象可知：若，则的取值范围是或，故B正确； ∵， ∴一次函数随的增大而增大，反比例函数在每个象限内，随的增大而减小，故C错误； 由一次函数可知：其函数图象与轴的交点坐标为， ∴，故D正确． 9．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设点坐标为，由是中点且在轴上推出点坐标，再求直线解析式得到点纵坐标，最后利用三角形面积列方程求． 解：设，其中． 点是线段的中点，点在轴上，设， 由中点公式，，解得． 又点在的图象上， ∴． 设直线的解析式为， 将、代入，得： ， 解得，． 直线的解析式为． 令，得，即． 由题意，以轴上的为底，点的横坐标为高， ． ， ，解得． 10．（2026·山东济宁·一模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，点和都在轴上，是等腰直角三角形，，，则的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】过点作轴于点，先根据等腰直角三角形的性质可得，再将代入正比例函数可得点的坐标，然后将点的坐标代入反比例函数的解析式求解即可得． 解：如图，过点作轴于点， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， 将代入正比例函数得：，解得， ∴， 将点代入反比例函数得：． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2024九年级上·全国·专题练习）直线与双曲线有两个交点和，其中点的坐标是，则点的坐标________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与正比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据反比例函数图象与正比例函数图象的中心对称性求解即可． 解：直线与双曲线有两个交点和， ∴点与关于原点对称， ∵点的坐标是， 点的坐标为． 故答案为：． 12．（2025·浙江台州·二模）若正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则的值为______． 【答案】15 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的对称性，待定系数法求解析式，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据反比例函数的对称性求得，，继而可求和． 解：反比例函数的图象是关于原点为对称中心的中心对称图形， 点与关于原点对称， ，， ，， 正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， ，， ． 故答案为：15． 13．（24-25八年级下·河南南阳·期中）在描述同一反比例函数的图象时，小乐说：“这个反比例函数图象上任意一点到两坐标轴的距离之积是24”，小丽说：“这个反比例函数图象与直线有两个交点”．你认为这两个同学所描绘的反比例函数对应的表达式是_______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，判断反比例函数的象限是关键．根据反比例函数中k的几何意义，再根据图象与直线有两个交点，可知反比例函数图象在二、四象限，即可判断k的值 解：根据题意得：， ， 又∵图象与直线有两个交点， ， 故反比例函数的解析式是：， 故答案为： 14．（24-25九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限．若反比例函数的图象经过其中两点，且与过点的正比例函数图象交于点（点不在同一象限），则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据已知条件得到点在第二象限，求得点一定在第四象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，，于是求得，再根据点与点关于原点对称，即可得到结论． 解：点在第二象限，点在第一象限，点在第一或四象限， 点，，分别在三个不同的象限，的图象经过其中两点， 点C必在第四象限，且反比例函数的图象经过，， ， ， ， 与过点的正比例函数图象交于点， 点与点关于原点对称， ， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握数形结合思想成为解题的关键． 观察函数图象得到当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方或重合，即的解集． 解：∵直线与双曲线交于点和点， ∴， ∴， ∴由函数图象可得，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方或重合， ∴不等式的解集为或． 故答案为：或． 16．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，P是第一象限内一次函数图象上一动点，反比例函数经过点P，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，二次函数的性质．根据题意可设可设点P的坐标为，且，可得，再根据反比例函数的性质可得，然后根据二次函数的性质，即可求解． 解：∵P是第一象限内一次函数图象上一动点， ∴可设点P的坐标为，且， ∴， ∵反比例函数经过点P， ∴， ∴当时，k的值最大，最大值为2， ∵， ∴当时，k随a的增大而增大，当时，k随a的增大而减小， ∵当时，，当时，， ∴k的取值范围是． 故答案为： 17．（2025·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题是反比例函数与一次函数交点问题，线段最短问题，以及勾股定理，数形结合是解题的关键． 先求出，根据中点坐标公式求出，根据轴对称图形的性质确定点P位置，并求出点P的坐标，再求出的长即可． 解：∵一次函数与两坐标轴分别交于，两点， 当时，，当时， ∴， ∴， ∵为线段的中点， ∴点， ∵直线是第一象限的角平分线，且， ∴直线垂直直线， ∵对于，当时，， ∴在直线上， ∴当时，线段最小，此时点P在直线上， ∵点P在反比例函数的图象上， 联立与得： ，解得：或， ∴点， ∴，， ∴的最小值为． 故答案为： 18．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，点为上一点且是的中位线，的延长线交反比例函数的图象于，若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象以及一次函数图象上点坐标的特征，三角形中位线的性质，勾股定理，先根据一次函数图象及中位线定义求出点坐标，从而确定点坐标，设点坐标，用分别表示出和值，由构造的方程求解即可，掌握反比例函数图象以及一次函数图象上点坐标的特征是解题的关键． 解：把代入得，， ∴， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， ∵是的中位线， ∴平行于轴， ∴点坐标为，点坐标为， 设点坐标为，则， 在中，由勾股定理可得， ∵， ∴， 即， 解得， 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，，是一次函数的图象和反比例函数图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）观察图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；（2）或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）先把点坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点坐标代入反比例函数解析式求出点的坐标，再把、坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可； （2）只需要找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可． 解：（1）解：由题意，将代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为， 将代入， 得：， 解得：， 则， 将，代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由函数图象可知不等式的解集为或． 20．（本小题满分8分）（2025·青海海东·二模）如图，已知一次函数的图象交反比例函数的图象于点、，交轴于点． （1）求的值和点的坐标； （2）请根据图象，在时，直接写出不等式的解集． 【答案】（1），，；（2）或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，求反比例函数解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由点在反比例函数和一次函数图象上，得出，，即可得到反比例函数解析式为，一次函数的解析式是，联立联立，即可求出点的坐标； （2）运用数形结合思想，根据已知一次函数的图象交反比例函数图象于点A、B，且点B的坐标是，点，即可作答． 解：（1）解：点在反比例函数和一次函数图象上， ，， 解得，， 反比例函数解析式为，一次函数的解析式是． 联立， 解得：或， 点的坐标是； （2）解：由图象得，不等式的解集是或． 21．（本小题满分10分）（23-24九年级上·湖南娄底·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）试求m的值和一次函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2）8 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，根据待定系数法求出函数的解析式是解题的关键． （1）把A的坐标代入反比例函数解析式即可求得k的值，然后把代入即可求得m的值，利用待定系数法可得一次函数的解析式； （2）求出点C的坐标，根据即可求解． 解：（1）解：把代入， ∴， ∴反比例函数的解析式是， 把代入， ∴， ∵，在函数的图象上， ∴， 解得：， 则一次函数的解析式是； （2）解：∵直线与y轴相交于点C，    时，， ∴, ∴． 22．（本小题满分10分）（2026·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，并与反比例函数的图象交于横坐标为的点，过点作轴于点已知． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若是点关于轴的对称点，、分别是轴和线段上的动点，求周长的最小值． 【答案】（1）一次函数和反比例函数的表达式分别为，；（2） 【分析】（1）先求出，，则，然后求出一次函数与轴的交点，则，再由三角形面积建立方程求解，再根据待定系数法求解函数表达式即可； （2）过点作直线的对称点，连接，则，那么当点共线时，的周长取得最小值，即为，然后证明为直角三角形，再由勾股定理求解最小值即可． 解：（1）解：由题意得，将代入，则， ∴ ∵轴 ∴，， 对于一次函数，当时，，解得 ∴ ∴， ∵轴 ∴ ∴， 解得，（舍去） ∴一次函数表达式为， ∴， 将点代入，则， ∴反比例函数表达式为； （2）解：对于直线，当时，，解得；当时， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵是点关于轴的对称点， ∴， ∴ 过点作直线的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当点共线时，的周长取得最小值，即为， ∵ ∴， ∴的周长最小值为． 23．（本小题满分10分）（2026·河南开封·模拟预测）如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于点，交x轴的正半轴于点B，交y轴的正半轴于点C． （1）分别求k和b的值； （2）点D为反比例函数图象上的一点，连接，，．若，求点D的坐标． 【答案】（1），；（2）点D的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）求得点的横坐标，再代入反比例函数即可解答． 解：（1）解：把分别代入和，得， ； （2）解：， ∴一次函数的解析式是：，反比例函数的解析式是：， 设点D的横坐标为a，由题意得， ， 解得． 反比例函数的表达式为， ∴把代入， 得， ∴点D的坐标为． 24．（本小题满分12分）（26-27九年级·全国·暑假作业）已知正比例函数与反比例函数的图象在第一象限交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点， ①求的面积； ②直接写出不等式的解集． 【答案】（1）；（2）①；②或 【分析】（1）先根据一次函数求出点坐标，再代入反比例函数计算即可； （2）①先求出的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式，再求出C、D两点的坐标，再根据，代入计算即可；②根据函数图象即可写出不等式的解集． 解：（1）解：直线过点， ， 将代入函数中，得， 反比例函数的解析式为； （2）解：①由（1）知，反比例函数的解析式为， 点，在的图象上， ，， ，， 由平移得，平移后直线的解析式为， 将代入中，得，解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ； ②，， 结合图象，可得不等式的解集为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $